高中数学第1章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学业分层测评北师大

第1章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性学业分层测评 北师大版必修4
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2
.其中正
确的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin π
3＝
sin 2π3；对于③，可举出sin π2>0，但π2不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝x x 2＋y 2
(因为α是第二象限角，已有x <0)，故选B.
【答案】 B
2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α
|cos α|
的值是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．－2
【解析】 当α为第二象限角时，sin α>0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.
【答案】 C
3．(2016·永寿高一检测)设角θ的经过点P (－3,4)，那么sin θ＋2cos θ＝( )
【导学号：66470008】
A.15 B ．－15
C.25
D ．－25
【解析】 因为P (－3,4)，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.则sin θ＋2cos θ＝4
5＋
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝－25.
【答案】 D
4．若sin αcos α>0，则α在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
【解析】 由于sin αcos α>0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.
【答案】 B
5．若sin θ<0，cos θ>0，则θ
2是( )
A ．第二象限角
B ．第三象限角
C ．第二或第四象限角
D ．第三或第四象限角
【解析】 由sin θ<0，cos θ>0得θ为第四象限角， ∴2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ，∴k π－π4<θ
2<k π，k ∈Z ，
∴θ
2是第二或第四象限角． 【答案】 C 二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________.
【解析】 ∵sin θ＝y
42
＋y
2
＝－
255
，∴y <0且y 2
＝64，∴y ＝－8. 【答案】 －8
7．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.
【解析】 f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0，
f (－1)＝－f (1)(因为f (x )为奇函数)．
又f (－1)＝f (－1＋4)＝f (3)＝－f (1)＝－2，
f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)． f (－2)＋f (2)＝0，所以f (2)＝0，
所以f (2)＋f (3)＋f (4)＝－2.
【答案】 －2
8．已知点P (sin αcos α，sin α)位于第四象限，则α的终边位于________． 【解析】 ∵P (sin αcos α，sin α)在第四象限， ∴sin αcos α>0，sin α<0， 于是sin α<0，cos α<0， ∴α为第三象限角． 【答案】 第三象限 三、解答题
9．判断下列各式的符号． (1)sin 105°·cos 230°； (2)sin 240°·sin 300°； (3)cos 16π3·sin π；
(4)cos 4·cos 5.
【解】 (1)∵105°是第二象限角． ∴sin 105°>0.
又∵230°是第三象限角． ∴cos 230°<0.
∴sin 105°·cos 230°<0. (2)∵240°是第三象限角， ∴sin 240°<0.
又∵300°是第四象限角． ∴sin 300°<0.
∴sin 240°·sin 300°>0. (3)sin π＝0， ∴cos 16
3π·sin π＝0.
(4)∵4为第三象限角，
∴cos 4<0.又∵5是第四象限角， ∴cos 5>0，∴cos 4·cos 5<0. 10．化简求值．
(1)sin(－1 320°)·cos(1 110)°＋cos(－1 020°)·sin 750°；
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
174πcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫174π. 【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)
＝sin 120°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝
32×32＋12×1
2
＝1. (2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
π4＋2×2πcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2×2π
＝cos π
3＋sin
π
4cos
π
4
＝12＋1＝32
. [能力提升]
1．(2016·安康高一检测)已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于( )
A ．－310
B ．－
1010
C.310
D ．
1010
【解析】 根据三角函数的定义，在终边上取点求值，在α终边上取一点P (1，－3)，此时，x ＝1，y ＝－3.
∴r ＝1＋－32
＝10，
∴sin α＝y r
＝－
3
10＝－31010，cos α＝x r ＝110
，
∴cos α·sin α＝1
10·⎝
⎛⎭⎪⎫－31010＝－310.
【答案】 A
2．如果角α的终边经过点P (sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A.3
2
B ．12
C.
22
D ．1
【解析】 因为sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝32
， cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝3
2
， 所以P ⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
，32，sin α＝22.
【答案】 C
3．(2016·镇安高一检测)设函数f (x )＝sin π
3
x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝________.
【导学号：66470009】
【解析】 f (1)＝
32，f (2)＝32，f (3)＝0，f (4)＝－32，f (5)＝－3
2
，f (6)＝0，f (7)＝f (1)，f (8)＝f (2)，…
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 【答案】 0
4．已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α
的值．
【解】 (1)由1|sin α|＝－1
sin α，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0， ∴角α是第四象限角． (2)∵|OM |＝1，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＋m 2
＝1，解得m ＝±45.
又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－4
5
.
由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－4
5.。