黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)

牡一中2016级高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ）A ． 042,2≥+-∈∀x x R x B ． 042,0200>+-∈∃x x R x C ． 042,2≤+-∉∀x x R x D ． 042,0200>+-∉∃x x R x 2、抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（ ）A x y lg =B 3x y -= C x x y = D xy ⎪⎭⎫⎝⎛=214、已知向量)6,3(),2,(-==m =+m 的值是（ ） A ．-4 B ．-1 C. 1 D ．45、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ； ②和两条异面直线都相交的两条直线异面；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．A ．0B ．1C ．2D ．36、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ） A ．120 B ． 105 C ．90 D ．757、若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A53 B 54 C 43D 38、设,x y 满足约束条件30103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值与最大值的和为（ ）A ．7B ．8 C. 13 D ．149、已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（ ） A ． 4024 B ． 4023 C ．2012 D ．2015 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. 3π B. 4π C. 24π＋ D. 34π＋11、已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y +++=成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (),0-∞ B. (],0-∞ C.2,e e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. (],1-∞-12、已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、设公比为)0(>q q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23,234422+=+=a S a S ，则=q ___ 14、从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦为__15、下面四个命题：其中所有正确命题的序号是 ①函数sin ||y x =的最小正周期为π；②在△ABC 中，若0>⋅，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数2log (2)(01)a y x a a =+->≠且的图象必经过点（3，2）；④cos sin y x x =-的图象向左平移4π个单位，所得图象关于y 轴对称； ⑤若命题“2,0x R x x a ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围为1[,)4+∞；16、已知四面体P- ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =， 若四面体P - ABC 的体积为32，则该球的表面积为_________． 三、简答题：（17题至21题，每题12分；22题和23题是选做题，只选其一作答，10分）17、已知数列}{n a 的前n 项和)(*2N n n S n ∈=，数列}{n b 为等比数列，且满足11a b =，432b b = （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和。

牡一中2016级高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （ ）A ． 042,2≥+-∈∀x x R xB ． 042,0200>+-∈∃x x R x C ． 042,2≤+-∉∀x x R x D ． 042,0200>+-∉∃x x R x 2、抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（ ）A x y lg =B 3x y -= C x x y = D xy ⎪⎭⎫⎝⎛=214、已知向量)6,3(),2,(-==b m a -=+m 的值是（ ） A ．-4 B ．-1 C. 1 D ．45、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ； ②和两条异面直线都相交的两条直线异面；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ） A ．120 B ． 105C ．90D ．757、若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A53 B 54 C 438、设,x y 满足约束条件30103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值与最大值的和为（ ）A ．7B ．8 C. 13 D ．149、已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（ ） A ． 4024 B ． 4023 C ．2012 D ．2015 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. 3π B. 4π C. 24π＋ D. 34π＋11、已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y +++=成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (),0-∞ B. (],0-∞ C.2,e e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. (],1-∞-12、已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、设公比为)0(>q q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23,234422+=+=a S a S ，则=q ___14、从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦为__15、下面四个命题：其中所有正确命题的序号是 ①函数sin ||y x =的最小正周期为π；②在△ABC 中，若0>⋅，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数2log (2)(01)a y x a a =+->≠且的图象必经过点（3，2）；④cos sin y x x =-的图象向左平移4π个单位，所得图象关于y 轴对称； ⑤若命题“2,0x R x x a ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围为1[,)4+∞；16、已知四面体P- ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =， 若四面体P - ABC 的体积为32，则该球的表面积为_________． 三、简答题：（17题至21题，每题12分；22题和23题是选做题，只选其一作答，10分） 17、已知数列}{n a 的前n 项和)(*2N n n S n ∈=，数列}{n b 为等比数列，且满足11a b =，432b b = （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和。

F E P CA牡丹江市第一高级中学2019届高三10月月考数学（文科） 试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合}032|{2<--∈=x x N x A 的真子集的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 2、已知i i z -=2，则复数z 在复平面对应点的坐标是（ ）A. )2,1(--B. )2,1(-C. )2,1(-D. )2,1( 3、已知b a , 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，则下列结论正确的个数是（ ） A.若βαβα//,//,//b a ，则b a // B.若,,,//βα⊂⊂b a b a ，则βα//C.若直线a 与b 是异面直线，且,,βα⊂⊂b a ，则βα//D.若直线a 与b 是异面直线，αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα//4、在数列{}n a 中，11=a ，()nn n n a a a 111-+=--()*,2N n n ∈≥，则53a a 的值是( ) A.1516 B.158 C.34D. 385、已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为 PA 和BC 的中点．则直线EF 与直线PC 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 6、已知数列}{n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，且9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）A.51 B. 51- C. 5 D. -57、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a ，是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. )1,0(B. )31,0( C. )1,71[ D. )31,71[8、在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，,3,23,322sin ,===∠⊥AD AB BAC AC AD 则=CD ( )A. 23B. 33C. 26D. 36 9、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．8＋ 2C ．21D ．1810、若函数)0()6cos()(>+=ωπωx x f 在],0[π上的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是（ ） A. ]35,23[ B. ]23,65[ C. ]35,65[ D. ),65[+∞11、已知定义在R 上的函数)(x f 满足0)1()(=++x f x f ，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，则（ ）A. )1(cos )1(sin f f >B. )32(cos )32(sin ππf f < C. )6(cos )6(sinππf f < D. )2(cos )2(sin f f >12、设函数2ax y =与函数|1ln |axx y +=的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A. ),33(e e B. )33,0()0,33(e e ⋃- C. )33,0(e D. }33{)1,1(e e⋃ 二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++=14、已知9)2()32(,1||,2||=+⋅-==b a b a b a ，则在+方向上的投影为15、已知:,)1(2,]21,41[:2q x m x x p +<∈∀函数124)(1-++=+m x f x x 存在零点，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是 16、已知数列}{n a 满足)(2,1*11N n a a a a n n n ∈+==+，若))(11()2(*1N n a n b nn ∈+⋅-=+λ， ,1λ-=b 且数列}{n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是三、解答题：17、在中，分别是角的对边，其外接圆半径为1，．（1）求角的大小； （2）求周长的取值范围．18、 如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）.19、设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．20、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，ABF ∆是边长为4的等边三角形.（1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q 、R 两点时， 2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.21、已知函数x x x f ln )(=， （1）求函数)(x f 的极值点；（2）设函数)1()()(--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数)(x g 在区间[]e ,1上的最小值。

黑龙江省牡丹江一中19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. i 虚数单位，复数z =2i+1在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,1)B. (1,1)C. (1,−1)D. (−1,−1)2. 已知命题p ：∃n ∈N ，2n >1000，则p 为 ( )A. ∀n ∈N ，2n ≤1000B. ∀n ∈N ，2n >1000C. ∃n ∈N ，2n ≤1000D. ∃n ∈N ，2n <10003. 已知双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的离心率是√5，则a =( )A. √6B. 4C. 2D. 124. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. 12B. √32C. 1D. 25. 若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( )A. 1718B. −1718C. 1819D. −18196. 定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，a =f(log 212),b =f((12)13,c =f(m)则( )A. c <a <bB. a <c <bC. a <b <cD. b <a <c7. 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为( )A. A 55A 42B. A 55A 52C. A 55A 62D. A 77−4A 668. 若函数f(x)=sin(2x −π6)的图像向左平移φ(φ>0)个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当φ最小时，tanφ=( )A. √33B. √3C. −√33D. −√39. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( )A. 60B. 90C. 120D. 15010. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB|=2√3，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是( )A. [3,9]B. [1,11]C. [6,18]D. [2,22]11.如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为√14，则该正四面体的外接球表面积是()A. 12πB. 32πC. 8πD. 24π12.在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=513，则该椭圆离心率取值范围是()A. (15,√53) B. (√2626,1) C. (15,√22) D. (√2626,√22)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S4=16，则数列{a n}的公差d=______．14.已知双曲线x2a2−y220=1(a>0)的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为______．15.给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y种不同的染色方法，那么y−x 的值为_________．16.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的投影，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F//BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是________.(写出所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在如图所示的坐标系中，长方体ABCD−A1B1C1D1，已知AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F是A1B1的中点．(Ⅰ)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(Ⅱ)求直线AA1与平面BDF所成角的正弦值．18.人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125(1)在图中绘出频率分布直方图，并将各个小矩形纵坐标标注在相应小矩形边的最上面，并且估算该地区居民幸福感指数的平均值；(2)经广泛民意调查确认：居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用x表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n≠a1(当n≥2时)，数列{b n}满足b n=2a n，求数列{a n b n}的前n项和T n．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,−√32)，且离心率为√32，左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、B ，过F 的直线l 与椭圆Γ相交于C 、D 两点． (1)求椭圆Γ的方程；(2)记△ABC ，△ABD 的面积分别为S 1，S 2，求S 1−S 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=mln(x +1)−xx+1(x >−1)，讨论f(x)的单调性．22. [选修4−4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =−2+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数)，点P 的坐标为(−2,0)． (1)当cosα=1213时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值；(2)若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求动点M 的轨迹方程．23. 已知函数f(x)=|x −4a|+|x|，a ∈R ．(Ⅰ)若不等式f(x)≥a 2对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设实数m 为(Ⅰ)中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足4x +2y +z =m ，求(x +y)2+y 2+z 2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=2i+1=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数z=2i+1在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可．属基础题．利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．解：存在性命题的否定为全称命题，即∀n∈N，2n≤1000，故选A．3.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率，属于基础题．利用双曲线的离心率的定义直接解得．解：因为双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率是√5，所以√5=√a2+1a则a=12．故选D．4.答案：C解析：解：向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=2×1×12=1． 故选：C ．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可． 本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．5.答案：A解析：本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式的应用，属于中档题目． 解：cos(3π4+2α)=cos(π−π4+2α) =−cos(π4−2α)=−(2×162−1)=1718． 故选A ．6.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题．根据题意偶函数的定义求出m 的值，写出f(x)的解析式，判断函数的单调性，再比较a 、b 、c 的大小．解：定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，则f(−x)=f(x)，即(13)|−x−m|−2=(13)|x−m|−2，所以m =0， 所以f(x)=(13)|x|−2，且在[0,+∞)上是单调减函数；又log 212=−1，0<(12)13<1，m =0；所以f(log 212)<f ((12)13)<f(0)，即a <b <c ． 故选：C ．7.答案：A解析：解：先排大人，有A 55种排法，去掉头尾后，有4个空位， 再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A 42种排法，由分步计数原理，有A 55A 42种不同的排法，故选A ．根据题意，先排大人，有A 55种排法，分析可得，去掉头尾后，有4个空位，再用插空法，将2个小孩插在4个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．本题考查排列与分步计数原理的运用，注意这类问题的特殊方法，如本题的插空法．8.答案：B解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律以及正弦函数的图象的对称性，属于一般题． 利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得tanφ的值． 解析：解：将f(x)=sin(2x −π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位， 可得；根据所得图象关于原点对称，则2φ−π6=kπ，k ∈Z ，且φ>0 ∴φ的最小值为π3，tanφ=tan π3=√3， 故选：B9.答案：D解析：本题考查排列、组合的综合应用，及分类、分步计数原理的综合应用，属于中档题． 利用先分组再分配的方法，可得不同的安排方式共有150种． 解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法; ②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分组方法． 故选D ．10.答案：D解析：本题主要考查直线和圆相交的性质，辅助角公式的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题． 设线段AB 的中点为D ，可得√3=|CD|，即点D 在圆：(x −2)2+y 2=1上，可设点D(2+cosα,sinα)，求得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+10sin(α+θ)，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的范围． 解：设线段AB 的中点为D ， ∵|AB|=2√3，∴|AD|=√3，则|CD|=1，即D 的轨迹以C 为圆心半径为1的圆， 即点D 在圆(x −2)2+y 2=1上，可设点D(2+cosα,sinα)， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,8)·(2+cosα,sinα) =12+6cosα+8sinα=12+10sin(α+θ)，其中，sinθ=35，cosθ=45，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为12−10=2，最大值为12+10=22， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的范围是[2,22]． 故选D ．11.答案：A解析：本题考查了棱锥的几何特征与表面积的计算，属于中档题．将侧面展开，根据BP +PE 的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出表面积． 解：将侧面△ABC 和△ACD 展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a ，则BP +PE 的最小值为BE =√a 2+a 24−2a ⋅12acos120°=√72a =√14，∴a =2√2．在正四面体A −BCD 中，作AM ⊥底面BCD ，连接DM 延长交BC 于点F ，由正四面体的特征知M 为正三角形BCD 的中心，F 为BC 中点， 则AM =√(2√2)2−(2√2×√33)2=4√33，设外接球的半径为R ， 则(4√33−R)2+(2√63)2=R 2，解得R =√3．外接球的体积V =4πR 2=12π． 故选A ．12.答案：D解析：本题主要考查求椭圆的离心率的取值范围，属圆锥曲线中的综合问题，计算量较大，题较难，有利于能力的培养.由QF 1⊥QP 解得e =√2626，由F 1Q ⊥F 2Q ，可得点Q 在椭圆的内部解得e =√22，故可得椭圆离心率的取值范围解：∵满足QF1⊥QP，∴点P在y轴上时，∠F1PQ=2α，sin2α=513，sinα=e，cosα=√1−e2，∴2e√1−e2=513，解得e=√2626，当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q，可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=√22，因此e<√22，综上可得：√2626<e<√22，故选D．13.答案：2解析：本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．解：∵a2=3，S4=16，，∴a1+d=3，4a1+6d=16，联立解得a1=1，d=2，故答案为：2．14.答案：10解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的焦距即可．解：双曲线x2a2−y220=1(a>0)的一条渐近线方程为y=2x，可得：20a2=4，解得a=√5，则b=2√5，c=5．双曲线的焦距为10．给答案为：10．15.答案：348解析：本题主要考查排列，组合的综合应用.如果有5种颜色可供使用，首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即B与D同色、B与D不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．同理可求如果有4种颜色可供使用，即可求出y−x种．解：设四棱锥为P−ABCD，如果有5种颜色可供使用，下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论，(1)P:C51，A:C41B:C31，B与D同色：D:1，C:C31，(2)P:C51，A:C41B:C31，B与D不同色：D:C21，C:C21.，共有C51·C41·C31·1·C31+C51·C41·C31·C21·C21=420，y=420种，如果有4种颜色可供使用，下面分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，(1)P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与A同色时，C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21，(2)P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与A不同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为1，共有C41·C31·2·C21+C41·C31·2=48+24=72种结果x=72种，故y−x=420−72=348，故答案为348．16.答案：①②③④⑤解析：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F=AF，B′F=BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；(AF+②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12BF)=12AB ，从而AM ⊥BM ；③由②知，AM 平分∠A ′AF ，从而可得A ′F ⊥AM ，根据AM ⊥BM ，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB ⊥x 轴，则四边形AFMA ′为矩形，则可得结论； ⑤取AB ⊥x 轴，则四边形ABB ′A ′为矩形，则可得结论．本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义． 解析：解：①由于A ，B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知A ′A =AF ，B ′B =BF ，因为A ′、B ′分别为A 、B 在l 上的射影，所以A ′F ⊥B ′F ；②取AB 中点C ，则CM =12(AF +BF)=12AB ，∴AM ⊥BM ；③由②知，AM 平分∠A ′AF ，∴A ′F ⊥AM ，∵AM ⊥BM ，∴A ′F//BM ； ④取AB ⊥x 轴，则四边形AFMA ′为矩形，则可知A ′F 与AM 的交点在y 轴上； ⑤取AB ⊥x 轴，则四边形ABB ′A ′为矩形，则可知AB ′与A ′B 交于原点 故答案为①②③④⑤．17.答案：解：(Ⅰ)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系．由已知AB =2，AA 1=1，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，F(1,0，1)．又AD ⊥面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA =30°，而AB =2，AE ⊥BD ，AE =1，AD =2√33，∴E(12,√32,0)，D(0,2√33,0).AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√2=−√24． ∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为√24.(Ⅱ)直线AA 1的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设n ⃗ =(x,y ，z)是平面BDF 的一个法向量，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√33,0)， {n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√33y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√55， ∴直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值√55.解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (Ⅰ)以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．(Ⅱ)求出直线AA 1的一个方向向量和平面BDF 的一个法向量，利用向量法能动求出直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．18.答案：解：(1)频率分布直方图如右图．所求的平均值0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46． (2)男居民幸福的概率为：125+125500=0.5．女居民幸福的概率为：175+125500=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为： 0.5×0.6=0.3．因此X 的可能取值为0，1，2，3，4， 且X ～B(4,0.3)于是P (X =k )=C 4k×0.3k (1−0.3)4−k (k =0,1,2,3,4)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)=np =4×0.3=1.2．解析：本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．(1)由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．(2)由已知条件得到X 的可能取值为0，1，2，3，4，且X ～B(4,0.3)，由此能求出X 的分布列和期望．19.答案：解：(1)∵{a n }为等差数列，且S 3=9，∴a 2=3，∴a 1+d =3①∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴a 32=a 1a 7，∴(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)②由①②得：{d =0a 1=3或{d =1a 1=2，当{d =0a 1=3时，a n =3 当{d =1a 1=2时，a n =n +1； (2)∵a n ≠a 1(当n ≥2时)，∴d ≠0， ∴a n =n +1，∴b n =2n+1， ∴a n b n =(n +1)2n+1，∴T n =2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+(n +1)2n+1① 2T n =2⋅23+3⋅24+4⋅25+⋯+(n +1)2n+2②①−②得−T n =4+22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)2n+2=4+4(1−2n )1−2−(n +1)2n+2=−n ⋅2n+2∴T n =n ⋅2n+2解析：本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)求得首项和公差即可；(2)由(1)可得a n b n ，再由错位相减求和得T n ．20.答案：解：(1)由已知得1a 2+34b 2=1，①又ca=√32，∴c 2a 2=34，即b 2a 2=14，② 联立①、②解出a 2=4，b 2=1， ∴椭圆的方程是x 24+y 2=1；(2)当l 的斜率不存在时，C(−√3,−12)，D(−√3,12)，此时S 1−S 2=0； 当l 的斜率存在时，设l ：y =k(x +√3)(k ≠0)， 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k(x +√3)x 24+y 2=1，消y 得(4k 2+1)x 2+8√3k 2x +(12k 2−4)=0， ∴x 1+x 2=−8√3k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2−41+4k 2．∴|S 1−S 2|=2||y 1|−|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 1+x 2)+2√3k|=4√3|k|4k 2+1，由于k ≠0，∴|S 1−S 2|=4√34|k|+1|k|≤√32√4|k|⋅|k|=√3，当且仅当4|k|=1|k|，即k =±12时， |S 1−S 2|=√3，∴S 1−S 2∈[−√3,√3].解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．(1)由点P(1,−√32)在椭圆上，且离心率为√32，结合隐含条件列式求得a ，b ，则椭圆方程可求；(2)当l 的斜率不存在时，求出C ，D 的坐标，此时S 1−S 2=0；当l 的斜率存在时，设l ：y =k(x +√3)(k ≠0)，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系把|S 1−S 2|转化为含有k 的函数，利用基本不等式求最值，最后可得S 1−S 2的取值范围．21.答案：解：根据已知得：f ′(x )=mx+1−x+1−x(x+1)2=m (x+1)−1(x+1)2， ∵x >−1，∴当m ≤0时，f ′(x)<0，∴函数f(x)在(−1,+∞)上单调递减；当m >0时，令f ′(x)<0，∴x <1m −1， ∴函数f(x)在(−1,1m−1)上单调递减； 令f ′(x)>0，∴x >1m −1，∴函数f(x)在(1m −1,+∞)上单调递增． 综上所述，当m ≤0时，f(x)在(−1,+∞)上单调递减；当m >0时，f(x)在(−1,1m −1)上单调递减，在(1m −1,+∞)上单调递增．解析：本题考查了导数判断函数单调性的应用，本题通过对m 的分类讨论，判断出函数的单调性即可．22.答案：解：(1)易知曲线C 的普通方程为x 2+y 2=1，当时，直线l 的参数方程为{x =−2+1213ty =513t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2−4813t +3=0，由于，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1⋅t 2=3，所以|PA|⋅|PB|=3； (2)设，M(x,y)，则由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得，即消去θ，得(x +23)2+y 2=49，即M 的轨迹方程为(x +23)2+y 2=49．解析：本题主要考查直线的参数方程与曲线的参数方程的综合运用，涉及到求值和求轨迹方程问题，考查了学生的转化能力和灵活运用能力，属于中档题． (1)先求出曲线C 的普通方程，再根据当时，表示出直线l 的参数方程，再代入曲线C 的普通方程，根据判别式大于零，设出A 、B 对应的参数，带入求值即可；(2)设出点Q 、M 的坐标，再根据PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，找到Q 、M 点坐标之间的关系，消去相关参数即可求解．23.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=|x −4a|+|x|≥|x −4a −x|=4|a|，所以a 2≤4|a|， 解得−4≤a ≤4．故实数a 的取值范围为[−4,4]； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，m =4， 即4x +2y +z =4．根据柯西不等式(x +y)2+y 2+z 2=121[(x +y)2+y 2+z 2]⋅[42+(−2)2+12]⩾121[4(x +y)−2y +z]2=1621，等号在x+y 4=y−2=z ，即x =87，y =−821，z =421时取得． 所以(x +y)2+y 2+z 2的最小值为1621．解析：本题考查含绝对值不等式的最值的求解，属中档题． (Ⅰ)求出函数f(x)的最小值令其≥a 2即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得m =4，由柯西不等式可求得(x +y)2+y 2+z 2的最小值．。

F E P CBA黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学10月月考试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合}032|{2<--∈=x x N x A 的真子集的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 2、已知i i z -=2，则复数z 在复平面对应点的坐标是（ ）A. )2,1(--B. )2,1(-C. )2,1(-D. )2,1( 3、已知b a , 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，则下列结论正确的个数是（ ） A.若βαβα//,//,//b a ，则b a // B.若,,,//βα⊂⊂b a b a ，则βα//C.若直线a 与b 是异面直线，且,,βα⊂⊂b a ，则βα//D.若直线a 与b 是异面直线，αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα//4、在数列{}n a 中，11=a ，()nn n n a a a 111-+=--()*,2N n n ∈≥，则53a a 的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D. 385、已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为 PA 和BC 的中点．则直线EF 与直线PC 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π6、已知数列}{n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，且9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）A.51 B. 51- C. 5 D. -5 7、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a ，是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. )1,0(B. )31,0( C. )1,71[ D. )31,71[8、在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，,3,23,322sin ,===∠⊥AD AB BAC AC AD则=CD ( )A. 23B. 33C. 26D. 36 9、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．8＋ 2C ．21D ．1810、若函数)0()6cos()(>+=ωπωx x f 在],0[π上的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是（ ） A. ]35,23[ B. ]23,65[ C. ]35,65[ D. ),65[+∞11、已知定义在R 上的函数)(x f 满足0)1()(=++x f x f ，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，则（ ） A. )1(cos )1(sin f f > B. )32(cos )32(sin ππf f < C. )6(cos )6(sinππf f < D. )2(cos )2(sin f f >12、设函数2ax y =与函数|1ln |axx y +=的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ),33(e e B. )33,0()0,33(e e ⋃- C. )33,0(e D. }33{)1,1(e e⋃ 二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++=14、已知9)2()32(,1||,2||=+⋅-==a ，则a 在b a +方向上的投影为15、已知:,)1(2,]21,41[:2q x m x x p +<∈∀函数124)(1-++=+m x f x x 存在零点，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是16、已知数列}{n a 满足)(2,1*11N n a a a a n n n ∈+==+，若))(11()2(*1N n a n b nn ∈+⋅-=+λ， ,1λ-=b 且数列}{n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是三、解答题： 17、在中，分别是角的对边，其外接圆半径为1，．（1）求角的大小； （2）求周长的取值范围．18、 如图，在直三棱柱中， ，，，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）.19、设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．20、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形. （1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q 、R 两点时， 2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.21、已知函数x x x f ln )(=， （1）求函数)(x f 的极值点；（2）设函数)1()()(--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数)(x g 在区间[]e ,1上的最小值。

绝密★启用前黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．设全集U R =，集合{}2log 1A x x =≤， {}220B x x x =+-≥，则()U A C B ⋂=（ ） A ．(]0,1 B ． (]2,2- C ．()0,1 D ．[]2,2-2．复数)2018z i i i =+ (i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2 B．1 D3. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+≤-00203y x y x x ，则x y z 2-=的最大值为（ ）A ．5B ．1-C ．3-D ．7-4. 已知下列命题：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程x y 5.02-=∧中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量∧y 平均减少5.0个单位；⑤在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；⑥对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说， k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知函数⎩⎨⎧≥-<=)1(),1()1(,2)(x x f x x f x ,则()2log 5f =（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 6. 有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为（ ）A ．6πB ．4πC ．21D ．32 7. 在数列{}n a 中，2,852==a a ，且)(2*21N n a a a n n n ∈=-++，则1021a a a +⋅⋅⋅++的值是( ) A ． 10- B ．10 C ．50 D ．708.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为( )A ．81B ．74C ．121D ．169。

牡丹江市一中2019届高三上学期期末考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．设全集U R =，集合{}2log 1A x x =≤， {}220B x x x =+-≥，则()U A C B ⋂=（ ）A ．(]0,1B ． (]2,2-C ．()0,1D ．[]2,2-2．复数()2018z i i i =+ (i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2 B．1 D3. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+≤-00203y x y x x ，则x y z 2-=的最大值为（ ）A ．5B ．1-C ．3-D ．7-4. 已知下列命题：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程x y 5.02-=∧中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量∧y 平均减少5.0个单位；⑤在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；⑥对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说， k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知函数⎩⎨⎧≥-<=)1(),1()1(,2)(x x f x x f x ,则()2log 5f =（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 6. 有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为（ ）A ．6πB ．4πC ．21D ．32 7. 在数列{}n a 中，2,852==a a ，且)(2*21N n a a a n n n ∈=-++，则1021a a a +⋅⋅⋅++的值是( ) A ． 10- B ．10 C ．50 D ．70。

2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题）1. 若复数z满足z=1+ii（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面的对应点的坐标为(1, −1)，在第四象限．2. 已知命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p为（）A.∀n∈N，2n≤1000B.∀n∈N，2n>1000C.∃n∈N，2n≤1000D.∃n∈N，2n<1000【答案】A【考点】命题的否定【解析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．【解答】∵命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p为∀n∈N，2n≤10003. 已知双曲线C:x2a2−y2＝1(a>0)的离心率为√52，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的离心率，建立方程关系进行求解即可．【解答】由双曲线的方程得b＝1，则c=√a2+1，∵双曲线的离心率为√52，∴ ca =√a 2+1a=√52， 平方得a 2+1a 2=54，得a 2＝4，∵ a >0，∴ a ＝2，4. 已知向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝1，|2a →−b →|=√3，则|b →|＝（ ）A.1B.√2C.√3D.2【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】把|2a →−b →|=√3两边平方，然后展开数量积求解． 【解答】由|2a →−b →|=√3，得|2a →−b →|2=(2a →−b →)2=4|a →|2−4a →⋅b →+|b →|2=3， 又向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|＝1， ∴ 4×12−4×1×|b →|cos 60+|b →|2=3， 整理得：|b →|2−2|b →|+1=0，解得|b →|＝1．5. 已知cos (π6−α)=23，则cos (5π3+2α)的值为（ ） A.59B.19C.−19D.−59【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】已知cos (π6−α)=23，则cos (5π3+2α)=cos (π3−2α)＝2cos 2(π6−α)−1＝2×49−1=−19，6. 定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，a =f(log 212)，b =f((12)13)，c ＝f(m)，则（ ） A.c <a <b B.a <c <bC.a <b <cD.b <a <c【答案】C【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】根据题意偶函数的定义求出m 的值，写出f(x)的解析式，判断函数的单调性，再比较a 、b 、c 的大小． 【解答】定义在R 上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数， 则f(−x)＝f(x)，即(13)|−x−m|−2=(13)|x−m|−2；所以m ＝0，所以f(x)=(13)|x|−2，且在[0, +∞)上是单调减函数； 又log 212=−1，0<(12)13<12，m ＝0； 所以f(log 212)<f((12)13)<f(0)，即a <b <c ．7. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（ ） A.48 B.36 C.24 D.12 【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A 22＝2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A 22＝2种排法， ③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A 33＝6种排法， 则共有2×2×6＝24种排法，8. 若函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则当φ最小时，tan φ＝（ ） A.√33 B.√3 C.−√33D.−√3【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值，可得tan φ的值． 【解答】函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，可得y ＝sin (2x +2φ−π6) 的图象，∵ 所得的图象关于y 轴对称， 2φ−π6=π2+kπ，k ∈Z ，∵ φ>0，∴ 当φ最小时，φ=π3，tan φ=√3，9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A.60 B.90 C.120 D.150 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者由分步计数原理计算可得答案； 【解答】根据题意，分2步进行分析 ①、将5项工作分成3组 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33＝6种情况； 所以不同的安排方式则有25×6＝150种，10. 已知两点A(−1, 0)，B(1, 0)，以及圆C ：(x −3)2+(y −4)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足AP →⋅PB →=0，则r 的取值范围是（ ） A.[3, 6] B.[3, 5] C.[4, 5]D.[4, 6]【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，分析可得点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，分析可得圆M 的方程，求出圆C 的圆心与半径，进而可得圆M 与圆C 有公共点，则|r −1|≤5≤r +1，解可得r 的取值范围，即可得答案． 【解答】根据题意，点A(−1, 0)，B(1, 0)，若点P 满足AP →⋅PB →=0，即AP ⊥BP ，则点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，则M 的坐标为(0, 0)，|AB|＝2， 则圆M 的方程为x 2+y 2＝1，圆C ：(x −3)2+(y −4)2＝r 2(r >0)，圆心为(3, 4)，半径为r ，则|MC|＝5若圆C 上存在点P ，满足AP →⋅PB →=0，则圆M 与圆C 有公共点，则|r −1|≤5≤r +1， 解可得：4≤r ≤6，即r 的取值范围为[4, 6]；11. 如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP +PE 的最小值为√14，则该正四面体的外接球表面积是（ ）A.12πB.32πC.8πD.24π 【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题给的动点问题，将问题从立体转为平面，即可求出正四面体的棱长，求出答案． 【解答】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP +PE 的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =√14设AB ＝2a ，则∠BAD ＝120∘，由余弦定理−12=4a 2+a 2−142⋅2a⋅a，解得a =√2，则正四面体棱长为2√2，因为正四面体的外接球半径是棱长的√64倍， 所以，设外接球半径为R ，则R =√64⋅2√2=√3，则表面积S ＝4πR 2＝4π⋅3＝12π．12. 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有一点P ，椭圆内一点Q 在PF 2的延长线上，满足QF 1⊥QP ，若sin ∠F 1PQ =513，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A.(15, 1)B.(√2626, 1) C.(15,√22) D.(√2626,√22) 【答案】 D【考点】 椭圆的离心率 【解析】由满足QF 1⊥QP ，点PQ 在y 轴上时，设∠F 1PQ ＝2α，根据sin ∠F 1PQ ＝sin 2α=513，及其sin α＝e ，cos α=√1−e 2，即可得出e ．当点Q 在最下端时，∠F 1QF 2最大，此时F 1Q ⊥F 2Q ．当b ＝c ，e =√22，根据点Q 在椭圆的内部即可得出e 的范围． 【解答】由满足QF 1⊥QP ，点PQ 在y 轴上时，设∠F 1PQ ＝2α， ∵ sin ∠F 1PQ ＝sin 2α=513，又sin α＝e ，cos α=√1−e 2， ∴ 2e√1−e 2=513，解得e =√2626． ∴ e >√2626． 当点Q 在最下端时，∠F 1QF 2最大，此时F 1Q ⊥F 2Q ． 可得点Q 在椭圆的内部，当b ＝c ，e =√22，因此e <√22． 综上可得：√2626<e <√22． 二、填空题（每小题5分，共4小题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=6，S 15=15，则公差d =________． 【答案】−52【考点】等差数列的性质 【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】∵a6=6，S15=15，∴a1+5d=6，15a1+15×142d=15，∴d=−52．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点(2, 3)，则它的渐近线方程为________．【答案】y=±√3x【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的焦距为4，得a2+b2＝4；再由点(2, 3)在双曲线上得4a2−9b2=1，联解得a2＝1、b2＝3，由此即可得到ba=√3，得出双曲线的渐近线方程．【解答】∵双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的焦距为4，∴c＝2，得c2＝a2+b2＝4…①∵点(2, 3)在双曲线上，∴4a2−9b2=1⋯②联解①②，得a2＝1，b2＝3∴a＝1且b=√3，得ba=√3，所以的渐近线方程为y＝±bax，即y=±√3x给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有________种不同的染色方案．【答案】96【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即AF同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即AF，BD，CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．【解答】要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C43=4种取法，三种颜色染三个区域有A33=6种染法，共4×6＝24种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案（AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A42=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有3×12×2＝72种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为24+72＝96种．已知抛物线y2＝2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F // BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是________．【答案】①②③④⑤【考点】抛物线的性质【解析】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F＝AF，B′F＝BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．【解答】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A＝AF，B′B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F // BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点三、解答题（共70分）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝1，BB1＝2．（1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值；（2）求直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【答案】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0, 0, 2)，C 1(0, 1, 2)，A 1(1, 0, 2)，C(0, 1, 0)， B 1C 1→=(0, 1, 0)，A 1C →=(−1, 1, −2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=|B 1C 1→⋅A 1C →||B 1C 1→|⋅|A 1C →|=√6，∴ tan θ=√5．∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →=(0, 1, −2)，BC →=(0, 1, 0)，BA 1→=(1, 0, 2)， 设平面A 1BC 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC →=y =0n →⋅BA 1→=x +2z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 0, 1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√5⋅√5=25， cos α=√1−(25)2=√215． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为√215．【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值．（2）求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法能求出直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【解答】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0, 0, 2)，C 1(0, 1, 2)，A 1(1, 0, 2)，C(0, 1, 0)， B 1C 1→=(0, 1, 0)，A 1C →=(−1, 1, −2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=|B 1C 1→⋅A 1C →||B 1C 1→|⋅|A 1C →|=√6，∴ tan θ=√5．∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →=(0, 1, −2)，BC →=(0, 1, 0)，BA 1→=(1, 0, 2)， 设平面A 1BC 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC →=y =0n →⋅BA 1→=x +2z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 0, 1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√5⋅√5=25，cos α=√1−(25)2=√215． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为√215．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0, 10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：（1）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【答案】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．=0.6，女居民幸福的概率为：175+125500故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)，由此能求出X的分布列和期望．【解答】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．女居民幸福的概率为：175+125500=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N∗．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）已知曲线∁n:x2+(19−a n)y2＝1，若∁n为椭圆，求n的值；（3）若b n＝(a n2)×log3(3a n2)，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】证明：∵S n+1＝3S n+2，∴S n+1+1＝3S n+3＝3(S n+1)，又S1+1＝a1+1＝3，∴{S n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列．由（1）可知S n+1＝3n，即S n＝3n−1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝3n−3n−1＝2⋅3n−1．显然当n＝1时，上式也成立，故a n＝2⋅3n−1．∵曲线∁n:x2+(19−a n)y2＝1表示椭圆，∴19−a n>0且19−a n≠1．∴{2⋅3n−1<192⋅3n−1≠18，又n∈N×，故n＝1或n＝2．b n＝3n−1⋅log33n＝n⋅3n−1．∴T n＝1⋅30+2⋅3+3⋅32+4⋅33+...+n⋅3n−1，①两边同乘3可得：3T n＝1⋅3+2⋅32+3⋅33+4⋅34+...+n⋅3n，②①-②可得：−2T n＝1+3+32+33+...+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n＝(12−n)⋅3n−12，∴ T n =2n−14⋅3n +14．【考点】 数列的求和数列与解析几何的综合 【解析】（1）对已知条件S n+1＝3S n +2两边加1即可得出结论；（2）由（1）得出S n 的表达式，再求出a n 的通项公式，根据椭圆方程得出19−a n 的范围，从而得出n 的值；（3）化简b n ，利用错位相减法求和． 【解答】证明：∵ S n+1＝3S n +2，∴ S n+1+1＝3S n +3＝3(S n +1)， 又S 1+1＝a 1+1＝3，∴ {S n +1}是以3为首项，以3为公比的等比数列． 由（1）可知S n +1＝3n ，即S n ＝3n −1，当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝3n −3n−1＝2⋅3n−1． 显然当n ＝1时，上式也成立， 故a n ＝2⋅3n−1．∵ 曲线∁n :x 2+(19−a n )y 2＝1表示椭圆， ∴ 19−a n >0且19−a n ≠1．∴ {2⋅3n−1<192⋅3n−1≠18，又n ∈N ×，故n ＝1或n ＝2．b n ＝3n−1⋅log 33n ＝n ⋅3n−1．∴ T n ＝1⋅30+2⋅3+3⋅32+4⋅33+...+n ⋅3n−1，①两边同乘3可得：3T n ＝1⋅3+2⋅32+3⋅33+4⋅34+...+n ⋅3n ，② ①-②可得：−2T n ＝1+3+32+33+...+3n−1−n ⋅3n=1−3n 1−3−n ⋅3n ＝(12−n)⋅3n −12，∴ T n =2n−14⋅3n +14．已知椭圆方程为x 26+y 23=1．（1）设椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→的值．（2）设直线l 和圆x 2+y 2＝2相切，和椭圆交于两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆x 2+y 2＝2交于两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．【答案】由已知，F 1(−√3, 0)，F 2(√3,0)，设P(x, y)， 由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+√22x)(√6−√22x)=6−12x 2，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3． 结合x 26+y 23=1，得y 2=3−12x 2，故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,−√2)，C(1, 1)，D(1, −1)， 故S 1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得|m|√1+k 2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0． x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3−12x 12，y 22=3−12x 22， 可知S 1S 2=12|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB 12|OC|⋅|OD|⋅sin ∠COD =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+12x 22)=12√9+32[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14(x 1x 2)2． 将根与系数的关系代入整理得：S 1S 2=12√9+12k 2m 2−6m 2+36k 2+18+(m 2−3)2(2k 2+1)2，结合m 2＝2(k 2+1)，得S1S 2=12√9+28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2．设t ＝2k 2+1≥1，u =1t ∈(0, 1]， 则S 1S 2=12√9+7t 2+8t−8t 2=12√−8t 2+8t +16=12√−8u 2+8u +16∈[2, 3√22]． ∴ S1S 2的取值范围是[2, 3√22]．【考点】椭圆的离心率 【解析】（1）由已知求得椭圆焦点坐标，设P(x, y)，由焦半径公式及数量积公式可得|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，求得S 1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，由已知可得2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式写出S1S 2，再由换元法结合二次函数求最值．【解答】由已知，F 1(−√3, 0)，F 2(√3,0)，设P(x, y)， 由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+√22x)(√6−√22x)=6−12x 2，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3． 结合x 26+y 23=1，得y 2=3−12x 2，故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,−√2)，C(1, 1)，D(1, −1)， 故S1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得2=√2，则m 2＝2(1+k 2)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0． x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3−12x 12，y 22=3−12x 22， 可知S 1S 2=12|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB 12|OC|⋅|OD|⋅sin ∠COD =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+12x 22)=12√9+32[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14(x 1x 2)2．将根与系数的关系代入整理得：S 1S 2=12√9+12k 2m 2−6m 2+36k 2+18+(m 2−3)2(2k 2+1)2，结合m 2＝2(k 2+1)，得S1S 2=12√9+28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2．设t ＝2k 2+1≥1，u =1t ∈(0, 1]， 则S 1S 2=12√9+7t 2+8t−8t 2=12√−8t 2+8t +16=12√−8u 2+8u +16∈[2, 3√22]． ∴ S1S 2的取值范围是[2, 3√22]．已知函数f(x)＝x3−3ax+e，g(x)＝1−ln x，其中e为自然对数的底数．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）用max{m, n}表示m，n中较大者，记函数ℎ(x)＝max{f(x), g(x)}，(x>0)．若函数ℎ(x)在(0, +∞)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】f′(x)＝3x2−3a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f′(x)＝3(x+√a)(x−√a)，当x∈(−∞, −√a)，(√a, +∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(−√a,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0, e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0, e)无零点，当x＝e时，g(e)＝0，f(e)＝e3−3ae+e，若f(e)≤0，即a≥e 2+13，则e是ℎ(x)的一个零点，若f(e)>0，即a<e 2+13，则e不是ℎ(x)的零点，当x∈(e, +∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f′(x)＝3x2−3a>3e2−3a，①当a≤e2时，f′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上单调递增．所以：(ⅰ)当a≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e, +∞)上无零点；(ⅱ)当e2+13<a≤e2时，f(e)<0，又f(2e)＝8e3−6ae+e≥8e3−6e2+e>0，所以此时f(x)在(e, +∞)上恰有一个零点；②当a>e2时，由（1）知，f(x)在(e, √a)递减，(√a, +∞)递增，又因为f(e)＝e3−3ae+e<e3−3e3+e<0，f(2a)＝8a3−6a2+e>8a2−6a2+ e＝2a2+e>0，所以此时f(x)恰有一个零点．综上，a>e 2+13．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）含参的求导判断单调性；（2）ℎ(x)＝max{f(x), g(x)}，(x>0)，对x∈(0, e)，x ＝e，x∈(e, +∞)三种情况讨论函数f(x)，与g(x)的零点问题，得出结论．【解答】f′(x)＝3x2−3a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，当a >0时，f ′(x)＝3(x +√a)(x −√a)，当x ∈(−∞, −√a)，(√a, +∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(−√a,√a)，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(0, e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0, e)无零点， 当x ＝e 时，g(e)＝0，f(e)＝e 3−3ae +e ， 若f(e)≤0，即a ≥e 2+13，则e 是ℎ(x)的一个零点， 若f(e)>0，即a <e 2+13，则e 不是ℎ(x)的零点，当x ∈(e, +∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f ′(x)＝3x 2−3a >3e 2−3a ，①当a ≤e 2时，f ′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上单调递增． 所以：(ⅰ)当a ≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e, +∞)上无零点；(ⅱ)当e 2+13<a ≤e 2时，f(e)<0，又f(2e)＝8e 3−6ae +e ≥8e 3−6e 2+e >0，所以此时f(x)在(e, +∞)上恰有一个零点；②当a >e 2时，由（1）知，f(x)在(e, √a)递减，(√a, +∞)递增，又因为f(e)＝e 3−3ae +e <e 3−3e 3+e <0，f(2a)＝8a 3−6a 2+e >8a 2−6a 2+e ＝2a 2+e >0，所以此时f(x)恰有一个零点． 综上，a >e 2+13．选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答，作答前填上所选的题号，如若多做，则按所做第一题计分.[参数方程与极坐标选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点．（1）求曲线C 2的参数方程和α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【答案】曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos βy =sin β (β)，当α=π2时，l 与C 2交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx −√2．l 与C 2交于两点当且仅当√2√1+k 2<1，解得k <−1或k >1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．l 的参数方程为{x =t cos αy =−√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2，且t A ，t B ，满足t 2−2√2t sin α+1=0．于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x, y)满足{x =t P cos αy =−√2+t P sin α ，所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2αy =−√22−√22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4)．【考点】 轨迹方程函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】（1）利用平移变换，求解曲线C 2的参数方程，通过讨论α的值，判断过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点．（2）设出A 、B 坐标，P 的坐标，利用直线的参数方程，转化求解AB 中点P 的轨迹的参数方程即可． 【解答】曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos βy =sin β (β)，当α=π2时，l 与C 2交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx −√2．l 与C 2交于两点当且仅当√22<1，解得k <−1或k >1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．l 的参数方程为{x =t cos αy =−√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2，且t A ，t B ，满足t 2−2√2t sin α+1=0．于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x, y)满足{x =t P cos αy =−√2+t P sin α ，所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2αy =−√22−√22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4)．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2a|+|x|，a ∈R ，（1）若不等式f(x)≥a 2对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．（2）设实数m为（1）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z＝2m，求(x+ y)2+y2+z2的最小值．【答案】因为f(x)＝|x−2a|+|x|≥|x−2a−x|＝|2a|，因为f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，所以|2a|≥a2，从而−2≤a≤2．故实数a的取值范围是[−2, 2]；由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(−2)2+12)≥[4(x+y)−2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，所以(x+y)2+y2+z2≥1621，当且仅当x+y4=y−2=z1时等号成立，从而(x+y)2+y2+z2的最小值为1621,x=87,y=−821,z=421时等号成立．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得f(x)min＝|2a|，依题意可得|2a|≥a2，解之即可求得实数a的取值范围；（2）设利用柯西不等式即可求得(x+y)2+y2+z2的最小值．【解答】因为f(x)＝|x−2a|+|x|≥|x−2a−x|＝|2a|，因为f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，所以|2a|≥a2，从而−2≤a≤2．故实数a的取值范围是[−2, 2]；由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(−2)2+12)≥[4(x+y)−2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，所以(x+y)2+y2+z2≥1621，当且仅当x+y4=y−2=z1时等号成立，从而(x+y)2+y2+z2的最小值为1621,x=87,y=−821,z=421时等号成立．。

图1乙甲7518736247954368534321黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2019届高三上学期期末考试数学文试题参考公式:（1）用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，； （2）()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.复数的虚部是（ ）A. B. C. D.2.某大学共有本科生人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ． B ． C ． D ．3.图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ） A ．62 B 63 C ．64 D ．654.对变量由观测数据，得散点图；对变量由观测数据，得散点图.由这两个散点图可以判断( )A ．变量与正相关，与正相关 B ．变量与正相关，与负相关C ．变量与负相关，与正相关D ．变量与负相关，与负相关 5.同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是（ ）A. B. C. D.6.在两个变量与的回归模型中分别选择了个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A.模型的相关指数B. 模型的相关指数C.模型的相关指数D. 模型的相关指数7.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ） A ． B.C. D.8.若直线始终平分圆22222210x y ax ay a a +-+++-=的周长，则的值为（ ）A. B ． C ．或 D ．或 9.已知样本数据，则该样本标准差为（ ）A. B. C. D.10.已知点是抛物线上的动点，焦点为，点的坐标是，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．11.甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为( ) A. B. C. D. 12.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷，编号落入区间[451,750]的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为（ ） A.15 B.10 C.9 D.7 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.某妇产医院长期观察新生婴儿的体重，通过样本得到其频率分布直方图如图所示，则由此可预测每名新生婴儿中，体重在的人数大概是_____ 14.设是双曲线上一点,分别是左右焦点,若,则15.某数学老师（男）身高，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 16. 任取两个小于1的正数m 、n ，若m 、n 、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________． 三．解答题（本大题共6小题，10+12+12+12+12+12，共70分）17.已知曲线的参数方程为()1cos sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线距离的最小值。

2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁A B＝（）A．{2，4}B．{0，1，3，5}C．{1，3，5，6}D．{x∈N*|x≤6} 2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．1763．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y＝B．y＝C．y＝（）1﹣x D．y＝4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4B．C．D．5．（5分）设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l7．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（）A．3B．1C．﹣1D．﹣38．（5分）过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15＝0相切，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞2B．k＜﹣3或2＜k＜C．k＞2或﹣＜k＜﹣3D．﹣＜k＜﹣3或2＜k＜9．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），下面关于f（x）的判定：其中正确命题的个数为（）①f（4）＝0；②f（x）是以4为周期的函数；③f（x）的图象关于x＝1对称；④f（x）的图象关于x＝2对称．A．1B．2C．3D．410．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11] 11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）＝a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．912．（5分）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2B．2k C．2k﹣1D．与a有关二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z满足iz＝1+2i，则复数z的共轭复数为．14．（5分）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝2，∠A＝60°，D为AB的中点，则向量在方向上的投影为．15．（5分）已知不等式（x+y）（）≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．16．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，且|F1F2|＝4，P是它们的一个公共点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率．若满足+＝4，则△PF1F2面积的取值范围是．三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（3n﹣1），（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n18．（12分）已知函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最值；（2）已知cos（β﹣α）＝，cos（β+α）＝﹣，（0＜α＜β≤），求证：[f（β）]2﹣2＝0．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A＝A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知椭圆C过点P（2，），两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求以点M（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程，并求此时△OAB的面积．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|P A|•|PB|＝|AB|2，求a的值．2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：∵集合A＝{x∈N*|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，∴∁A B＝{1，3，5，6}．故选：C．2．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，∴a1+a11＝a4+a8＝16，∴S11＝＝88，故选：B．3．【解答】解：A.5﹣x＞0；∴5﹣x+1＞1；∴；∴该函数的值域是（0，1），∴该选项错误；B.；∴；∴该函数的值域为[0，+∞），∴该选项错误；C.；∴该函数的值域为（0，+∞），∴该选项正确；D.；∴该函数的值域为[0，+∞）．故选：C．4．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选：D．5．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a＝1，b＝﹣2，不是必要条件，故选：A．6．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．7．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝20+2×0+b＝0，解得b＝﹣1，所以当x≥0时，f（x）＝2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（21+2×1﹣1）＝﹣3，故选：D．8．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2＝16﹣k2，所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选：D．9．【解答】解：f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（﹣x），即有f（x）的图象关于直线x＝1对称；由f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）为4为周期的函数，又f（0）＝0，可得f（4）＝f（0）＝0，则①②③正确；④错误．故选：C．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）＝＝1+2×，设k＝，则k＝的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则BD的斜率k＝1，AD的斜率为k＝，即1≤k≤5，则2≤2k≤10，3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：D．11．【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a＝2．故＝2+22+…+2n＝．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n＝6．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程x cos x﹣sin x＝sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1＝x cos x﹣sin x，y2＝sin x，∵y1′＝﹣x sin x，∴y1＝x cos x﹣sin x在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′＝a，由y1＝x cos x﹣sin x的图象可得：a＞0时，y2＝sin x的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：z＝＝2+＝2﹣i，故＝2+i，故答案为：2+i．14．【解答】解：由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠A ＝16+4﹣2×4×2×＝12，所以BC＝2，所以AB2＝BC2+AC2，则∠ABC＝30°，则，的夹角为150°，则向量在方向上的投影为：＝||cos150°＝﹣，故答案为：﹣15．【解答】解：（x+y）（）＝1+a+，当且仅当时取最小值，∵（x+y）（）≥4对任意正实数x，y恒成立，∴，解不等式可得，a≥1，则正实数a的最小值1，故答案为：1．16．【解答】解：设∠F1PF2＝θ，设椭圆的短半轴长为b1，长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2，由焦点三角形的面积公式可得，即，即，等式两边同时除以4可得，，即，在等式两边同时乘以可得＝，对比等式，可得，可得，易知为锐角，则，易知，0＜b2＜2，由焦点三角形的面积公式可得．故答案为：．三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（3n﹣1）①，当n≥2时，S n﹣1＝（3n﹣1﹣1）②，①﹣②得：，整理得：，当n＝1时，a1＝S1＝1（符合上式），故：．（2）由于：，所以：数列b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•3n﹣1，所以：①，3②，①﹣②得：﹣2T n＝1•30+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，解得：．18．【解答】（1）解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin x cos+cos x sin+cos x cos+sin x sin＝sin x﹣cos x﹣+sin x＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∴f（x）的最小正周期为2π，f（x）max＝2，f（x）min＝﹣2；（2）证明：cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα＝，cos（β+α）＝cosβcosα﹣sinβsinα＝﹣，两式相加，得cosβcosα＝0，又0＜α＜β≤，则cosα∈（0，1），cosβ＝0，β＝，f（β）＝2sin＝，∴[f（β）]2﹣2＝0．19．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A＝A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O＝a．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y＝﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|＝||＝，可得a＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义可得2a＝|PF1|+|PF2|＝＝，∴a＝4，，因此，椭圆C的方程为；（2）设点A（x1，x2）、B（x2，y2），由题意可得，所以，，将点A、B的坐标代入椭圆C的方程可得，上述两式相减得，所以，，即，即，则，所以，直线AB的斜率为﹣1，因此，直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并化简得3x2﹣12x+2＝0，由韦达定理可得x1+x2＝4，，由弦长公式可得＝，点O到直线AB的距离为，因此，△AOB的面积为．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R，∴f′（x）＝﹣ax+1＝（x ＞0），∴当a＝0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由于x＞0，故﹣ax2＞0，于是﹣ax2+x+1＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上单调递增；由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递减；∴函数f（x）在（0，+∞）∪（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．（2）由（1）可知，当a＞0，x＝时函数取到极大值，此时∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0∴f（x）＝0有两个不等的根即有两个不等的根即有两个不等的根构造函数y＝lnx与，则两个图象有两个不同的交点∵y＝lnx过（1，0），的对称轴为直线，顶点坐标为∴，解得a＜2∴0＜a＜222．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），转换为直角坐标方程为：y2＝ax，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），站换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．（2）由于：直线l与曲线C相交于A，B两点．直线的方程转换为标准式为：（t为参数），代入y2＝ax，得到：，所以：，所以：，（t1和t2为A和B对应的参数）由于：|P A|•|PB|＝|AB|2，所以：，解得：a＝2．。