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空间向量和立体几何的思维导图
空间向量和立体几何的思维导图：
空间向量（space vector）是一个数学名词，是指空间中具有大小和方向的量。
向量的大小叫做向量的长度或模(modulus)。
长度为0的向量叫做零向量，记为0。
.模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a。
方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。
一般作为平面几何的后续课程。
立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔，瓶盖等等。
毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。
尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
立体几何中向量知识点总结一、向量的概念向量是几何研究的一个基本概念。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示其大小，箭头的方向表示其方向。
在立体几何中，向量用来描述空间中的位移、速度、力和加速度等物理量。
向量既可以用几何的方法表示，也可以用代数的方法表示。
在数学上，向量是一个笛卡尔积的元素，是由一个起点和一个终点组成的有向线段，可以用其终点的坐标减去其起点的坐标得到。
例如，设A、B是平面上的两点，以这两点为起点和终点的有向线段a（即箭头）就是以点A为起点，点B为终点的有向线段，而以这两点为起点和终点的有向线段b就是以点B为起点，点A为终点的有向线段。
两有向线段a和b所表示的量，虽然线段的长度相等，但方向是相反的。
这两个向量的长度（或模）是相等的，表示它们的大小（或大小）相等。
但是，这两个有向线段之间不能互相等价，于是有向线段的不等价性是它们的有向性所决定的。
二、向量的表示在直角坐标系中，一个向量可以用坐标表示。
如果一个向量a的终点坐标是(x1, y1, z1)，起点坐标是(x0, y0, z0)，则用两点表示该向量为：a = (x1-x0,y1-y0,z1-z0)如果有向直线L通过两个不同的起终点坐标A(x0, y0, z0)和B(x1, y1, z1)，则可以用向量AB表示这条有向线段，即：AB = (x1-x0,y1-y0,z1-z0)若直角坐标系中两点A(x0, y0, z0)与B(x1, y1, z1)之间的向量AB可以表示为a = (x1-x0,y1-y0,z1-z0)则称向量a是点A到点B的位移向量，通常简记为向量AB。
点A称为向量a的起点，记作A= a_；点B称为向量a的终点，记作B＝a＋a_ 。
a的起点到终点的位移向量（或矢量）仍记作AB，即AB＝a。
我们在平面直角坐标系中规定一个正方向，就是一个单位长度的向量，我们记作i。
同样，我们在平面直角坐标系中的另一个正方向，第二个单位长度的向量记作j。
平面向量与立体几何一、引言平面向量和立体几何都是高中数学中的重要内容，涉及了二维和三维空间中的运算和几何性质。
平面向量用来描述平面中的点和方向，而立体几何则研究了空间中的点、线和面之间的关系。
本文将介绍平面向量和立体几何的基本概念、性质和运用。
二、平面向量基础知识1. 定义和表示平面向量是有大小和方向的量，可以表示平面中的位移或方向。
平面向量通常用有向线段表示，记作AB→或a→，其中A和B表示向量的起点和终点。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是以它们为邻边的平行四边形的对角线。
向量的减法可以看作加上负向量，即a-b=a+(-b)。
数量乘法是将向量的大小与一个实数相乘，改变向量的长度但保持方向不变。
3. 向量的坐标表示平面向量可以用坐标来表示，通常采用平行于坐标轴的分量表示。
例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁是向量在x轴上的投影，a₂是向量在y轴上的投影。
三、平面向量的运算1. 向量的数量积向量的数量积（又称点积或内积）表示了两个向量之间的夹角和长度之间的关系。
数量积定义为两个向量的模的乘积再乘以它们之间夹角的余弦值。
2. 向量的叉积向量的叉积（又称矢积或外积）表示了两个向量之间的垂直性和面积之间的关系。
叉积的结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
四、立体几何概念1. 空间点、线、面立体几何研究了空间中的点、线和面之间的关系。
空间点是没有大小和方向的，可以用坐标表示。
空间线是由两个点确定的直线，可以用参数方程或两点式方程表示。
空间面是由三个非共线的点确定的平面，可以用点法式方程表示。
2. 平行和垂直关系在立体几何中，平行和垂直是常用的关系。
两条直线平行，意味着它们在同一平面内，且不会相交。
两个平面平行，意味着它们没有交线。
两条直线垂直，意味着它们的夹角为90度。
平面向量与空间向量重要概念解析向量是数学中常见的概念，它在平面几何和空间几何中都扮演着重要的角色。
本文将对平面向量和空间向量的概念进行解析，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、平面向量的概念解析平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
平面向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
平面向量有两个重要的性质，即大小和方向。
平面向量的大小可以用模长来表示，通常用两个坐标差的平方和的开方来计算。
设向量AB的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)平面向量的方向可以用角度或方向角来表示。
与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角。
方向角的计算可以通过与x轴的夹角的三角函数比值来得到。
如果向量AB的方向角为α，则有：tanα = (y2 - y1) / (x2 - x1)平面向量的加法、减法和数量乘法等运算规则也是平面向量的重要性质。
向量的加法按照平行四边形法则进行，向量的减法可以通过加上负向量来实现，向量的数量乘法是将向量的模长与一个标量相乘。
二、空间向量的概念解析空间向量是指在空间中具有大小和方向的量。
与平面向量相比，空间向量多了一个维度，即在三维空间中进行描述。
空间向量通常用符号表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
空间向量也有大小和方向两个重要的性质。
空间向量的大小可以用模长来表示，计算公式同平面向量。
设向量AB的坐标为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则向量AB的模长记作||AB||，计算公式为：||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)空间向量的方向可以用方向角来表示。
与x轴的正向之间的夹角称为向量的方向角，与xOy平面的法线向量之间的夹角称为倾斜角。
空间向量的方向可以通过方向角和倾斜角来确定。
立体几何之空间向量法【知识要点】1. 利用空间向量证明平行问题的方法(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行．(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两个平面的法向量平行即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(2)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.2. 利用空间向量证明垂直问题的方法(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直．(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两个平面的法向量垂直即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.(3)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.3. (1)夹角计算公式①两条异面直线的夹角若两条异面直线a 和b 的方向向量分别为n 1，n 2，两条异面直线a 和b 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|.②直线与平面所成的角若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线a 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·n |a ||n |.③二面角设n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，其中cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|. (2)距离公式①点点距离：点与点的距离，是以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距离：点M 到直线a 的距离，设直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M到直线a 的距离d ＝|MN |sin 〈MN ，a 〉； ③线线距离：两条平行线间的距离，转化为点线距离；两条异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距离：点M 到平面α的距离，如平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN ||cos 〈MN ，n 〉|＝||||MN n n ； ⑤线面距离：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；⑥面面距离：两平行平面间的距离，转化为点面距离．4. (1)用空间向量解决立体几何问题的步骤及注意事项①建立空间直角坐标系，要写理由，坐标轴两两垂直要证明；②准确求出相关点的坐标(特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析)，坐标求错将前功尽弃；③求平面法向量或直线的方向向量；④根据向量运算法则，求出问题的结果．(2)利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行繁杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．一、真题试做1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )．A ．55B ．53C ．255D ．352．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是__________．3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．二、热点例析热点一利用空间向量证明平行问题【例１】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.变式训练1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC ，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：＝90°，且AB＝AA(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.热点二利用空间向量证明垂直问题【例２】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.变式训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．热点三利用空间向量求角和距离【例３】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.B1所成角的余弦值；(1)求异面直线AC与A(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．变式训练3 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的 高．热点四 用向量法解决探索性问题【例４】如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P －AC －D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．变式训练4 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD＝2；E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EFG ；(2)求异面直线EG 与BD 所成的角的余弦值； (3)在线段CD 上是否存在一点Q ，使得A 到平面EFQ 的距离为45若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由．三、思想渗透转化与化归思想——利用向量解决空间位置关系及求角问题主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角．【典型例题】如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.图1 图2(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．四、练习巩固 1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若,AB BC BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为( )．A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．4072,4D ．4，407，－15 2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )．A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是( )．A ．26B ．36C ．13D ．664．在四面体PABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为__________．5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是__________．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；(2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．。
高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结一、概述在立体几何中，空间向量是一种重要的数学工具，用于描述空间中的点、线和面之间的关系。
通过对空间向量的研究和应用，可以帮助学生更好地理解和解决立体几何中的各种问题。
本文将总结空间向量与点线面的关系，为高中数学教学备课提供参考。
二、基本概念1. 空间向量空间向量是指在空间中具有大小和方向的矢量，可以表示为AB→，其中A和B为空间中的两个点，→表示方向。
空间向量可以通过坐标表示，一般表示为(a, b, c)或ai + bj + ck，其中a、b、c为实数。
2. 点的坐标在空间中，每个点都可以用坐标表示。
常用的表示方法有直角坐标和向量坐标两种。
直角坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z为实数，分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
向量坐标表示为ai + bj + ck，其中a、b、c为实数，表示该点与坐标原点的空间向量。
3. 向量的相等两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点相同。
即若AB→ = CD→，则A = C且B = D。
4. 向量的共线若两个非零向量的方向相同或相反，则称它们共线。
即若AB→ // CD→，则AB→和CD→共线。
5. 向量的夹角两个非零向量的夹角定义为它们所在直线的夹角。
常用的计算夹角的方法有向量内积法和向量模长法。
三、空间向量与点的关系1. 空间向量的加法若AB→和BC→是空间中的两个向量，那么它们的和可以表示为AB→ + BC→ = AC→。
即通过将向量的终点与起点相连，可以得到一个新的向量。
2. 点的坐标表示某点的坐标等于原点与该点所在的向量的坐标之和。
即若A为某点，且A = O + OA→，则A的坐标为(x, y, z) = (0, 0, 0) + (a, b, c)，即A的坐标为(a, b, c)。
这个性质对于求空间中任意两点之间的距离和中点等问题非常有用。
立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a b a b a b⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别,再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 1线线平行证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2线线垂直证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ⋅=⇔⊥．3线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5面面平行①证明两个平面的法向量平行即是共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题．6面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 1求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅,但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．2求线面角求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ＝| cosφ|．3求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．1点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模．2点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,应体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用,它的特点是用代数方法解决立体几何问题,无需进行繁、难的几何作图和推理论证,起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此,应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a对应的有向线段的起点是A,终点是B,则向量a可以记为AB,其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量,记为0．零向量的方向不确定,是任意的．由于零向量的这一特殊性,在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”． 4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中还要经常用到． 5、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a 与向量b 相等,记为a =b .零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a 的相反向量记为－a 二、共面向量 1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理若两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,使得p =xa yb +;3、空间平面的表达式空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使MP xMA yMB =+或对空间任一定点O,有或OP xOA yOB zOM =++其中1x y z ++=这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理 1、定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在唯一的有序实数组x 、y 、z,使p =xa yb +zc +2、注意以下问题1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．2由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是0;3一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念．由空间向量的基本定理知,若三个向量a 、b 、c 不共面;那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的,所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底;a 、b 、c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 3、向量的坐标表示 1单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用{},,i j k 表示．2空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k 以点O 为原点,分别以i 、j 、k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O －xyz,点O 叫原点,向量i 、j 、k 都叫坐标向量． 3空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量,存在唯一有序数组x,y,z 使a xi y j zk =++,有序数组x,y,z 叫做a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标,记为a =(),,x y z ;对坐标系中任一点A,对应一个向量OA ,则OA =a xi y j zk =++;在单位正交基底i 、j 、k 中与向量OA 对应的有序实数组x,y,z,叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为Ax,y,z. 四、空间向量的运算 1、空间向量的加法三角形法则注意首尾相连、平行四边形法则, 加法的运算律：交换律 a b b a +=+ 结合律()()a b c a b c ++=++2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O,作,OA a OB b ==,则BA a b =-,即从b 的终点指向a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义． 3、空间向量的数乘运算 1定义实数λ与a 的积是一个向量,记为a λ,它的模与方向规定如下： ①a aλλ=⋅② 当0λ>时,a λ与a 同向；当0λ<时,a λ与a 异向；当0λ=时．0a λ=注意：① 关于实数与空间向量的积a λ的理解：我们可以把a 的模扩大当λ>1时,也可以缩小λ< 1 时,同时,我们可以不改变向量a 的方向当0λ>时,也可以改变向量a 的方向当0λ<时; .② 注意实数与向量的积的特殊情况,当0λ=时,0a λ=；当0λ≠,若0a =时,有0a λ=;③ 注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算．比如a λ+,a λ-无法运算; 2实数与空间向量的积满足的运算律 设λ、μ是实数,则有()()a aλμλμ= 结合律()a a a λμλμ+=+ 第一分配律()a b a bλλλ+=+ 第二分配律实数与向量的积也叫数乘向量．4、共线向量 1共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量;若a 与b 是共线向量,则记为a b a b b 0a b a b a =+OP OA ta a AB a=(),(1)OP OA t AB OP OA t OB OA t OA tOB=+∴=+-=-+12t =1122OP OA OB =+AB λ111OP OA OB λλλ=+++11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 12PP =222z y x |OP |++=→→→→><b a b ,a 与为性质若→→b a 、是非零向量,→e 是与→b 方向相同的单位向量,θ是→→e a 与的夹角,则 1θcos |a |e a a e →→→→→=⋅=⋅ 20b a b a =⋅⇔⊥→→→→3若→→b a 与同向,则|b ||a |b a →→→→⋅=⋅； 若→→b a 与反向,则|b ||a |b a →→→→⋅-=⋅；特别地：→→→→→→⋅==⋅a a |a ||a |a a 2或4若θ为|b ||a |ba cosb a →→→→→→⋅⋅=θ的夹角，则、5|b ||a ||b a |→→→→≤⋅2. 运算律 1结合律)b a (b )a (→→→→⋅=⋅λλ 2交换律→→→→⋅=⋅a b b a3分配律→→→→→→→⋅+⋅=+⋅c a b a )c b (a不满足消去律和结合律即：典型例题例1. 已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 、PD,点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心;求证：E 、F 、G 、H 四点共面; 证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点,顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形,且有 ∵MNQR 为平行四边形,则∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面;例2. 如图所示,在平行六面体'D 'C 'B 'A ABCD -中,→=→a AB ,→=→b AD ,→=→c AA ,P 是CA'的中点,M 是CD'的中点,N 是C'D'的中点,点Q 是CA'上的点,且CQ ：QA'=4：1,用基底}c b a {→→→，，表示以下向量： 1→AP ；2→AM ；3→AN ；4→AQ ;解：连结AC 、AD'1)c b a (21)'AA AD AB (21)'AA AC (21AP →+→+→=→+→+→=→+→=→；2→+→+→=→+→+→=→+→=→c21b a 21)'AA AD 2AB (21)AD AC (21AM ；3)'AD AC (21AN →+→=→4)AC 'AA (54AC CQ AC AQ →-→+→=→+→=→点评：本例是空间向量基本定理的推论的应用．此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量．并用它们表示出指定的向量,是用向量解决几何问题的一项基本功．例3. 已知空间四边形OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC;M 、N 分别是OA 、BC 的中点,G 是MN 的中点;求证：OG ⊥BC;证明：连结ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ又设→=→a OA ,→=→b OB ,→=→c OC ,则|c ||b ||a |→=→=→;又)ON OM (21OG →+→=→∴)b c ()c b a (41BC OG →-→⋅→+→+→=→⋅→∴OG ⊥BC例4. 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5; 1求以→→AC AB 和为邻边的平行四边形面积；2若3|a |=→,且→→→AC AB a 、分别与垂直,求向量→a 的坐标;解：1由题中条件可知∴23AC AB sin >=→→<， ∴以→→AC AB 、为邻边的平行四边形面积：2设），，（z y x a =→由题意得解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===1z 1y 1x 1z 1y 1x 或∴），，＝（）或，，（111a 111a ---→=→第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行或共线的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面．1若有直线l , 点A 是直线l 上一点,向量a 是l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,则对于直线l 上任意一点P,一定存在实数t,使得AP t AB =,这样,点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置,还可具体表示出l 上的任意点．2空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ,P 为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对x ,y ,使得OP =xa yb +,这样,点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它们是共线向量．2、在空间中,给定一个点A 和一个向量a ,那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的． 三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ,则有l 1⇔1u 2u ⇔1u 2u 1v 2v ⇔1v 2v ⇔1v 2v u v ⇔u v ⇔u v (,,)n x y z =111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a b a b ()a kbk R =∈a αn //l α⊥a n 0⋅=a n2根据线面平行的判定定理：“如果直线平面外与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．3根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3、面面平行1由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2若能求出平面α、β的法向量u 、v ,则要证明αu v a b a b 0a b ⋅=a u a u ////,//a a b b /a /b02πθ<≤a b ϕcos |cos |a b a bθϕ⋅==⋅02πθ≤≤a u a u ϕsin |cos |cos sin a u a uθϕθϕ⋅===⋅或[0,]πl αβ--AB CD 1n 2n l αβ--1n 2n BO BA =cos cos BA BO ABOABO BO⋅⋅∠∠=nAB n BO n⋅=n n n=0d AB n =⋅nCD n d AB n⋅==设→→b a 、分别是直线l 1、l 2的方向向量,根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系; 1→a =2,3,－1,→b =－6,－9,3； 2→a =5,0,2,→b =0,4,0；3→a =－2,1,4,→b =6,3,3解：1∵），，（132a -=→,→b =－6,－9,3∴→→-=b31a ,∴→→b //a ,∴l 1→a →b 0b a =⋅→→→→⊥b a =→a →b →→b a 与设→→v u 、分别是平面α、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系：1→u =1,－1,2,→v =3,2,21-；2→u =0,3,0,→v =0,－5,0；3→u =2,－3,4,→v =4,－2,1;解：1∵→u =1,－1,2,→v =3,2,21-∴0v u =⋅→→ →→⊥∴v u∴α⊥β2∵→u =0,3,0,→v =0,－5,0∴βα//v//u v53u ∴∴-=→→→→3∵→u =2,－3,4,→v =4,－2,1∴→→v u 与既不共线、也不垂直,∴α与β相交点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件;例3. 已知点A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,求平面ABC 的一个单位法向量; 解：由于A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,∴→AB =－3,4,0,→AC =－3,0,5设平面ABC 的法向量为→n x,y,z则有0AC n 0AB n =→⋅→=→⋅→且即⎩⎨⎧=+-=+-0z 5x 30y 4x 3 取z=1,得35x =,45y =于是→n =14535，，,又12769|n |=→∴平面α的单位法向量是)769127691576920(n ，，=→例4. 若直线l 的方向向量是→a =1,2,2,平面α的法向量是→n =－1,3,0,试求直线l 与平面α所成角的余弦值;分析：如图所示,直线l 与平面α所成的角就是直线l 与它在平面内的射影所成的角,即∠ABO,而在Rt △ABO 中,∠ABO=-2π∠BAO,又∠BAO 可以看作是直线l 与平面α的垂线所成的锐角,这样∠BAO 就与直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n 的夹角建立了联系,故可借助向量的运算求出∠BAO,从而求出∠ABO,得到直线与平面所成的角; 解：∵→a =1,2,2,,→n =－1,3,0∴3|a |=→,10|n |=→,5n a =⋅→→∴610|n ||a |na n ,a cos =⋅⋅>=<→→→→→→若设直线l 与平面α所成的角是θ则有><=→→n ,a sin cos θ∵610n ,a cos >=<→→ ∴626n ,a sin >=<→→因此626cos =θ,即直线l 与平面α所成角的余弦值等于626;例5. 如图a 所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别是C C 1、11C B 的中点;求证：1MN BD A 1C D B //BD A 111平面1DD 21211A →MN 2121BD A 1→n 0DB n 0DA n 1=⋅=⋅→→→→且⎩⎨⎧=+=+0y x 0z x 1y -=1z -=→∴n →→⋅n MN 2121→⊥→n MN BDA 1→=→-→=→-→=→-→=→111111111DA 21)D D A D (21C C 21B C 21M C N C MN →→1DA //MN BD A //MN 1平面→-→=→M C N C MN 11→-→=D D 21A D 21111→→→DB DA MN 1与可用→→→DB DA MN 1、与→MN BD A 1→n →m→→n //m 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点;求证：A 1O ⊥平面GBD;证明：设→=→→=→→=→c A A b D A a B A 11111，，,则 而)b a (21c )AD AB (21A A AO A A O A 111→+→+→=→+→+→=→+→=→∴)a b ()b 21a 21c (BD O A 1→-→⋅→+→+→=→⋅→同理0OG O A 1=→⋅→∴BD O A 1⊥,OG O A 1⊥又O OG BD = ,∴⊥O A 1面GBD; 例7. 2004年天津如图a 所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点;1证明：PA 2a 2a 2a 2a →PA →EG 2a 2a -→=→EG 2PA ⊂⊄2a →FE 2a →FB 2a →DC 0FB FE =→⋅→0DC FE =→⋅→55a 252a |FB ||FE |==→→=55正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是11D A 、11C A 的中点,求：1异面直线AE 与CF 所成角的余弦值；2二面角C —AE —F 的余弦值的大小; 解：不妨设正方体棱长为2,分别取DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则A2,0,0,C0,2,0,E1,0,2,F1,1,21由→AE =－1,0,2,→CF =1,－1,2,得5|AE |=→,6|CF |=→∴→⋅→CF AE =－1＋0＋4=3 又>→→<>=→→<⋅→⋅→=→⋅→CF ,AE cos 30CF ,AE cos |CF ||AE |CF AE∴1030CF ,AE cos >=→→<,∴所求值为10302∵→EF =0,1,0 ∴→⋅→EF AE =－1,0,2·0,1,0=0∴AE ⊥EF,过C 作CM ⊥AE 于M则二面角C —AE —F 的大小等于>→→<MC ,EF∵M 在AE 上,∴→=→AE m AM 设则→AM =－m,0,2m,→-→=→AM AC MC =－2,2,0－－m,0,2m=m －2,2,－2m∵MC ⊥AE ∴→⋅→AE MC =m －2,2,－2m ·－1,0,2=0∴52m =,∴)54,2,58(MC --=→,556|MC |=→ ∴→⋅→MC EF =0,1,0·58-,2,54-=0＋2＋0=2又>→→<>=→→<⋅→⋅→=→⋅→MC ,EF cos 556MC ,EF cos |MC ||EF |MC EF∴35MC ,EF cos >=→→< ∴二面角C —AE —F 的余弦值的大小为35例9. 已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,H 是EF 与AC 的交点,CG ⊥面ABCD,且CG=2;求BD 到面EFG 的距离;分析：因BD//平面EFG,故O 到面EFG 与BD 到面EFG 距离相等,证明OM 垂直于面EFG 即可;解：如图所示,分别以CD 、CB 、CG 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系; 易证BD//面EFG,设BD AC =O,EF ⊥面CGH,O 到面EFG 的距离等于BD 到面EFG 的距离,过O 作OM ⊥HG 于M,易证OM ⊥面EFG,可知OM 为所求距离;另易知H3,3,0,G0,0,2,O2,2,0;设→=→GH GM λ,→GH =3,3,－2则)22,23,23()2,2,2()2,3,3(GO GM OM +---=---=→-→=→λλλλ 又0GH OM =→⋅→,∴0)22(2)23(3)23(3=---+-λλλ∴118=λ,∴)116,112,112(OM =→ ∴11112)116()112(2|OM |22=+⨯=→即BD 到平面EFG 的距离等于11112励志故事习惯父子俩住山上,每天都要赶牛车下山卖柴;老父较有经验,坐镇驾车,山路崎岖,弯道特多,儿子眼神较好,总是在要转弯时提醒道：“爹,转弯啦”有一次父亲因病没有下山,儿子一人驾车;到了弯道,牛怎么也不肯转弯,儿子用尽各种方法,下车又推又拉,用青草诱之,牛一动不动;到底是怎么回事 儿子百思不得其解;最后只有一个办法了,他左右看看无人,贴近牛的耳朵大声叫道：“爹,转弯啦”牛应声而动;牛用条件反射的方式活着,而人则以习惯生活;一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯,当好的习惯积累多了,自然会有一个好的人生;。
空间几何中的向量与平面向量和平面是空间几何中的重要概念，它们在解决几何问题和物理问题时起着重要作用。
本文将分析向量和平面的性质及运算规则，并通过实例讨论它们在几何中的应用。
一、向量的定义与性质向量是空间中具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量主要有以下两种表示方法：1. 点表示法：以有向线段AB表示向量，箭头方向指向B，长度表示向量大小；2. 分量表示法：将向量沿坐标轴分解为三个有序实数(a, b, c)，分别表示向量在x、y、z轴上的投影。
向量具有以下性质：1. 平行向量：具有相同或相反方向的向量，记作⃗AB // ⃗CD；2. 相等向量：具有相同大小和方向的向量，记作⃗AB = ⃗CD；3. 零向量：大小为零的向量，任何向量与零向量相加得到自身，记作⃗0；4. 负向量：大小相等，方向相反的向量，记作⃗AB = -⃗BA；5. 共线向量：在同一直线上的向量，其方向相同或相反。
二、向量运算规则1. 向量加法：两个向量之和等于它们对应分量相加，即⃗AB+ ⃗AC = ⃗CB。
2. 向量减法：两个向量之差等于它们对应分量相减，即⃗AB - ⃗AC = ⃗CB。
3. 数乘：向量与实数相乘，即k⃗AB = ⃗CB，其中k为实数。
三、平面的定义与性质平面是空间中由无限多条直线构成的一个二维对象。
常用π表示平面。
平面可以由以下三种表示方法：1. 点法式：平面上一点M在平面上的投影向量⃗n与平面法向量⃗a 垂直，可表示为⃗n·⃗a = 0；2. 法线式：已知平面法向量⃗n和平面上一点A，可表示为⃗n·⃗AP = 0，其中⃗AP为平面上一点A的向量；3. 一般式：已知平面系数A、B、C和平面上一点A，可表示为Ax + By + Cz + D = 0。
平面具有以下性质：1. 平行平面：法向量平行或共线的平面称为平行平面；2. 垂直平面：法向量垂直的平面称为垂直平面；3. 直线与平面交点：一条直线与平面相交，存在交点或者与平面平行；4. 两平面夹角：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
A B CA 1B 1C 1 第十七讲： 平面图形 立体图形 空间向量【知识要点】<一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明;3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线a ⊥直线b 时.可以这样考虑(1),运用定义证明直线a 与b 所成的角为090; (2),运用三垂线定理或其逆定理;(3),运用“若a ⊥平面α,b α⊂,则a b ⊥”; (4),运用“若//b c 且a c ⊥,则a b ⊥”;(5),建立空间直角坐标系,证明0a b ⋅= .例1如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC =,连接1AB ,1BC ,1CA ,若11AB BC ⊥,求证:11AB CA ⊥【解析】设D,1D 分别为AB,11A B 的中点.连结CD,11C D 及1BD ,1DA .因为11//BD D A ,所以四边形11BD A D 为平行四边形,得1BD //1DA .因AC=BC,于是1111B C C A =.又D,1D 分别为AB,11A B 的中点,故CD ⊥AB,11C D ⊥11A B ,而1AB 在平面ABC(或111A B C )内的射影为AB(或11A B ),得1AB ⊥CD,1AB ⊥11C D ,又已知1AB ⊥1BC ,所以1AB ⊥平面B 11C D ,从而1AB ⊥1BD ,又1BD //1DA ,所以1AB ⊥1DA .又1AB ⊥11C D ,得1AB ⊥平面1A CD,从而得证.<二>,空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1),(平移法)过P 作'//a a ,'//b b ,则'a 与'b 的夹角就是a 与b 的夹角;(2),证明a b ⊥(或//a b ),则a 与b 的夹角为090(或00);(3),求a 与b 所成的角([0,]θπ∈),再化为异面直线a 与b 所成的角((0,2πα∈). 2,求直线与平面所成的角(1),(定义法)若直线a 在平面α内的射影是直线b ,则a 与b 的夹角就是a 与α的夹角;(2),证明a α⊥(或//a α),则a 与α的夹角为090(或00); (3)求a 与α的法向量n 所成的角θ,则a 与α所成的角为090θ-或090θ-.3,求二面角(1),(直接计算)在二面角AB αβ--的半平面α内任取一点P AB ∉,过P 作AB 的垂线,交AB 于C,再过P 作β的垂线,垂足为D,连结CD,则CD AB ⊥,故PCD ∠为所求的二面角.(2),(面积射影定理)设二面角AB αβ--的大小为θ(090θ≠),平面α内一个平面图形F 的面积为1S ,F 在β内的射影图形的面积为2S ,则21cos S S θ=±.(当θ为钝角时取“-”). (3),(异面直线上两点的距离公式):22222cos EF d m n mn θ=++-,其中θ是二面角 AB αβ--的平面角,EA 在半平面α内且EA AB ⊥于点A,BF 在半平面β内且FB ⊥ AB 于B,而AB d =,EA m =,FB n =.(4),(三面角的余弦定理),三面角S ABC -中,BSC α∠=,CSA β∠=,ASB γ∠=,又二面角 B SA C θ--=,则cos cos cos cos sin sin αβγθβγ-=. (5),(法向量法)平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n 所成的角为θ,则所求的二面角为 θ(同类)或πθ-(异类).4,求两点A,B 间距离(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求AB .5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离.6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体积法)转化为求一个棱锥的高3V h S=,其中V 为棱锥体积,S 为底面面积,h 为底面上的高.(4),在平面上取一点A,求AP 与平面的法向量n 的夹角的余弦cos θ,则点P 到平面 的距离为cos d AP θ=⋅ .7,求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线,a b 在同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线l ,则a 与b 的距离等于P 到l 的距离; (6)(公式法)22222cos d EF m n mn θ=--±.8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.例2正四面体的内切球和外接球的半径之比为PA,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9【解析】B 设棱长为a ,外接球的半径为R,内切球的半径为r ,则222))R R -=-解得R =,r ==,有r :R=1:3. 例3三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是1【解析】A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为1r =.例4正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ,则异面直线C 'D 与BD 间的距离等于【解析】3a 设E 是'CD 上的点,过E 作EH DC ⊥于H,所以EH ⊥面ABCD,过H 在面ABCD 内作HF BD ⊥,连接EF,所以EF ⊥BD,令DH x =,HE a x =-,2FH x =,所以EF===≥. 例5正四棱锥S ABCD -中,045ASB ∠=,二面角A SB C --为θ且cos m θ=,(m , n 为整数),则m n += .【解析】5 因各侧面为全等的等腰三角形.在SAB ∆内作高AE,则CE 也是SBC ∆的高,故 AEC θ∠=.设1SA =则AE CE ==,0452sin 2AB BC ==,222AC AB BC =+=020458sin 4(1cos 45)42=-=-.222cos 32AE CE AC AE CE θ+-==-⋅,得385m n +=-+=.例6在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面 ADE ∆的周长最小时,ADE S ∆= ,P 到截面ADE 的距离为2a; 将三棱锥的侧棱PA 剪开,当ADE ∆的周长最小时,其展开图如图ADE ∆的周长即是展开图中线段'AA 的长.易证ABD ∆∽PAB ∆,又PA=2AB=2a ,故2AD AB BD a ===,A B C D E F O 32PD PB BD a =-=,34PD DE BC a PB =⋅=.ADE ∆中, DE上的高AH ==.于是212ADE S AH DE a ∆=⨯⨯; 从P 向底面作高PO.则PO==3a =.于是231312P ABC V a -==. 又22916PDE PBC S PD S PB ∆∆==,得339916161264A PDE A PBC V V a --==⨯=.设P 到截面的距离为d ,则313A PDE P ADE ADE V V d S --∆==⋅=,于是d =. 例7 空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于 . 【解析】611设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为r ,则O 在四面体ABCD 内且AO=BO=3+r ,CO=DO=2+r .取AB 中点E,连结CE,DE,则CE ⊥AB,DE ⊥AB,故平面CDE 为线段AB 的垂直平分面α,所以O 在平面CDE 内,又由OC=OD=2+r 知O 在CD 的垂直平分面β内,故O在等腰CED ∆底边CD 上的高EF 上(F 为CD 中点),易算出4=,得ECD∆为等边三角形.于是EF==.而OF====代入OE+OF=解得611r =.<三>,多面体与旋转体1,柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积S c l =⋅侧(c 为直截面周长,l 为侧棱或母线长)(2)体积V Sh =(S 为底面积,h 为高) 2,锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积'12S c h =⋅侧(c 为底面周长,'h 为斜高)(2)圆锥的侧面积:S rl π=侧A (r 为底面周长,l 为母线长)(3)锥体的体积:13V Sh =(S 为底面面积,h 为高). 3,锥体的平行于底面的截面性质:23111123,S h V h S h V h ==. 4,球的表面积:24S R π=; 球的体积:343V R π=. 例8 由曲线24x y =,24x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足2216x y +≤,22(2)4x y +-≥,22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为2V ,则A,1212V = B,1223V V = C,12V V = D,122V V = 【解析】C 设(0,)(0)A a a >,则过A 的两个截面都是圆环,面积分别是222(4)(44)x a ππ-=-和 222222212(){(4)[2(2)]}(44)x x a a a πππ-=----=-,于是12V V =.例9 如右图,底面半径1r =,被过A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心率为,若圆柱母线截后最短处1AB =,则截面以下部分的几何体体积是 A,32π B,2π C,πD,(12π+ 【解析】B 在椭圆中1b r ==,又2c a=,得a =,所求的体积22111(12)22V πππ=⋅⋅+⋅⋅=例10 在四面体ABCD 中,设1AB =,CD =,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为3π,则四 面体ABCD 的体积等于B,12 C,13【解析】B 过C 作//CE AB ,以CDE ∆为底面,BC 为侧棱作棱柱ABF ECD -,则所求四面体的体积1V 等于上述棱柱体积2V 的13,而CDE ∆的面积1sin 2S CE CD ECD =⨯⨯∠,AB 与A B AB CD M K N S CD 的公垂线MN 就是棱柱ABF ECD -的高,于是21sin 2V MN CE CD ECD =⨯⨯⨯∠= 132122⨯⨯=,因此121132V V ==. 例11 四面体ABCD 的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为123456,,,,,M M M M M M ,共10个点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是A,57 B,710 C,2435 D,4770【解析】D 441064106631414727070C C C ---== 例12 三个1212⨯的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 .【解析】864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为3122例13 直三棱柱111A B C ABC -中,平面1A BC⊥平面11ABB A ,且AC1,则AC 与平面1A BC 所成的角θ的取值范围是 .【解析】00030θ<< 作AD ⊥1A B 于D,易证AD⊥平面1A BC ,所以ACD θ∠=.设1AA a =,AB x =,则sin AD θ==⋅,故22223sin 13sin a x θθ=-.易证BC ⊥平面11A ABB ,故090CBA ∠=,从而A B A C <,即x <,于是22223sin 0313sin a a θθ≤<-,1sin 2θ<,又00090θ<<,得00030θ<<. 例14如图,设S ABCD -是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥, K 是棱SC 的中点,过AK 作平面与线段SB,SD 分别交于M,N(M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥S AMKN -的体积V 的最大值与最小值.【解析】为了建立V 与原四棱锥S ABCD -的关系.我们先引用下面的事实:(如图)设111,,A B C 分别在三棱锥S ABC -的侧棱SA,SB,SC 上,又111S A B C -与S ABC -的体积分别是1V 和V,则1111V SA SB SC V SA SB SC ⋅⋅=⋅⋅.事实上,设C,1C 在平面SAB 的射影分别是H,1H .则111C H SC CH SC =,又1111SA B SAB S SA SB S SA SB ∆∆⋅=⋅,所以11111111133SA B SAB C H S V SA SB SC V SA SB SC CH S ∆∆⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅.下面回到原题.设SM x SB =,SN y SD =,因S ABCD -的体积为2013243V =⨯⨯=.于是由上面的事实有012S AMN S KMN S AMK S ANK S ABD S CBD S ABC S ADC V V V V V V V V V V --------=+=+.得2V SM SN SA SM SN SK SB SD SA SB SD SC ⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅=SM SK SA SN SK SA SB SC SA SD SC SA ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=111222xy xy x y +=+,于是31x y x =-,而由0131x y x <=≤-,1x ≤,得112x ≤≤.则31x V x y x x =+=+-,(112x ≤≤).又得'2213(32)1(31)(31)x x V x x -=-=--.所以(1)当1223x ≤<时,'0V <,V 为减函数, (2)当213x <≤时,'0V >,V 为增函数.所以得min 2343x V V ===,又11232x x V V ====,得max 11232x x V V V =====. 例15 有一个m n p ⨯⨯的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +⨯+⨯+的长方体盒子, 其中,,m n p 均为正整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值.【解析】由题意,2(2)(2)(2)mnp m n p =+++,得222(1)(1)(1)2m n p+++=. (1)当8m ≥时,由m n p ≤≤,则32222(1)(1)(1)(1)28m n p +++≤+<,矛盾! (2)当2m ≤时,222(1)(1)(1)2m n p+++>,矛盾! (3)当3m =时,则65(2)(2)np n p =++,即(10)(10)120n p --=.所以p 的最大值为130;(4)当4m =时,则43(2)(2)np n p =++,即(6)(6)48n p --=.所以p 的最大值为54;(5)当5m ≥时,222(1)2222(1)(1)(1)(1)55p m n +=>++++,得98p <. 综上所述:p 的最大值为130.。
