北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.1 指数函数的概念》示范课课件_27

1 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

实例――→了解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异――→理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义――→掌握解决相应的实际问题

重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．

难点：三种增长函数模型的应用．

一、比较函数增长的差异

探究1

分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

例1 下列所给函数，增长最快的是( )．

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝log5x D．y＝5x

探究2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．

例2 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 „

y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 „

y2 1 8 27 64 125 216 343 512 „

y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 „

其中关于x成指数函数变化的函数是__________．

比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．

二、比较大小问题 2 探究3

比较下列各组数的大小：

(1)3423，2334；(2)0.32，log20.3,20.3.

1 正切函数的诱导公式

整体设计

教学分析

正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.

我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.

我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函数的诱导公式.

教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学生的内在潜能得以挖掘;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦.

必修1 第一章 集合

§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集

第二章 函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射

§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5

简单的幂函数

课题学习 个人所得税的计算

第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数 和 的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数

4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

第四章 函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解

§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例

必修2

第一章 立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习 正方体截面的形状

第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3

两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式

§3指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和

性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．

知识点一指数函数

思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分

裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系

式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，

无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须

位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1

不是指数函数．

知识点二指数函数的图像和性质

思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点

作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：a>10

图像

性质(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1(4)当x>0时，y>1；

x<0时，00时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的增函数(5)是R上的减函数

1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)

2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)

3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)

类型一求指数函数的解析式

例1已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．