命题角度4.2+空间位置关系证明与线面角求解

DBA C α空间中的夹角福建屏南一中 李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。

解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。

根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。

如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。

通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。

2.利用平行线与截线的交角性质。

当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。

根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。

思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。

通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。

如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。

通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。

2.利用投影线段的长度比例。

当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。

通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。

思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。

以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。

如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。

通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。

2.利用绕轴旋转。

空间向量线面角的计算公式在我们学习数学的旅程中，空间向量线面角可是个挺有趣但又有点小挑战的家伙。

今天咱们就来好好唠唠它的计算公式。

先来说说啥是空间向量线面角。

想象一下，有一根线在一个平面上晃悠，这根线和平面之间形成的那个角度，就是线面角啦。

那怎么算出这个角度呢？这就得靠咱们的计算公式啦。

咱们设直线的方向向量为\(\vec{m}\)，平面的法向量为\(\vec{n}\)，线面角为\(\theta\)，那么线面角的正弦值就等于\(\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert\)。

这里的\(\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\)表示两个向量的夹角。

我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这咋就得出这个公式的呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”然后我就拿了根铅笔当作直线，拿个本子当作平面，给他比划着解释。

咱们来具体分析分析这个公式哈。

首先，为啥要用正弦值来表示线面角呢？这是因为在计算过程中，通过向量的点乘运算，我们能得到两个向量夹角的余弦值。

但是这个夹角和线面角并不是一回事儿，它们之间有个关系，就是线面角的正弦值等于两个向量夹角余弦值的绝对值。

比如说，有一道题，已知直线的方向向量是\((1,2,3)\)，平面的法向量是\((4,5,6)\)，那咱们就先算这两个向量的点乘，\(1×4 + 2×5 + 3×6 = 32\)。

然后分别算出两个向量的模，直线方向向量的模是\(\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}=\sqrt{14}\)，平面法向量的模是\(\sqrt{4^2 + 5^2 +6^2}=\sqrt{77}\)。

那两个向量夹角的余弦值就是\(\frac{32}{\sqrt{14}×\sqrt{77}}\)，而线面角的正弦值就是\(\vert\frac{32}{\sqrt{14}×\sqrt{77}}\vert\)。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。

在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。

下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。

一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。

具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。

然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。

简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。

二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。

它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。

具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。

然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。

简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。

三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。

具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。

然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。

最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。

简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。

四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。

例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。

这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。

总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。

正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。

DBA C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求〞 2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD ∠>∠〕 〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC ∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝〔就是点P 到角两边的距离相等〕过P 作PO α⊥〔说明点O 为P 点在面α的射影〕求证：OAN OAM ∠∠＝ 〔OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上〕证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM ∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

求线面角的方法总结一、概述线面角是指一条直线与一个平面的夹角，常见于几何学、物理学等领域。

在实际应用中，求解线面角是非常重要的，因为它可以帮助我们计算出很多物理量，如反射角、折射角等。

本文将详细介绍如何求解线面角的方法。

二、基本概念1. 直线：在平面上无限延伸的一条连续的点。

2. 平面：在空间中无限延伸的一个连续的点集。

3. 线面角：由直线与平面之间所夹成的角度称为线面角。

三、求解方法1. 通过余弦定理求解余弦定理是指三边已知时，可以通过余弦函数来计算出任意一个角度大小。

因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过余弦定理来求解线面角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据余弦定理公式cosθ = a²+b²-c²/2ab来计算出θ。

2. 通过正弦定理求解正弦定理是指在已知一个角度和它对应的两条边的长度时，可以通过正弦函数来计算出另外两个角度的大小。

因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过正弦定理来求解线面角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据正弦定理公式sinα/a = sinβ/b = sinθ/d来计算出θ。

3. 通过向量求解在三维空间中，我们可以用向量来表示一条直线或者一个平面。

因此，在已知直线和平面的向量表达式时，可以通过向量的点积公式来求解它们之间的夹角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的向量表达式L和N；（2）根据向量的点积公式cosθ = L·N/|L||N|来计算出θ。

四、注意事项1. 在使用余弦定理或正弦定理求解时，需要注意单位一致性问题。

通常情况下，我们需要将所有长度单位转换为相同的单位进行计算。

2. 在使用向量求解时，需要注意向量之间的坐标系一致性问题。

如果两个向量不在同一个坐标系中，则需要将它们转换到同一个坐标系中进行计算。

DBAC α空间中的夹角屏南一中 家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路DBA C α空间中的夹角福建屏南一中 李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。