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理论力学知识点总结第1篇xxx体惯性力系的简化：在任意瞬时，xxx体惯性力系向其质心简化为一合力，方向与质心加速度(也就是刚体的加速度)的方向相反，大小等于刚体的质量与加速度的乘积，即。
平面运动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且刚体在质量对称面所在的平面内运动，则刚体惯性力系向质心简化为一个力和一个力偶，这个力的作用线通过该刚体质心，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－3）定轴转动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且转轴垂直于质量对称面，则刚体惯性力系向转轴与质量对称面的交点O简化为一个力和一个力偶，这个力通过O点，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－4）理论力学知识点总结第2篇定点运动刚体的动量矩。
定点运动刚体对固定点O的动量矩定义为：（12－6）其中：分别为刚体上的质量微团的矢径和速度，为刚体的角速度。
当随体参考系的三个轴为惯量主轴时，上式可表示成（12－7）（2）定点刚体的欧拉动力学方程。
应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程（12－8）（3）陀螺近似理论。
绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。
若陀螺绕的自旋角速度为，进动角速度为，为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动力学方程为（12－9）其中是作用在陀螺上的力对O点之矩的矢量和。
理论力学知识点总结第3篇牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即：其中：分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。
将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程（6－2）如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程（6－3）对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。
绪 论理论力学是物理学专业学生必修的一门重要专业基础课，又是后续三大理论物理课程（即：电动力学、热力学与统计物理学、量子力学）的基础。
理论力学虽然讲授经典理论，但其概念、理论及方法不仅是许多后继专业课程的基础，甚至在解决现代科技问题中也能直接发挥作用。
近年来，许多工程专业的研究生常常要求补充理论力学知识以增强解决实际问题能力，因此学习理论力学课程的重要性是显然的。
既然我们将开始学习理论力学这门课程,我们至少应该了解什么是理论力学?一.什么是理论力学?1. 它是经典力学.理论力学是基础力学的后继课程,它从更深更普遍的角度来研究力与机械运动的基本规律。
当然它仍然属于经典力学，这里“经典”的含义本身就意味着该学科是完善和已成定论的,它自成一统,与物理学及其它学科所要探索的主流毫不相干。
正因为如此,原本属于物理学的力学,经过三百多年的发展到达20世纪初就从物理学中分化出来,并与数、理、化、天、地、生一起构成自然科学中的七大基础学科。
由于理论力学它是经典力学，因此它不同与20世纪初发展起来的量子力学，也不同于相对论力学。
它研究的机械运动速度比光速要小得多，它研究的对象是比原子大得多的客观物体。
如果物体的速度很大，可以同光速比拟，或者物体尺度很小如微观粒子，在这种情况下，经典力学的结论就不再成立，失去效用，而必须考虑它的量子效应和相对论效应。
因此，理论力学它有一定的局限性和适用范围，它只适用于c v << h t p t E >>∆⋅⋅)( (h —普朗克常数)的情况，不再适用于高速微观的情况。
经典力学的这一局限性并不奇怪，它完全符合自然科学发展的客观规律……。
从自然科学发展史的角度来看，由于力学是发展得最早的学科之一，这就难免有它的局限性。
因此，在某种意义上来说它确是一门古老而成熟的理论。
尽管理论力学是一门古老而成熟的理论，这并不意味着它是陈旧而无用的理论。
它不管是在今天还是在将来都仍是许多前沿学科不可缺少的基础。
理论力学绪论理论力学：是研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动：物体在空间的位置随时间的改变。
静力学：主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件；同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法。
运动学：只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度、加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学：研究受力物体的运动和作用力之间的关系。
静力学引言静力学是研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的科学。
１．静力学研究的三个问题⑴物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。
⑵力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系。
⑶建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题。
２．基本概念平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
质点：具有质量,而其形状、大小可以不计的物体。
质点系：具有一定联系的若干质点的集合。
刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。
力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
力的三要素：大小、方向和作用线。
力系：是指作用在物体上的一群力。
等效力系：对同一刚体产生相同作用效应的力系。
合力：与某力系等效的力。
平衡力系：对刚体不产生任何作用效应的力系。
共点力系：力的作用线汇交于一点。
平面汇交（共点）力系：力的作用线在同一平面内。
空间汇交（共点）力系：力的作用线不在同一平面内。
力系的分类：按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系；按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系。
第一章静力学公理和物体的受力分析§1-1 静力学公理公理1 力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
理论力学总结知识点1. 牛顿力学牛顿力学是经典力学的基础，主要包括牛顿三定律、万有引力定律和动量定理等内容。
牛顿三定律是牛顿力学的基本定律，它分别描述了物体的运动状态、受力作用和反作用的关系。
动量定理则是描述了力对物体运动状态的影响，通过动量定理可以得到物体的运动规律。
而万有引力定律则描述了质点之间的引力作用，是描述天体运动和行星运动的基础。
2. 哈密顿力学哈密顿力学是经典力学的一种形式，它以哈密顿量为基础，通过哈密顿正则方程描述物体的运动规律。
哈密顿量是描述系统动能和势能的函数，通过对哈密顿量的推导和求解可以得到系统的运动规律。
哈密顿正则方程则是描述了对应于哈密顿量的广义动量和广义坐标的变化规律，通过它可以得到物体的运动轨迹。
3. 拉格朗日力学拉格朗日力学是经典力学的另一种形式，它以拉格朗日函数为基础，描述了物体在一定势场中的运动规律。
拉格朗日函数是描述系统动能和势能的函数，通过对拉格朗日函数的求导和求解可以得到系统的运动规律。
拉格朗日方程则是描述了对应于拉格朗日函数的广义坐标和时间的变化规律，通过它可以得到物体的运动轨迹。
4. 动力学动力学是研究物体在受力作用下的运动规律的一门学科，它主要包括质点动力学、刚体动力学和连续体动力学等内容。
质点动力学是研究质点在受力作用下的运动规律，通过牛顿三定律和动量定理可以得到质点的运动规律。
刚体动力学则是研究刚体在受力作用下的运动规律，它包括刚体的平动和转动运动规律。
而连续体动力学是研究连续体在受力作用下的变形和运动规律，它是弹性力学和流体力学的基础。
5. 卡诺周期卡诺周期是描述热力学循环过程的一个理论模型，它包括等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩和绝热压缩四个基本过程。
在卡诺周期中，工质从高温热源吸热，然后做功，再放热到低温热源，最后再做功回到原始状态。
卡诺周期是理想热机的工作过程，它具有最高的热效率，是实际热机效率的理论上界。
总之，理论力学是研究物体在受力作用下的运动规律的一门基础学科，它包括牛顿力学、哈密顿力学和拉格朗日力学等内容。
转动惯量知识点很重要，在第三章
证明垂直轴定理：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内过垂足的两正交轴的转动惯量之和。
证明：设平面的垂直轴为z 轴，平面内与过垂足且相互正交的两轴分别为x 、y 轴，则根据转动惯量的定义，
平面刚体绕z 轴的转动惯量为： ∑+=i
i i i zz y x m I )(22
平面刚体绕x 轴的转动惯量为：∑∑∑=+=+=i
i i i
i i i
i i i xx y m y m z y m I 2222)0()(
平面刚体绕y 轴的转动惯量为：∑∑∑=+=+=i
i i i
i i i
i i i yy x m x m z x m I 2222)0()(
由以上三式可见： yy xx zz I I I +=
即得垂直轴定理：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内过垂足的两正交轴的转动惯量之和。
大题：拉格朗日
1、质量为m 的小环M ，套在半径为a 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，如圆圈在水平面内以匀角速ω绕圈上某点O 转动，利用拉格朗日方程或哈密顿正则方程求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。
解：A 、拉格朗日方程 （1）平面运动，一个自由度
（2）选广义坐标为θ=q ，广义速度θ =q
（3）因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程：
αα
αQ q T
q T dt d =∂∂-∂∂)( 在011
==⋅=∑=δθδδQ W n
i i i r F ，广义力 01=Q
代入(1)式得：
0)(=∂∂-∂∂α
αq T
q T dt d M (x,y )C a θ
ωt
y
x
O
在极坐标系下：)(2
1222θ r r m T +=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=222
222)()cos 2()cos 2(21dt t d a dt a d m ωθθθ
)cos 4cos 4{2
1222222222θθωωθθ a a a m ++= 故：
θθωωθsin )(2 +-=∂∂ma T 2222cos 2θωθθma ma T +=∂∂
θθωθθ
sin )(22 ma ma T dt d -=∂∂ 将以上名式代入(2)式得 0s i n s i n s i n 2
2
2
2
2
=++-θθωθωθθωθ
ma ma ma ma 0sin 2=+θωθ
B 、哈密顿正则方程 （1）平面运动，一个自由度
（2）选广义坐标为θ=q ，广义速度θ =q
（3）极坐标系下小球的动能为 )(2
1222θ r r m T +=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222)()cos 2()cos 2(21dt t d a dt d m ωθθθ )cos 4cos 4{21222222222θθωωθθ a a a m ++= 根据定义： 2222cos 2θθωθθ
ma ma T p +=∂∂= 得： 2
22
cos 2θθωθ-=m a
p (3)
根据哈密顿函数的定义： V T p L p H +-=-=θθθθ
V a a a m p +++-=)cos 4cos 4{2
1222222222θθωωθ
θθθ
将(3)式代入后得： θωθωθθ22222
2sin 212cos 22ma p ma p H --= (4) 由正则方程得： θθωθωθ
θθc o s s i n s i n 22ma p H
p
--=∂∂-= (5)
2
cos 222
θωθθθ
-=∂∂=ma
p p H (6) (6)式两边对时间 t 求导得： θθωθθ
s i n 2
+=ma
p 将(5)式代入并结合(3)式得
θωθθ
ωθθωθωθθsin sin cos sin sin 22
2
2-=+--= ma ma p 整理得： 0sin 2=+θωθ
2、内壁光滑的管子绕固定点O 在竖直平面内做匀速
转动，管内有一质量为m 的质点只能在沿管方向上自由移动，以图中r 为广义坐标，利用拉格朗日方程或哈密顿正则方程写出质点沿管的运动微分方程。
（注意：说明质点的自由度数）
解：A 、拉格朗日方程 (1) 平面运动，一个自由度
(2) 选广义坐标为r ，广义速度r
(3) 平面极坐标系下小球的动能为：
)(21222θ r r m T +=
)(2
1)(21222222ωθr r m r r m +=+= 势能为： t mgr V ωsin = 所以拉格朗日函数为：t mgr r r m V T L ωωsin )(2
1
222-+=-= 故：
t mg mr r L
ωωsin 2-=∂∂ r m r L
=∂∂
r m r
T
dt d =∂∂)( 代入保守力系的拉格朗日方程：0)(=∂∂-
∂∂r
L
r L dt d 得质点沿管的运动微分方程： r
ωt
O
0sin 2=+-t g r r ωω
或者： 0sin 2=+-t mg mr r
m ωω B 、哈密顿正则方程 （1）平面运动，一个自由度
（2）选广义坐标为 ，广义速度 (3) 平面极坐标系下小球的动能为：
)(21222θ r r
m T +=
)(2
1)(21222222ωθr r m r r m +=+= 势能为： t mgr V ωsin = 所以拉格朗日函数为：t mgr r r m V T L ωωsin )(2
1
222-+=-= 广义动量： r m r
L
p r =∂∂=
哈密顿函数： r
p L H r +-=
2222sin )(21r m t mgr r r m +++-=ωωt mgr r r m ωωsin )(2
1
222+-= t mgr mr m p r ωωsin 2
122
22+-=
所以： t mg mr r H p
r ωωsin 2-=∂∂-= ， m
p p H r r
r =
∂∂= 联立上两式得运动微分方程： 0sin 2=+-t g r r ωω。
