北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》优质课教案_31

1 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

实例――→了解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异――→理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义――→掌握解决相应的实际问题

重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．

难点：三种增长函数模型的应用．

一、比较函数增长的差异

探究1

分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

例1 下列所给函数，增长最快的是( )．

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝log5x D．y＝5x

探究2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．

例2 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 „

y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 „

y2 1 8 27 64 125 216 343 512 „

y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 „

其中关于x成指数函数变化的函数是__________．

比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．

二、比较大小问题 2 探究3

比较下列各组数的大小：

(1)3423，2334；(2)0.32，log20.3,20.3.

§3指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和

性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．

知识点一指数函数

思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分

裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系

式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，

无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须

位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1

不是指数函数．

知识点二指数函数的图像和性质

思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点

作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：a>10

图像

性质(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1(4)当x>0时，y>1；

x<0时，00时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的增函数(5)是R上的减函数

1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)

2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)

3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)

类型一求指数函数的解析式

例1已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

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高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集；N或N表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM；或者aM；两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合.

③描述法：{x|x具有的性质}；其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称 记号 意义 性质 示意图

子集 BA

（或)AB A中的任一元素都属于B (1)AA

(2)A

(3)若BA且BC；则A(B)或BA

2 / 9 （7）已知集合A有(1)nn个元素；则它有2n个子集；它有21n个真子集；它有21n个非空子集；它有22n非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集 AC

(4)若BA且BA；则AB

真子集 AB

（或BA） BA；且B中至少有一元素不属于A （1）A（A为非空子集）

(2)若AB且BC；则AC BA

集合

相等 AB A中的任一元素都属于B；B中的任一元素都属于A (1)AB

(2)BA A(B)

名称 记号 意义 性质 示意图

交集 AB {|,xxA且}xB （1）AAA

（2）A

（3）ABA

ABB

BA

并集 AB {|,xxA或}xB （1）AAA

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．

知识点一 同类函数增长特点

思考 同样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？

答案 23－22＝4,103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900.

梳理 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．

当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．

当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．

知识点二 指数函数、幂函数、对数函数的增长差异

思考 当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lgx的纵坐标增长了多少？

答案 210－21＝1024－2＝1022,102－12＝99，lg10－lg1＝1，即同样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lgx的纵坐标分别增加了1022,99和1.

梳理 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)与对数函数y＝logax(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax1，n>0)．

1．先有实际问题，后有模型．( √ )

2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √ )

3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．( × )

4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．( × )