数学中考总复习(一轮复习)第23讲锐角三角函数
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2•特殊角的三角函数值: a Q 30 o 45 60
si na
cos a
tana
微拨炉:
三角函数的变化规律：正弦、正切值随意角度的增大（或减小）而增大（或减小） ；余弦值随
着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 。
二、解直角三角形的应用
1•仰角和俯角：如图 1，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线
水平线 _________ 的叫做俯角。
2•坡度（坡比）和坡角：如图 2,通常把坡面的铅直高度 h和 _____________ 之比叫做坡度（或叫做坡比），用字
母 ________ 表示，即i = ______ ；坡面与 ________ 的夹角叫做坡角，记作 a。所以i = ________ 二tana。
3•方位角：指北或指南的方向线与目标方向所成的小于 90的角叫做方位角。如图：OA的方位角为 _______ 角;
OC的方位角为 _________ 角。第23讲锐角三角函数
【考点总汇】
一、锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值
ZA的对边 1•锐角三角函数的概念：如图， （1） sinA=-
(2) cos A = 斜边 b C
(3) .A的对边
/A的邻边 _______ 。锐角A的 都叫做一 A的锐角三角函数。
________ 的叫做仰角，在
水平錢
图3 2
微拨炉:
合理构造直角三角形， 利用解直角三角形的知识是解决此类问题的关键， 注意数形结合思想与
方程思想的应用。
高频考点1锐角三角函数的概念
【范例】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 在格点上，贝U . AOB的正弦值是（ ）
3、10 1 1 A. B. C.— 10 2 3
得分要领：
1. 求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决，可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直 角三角形。
2. 解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边。
3.如图，在四边形 ABCD 中，AB 二 AD 二 6, AB — BC , AD — CD，— BAD 二 60，点 M , N 分别
在 AB,AD 边上，若 AM : MB = AN:ND =1:2，则 tan MCN =()
B.U 1，点
A, B,0
10 D.- 10
13
12 5 13 12
A.— B.— C.— D.- 13 13 12 5
a，若 AC = a , BD = b，则口 ABCD 的面积
是( )
1 A. absin a 2 B. absin a C. abcosa D—abcosa 2
【考题回放】
© 5
1.在 RTA ABC 中，.C =90 , si nA ，则 tanB 的值为（ ）
2.如图，在口 ABCD中，对角线 AC,BD相交成的锐角为
第2题 3
1113 4
4•网格中的每个小正方形的边长都是 1, △ ABC每个顶点都在网格的交点处，贝U sin A= __________ 。
5•如图，已知 RTA ABC中，.ACB =90 , CD是斜边AB上的中线，过点 A作AE _ CD , AE分别 与 CD,CB
相交于点 H, E，AH =2CH。
(1)求sin B的值。
高频考点2、特殊角三角函数的计算
【范例】计算：(〔)，十5 —2014)0 +sin60 = + ^3 -2 3
得分要领：
1•熟练、正确地记忆特殊角的三角函数值是解决这类问题的关键。
2•此类问题常与幕的运算相结合，需要灵活运用学过的其他知识点以及运算律。
【考题回放】
3 1
ABC 中，•一 A，一 B 都是锐角，若 si nA -， cosB 二一，则一 C= __________ 2 2
2•计算:(-1)2 sin30 --8。(2)如果CD —.5，求BE的值。 5
| _ 1 — _
3•计算： 16 （）」（、.3-5）° - .3cos30 。
2
4•计算：（―—2si n4 5Z -1-42.
4
高频考点3、解直角三角形及其应用
【范例】如图，在同一平面内，两条平行高速公路 h和丨2间有一条“ z ”型道路连通，其中 AB段与高速
公路h成30，长为20km， BC段与AB, CD段都垂直，长为10km，
CD段长为30km,求两高速公路间
的距离（结果保留根号）
得分要领：
1•审题，通过图形，弄清已知和未知。
2•通过作辅助线构造直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题。
3•根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形。
【考题回放】
1•如图，河坝横断面迎水坡 AB的坡比是1:3 （坡比是坡面的铅直高度 6
BC与水平宽度 AC之比），坝高BC =3m，则坡面AB的长度是（ ）
A.9m B.6m C. 6 3 m D. 3 - 3 m7
2•小明去爬山，在山脚看山顶角度为 30 ■，小明在坡比为5: 12的
山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为 60 1则山高为（ ）
A. (600 -250、5)米
C. (350 350 .3)米
ABCD，其中AD // BC ,坡角a = 60，汛期来临前对其进行了加固,
改造后的背水面坡角 1 =45。若原坡长 AB =20m，求改造后的坡长 AE 。（结果保留根号）
4•海中两个灯塔 A, B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行， 在点C处测得灯塔 A在
西北向上，灯塔B在北偏东30 •方向上，渔船不改变航向继续向东航行 30海里到达点D，这时测得灯塔 A
在北偏西60 •方向上，求灯塔 代B间的距离。（计算结果用根号表示，不取近似值） B. (600. 3 - 250)米
D. 500 '.. 3 米
3•如图，防洪大堤的横截面是梯形 3
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【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形 ABCD的过街天桥，
若天桥斜坡 AB的坡角.BAD为35 •，斜坡CD的坡度为i =1:1.2，上底BC=10m,天桥高度CE=5m,
求天桥下底 AD的长度？（结果精确到0.1m，参考数据sin35 : 0.57，cos35
' :- 0.82，tan35 ' :- 0.70）
解：过B作BF _ AD于点F，则四边形BFEC是矩形。
BF = CE = 5m, EF = BC =10m
在 RT△ ABF 中，.AFB =90 BAF =35
BF
二 tan . BAF /• AF AF
•••斜坡CD的坡度为i =1:1.2
2.已知直角三角形 ABC中斜边AB的长为m , • B =40；则直角边BC的长是（ ） BF 5
tan 35 0.70 :7.14 (m)
ED CE 1.2 ••• ED 二坐
1.2 5
1.2
4.17 ( m)
• AD =AF FE ED =7.14 10 4.17 ： 21.3 (m)
答：天桥下底AD的长度约为21.3m。
【规避策略】
正确理解测量术语
直角三角形的应用问题，常涉及坡度（或坡比）
含义，对求出正确答案起着至关重要的作用。 、仰角、俯角、方位角等专业术语。正确理解这些术语的
【实战演练】
1.在△ ABC 中, -A, • B都是锐角，且sin A =丄,
2 .3
cosB ，则△ ABC的形状是（
2
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
A. msin 40 B. m cos40 C. mta n 40 m D.- tan 40 ② 3
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3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图， 其中AB,CD分别表示
一楼，二楼地面的水平线， • ABC =150 , BC的长是8cm，则乘电梯从
点B到点C上升的高度h是（ ）
8 - .■：-
A. i3m B. 4m C.4 3 m D. 8m 10
7•超速行驶是引发交通事故的主要原因之一。上周末，四位同学尝试用自己所学的知识检测车速。如图，
观测点设在 A处，离迎宾大道（60千米/小时的限制速度）的距离（ AC ）为30米。这时，一辆小轿车由
西向东匀速行驶，测得此车从 B处行驶到C处所用的时间为 8秒，.BAC=75。（计算时距离精确到 1
米，参考数据：sin 75 : 0.9659 , cos75 ： 0.2588，tan 75 : 3.732，3 : 1.732，60 千米/小时:-16.7
米/秒）请判断此车是否超速 __________ 8•已知，如图，斜坡 AP的长为13米，高AH为5米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔 BC，在斜
坡底P处测得该塔的塔顶 B的仰角为76 •，求古塔BC的高度（结果精确到1 米,参考数据：sin 76 : 0.97， cos76 :
0.24， tan 76 ： 4.01）。4•计算：6tan30 _2sin60 二 _____________ 。
5•如图，"赵爽弦图”中如果小正方形面积为 49,大正方形面积为 169,
则直角三角形中较小的锐角的正切值为 ___________ 。
6•如图，在菱形ABCD中，DE _ AB，垂足是E，DE = 6, sin A=3，则菱形ABCD的面积是 5
第6题
