3.1一元一次方程及其解法

第3章 一次方程与方程组

3．1 一元一次方程及其解法

第1课时 一元一次方程

教学目标

1．使学生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解．

2．使学生初步了解方程的一般步骤，体会用方程解决问题的优越性．

教学重难点

【重点】方程、一元一次方程、方程的解的概念；以实际问题形成方程的模型、列方程．

【难点】列方程解决实际问题．

教学过程

一、问题展示，引入新课

师：同学们，上新课之前，我们先一起来看这一道题：

一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地．A，B两地间的路程是多少？

师：请同学们用算术方法解决这个问题．

学生独立思考后，与大家交流，老师再做简单讲解．

师：如果设A、B两地相距x km，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？

匀速运动中，时间＝路程速度.根据问题的条件，客车和卡车从A地到B地的行驶时间，可以分别表示为x70h和x60h．因为客车比卡车早1 h经过B地，所以x70比x60小1，即x60－x70＝1①

我们已经知道，方程是含有未知数的等式．等式①中的x是未知数，这个等式是一个方程．

(教学过程中对学生的回答，及时给予鼓励和表扬，激发他们对数学的兴趣)

师：以后我们将学习如何解方程求出未知数x，从而得出A，B两地间的路程为420 km，同学们，与算术方法相比较，用方程来解决问题具有什么特点？

学生相互交流，说出自己对方程的感受．

教师引出方程的概念．

含有未知数的等式叫做方程．

二、例题讲解

师：下面我们再来一起做几个例题．

【例】 根据下列问题，设未知数并列出方程：

(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

(2)一台计算机已使用1 700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450小时． 【答案】 (1)设正方形的边长为x cm，列方程得4x＝24.

(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时，那么在x月里这台计算机使用了150x小时，列方程得1 700＋150x＝2 450.

教师总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．

师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．那么如何从实际问题中列出方程呢？请同学们总结出列方程的一般步骤．

(学生互相讨论，交流合作)

师：列方程解应用题的一般步骤：

实际问题――→设未知数、列方程一元一次方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学知识解决实际问题的一种方法．

师：当x＝6时，4x的值为多少？

生：24.

师：也就是说x＝6是方程4x＝24的解．

师总结：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未值数的值，这个值就是方程的解．

三、巩固练习

1．已知下列方程：(1)3x－2＝6；(2)x－1＝1x；(3)x2＋1.5x＝8；(4)3x2－4x＝10；(5)x＝0

(6)5x－6y＝8；(7)2x＝3.其中是一元一次方程的是________(填序号)．

2．下列数中，是方程5x－3＝x＋1的解的是( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

(学生思考，教师提问．)

【答案】 1.(1)(3)(5) 2.C

四、课堂小结

这一节课你获得了哪些知识？有什么感受？

(教师引导学生一起回顾这节课所学知识，鼓励学生用自己的语言进行回答)

第2课时 等式的性质

教学目标

1．理解等式的基本性质．

2．会根据等式的基本性质解方程． 教学重难点

【重点】等式的基本性质．

【难点】用等式的基本性质解方程．

教学过程

一、温故知新

师：同学们，你们知道什么叫方程吗？方程的解呢？那么什么又是等式？学生回答，教师点评．

二、讲授新课

1．合作探究．

师：像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2等都是等式．通过下面的实验，我们一起来探究等式的一些性质，同学们看，这是一台天平，请仔细观察实验过程．

请同学们用语言叙述这个实验过程．

生：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．

师：这位同学回答得完全正确．如果我们把天平看成是等式，那么又会得到什么结论呢？

小组讨论，合作交流．

师：总结得出等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，结果仍是等式．

师：请同学们继续观察下面的实验．

请同学们用语言表达出这个实验过程．

生：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，如果把两边小球和砝码的数量都变成原来的3倍，那么天平仍平衡．

师：与上面一样，如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？

小组讨论，合作交流．

师：我们可以得出等式的性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．

性质3 如果a＝b，那么b＝a.(对称性)

例如，由－4＝x，得x＝－4.

性质4 如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性)

例如，如果x＝3，又y＝x，所以y＝3.

在解题的过程中，根据等式的这一性质，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．

三、例题讲解

【例】 利用等式的性质解下列方程：

(1)x＋7＝26；(2)－13x－5＝4.

分析 要使方程x＋7＝26转化为x＝a的形式，要去掉方程左边的7，因此两边要同时减7，你会类似地思考另外一个方程如何转化为x＝a的形式吗？

【答案】 (1)两边同时减7，得x＋7－7＝26－7，于是x＝19.

(2)两边同时加5，得－13x－5＋5＝4＋5，化简，得－13x＝9.两边同乘－3，得x＝－27.

四、巩固练习

1．下列等式的变形正确的是( )

A．若m＝n，则m＋2a＝n＋2a

B．若x＝y，则x＋a＝y－a C．若x＝y，则xm＝ym，xm＝ym

D．若(k2＋1)a＝－2(k2＋1)，则a＝2

2．利用等式的基本性质解方程：

(1)10x－3＝9；(2)5x－2＝8；(3)23x－1＝5.

【答案】 1.A 2.(1)x＝1.2 (2)x＝2 (3)x＝9

五、课堂小结

本节课主要学习了哪些知识？你在探索新知的过程中得到哪些启示？与同伴交流．

第3课时 解一元一次方程——合并同类项与移项(1)

教学目标

理解合并同类项法则，会用合并同类项法则解一元一次方程，并在此基础上

探索一元一次方程的一般解法．

教学重难点

【重点】合并同类项法则的探索及应用．

【难点】合并同类项法则的理解和灵活运用．

教学过程

一、问题展示，引入新课

某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

师：设前年购买计算机x台，那么去年购买

计算机多少台？

生：2x.

师：今年购买计算机多少台？

生：4x.

师：题目中的等量关系是什么？

师生共同分析，列出方程：x＋2x＋4x＝140.

用框图表示出解这个方程的具体过程：

二、例题讲解

【例】 解下列方程：

(1)2x－52x＝6－8； (2)7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.

【答案】 (1)合并同类项，得－12x＝－2.

系数化为1，得x＝4.

(2)合并同类项，得6x＝－78.

系数化为1，得x＝－13.

三、巩固练习

解下列方程：

1．3x＋4x－2x＝18－7.

2.12y－23y＋y＝23×6－1.

【答案】 1.x＝115 2.y＝185

四、课堂小结

这节课你学习了哪些知识？获得了哪些经验？

第4课时 解一元一次方程——合并同类项与移项(2)

教学目标

使学生掌握移项的概念，并用移项解方程．

教学重难点

【重点】移项法则的探索及其应用．

【难点】对移项法则的理解和灵活应用．

教学过程

一、新课引入

师：新课开始之前，我们先来看这样一个问题．

问题展示：

【例1】 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

问题分析：

教师：设这个班有x名学生，如果每人分3本，这批书共________本．

生：(3x＋20)本．

师：每人分4本，这批书共________本． 生：(4x－25)本．

师：这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？

学生分组讨论，合作探究，教师总结．

师：我们可以列出方程 3x＋20＝4x－25

师：我们可以利用等式的性质解这个方程，得3x－4x＝－25－20.

师：请同学们仔细观察上面的变形，你发现了什么？

学生分组合作、讨论，教师总结．

师：上面的变形，相当于把原方程左边的20移到右边变成－20，把4x从右边移到左边变成－4x.即时引出移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

教师即时总结并强调移项要变号．

【例2】 解下列方程：

(1)3x＋7＝32－2x；(2)x－3＝32x＋1.

【答案】 (1)移项，得3x＋2x＝32－7.

合并同类项，得5x＝25.

系数化为1，得x＝5.

(2)移项，得x－32x＝1＋3.

合并同类项，得－12x＝4.

系数化为1，得x＝－8.

二、巩固练习

解下列方程：

1．4x－20－x＝6x－5－x. 2.32y＋1＝21y－3y－13. 3.2|x|－1＝3－|x|.

【答案】 1.x＝－152 2.y＝－1 3.x＝－43或43

三、课堂小结

学习了移项法则后，你认为用逆运算的方法和用移项的方法解方程哪个更简便？对于解一元一次方程，你有了哪些新的领悟？

第5课时 解一元一次方程——去括号与去分母(1)

教学目标

掌握解含有括号的一元一次方程的方法，能用多种方法灵活地解一元一次方程．