二次函数图像与性质(共计4课时)
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《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们:大家好!今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》,这是九年级下册第26章的内容。
下面我将围绕本节课“教什么?”、“怎样教?”、“为什么这样教?”三个问题,从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析:1、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲,二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用,它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面,本节课是对一次函数有关内容的推广,为后面进一步学习二次函数的性质打下基础;另一方面,二次函数解析式中的系数由常数转变为参数,使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识,能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征,我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标:理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用,能熟练地对二次函数的一般式进行配方,会对图像进行平移变换,领会研究二次函数图像的方法,培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力;第二个层面是过程和方法:让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程,使学生掌握类比、化归等数学思想方法,养成即能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯;第三个层面是情感、态度和价值观:在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响,利用二次函数图像平移的特例分析过程,培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换,关键是二次函数顶点式中k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析:数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科,在教学中,我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力,还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习,感受数学学科的人文思想,感受数学的自然美。
专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)【学习目标】1.理解二次函数的概念,能用待定系数法确定二次函数的解析式;2.会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图像,并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念;3.掌握二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2(a≠0)的图像及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图像,如图,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y=x2的顶点是图像的最低点.因为抛物线y =x2有最低点,所以函数y=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图像时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确.特别说明:二次函数y=ax2(a≠0)的图像.用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图像,该图像是轴对称图形,对称轴是y轴.y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数,把y =ax2(a≠0)的图像左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像.画草图时应抓住以下几点:1)开口方向,2)对称轴,3)顶点,4)与x轴的交点,5)与y轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质,见下表:特别说明:顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.│a│相同,抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,│a│越小,开口越大, 图像两边越靠近x轴.【典型例题】类型一、作出二次函数2y ax=的图像1.画函数212y x=-的图像.举一反三:【变式1】2.画出二次函数y=x2的图象.【变式2】3.画出二次函数y=﹣x2的图象.类型二、二次函数2y ax 的参数值4.如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是 y =ax 2; y =bx 2; y =cx 2; y =dx 2.则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____.举一反三: 【变式1】5.如图,已知点A (-4,8)和点B (2,n )在抛物线y=ax2上.求a 的值及点B 的坐标.【变式2】6.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a 1,a 2,a 3,a 4的大小关系是_____.(请用“>”连接排序)类型三、二次函数2y ax =的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标7.函数y=ax 2(a≠0)与直线y=2x -3的图象交于点(1,b ). 求:(1)a 和b 的值;(2)求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标; (3)作y=ax 2的草图. 举一反三: 【变式】8.已知函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求m 的值.(2)当m 为何值时,该函数图像的开口向下? (3)当m 为何值时,该函数有最小值,最小值是多少? 类型四、二次函数2y ax =的增减性9.已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值;(2)k 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.当x 为何值时,y 的值随x 值的增大而增大?(3)k 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?当x 为何值时,y 的值随x 值的增大而减小? 举一反三: 【变式1】10.已知24(2)k k y k x +-=+ 是二次函数,且函数图象有最高点.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴,并说明当x 为何值时,y 随x 的增大而减少. 【变式2】11.已知函数y =(k ﹣2)245k k x -+是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的k 的值;(2)当k 为何值时,抛物线有最高点?求出这个最高点,这时,x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)当k 为何值时,函数有最小值?最小值是多少?这时,当x 为何值时,y 与x 的增大而减小?类型五、二次函数2y ax =的综合应用12.如图,梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上,且////AB CD x 轴.A 点坐标为(a,-4),C 点坐标为(3,b ).(1)求a ,b 的值; (2)求B ,D 两点的坐标; (3)求梯形的面积. 举一反三: 【变式1】13.在平面直角坐标系中,若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ,其中a c >,点O 为原点,求ABO ∆的面积.【变式2】14.抛物线y=ax2(a>0 )上有A 、B两点,A、B两点的横坐标分别为-1,2.求a为何值时, AOB为直角三角形.参考答案:1.见解析【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可.【详解】解:列表:描点、连线如下图所示:【点睛】本题考查了二次函数的画法,做题的关键是列出表格、描点、连线即可.2.图像见解析.【分析】建立平面直角坐标系,然后利用五点法作出大致函数图象即可.【详解】函数y=x2的图象如图所示:【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法,五点法作图是常用的方法,要熟练掌握并灵活运用.3.见解析【分析】首先列表,再根据描点法,可得函数的图象.【详解】列表:描点:以表格中对应的数值作为点的坐标,在直角坐标系中描出;连线:用平滑的线顺次连接,如图:【点睛】本题考查了二次函数图象,正确在坐标系中描出各点是解题的关键.4.a>b>d>c【分析】设x=1,函数值分别等于二次项系数,根据图象,比较各对应点纵坐标的大小.【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a),(1,b),(1,d),(1,c),所以,a>b>d>c.故答案为:a>b>d>c.【点睛】本题考查了二次函数的图象,采用了取特殊点的方法,比较字母系数的大小.5.a=1, B(2,2)2【详解】试题分析:先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式;再B点坐标代入二次函数解析式,即可求出n的值,从而确定点B的坐标.解:把点A(-4,8)代入y=ax2,得:16a=8a=12y=1x2.2x2得:再把点B(2,n)代入y=12n=2.B(2,2).6.a1>a2>a3>a4【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案.【详解】解:如图所示: y=a1x2的开口小于 y=a2x2的开口,则a1>a2>0,y=a3x2的开口大于 y=a4x2的开口,开口向下,则a4<a3<0,故a1>a2>a3>a4.故答案是:a1>a2>a3>a4.【点睛】考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键.7.(1)a=b=-1(2)y轴,(0,0)(3)图像见解析【详解】试题分析:(1)把点(1,b)代入y=2x-3中解得b的值,再把(1,b)代入y=ax2,中可解得a的值;(2)由(1)中所求得的a的值,可得y=ax2的解析式,从而可确定抛物线y=ax2的开口方向,对称轴和顶点坐标;(3)根据(2)中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.试题解析:(1)把(1,b)代入直线y=2x-3中,得b=2-3=-1,把点(1,-1)代入y=ax 2中,得a=-1; (2) 在y=-x 2中,a=-1<0, 抛物线开口向下;抛物线y=ax 2的对称轴为y 轴,顶点坐标为(0,0); (3)作函数y=ax 2的草图如下:8.(1)m 1=−4,m 2=1;(2)当m =−4时,该函数图象的开口向下;(3)当m =1时,函数为24y x =,该函数有最小值,最小值为0.【分析】(1)根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题. (2)运用当二次项系数小于0时,抛物线开口向下;(3)运用当二次项系数大于0时,抛物线开口向上,图象有最低点,函数有最小值; 【详解】解:(1) 函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数,m 2+3m−2=2,m +3≠0, 解得:m 1=−4,m 2=1; (2) 函数图象的开口向下, m +3<0, m <−3,当m =−4时,该函数图象的开口向下; (3) m =−4或1,当m +3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值, m >−3, m =−4或1,当m =1时,函数为24y x =,该函数有最小值,最小值为0.【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题;牢固掌握定义及其性质是解题的关键.9.(1)k=±2; (2) 见解析; (3)见解析.【分析】(1)直接利用二次函数定义得出符合题意的k 的值;(2)抛物线有最低点,所以开口向上,k+1大于0,再根据(1)中k 的值即可确定满足条件的值,再根据二次函数性质,即可得最低点的坐标和函数的单调区间;(3)函数有最大值,可得抛物线的开口向下,k+1小于0,再根据(1)中k 的值即可确定满足条件的值,然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间.【详解】(1) 根据二次函数的定义得 22210k k ⎧-=⎨+≠⎩ 解得k=±2. 当k=±2时,原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点,可得抛物线的开口向上,k+1>0,即k >-1,根据第(1)问得:k=2.该抛物线的解析式为2y 3x =, 抛物线的顶点为(0,0),当x >0时,y 随x 的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值,可得抛物线的开口向下,k+1<0,即k <-1,根据第(1)问得:k=-2.该抛物线的解析式为2y x =-,顶点坐标为(0,0),当k=-2时,函数有最大值为0. 当x >0时,y 随x 的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义,正确掌握二次函数的性质是解题关键,是基础题型.10.(1)k=﹣3;(2)当k=﹣3时,y=﹣x2顶点坐标(0,0),对称轴为y 轴,当x >0时,y 随x 的增大而减少.【详解】试题分析:(1)根据二次函数的定义得出k 2+k ﹣4=2,再利用函数图象有最高点,得出k +2<0,即可得出k 的值;(2)利用(1)中k 的值得出二次函数的解析式,利用形如y =ax 2(a ≠0)的二次函数顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴即可得出答案.试题解析:解:(1) 24(2)k k y k x +-=+是二次函数, k 2+k ﹣4=2且k +2≠0,解得k =﹣3或k =2. 函数有最高点, 抛物线的开口向下, k +2<0,解得k <﹣2, k =﹣3;(2)当k =﹣3时,二次函数为y =﹣x 2,顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴,当x >0时,y 随x 的增大而减少.11.(1)1213k k =,=;(2)k =1,最高点为(0,0),当x <0时,y 随x 的增大而增大;(3)k =3,最小值为0,当x <0时,y 随x 的增大而减小.【分析】(1)由于函数是二次函数,所以x 的次数为2,且系数不为0,即可求得满足条件的k 的值;(2)抛物线有最高点,所以开口向下,系数小于0,再根据(1)中k 的值即可确定满足条件的值,再根据二次函数性质即可知函数的单调区间;(3)函数有最小值,则开口向上,然后根据二次函数性质可求得最小值,即可知函数单调区间.【详解】解:(1) 函数y =(k ﹣2)245kk x -+是关于x 的二次函数,k 满足2452k k +﹣=,且k ﹣2≠0,解得:1213k k =,=;(2) 抛物线有最高点,图象开口向下,即k ﹣2<0,结合(1)所得,k =1,最高点为(0,0),当x <0时,y 随x 的增大而增大.(3) 函数有最小值,图象开口向上,即k ﹣2>0,k =3,最小值为0,当x <0时,y 随x 的增大而减小.【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质;解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式,用待定系数法求解析式,熟练掌握二次函数图像的性质.12.(1)2a =-,9b =-;(2)(2,4)-B ,(3,9)D --;(3)25.【分析】(1)把点A ,点C 坐标分别代入解析式,即可求出a ,b 的值;(2)由B 与A 的纵坐标相等,D 与C 的纵坐标相等,由对称关系,即可求出B ,D 的坐标;(3)分别求出AB ,CD 和梯形的高,即可得到答案.【详解】解:(1)当4y =-时,24a -=-,2a =±.点A 在第三象限,2a =-.当3x =时,9y =-,9b =-.(2) ////AB CD x 轴,A 点与B 点,C 点与D 点的纵坐标相同.2y x =-关于y 轴对称,(2,4)-B ,(3,9)D --.(3)由题意,得AB 4CD 6==,,梯形的高为5, 1(46)5252ABCD S =⨯+⨯=梯形. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.13.34. 【分析】首先求得两个交点的坐标,然后求得直线1y x =+与y 轴的交点坐标,再根据三角形的面积公式即可得出答案.【详解】解:由题意得:221y x y x ⎧=⎨=+⎩解得:12x =-或1x = 点(,)A a b 和点(,)B c d ,其中a c >(1,2)A ,11(,)22B - 直线1y x =+与y 轴的交点坐标为:(0,1) 11131112224ABO S ∆=⨯⨯+⨯⨯=. 【点睛】考查了二次函数的性质,解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标.141【分析】先求出AB两点坐标,再根据 AOB为直角三角形,根据勾股定理分情况列出含a 的方程进行求解.【详解】 x=-1, y=a,x=2, y=4a,A(-1,a),B(2,4a)当AB为斜边时,AB2=AO2+BO2,即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=12,a=a>当BO为斜边时,OB2=AB2+AO2,得a=±1,a>0, a=1,AO2=1+a2<9+9a2= AB2,AO2=1+a2<4+16a2= OB2AO不是斜边,1.【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.。
课时NO: 主备人: 审核人 用案时间: 年 月 日 星期 教学课题 5.2 二次函数的图像和性质(1) 教学目标1.能用描点法画函数y =x 2图像.2.能画y =-x 2图像,并说出它与y =x 2图像的共同特征. 教学重点 1.能用描点法画函数y =x 2图像.2.能作出函数y =-x 2图像,并说出它与y =x 2图像的共同特征. 教学难点 能作出函数y =-x 2图像,并说出它与y =x 2图像的共同特.教学方法教具准备教 学 过 程个案补充一.情景创设1.画函数图像步骤?——列表、描点、连线. 2.研究函数性质方法?——数形结合. 3.猜想二次函数图像是怎样的? 二.探究交流 活动1.想一想.根据二次函数y =x ²表达式,你能描述它的图像有什么特征吗?画一画.在平面直角坐标系中,用描点法画出二次函数y =x ²的图像. 思考:列表选取哪些点?为什么?画一画.x... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y =x ² ...41149...类似地,在平面直角坐标系中,画出二次函数y=-x²的图像.x ...-3 -2 -1 0 1 2 3 ...y=-x²...-9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...议一议.函数y=x²的图像与函数y=-x²的图像有什么共同特征?(小组交流)抛物线:二次函数y=x²、y=-x²的图像都关于y轴对称的曲线,称为抛物线.顶点:抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.课时NO: 主备人: 审核人 用案时间: 年 月 日 星期 教学课题 5.2 二次函数的图像和性质(2)教学目标 1.能归纳总结y =ax ²(a ≠0)的图像性质;2.体会用类比方法研究数学问题,实现“探索——经验——运用”的思维过程. 教学重点 归纳总结y =ax ²(a ≠0)的图像性质. 教学难点 获得利用图像研究函数性质的经验.教学方法教具准备教 学 过 程 个案补充一.情景创设画一画.请在坐标系中画出函数y x 21=2和y x 2=2、y x -21=2和y x -2=2图像.想一想.这四个图像各有什么特征?归纳.二次函数y =ax ²的图像是一条抛物线,抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴.当a >0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点. 当a <0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.1.观察y=ax²的图像,你还能发现什么?2.如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降?归纳:(1)a>0时,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大;当x=0时,y的值最小,最小值是0.(2)a<0时,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y的值最大,最大值是0.例1.说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值.(1)y=-3x²;(2)y=0.6x²;(3)y=0.75x²;(4)y=-100x².例2.已知函数2=-是二次函数且其图像开口向下,(1)m my m x+(1)求m的值和函数解析式.(2)x在什么范围内,y随x的增大而增大;y随x的增大而减小.。
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像;2. 掌握二次函数的求解方法,包括顶点式、标准式和一般式;3. 能够运用二次函数解决实际问题,提高数学应用能力;4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义:函数f(x) = ax^2 + bx + c(a≠0);二次函数的图像:开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点:开口方向、顶点、对称轴;性质:单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式:f(x) = a(x h)^2 + k;标准式:f(x) = ax^2 + bx + c;一般式:ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题;应用二次函数解决物理问题;应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合;二次函数与方程组的结合;二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入:回顾一次函数和指数函数的相关知识,为二次函数的学习打下基础;2. 知识讲解:分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法;3. 案例分析:分析实际问题,引导学生运用二次函数解决实际问题;4. 课堂练习:布置练习题,巩固所学知识;四、教学评价1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况;2. 练习完成情况:检查学生完成练习题的情况,巩固所学知识;3. 课后作业:布置课后作业,检查学生对知识的掌握程度;4. 小组讨论:评估学生在小组讨论中的表现,培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件:展示二次函数的相关概念、性质、图像等;2. 练习题:提供不同难度的练习题,巩固所学知识;3. 实际问题案例:提供与生活相关的实际问题,引导学生运用二次函数解决;4. 教学视频:讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析:通过分析具体案例,让学生了解二次函数在实际问题中的应用;2. 数形结合:利用图形展示二次函数的性质,加深学生对二次函数的理解;3. 小组讨论:鼓励学生进行小组讨论,培养团队合作精神和沟通能力;4. 分层教学:针对不同学生的学习水平,给予相应的指导和辅导;5. 激励评价:及时给予学生鼓励和评价,提高学生的学习积极性。
课 题: §5.1二次函数教学目标:1.掌握二次函数2222m ))(+=+==++=x a y k ax y ax y k m x a y (、、与的图像的位置关系;2、会用配方法确定二次函数c bx ax y ++=2图象的顶点坐标、对称轴和函数的最值,会用列表描点法画函数k m x a y ++=2)(的图象.教学重点:通过配方法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象、确定其开口方向、顶点坐标、对称轴以及函数的最值问题教学难点:用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴教学程序设计:一、 情境创设上节课,我们发现了 2ax y =与 k ax y +=2, 2)(m x a y +=的图象之间的关系,那么你认为形如k m x a y ++=2)(的图象会是什么呢?形如 c bx ax y ++=2的图易用又是什么呢?它们有什么性质?生2:补充回答设计意图:展示上节课的探究内容,让学生进入这个数学活动,意图是引领学生从点坐标的数量变化、图形的位置变化着手,用运动变化的观点来分析解决问题二、探索活动抛物线2)1(2--=x y 的性质3.讨论c bx ax y ++=2的图象性质师生活动设计: 师:展示同一坐标系中 2x y =与21)(+=x y 212++=)(x y 的图象,出示这个问题。
生:思考并解决。
活动一:探索二次函数 k m x a y ++=2)(的图象和性质。
1. 在直角坐标系把2x y =的图象沿X 轴左向移动1个单位,再沿y 轴向上移动2 个单位,画出这条新的抛物线。
2. 写出这条抛物线的解析式。
3. 抛物线2)1(2++=x y 的性质。
活动二:探索c bx ax y ++=2的图象及其性质。
1.讨论322++=x x y 的图象及性质。
2.运用配方法,找一找c bx ax y ++=2的顶点坐标公式和对称轴。
生10:补充或纠正回答生7:(增减性方面)设计意图:活动一中:学生已有左加右减上加下减的平移规律,知道平移前后仅仅是顶点和对称轴的位置变化,容易归纳出形如k m x a y ++=2)(的图象性质。