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第4章平面向量4．1平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa .特别提醒：(1)限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． (2)零向量与任何向量共线． (3)平行向量与起点无关．(4)若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．[诊断自测] 1．概念思辨(1)△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 的中点，则AE →＝14(AC →＋AB →)．( )(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 78A 组T 5)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2)(必修A4P 92A 组T 12)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．小题热身(1)设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.(2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，且a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，则实数λ＝________.答案 13解析 ∵a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，∴存在实数t ，使得b ＝t a ，即－13e 2－e 1＝t (e 1＋λe 2)，－13e 2－e 1＝t e 1＋tλe 2，∴t ＝－1，tλ＝－13，即λ＝13.题型1 平面向量的基本概念 典例判断下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等；(2)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关；(3)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(4)若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； (5)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .根据向量的相关概念判定．解 (1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． (3)正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC . 又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC ，且AB →与DC →方向相同．因此AB →＝DC →.(4)不正确，当b ＝0时，a 与c 可以不共线．(5)不正确，当a ∥b ，但方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b .方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练 下列4个命题：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为________．答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行． (3)不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可能不共线． (4)正确．题型2 平面向量的线性运算典例如图所示，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.12AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →用向量的三角形法则转化．答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 是DC 的中点，所以EC →＝12DC →. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →. 所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA → ＝12AB →－23AD →，故选D. 方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．冲关针对训练(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB ＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13 D.23 答案 D解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.故选D. 题型3 共线向量定理及其应用角度1 解决三点共线问题典例 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.本题用转化法、向量问题实数化．证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵B P →与B A →有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 角度2 利用共线求参数的取值典例(2018·南京模拟)已知如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 相交于P ，连接DP ，并延长交AB 的延长线于点G ，若AP →＝xAE →，BP →＝yBF →，AG →＝zAB →，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.本题需作辅助线．答案 45 25 43解析 如图，过E 作EQ 平行于AB ，交BF 于点Q ，因为E 为BC 的中点，所以EQ 平行于CD ，且EQ ＝12CF ，又因为点F 为CD 的中点，所以QP PB ＝EP P A ＝EQ AB ＝12CFAB ＝14，所以AP →＝45AE →，所以x ＝45.因为点Q 为FB 的中点， 所以BP →＝44＋1＋5BF →＝25BF →，所以y ＝25.因为DF BG ＝FP PB ＝64， 所以BG →＝23DF →＝13AB →， 所以AG →＝43AB →，即z ＝43. 所以x ＝45，y ＝25，z ＝43.角度3 共线定理与三角形的面积典例(2017·沈阳一模)在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足OA →＋OC →＋3OB →＝0，则△AOB 和△AOC 的面积比是( )A ．3∶4B ．3∶2C ．1∶1D ．1∶3本题采用并项法．答案 D解析 根据题意，如图，在△ABC 中，设M 为AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →，又由OA →＋OC →＋3OB →＝0， 则有2OM →＝－3OB →；从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM ＝3BO ； 由2OM ＝3BO 可得，S △AOC S △ABC ＝OM BM ＝35，S △AOB ＋S △BOC ＝25S △ABC ，又由S △AOB ＝S △BOC ，则S △AOB ＝15S △ABC ， 则S △AOB S △AOC ＝13.故选D. 方法技巧1．证明向量共线，对于向量a ，b (b ≠0)，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．见角度1典例．2．证明三点共线，若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．见角度1典例．3．利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决．冲关针对训练1．(2018·长春模拟)e 1，e 2是平面内不共线的两向量，已知AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∴存在实数λ，使得AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝3e 1－e 2－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2， ∴e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)，∵e 1、e 2是平面内不共线的两向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，解得k ＝2.故选B.2．(2017·大观区校级期末)设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足AP →＝AD →＋25BC →，则S △APDS △ABC＝( )A.35B.25C.15D.310 答案 C解析 如图，∵AP →＝AD →＋25BC →，∴AP →－AD →＝DP →＝25BC →， ∴|DP →|＝25|BC →|.∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ， ∴S △APD S △ABC＝12·AD ·DP sin ∠ADP12·AB ·BC sin ∠ABC ＝15，故选C.1．(2017·郴州三模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 答案 A解析 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM → ＝12AB →＋12tBC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →∴λ＝12－t 2，μ＝t 2 ∴λ＋μ＝12.故选A.2．(2018·淮南模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析 设C O →＝yBC →，则AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →， ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0， 故选D.3．(2018·湖北模拟)若M 为△ABC 内一点，AM →＝13AB →＋14AC →，则△ABM 和△ABC 的面积之比为( )A.14B.13C.12D.23 答案 A解析 设AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，连接BM ，则EF ∥AB ，∴S △ABM S △ABC ＝AE AC ＝14.故选A. 4．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 由AO →＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →，所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S△ABD ＝S △ABE ＝12S ▱ABED ， 故S △ABM S △ABC ＝15S △ABE 13S △ABD＝35.故选C. 10．(2018·伊宁市模拟)若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE.∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ；S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ；S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.故选D.二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，所以若a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA→|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23，所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎨⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案 C解析 由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)．由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝1665.故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54 答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.故选B.3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2 3 答案 B解析 由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6，故选B.4．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D 解析因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( )A ．3B ．－3C ．－92 D.92 答案 D解析 由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.6．(2017·龙岩一模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数mn 的值为( )A.16B.14 C ．6 D ．4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0， ∴m n ＝16.故选A.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12 答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝4m 2－8(m 2－1)>0，得－2<m <2，又x A x B ＝m 2－12，x A ＋x B ＝－m ，所以y A y B ＝(x A ＋m )(x B ＋m )＝m 2－12，由AO →·AB →＝AO →·(OB →－OA →)＝－OA →·OB →＋OA →2＝－x A x B －y A y B ＋1＝－m 2＋2＝32，解得m ＝±22.故选C.8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12 答案 D解析 根据新定义，得a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ·a ＝b ·aa ·a＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ·b 和b ·a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，设a ·b ＝n 12，b ·a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ·b )·(b ·a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1，故a ·b ＝n 12＝12.故选D.9．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由c ·a ＝c ·b ＝1，得c＝(1,1)，c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋t (1,0)＋1t (0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1，1＋1t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ＝(t ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＋2≥22，当且仅当t ＝1时等号成立．故选B.10．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．故选A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|a －2b |＝27，则|b |＝________.答案 3解析 因为|a |＝2，|a －2b |＝27，所以(a －2b )2＝28，即4－4a ·b ＋4|b |2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°，所以4－4×2×|b |cos60°＋4|b |2＝28，解得|b |＝3.12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8.∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3.∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8， ∴|b |＝22，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.13．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．答案 [2,5]解析 如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ，则λ∈[0,1]，AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝AB →·AD →＋(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＋λ(λ－1)BC →·CD →＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM →·AN →∈[2,5]．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案 311解析 由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 三、解答题15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2 平面向量基本定理及坐标表示学案文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2 平面向量基本定理及坐标表示学案文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4．2 平面向量基本定理及坐标表示[知识梳理］1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝（x1,y1），b＝(x2，y2），则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2），a－b＝(x1－x，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1），｜a｜＝错误!,｜a＋b|＝错误!。
23．平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1)，b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.［诊断自测]1．概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．（)(3）设a,b是平面内的一组基底，若实数λ1,μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2。
（)(4）若a＝(x1，y1），b＝（x2，y2）,则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN→＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎨⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →，所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE＝12S ▱ABED ，故S △ABM S △ABC＝15S △ABE 13S △ABD＝35.故选C. 10．(2018·伊宁市模拟)若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE.∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0， ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ； S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE . ∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. 故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，所以若a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN→＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →，所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝12S ▱ABED ， 故S △ABM S △ABC ＝15S△ABE 13S △ABD＝35.故选C. 10．(2018·伊宁市模拟)若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE .∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0， ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ； S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. 故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，所以若a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA→|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎨⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。
4．3平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b |a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．(2)对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.(3)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝b·c(b≠0)，则a ＝c不一定成立．例如a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c.(4)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(6)a·b中的“·”不能省略．[诊断自测]1．概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．()(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(4)在△ABC中，A B→·B C→＝|A B→|·|B C→|cos B.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A4 P 108T 3)已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( )A ．12B ．6C ．3 3D ．3 答案 B解析 a ·b ＝－122＝|a ||b |cos135°， 解得|b |＝6.故选B.(2)(必修A4 P 104例1)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos120°＝－2. 3．小题热身(1)(2017·包头质检)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.(2)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2, |b |＝1，则|a ＋2b |＝________.答案 2 3解析 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4＝12.所以|a ＋2b |＝2 3.题型1 平面向量数量积的运算角度1 求数量积典例已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118本题可采用向量基底法、坐标法．答案 B解析 解法一：如图，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12BA →＋32DE →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BA →＋34AC →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BA →＋34BC →－34BA →·BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－54BA →＋34BC →·BC →＝－54BA →·BC →＋34BC →2＝－54×1×1×cos60°＋34×12＝18.故选B. 解法二：建立平面直角坐标系，如图．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC→＝(1,0)． 易知DE ＝12AC ，则EF ＝14AC ＝14，因为∠FEC ＝60°，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538， 所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1,0)＝18.故选B.方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1．利用定义．2．利用向量的坐标运算．如典例．冲关针对训练1．若菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 答案 C解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.故选C.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.答案 2解析 解法一：AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.解法二：以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A (0,0)，E (1,2)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.角度2 平面向量的夹角与垂直问题典例1 若非零向量a ，b 满足|a |＝223·|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π本题采用定义法．答案 A解析 ∵(a －b )⊥(3a ＋2b )，∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0⇒3|a |2－a ·b －2|b |2＝0⇒3|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉－2|b |2＝0.又∵|a |＝223|b |，∴83|b |2－223|b |2·cos 〈a ，b 〉－2|b |2＝0. ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.选A.典例2平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A. －2B. －1C. 1D. 2本题采用坐标法、方程思想．答案 D解析 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.故选D. 典例3(2018·邢台模拟)已知△ABC 周长为6，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，则BA →·BC →的取值范围为( )A ．[2,18)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤3(5－1)2，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，27－952 D ．(2,9－35)本题采用转化思想、向量法、余弦定理．答案 C解析 由题意可得a ＋b ＋c ＝6，且b 2＝ac ， ∴b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0<b ≤2.再由|a －c |<b ，得(a －c )2<b 2，(a ＋c )2－4ac <b 2， ∴(6－b )2－4b 2<b 2，得b 2＋3b －9>0. 又b >0，解得b >35－32，∴35－32<b ≤2，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac， ∴BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27，则2≤BA →·BC →<27－952.故选C. 方法技巧求平面向量的夹角的方法1．定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．如典例2.2．坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.3．解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．如典例3.冲关针对训练1．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 作▱ABCD ，使AB→＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由|a ＋b |＝|a －b |，知▱ABCD 为矩形．又|a ＋b |＝2|a |，所以∠CAB ＝π3.故选B.2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB→＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______． 答案 712解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC→＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB→＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 角度3 求向量的模(或最值、范围)典例已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9本题采用三角函数法、不等式法．答案 B解析 解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径． 故P A →＋PC→＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)． 设B (cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴P A →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|P A →＋PB→＋PC →|＝(cos α－6)2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|P A→＋PB→＋PC →|的最大值为7.故选B. 解法二：同解法一得P A →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|P A →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.方法技巧求向量模及最值(范围)的方法1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；见典例答案解法一．2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；见典例答案解法二．3．利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求模的取值范围．见典例答案解法二．冲关针对训练已知向量a ，b ，c ，满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝0，则|b －c |的最小值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．2 答案 A解析 根据条件，设a ＝(1, 3)，b ＝(3,0)，设c ＝(x ，y )，则(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝(x －2，y －23)·(x －2，y )＝0； ∴(x －2)2＋(y －3)2＝3；∴c 的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示：∴|b －c |的最小值为(2－3)2＋(3－0)2－3＝2－ 3. 故选A.角度4 求参数的取值典例在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________．本题采用方程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论．答案 －23或113或3±132解析 ①若∠A ＝90°，则有AB →·AC→＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23.②若∠B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113.③若∠C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，得k ＝－23或113或3±132. 方法技巧平面向量中的参数及范围的求法1．利用方程思想，由已知列出方程或方程组，进而求解．如典例．2．利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值．如冲关针对训练．冲关针对训练设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 题型2 平面向量的综合应用角度1 在平面几何中的应用典例1已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA→－BC →)的最大值为________． 本题采用坐标法、基向量法．答案 9解析 (坐标法)以C 为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P 点坐标为(x ，y )且0≤y ≤3,0≤x ≤4，则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(x ，y )·(0,3)＝3y ，当y ＝3时，取得最大值9.典例2如图，在△ABC 中，已知点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AB ＝3AD ，BC ＝2BE .(1)用向量AB→，AC →表示DE →； (2)设AB ＝9，AC ＝6，A ＝60°，求线段DE 的长．本例(1)问采用数形结合法，(2)问采用向量法．解 (1)∵AB ＝3AD ，BC ＝2BE ， ∴DB →＝23AB →，BE →＝12BC →＝12(AC →－AB →)，∴DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋12AC →－12AB →＝16AB →＋12AC →. (2)AB →2＝81，AC →2＝36，AB →·AC →＝9×6×cos60°＝27， ∴DE →2＝136AB →2＋16AB →·AC →＋14AC →2＝634， ∴DE ＝|DE→|＝634＝372.角度2 三角函数与向量典例已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．利用转化法将向量方程转化为三角方程．解 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以1－2a ·b ＋1＝2.所以a ·b ＝0. 故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β)，由 0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，所以α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12， 又α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 角度3 向量与解三角形的综合典例1已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33B.12C.32D.23用三角形重心定理．答案 A解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA→＋OB →＝－OC →，∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13. ∵AB →·AC →＝2， ∴|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝2. ∵∠BAC ＝60°， ∴|AB →|·|AC→|＝4， △ABC 面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3， ∴△OBC 的面积为33. 故选A.典例2在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，AB →·AC→＝1. (1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S .利用转化法将向量等式转化为三角方程．解 (1)因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A2 ＝sin A －(cos A ＋1) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m | ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝12. 因为0<A <π， 所以－π4<A －π4<3π4， 所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.(2)cos A ＝cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24， 因为AB →·AC→＝bc cos A ＝1， 所以bc ＝6＋ 2.又sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32. 角度4 向量与解析几何的综合典例1已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2 D ．－3运用数形结合思想，坐标法化为代数问题．答案 A解析 动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点， 且满足|AB |＝2， 则△OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为y ＝3(x ＋2)，根据题意可得B (－2,0)，A (－1，3)， ∵M 是线段AB 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )， ∵CB →＝52CA →，∴(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52(－1－x )，－y ＝52(3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝533，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，∴OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3， 故选A.典例2 已知圆C 经过点A (1,3)，B (2,2)，并且直线m ：3x －2y＝0平分圆C .(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与圆C 交于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝6(O 为坐标原点)，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．坐标法，利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解．解 (1)线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0. 因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上． 又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆C ，所以直线m 经过圆心．由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即圆心的坐标为C (2,3)， 而圆的半径r ＝|BC |＝(2－2)2＋(2－3)2＝1，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入圆C 的方程，即(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， 由Δ＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)>0，得0<k <43，∴x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝6，∴(1＋k 2)41＋k 2＋2k ·2k ＋41＋k2＋4＝6， 即3k 2＋4k ＋1＝0， 解得k ＝－1或k ＝－13.此时不满足Δ>0，与直线l 与圆C 交于M ，N 两点相矛盾， 所以不存在直线l ，使得OM →·ON →＝6. 角度5 向量与函数、不等式的综合典例1 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8将向量问题用坐标法转化为函数问题求解．答案 C解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2.因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.故选C.典例2 已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21将向量问题化归为均值不等式问题．答案 A解析 由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，∵AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，∴P (1,4)，∴PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1，－4，PC→＝(－1，t －4)， ∴PB →·PC →＝－⎝⎛⎭⎪⎫1t －1－4(t －4)＝17－⎝⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ，由基本不等式可得1t ＋4t ≥21t ·4t ＝4， ∴17－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ≤17－4＝13， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号， ∴PB →·PC →的最大值为13.故选A. 方法技巧1．平面向量的模及其应用的类型及解题策略(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．如题型1中角度3典例．2．向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．如题型2角度1典例1.3．向量与三角函数综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．如题型2中角度2典例．4．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．如题型2角度4典例1.冲关针对训练1．(2018·沈阳模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6 答案 C解析 如图所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，点M ，N 满足BM→＝3MC →，DN →＝2NC →，∴根据图形可得：AM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →， AN →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →， ∴NM→＝AM →－AN →， ∵AM →·NM →＝AM →·(AM →－AN →)＝AM →2－AM →·AN →， AM →2＝AB →2＋32AB →·AD →＋916AD →2， AM →·AN →＝23AB →2＋34AD →2＋32AB →·AD →， |AB→|＝6，|AD →|＝4， ∴AM →·NM →＝13AB →2－316AD →2＝12－3＝9.故选C.2．已知a ，b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |＝( )A.33B.64C.53D.63 答案 D解析 如图所示：在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC ＝π4，在△ABC 中，由正弦定理得，|a ||b |＝sin π4sin π3＝2232＝63.故选D.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC→＝48，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x答案 B解析 如图所示，AF→＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC→＝48，得BC＝43，得AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.1.(2018·沧州调研)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB→＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1 答案 B解析 解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD→，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD→ ＝2(PE →＋EA →)·(PE→－EA →)＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.故选B.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD→ ＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值，最小值为2×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－32.故选B.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.3．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP→的最大值为________． 答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP→＝2(x ＋2)＝2x ＋4. 点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP→的最大值为2＋4＝6. 解法二：如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO→＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP→＝2cos α＋4≤2＋4＝6， 当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．4．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案 311解析 解法一：由B D →＝2D C →得A D →＝13A B →＋23A C →，所以A D →·A E →＝⎝⎛⎭⎪⎫13A B →＋23A C →·(λAC →－A B →)＝13λAB →·A C →－13A B →2＋23λAC →2－23A B →·A C →，又A B →·A C →＝3×2×cos60°＝3，A B →2＝9，A C →2＝4， 所以A D →·A E →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又B D →＝2D C →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以A D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而A E →＝λAC→－A B →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此A D →·A E →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案 C解析 由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)．由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝1665.故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54 答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.故选B.3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD→＋DE →＋DF→＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3 D ．－2 3 答案 B解析 由OD→＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF→|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6.故选B.4．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形答案 D解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( )A ．3B ．－3C ．－92 D.92 答案 D解析 由|AB→＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92.故选D.6．(2017·龙岩一模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( )A.16B.14 C ．6 D ．4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →， ∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA→2＋nOB →2＝0， ∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0， ∴m n ＝16.故选A.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12 答案 C解析设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝4m 2－8(m 2－1)>0，得－2<m <2，又x A x B ＝m 2－12，x A ＋x B ＝－m ，所以y A y B ＝(x A ＋m )(x B ＋m )＝m 2－12，由AO →·AB →＝AO →·(OB →－OA →)＝－OA →·OB →＋OA →2＝－x A x B －y A y B ＋1＝－m 2＋2＝32，解得m ＝±22.故选C.8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12 答案 D解析 根据新定义，得a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ·a ＝b ·aa ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ·b 和b ·a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，设a ·b ＝n 12，b ·a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ·b )·(b ·a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1，故a ·b ＝n 12＝12.故选D.9．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由c ·a ＝c ·b ＝1，得c ＝(1,1)，c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋t (1,0)＋1t (0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1，1＋1t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ＝(t ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＋2≥22，当且仅当t ＝1时等号成立．故选B.10．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．故选A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|a －2b |＝27，则|b |＝________.答案 3解析 因为|a |＝2，|a －2b |＝27，所以(a －2b )2＝28，即4－4a ·b ＋4|b |2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°，所以4－4×2×|b |cos60°＋4|b |2＝28，解得|b |＝3.12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案 223解析 a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8. ∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9， ∴|a |＝3.∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b |＝22，∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.13．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [2,5]解析 如图所示，设|BM→||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ，则λ∈[0,1]，AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝AB →·AD →＋(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＋λ(λ－1)BC →·CD →＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM →·AN→∈[2,5]． 14．(2018·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则A C →·A E →＝________.答案 94解析 建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，∴A C →＝(3，0)，A E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴A C →·A E →＝3×334＝94. 三、解答题15．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP→＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
