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第一类曲线积分的计算法22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰二、第一类曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化若L 为平面曲线，其参数方程为则曲线的弧微分求曲线积分且有一阶连续偏导数,(),()x t y t dl =22()()x t y t dt''+由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式说明:上述定积分的积分下限必须为保证的非负性,dl 如果方程为极坐标形式:()(),L ρρθαθβ=≤≤则(,)d Lf x y l⎰(()cos ,()sin )f βαρθθρθθ=⎰22()()d ρθρθθ'+22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰不小于积分上限.如果曲线L 的方程为则有(,)d Lf x y l ⎰21()d y x x'+(,())b af x y x =⎰若L 为空间曲线，其参数方程为:(),(),()L x x t y y t z z t ===此时，第一类曲线积分(,,)d Lf x y z l⎰222()()()d x t y t z t t '''++((),(),())f x t y t z t βα=⎰()t αβ≤≤且有一阶连续偏导数,(),(),()x t y t z t dl =222()()()x t y t z t dt'''++则曲线的弧微分若L 由一般方程给出12(,,)0(,,)0x y z x y z ϕϕ=⎧⎨=⎩(,)(,)z g x y z h x y =⎧⎨=⎩或计算曲线积分时，一般先把方程化为参数方程.参数可选为变量中的任意一个.,,x y z例1.计算其中L 是抛物线与点B (1,1) 之间的一段弧.解:)10(:2≤≤=x x y L ⎰=1xxx xd 41102⎰+=1232)41(121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x )155(121-=上点O (0,0)1Lxy2xy =o )1,1(B例2. 计算曲线积分其中Γ为螺旋的一段弧.解:222()d x y z lΓ++⎰tt k a ka d ][2022222⎰++=π)43(3222222k a k a ππ++=线例3. 计算其中L 为双纽线)0()()(222222>-=+a y x a y x 解:在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos 2(0)4L a πρθθ=≤≤利用对称性, 得42204cos ()()d πρθρθρθθ'=+⎰⎰=402d cos 4πθθa yoxθd d =s 例4. 计算其中Γ为球面22y x +解: , 11)(:24122121⎩⎨⎧=+=+-Γz x y x :Γ()πθ20≤≤2)sin 2(θ-2)sin 2(θ+2092d 2I πθ∴=⋅⎰θd 2=θcos 221-=z .1的交线与平面=+z x 292=+z 化为参数方程21cos 2+=θx sin 2θ=y 则18π=。
1. 计算第一型曲线积分:(1)⎰+Lds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。
L=OA+AB+BO ，又OA ：010x x x y =⎧≤≤⎨=⎩ AB ：011x xx y x =⎧≤≤⎨=-⎩BO ：001x y y y =⎧≤≤⎨=⎩ 解：⎰+Lds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO ds y x )( =.212101010+=++⎰⎰⎰dy y dx dx x (2)⎰+L ds y x 2122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为：)22.(sin ,cos πθπθθ≤≤-==R y R x 解：⎰+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθππ=⎰- .(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分表示为:0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-=从而 ⎰L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-⎰=dx x a a x b x a x a b a)(122222220-+-⎰ =⎰+-a dx x ab x a a b 02222222=⎰--a dx x b a a a b 0222242)(2 =)(3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ (4) ⎰L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ;解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而⎰L ds y =4sin sin 20=-⎰⎰πππθθθθd d . (5) ⎰++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;解：⎰++L ds z y x )(222=222222222202)43(32)(b a b a dt b a t b a ++=++⎰πππ. (6) ⎰L xyzds ,其中L 是曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：⎰L xyzds =dt t t t t t 223102121232++⋅⋅⎰ =.143216)1(32102/9=+⋅⎰dt t t (7)ds z y L ⎰+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆.分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆⎩⎨⎧=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2π≤≤===t t a z t ay x 解：ds z y L ⎰+222=.2cos sin 2202222ππa dt t a t a a =+⎰注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。
第一类曲线积分的计算1、定义 定义1 :设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数•对曲 线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i 1,2, ,n)，L j 的弧 长记为s i ，分割T 的细度为T max S j ，在L i 上任取一点(i ,1 i n ni)(i 1,2, ,n).若存在极限 lim f ( i , i ) s iJI T Oi 1且J 的值与分割T 及点(i , i )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L上的第一 型曲线积分，记作Lf(x,y)ds.( 1)定义2:若L 为空间可求长曲线段，f (x,y)为定义在L 上的函数，则可类似地n 定义f (x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分为lim f( i , i , i ) s iJ ，I T Oi 1(此处s i 为L i 的弧长,T max s i , J 为一常数)，并且记作L f (x,y,z)ds.1 i n(2) 2、物理意义(1)设某物体的密度函数f ( P )是定义在上的连续函数•当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。
现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题•首先对作分割，把 分成n 个可求长度的小i曲线段i (i=1，2,…，n)，并在每一个i 上任取一点P 由于f (P )为 上的i连续函数，故当i 的弧长都很小时，每一小段 i 的质量可近似地等于f ( P )i，其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式nf(R) ii 1当对的分割越来越细密时，上述和式的极限就应是该物体的质量 (2)空间曲线L 的重心坐标为(3)曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是2 2J z (x y ) (x, y, z)dlL3、几何意义1)当被积函数为1时，积分的值恰为曲线的长度。
曲柱面的面积 4、性质第一型曲线积分具有下述一些重要性质(1)若 L f i x,y ds i 1,2, ,k 存在，c i i 1,2,k” k LC j f j x,y ds 也存在，且 L C j f j x,y dsi 1i 1(2) 若曲线段L 由曲线L ［丄2, , L k 首尾相接而成，且L i f x,y ds(ik1,2, ,k)都存在，则 L f x,y ds 也存在，且 L f x,y ds L f x,y ds 。
