高中数学第一章4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )；(4)在[0，2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增． 同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质．思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.2．诱导公式的推导(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．②公式sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α；sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α．(2)诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导①π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．②公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α用－α代替α并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB.sin (π－α)＝－sin αC.cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)D.cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知D 正确．]2．cos 300°＋sin 450°的值是( ) A.－1＋ 3 B ．12C.－1－ 3D ．32D [原式＝cos (360°－60°)＋sin (360°＋90°) ＝cos (－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝32.]3．cos 2π3的值是( )A.－32 B ．32 C ．12 D ．－12D [cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.]4．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2[在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.]正弦、余弦函数的性质【例1】 求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π；(2)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.[解] (1)由图①可知，y ＝sin x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值．(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π].[解](1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sinx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0].当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1，1].给角求值【例2】 求下列三角函数式的值： (1)sin 495°·cos (－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6.[解] (1)sin 495°·cos (－675°) ＝sin (135°＋360°)·cos 675° ＝sin 135°·cos 315°＝sin (180°－45°)·cos (360°－45°) ＝sin 45°·cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6＝－sin 10π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＋cos 5π6＝－sin 4π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3－cos π6＝sin π3－cos π6＝32－32＝0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值． 2．求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3.[解] (1)sin 4π3·cos 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝－sin π3·cos π6＝－32·32＝－34.(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.三角函数式的化简(1)cos （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.[解] (1)原式＝cos α·sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α）＝cos α（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝cos α.(2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则：(1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论； (2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．3．化简下列各式．(1)cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－π－α）·cos （－π－α）；(2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·sin （－585°）.[解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin （π＋α）·cos （π＋α）＝－cos α·sin α－sin α·cos α＝1. (2)原式＝cos （180°＋10°）·[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）·[－sin （360°＋225°）] ＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·（－sin 225°）＝sin 30°－sin 45°＝12－22＝－22.给值求值问题[探究问题]1．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．2．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例4】 (1)已知sin (π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A.－45 B ．45 C ．－35 D ．35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解．(1)B [因为sin (π＋α)＝35，且sin (π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.] (2)解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0，2π]内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝cos x 在[0，π]上是递减的．( )(3)sin (2π－α)＝sin α.( )(4)诱导公式中的角α只能是锐角．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知sin (θ＋π)＜0，cos (θ－π)＞0，则θ所在象限是( )A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限B [由sin (θ＋π)＝－sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos (θ－π)＝－cos θ＞0⇒cos θ＜0，由{sin θ＞0，cos θ＜0可知θ是第二象限角．]3．已知cos (π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．12 [cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.]4．计算：cos 19π6·sin 21π4.[解]原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22 ＝64.。

第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．2．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．讲一讲1．求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 35π6；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3.[尝试解答] (1)cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. (2)sin 35π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋11π6＝sin 11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3）＝－sin （32π＋4π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32.1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k ×π2±α(k ∈Z )的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k ×π2，当k 是奇数时，得α的异名三角函数值；当k 是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k ×π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)． 练一练1．求下列各式的值： (1)sin 495°cos(－675°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－43π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4 解：(1)sin 495°cos(－675°) ＝sin(135°＋360°)cos 675° ＝sin 135°cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6cos 11π4 ＝－sin 43π6cos 11π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝－sin 7π6cos 3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝－sin π6sin π4＝－12×22＝－24.讲一讲 2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[尝试解答] (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13∴cos α＝－13∴cos(5π＋α) ＝cos[4π＋(π＋α)] ＝cos(π＋α) ＝－cos α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13.解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．练一练2. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫103π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.讲一讲3．化简下列各式：(1)cos （2π－α）sin （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos （α－3π）sin （－π－α）.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ）（n ∈Z .[尝试解答] (1)原式＝cos α（－sin α）（－sin α）sin α（－cos α）sin α＝－1. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；②当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 是奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α时，要注意对k 的奇偶性进行讨论．练一练3．设k 为整数，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）.解：法一：当k 为偶数时，不妨设k ＝2m (m ∈Z )， 则原式＝sin （2m π－α）cos[（2m －1）π－α]sin[（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝sin （－α）cos （π＋α）－sin αcos α＝（－sin α）（－cos α）－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 同理，可得原式＝－1.法二：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)＝sin[(k ＋1)π＋α]， cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α] ＝－cos(k π＋α)， 所以原式＝－1.若cos θ＝33，则cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值为________．[错解] 原式＝cos θcos θ（－sin θ－1）＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.[错因] 混淆了诱导公式，应有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin ⎝ ⎛π＋)⎭⎪⎫π2－θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ.cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.[正解] 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ. 因为cos θ＝33， 所以原式＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3. [答案] 31．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α 答案：D2．cos 2π3的值是( )A ．－32 B.32C.12 D ．－12解析：选D cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.3．(广东高考)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 答案： 125．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．解析：∵508°＋212°＝720°∴cos(212°＋α)＝cos [2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.答案： 12136．求sin π4cos 19π6sin 21π4的值．解：原式＝sin π4cos(2π＋7π6)sin(4π＋5π4)＝22cos 7π6sin 5π4 ＝22cos(π＋π6)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22×32×22＝34.一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝± 3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3. 3．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3 ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确． 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值等于________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________.解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2 三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念，它们有着许多独特的性质和特点。

本文将对三角函数的性质进行探讨，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的性质正弦函数是一个周期函数，周期为2π。

在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的弧度值的y坐标。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在-1到1之间。

2. 余弦函数的性质余弦函数也是一个周期函数，周期同样为2π。

在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的弧度值的x坐标。

余弦函数的定义域和值域也都是实数。

3. 正切函数的性质正切函数是一个奇函数，意味着它在原点是对称的。

正切函数的定义域是除了一切对应正弦函数值为0的角度之外的所有实数。

正切函数的值域为所有实数。

4. 周期性质正弦函数和余弦函数具有周期性，即在固定的一段时间内，它们的图像会重复出现。

这是因为单位圆的性质导致的。

这一周期性质可以用于解决各种实际问题，在物理、工程、天文学等领域有着广泛的应用。

5. 反函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的反函数也具有重要的性质。

反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别记为sin^(-1)x、cos^(-1)x和tan^(-1)x。

它们的定义域和值域与正弦函数、余弦函数和正切函数相反。

通过反函数，我们可以将一个三角函数的值反推回对应的弧度或角度值。

6. 基本恒等式三角函数有一些基本的恒等式，它们在计算中起着重要的作用。

例如，正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin^2x + cos^2x = 1。

这个恒等式可以通过单位圆的性质进行证明。

另外，还有一些三角函数的和差化积公式、倍角公式等，它们在解决复杂问题时发挥着重要的作用。

总结：三角函数是数学中非常重要的概念，具有多种性质和特点。

正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性是它们的重要性质之一，通过单位圆可以直观地理解它们的定义和性质。

反函数和基本恒等式也是三角函数的重要内容，它们在解决实际问题和数学推导中起着关键的作用。

三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。

其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。

它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。

它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。

正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。

这意味着正弦函数关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。

4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。

在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。

二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。

它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。

余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。

2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。

这意味着余弦函数关于y轴对称。

3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。