【配套K12】高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案 新人教A版必修1
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教案试题 3.1.1方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习 · 预习案
【温馨寄语】
高尚的理想是人生的指路明灯。有了它，生活就有了方向；有了它，内心就感到充实。迈开坚定的步伐，走向既定的目标吧!
【学习目标】
1．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
2．掌握判断函数零点的方法.
3．了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系.
【学习重点】
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
【学习难点】
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
【自主学习】
1．一元二次方程的根与二次函数的图象的关系(以为例)：
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教案试题 请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表：
图(1) 图(2)
图(3)
二次函数图象与轴交点的个数 2 1
0
方程实数根的个数
___________
___________
0
二次函数零点的个数 ___________ ___________
___________
方程的判别式 ___________ ___________
方程的根 ,
__________
___________ 无实根
2．函数的零点
对于函数把使的实数 叫做函数的零点.
3．方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系
方程有实根函数的图象与轴有 函数有 .
4．函数零点的判断
(1)条件：
函数在上,
①图象是 的一条曲线. 最新K12教育
教案试题 ②
0.
(2)结论：
在区间内有
,即存在使得 .
【预习评价】
1．函数的零点是
A.1 B.2 C.4 D.-2
2．函数的零点个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
3．函数的零点所在的区间是
A.(1,2) B.(-1,-2) C.(0,1) D.(-1,0)
4．函数的零点为
.
5．已知函数的图象与轴有三个不同的交点,则函数有
个零点.
6．已知函数在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间(2,5)上零点的个数是 .
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．函数的零点 结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点？并说明理由. 最新K12教育
教案试题
2．函数零点的判断
根据函数零点的判断依据,若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且那么函数在区间内存在零点.探究以下问题：
(1)若那么函数在区间内一定没有零点吗？
(2)若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数在区间内有零点一定有吗？
(3)若函数在区间上的图象不是连续不断的一条曲线,满足.那么函数在区间内有唯一零点的条件是什么？
【教师点拨】
1．对函数零点的两点说明
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.
(2)由于函数的零点就是方程的实根,因此判断函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实根,有几个实根.
2．对函数零点判断的两点说明
(1)当函数同时满足：
①函数的图象在闭区间上是连续曲线； 最新K12教育
教案试题 ②则可以判断函数在区间内至少有一个零点.
(2)当函数的图象在闭区间上不是连续曲线或不满足时,函数在区间内可能存在零点,也可能不存在零点.
【交流展示】
1．函数 的图象与 轴的交点坐标及其零点分别是
A.2；2 B.(2，0)；2 C.-2；-2 D.(-2，0)；-2
2．函数 的零点是
A.±3 B.(3，0)和(-3，0) C.3 D.-3
3．若函数 在区间 ， 上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
A.若 ，则不存在实数 ， 使得
B.若 ，则存在且只存在一个实数 ， 使得
C.若 ，则有可能存在实数 ， 使得
D.若 ，则有可能不存在实数 ， 使得
4．设函数
的零点为 ，则 所在区间是
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
5．函数 的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数 的限值范围是 .
6．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 的取值范围.
【学习小结】 最新K12教育
教案试题 1．求函数零点的两种方法
(1)代数法：求相应方程的实数根.
(2)几何法：对于方程的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通过将方程的根转化为函数的图象与轴交点的横坐标问题.
2．判断函数存在零点的三种方法
(1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法：由得在同一坐标系内作出
和的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,由
即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数在区间上是单调函数,则函数在区间内只有一个零点.
【当堂检测】
1．若函数 有一个零点为2，那么函数 的零点是
A. ，
B. ，
C.0，2 D. ，
2．函数 有零点的区间是
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(1，2) D.(2，3) 最新K12教育
教案试题 3．函数
的零点的个数是 .
4．函数 的两个零点是2和3，求函数 的零点.
5．若函数 没有零点，求实数 取值范围.
3.1.1方程的根与函数的零点
详细答案
课前预习 · 预习案
【自主学习】
1．2个不等实根 2个等根 2 1 0,
Δ＝0 Δ＜0
2．x
3．交点 零点
4．(1)①连续不断 ②＜ 最新K12教育
教案试题 (2)零点 f(c)＝0
【预习评价】
1．B
2．A
3．D
4．1,－2,3
5．3
6．1
知识拓展 · 探究案
【合作探究】
1．不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.
2．(1)不一定.如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点,但f(2)·f(－2)＞0.
(2)不一定.可能有f(a)·f(b)≥0.
(3)函数y＝f(x)在区间(a,b)内单调.
【交流展示】
1．B
2．A
3．C
4．B
5．
6．m的取值范围为
，
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教案试题 【当堂检测】
1．A
2．C
3．2
【解析】由y＝1nx：与 ＝
的图象如图，可知有两个交点.
4．由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.由－6x2－5x－1＝0，得
，
.
所以函数g(x)的零点是
，
.
5．由题意令 ＝｜ － ，函数 ＝｜ － 的图象如图.
函数f(x)没有零点，即直线y＝a与函数 ＝｜ － 的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0.故a的取值范围为(－∞，0).
