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高考数学试题汇编---圆锥曲线1. 【2014高考安徽卷文第3题】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A. 1-=yB. 2-=yC. 1-=xD. 2-=x2. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A. 2 B.26 C. 25D. 1 3. 【2014高考大纲卷文第9题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y+= 4. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）A. 2B. 22C.4D.425. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A .120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 6. 【2014高考广东卷文第8题】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ）A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 8. 【2014高考辽宁卷文第8题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 【2014高考全国2卷文第10题】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）73 10. 【2014高考湖北卷文第8题】设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 【2014高考重庆卷文第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.1712. 【2014高考四川卷文第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．101.【2014高考陕西卷文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.2. 【2014高考四川卷文第11题】双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 3. 【2014高考上海卷文第4题】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点为()1,0，则C 的方程为 .5. 【2014高考浙江卷文第17题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .6. 【2014高考江西卷文第14题】设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.7. 【2014高考辽宁卷文第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .8. 【2014高考湖南卷文第14题】平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y=相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.38. 【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.答案与解析：一、选择题：1-5：ADACA 6-10：DACCA 11-12：DB 二、填空题：1、1-=x2、25 3、2-=x 4、122=-y x 5、25 6、337、12 8、()()∞+⋃∞，，11-- 三、解答题：23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (3) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ；(4) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 【答案】（1）5；（2）22. 【解析】试题分析：（1）由题意11||3||,||4AF F B AB ==可以求得11||3,||1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,||||28a AF AF a =+==.故21||2||835AF a AF =-=-=.（2）设出1||F B k =，则0k>且1||3,||4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的PBA M Fyx关系()(3)a k a k +-=，从而3a k =，212||3||,||5AF k AF BF k ===，则2222||||||BF F A AB =+，24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （2） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（2）求曲线Γ的方程；（3）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定||6AB =.试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-， 所以22(0)(1)1x y y -+-=+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围. 【答案】（1）⎩⎨⎧<≥=)0(,)0(42x o x x y ；（2）当),21()1,(+∞--∞∈ k 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点； 当)0,21[}21,1{--∈ k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；当)21,0()211( -∈k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点)1,41(.当0≠k 时，方程①的判别式为)12(162-+-=∆k k ②设直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，则由)2(1+=-x k y ，令0=y ，得kk x 120+=③ （i ）若⎩⎨⎧<<∆000x ，由②③解得1-<k 或21>k .即当),21()1,(+∞--∞∈ k 时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. （ii ）若⎩⎨⎧<=∆000x 或⎩⎨⎧≥>∆000x ，由②③解得}21,1{-∈k 或021<≤-k ，29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得55c e a ==． 【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系． 31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（2）证明：动点D 在定直线上；（3）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP【答案】（Ⅰ）(2,2)；（Ⅱ）22163x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设切点P 00(x ,y )00(x 0,,y 0)>>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=． 【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）7,27a b == 【解析】34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+， 由题意知，12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （2）求椭圆的方程；（3）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.试题解析：（1）由题意可得312222bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1a b c===∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =--考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，解得1m =±. 此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积. 38.【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）)32,322(-M 或)32,322(M ；（2）1355256. 【解析】PBA M Fyx40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y20. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.21.【2013浙江文22】已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：y=x-2于M 、N 两点，求|MN|的最小值.PBA M Fyx。
题阶段评估(五) 解析几何【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝02．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x3．(2013·某某卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形5．(2013·某某省某某市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( ) A ．x 2－y 29＝1B ．x 2－y 2＝15 C.x 29－y 2＝1 D.x 29－y 29＝1 6．(2013·某某市调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于一点M (1，m )，点M 到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( )A ．3B ．4 C.13D.147．(2013·某某卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝08．(2013·某某省“江南十校”联考)已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为( )A ．4 2B ．6 2C ．4D ．69．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，交双曲线右支于点P ，切点为E ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10B.105C.102D. 2第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)11．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.12．圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 14．(2013·某某市调研)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0上到直线x －2y ＝0的距离为5的点的个数是________．15．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，某某数k 的值．17.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．18．(本小题满分12分)(2013·东城期末)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2∶1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．19．(本小题满分13分)(2013·某某某某二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．20．(本小题满分13分)(2013·皖南八校三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，点F 2(c,0)到直线l ：x ＝a 2c的距离为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →，求出该圆的方程．21．(本小题满分13分)(2013·某某第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|＜253时，某某数t 的取值X 围．详解答案专题阶段评估(五)一、选择题1．A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直， 所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1， 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 2．A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A. 3．B 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．4．B 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 1＝1＋b 2a 2，椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1的离心率e 2＝ 1－b 2m2， 则1＋b 2a 2·1－b 2m2＝1，即m 2＝a 2＋b 2. 5．C 由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1.故选C.6．A 点M 到抛物线焦点的距离为p2＋1＝3，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴m 2＝8.双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，两边平方得y 2＝b 2a2x 2，把(1，m )代入上式得8＝b 2a2，即b 2＝8a 2.∴双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝a 2＋8a 2a 2＝3. 7．A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．C 因为m ＋n ＋2＝(m ＋1)＋(n ＋1)表示点A 、B 到准线的距离之和，所以m ＋n ＋2表示焦点弦AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以m ＋n ＋2的最小值为4.9．D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10．C如图所示，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，由题意，知OE ⊥PF ，|OE |＝a2，又因为OE →＝12(OF →＋OP →)，所以E 为PF 中点，所以|OP |＝|OF |＝c ，|EF |＝c 2－a 24.所以|PF |＝2c 2－a 24.又因为|OF |＝|OF ′|，|EF |＝|PE |， 所以PF ′∥OE ，|PF ′|＝2|OE |＝a . 因为|PF |－|PF ′|＝2a ，所以2c 2－a 24－a ＝2a ，即c ＝102a ，故e ＝c a ＝102. 二、填空题11．解析： l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0， 解得a ＝13.答案： 1312．解析： 由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，此时圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－1k AC(x －3)＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0.答案： x ＋y －4＝013．解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2. 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案： x 216＋y 28＝1 14.解析： 圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0化为标准式为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝20，其圆心坐标为(－1，－2)，半径r ＝25，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －2y ＝0的距离d ＝|－1－2×－2|12＋－22＝355，如图所示，圆到直线x －2y ＝0的距离为5的点有4个． 答案： 415．解析： 由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取最小值－2.答案： －2 三、解答题16．解析： (1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2， 所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ， 所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1， 又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. 17．解析： (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝y ＋m得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3 y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.18.解析： (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2， 则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k2.所以k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． 19．解析： (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.20．解析： (1)由题知2|F 1F 2|＝|MF 1|＋|MF 2|， 即2×2c ＝2a ，得a ＝2c .又由a 2c－c ＝3，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y ＝kx ＋m ，则r ＝|m |k 2＋1，r 2＝m 2k 2＋1，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2.又∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋3m 2＋4k 2m 2＝0，化简得m 2＝127(k 2＋1)，②由①②求得r 2＝127.所求圆的方程为x 2＋y 2＝127.(ⅱ)若AB 的斜率不存在，设A (x 1，y 1)，则B (x 1，－y 1)，∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，有x 21－y 21＝0，x 21＝y 21，代入x 214＋y 213＝1，得x 21＝127.此时仍有r 2＝|x 21|＝127. 综上，总存在以原点为圆心的圆x 2＋y 2＝127满足题设条件．21．解析： (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt1＋2k2. ∵点P 在椭圆C 上，∴8k22[t 1＋2k 2]2＋2－4k2[t1＋2k 2]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 41＋2k22－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14.∴14＜k 2＜12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±abx .4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|²|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.考点1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．【解析】 法一 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________．考点2、圆锥曲线的几何性质【例2】 (2013²浙江卷改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．考点3、求动点的轨迹方程【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →²B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式探究】(2013²新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB |.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.难点一、圆锥曲线的弦长问题【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【变式探究】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．难点二、定点、定值问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．【规律方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【变式探究】 (2013²安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．难点三、最值、范围问题【例3】 (2013²新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值．所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |²|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：【变式探究】 已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．2．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．3．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．4．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．5．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．所以a ＝22，b ＝ 2.7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．8．已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.9．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝x 2－，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.① 又点A ，B 在椭圆C 上，10．(2013·浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，。
2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数12−i 对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. R 表示实数集，集合M ={x|0≤x ≤2}，N ={x|x 2−2x −3>0}，则下列结论正确的是（ ）A M ⊆NB M ⊆(∁R N)C (∁R M)⊆ND (∁R M)⊆(∁R N) 3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 83 B 8 C 323 D 164. 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线y 2=2x 准线上的是（ ）A 8x 2−8y 2=−1B 20x 2−5y 2=−1C 2x 2−2y 2=1D 5x 2−20y 2=1 5. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( ) A 向左平移5π6个长度单位 B 向右平移5π6个长度单位 C 向左平移5π12个长度单位 D 向右平移5π12个长度单位6. 数列{a n }满足a 1=2，a n =a n+1−1a n+1+1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A 16B −16C 6D −67. 已知函数f(x)满足：对定义域内的任意x ，都有f(x +2)+f(x)<2f(x +1)，则函数f(x)可以是（ ）A f(x)=2x +1B f(x)=e xC f(x)=lnxD f(x)=xsinx 8. (x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为（ ） A −210 B 210 C 30 D −309. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，线段B 1A 1，B 1C 1上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且B 1P =B 1Q ，下列说法中，不正确的是（ ）A A ，C ，P ，Q 四点共面B 直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角为定值 C π3<∠PAC <π2D 设二面角P −AC −B 的大小为θ，则tanθ的最小值为√210. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组{x ≥0y ≥0x +y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x +y =0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →+OQ →|的最小值为（ ） A √55 B √23 C √22 D 1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 合肥市环保总站发布2014年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153、203、268、166、157、164、268、407、335、119，则这组数据的中位数是________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−√3t y =4+t （t 为参数）．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ=4sinθ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．13. 执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是________．14. 关于x 的不等式ax 2−|x +1|+3a ≥0的解集为(−∞, +∞)，则实数a 的取值范围是________．15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）． ①总存在某内角α，使cosα≥12；②若AsinB >BsinA ，则B >A ．③存在某钝角△ABC ，有tanA +tanB +tanC >0； ④若2aBC →+bCA →+cAB →=0→，则△ABC 的最小角小于π6；⑤若a <tb(0<t ≤1)，则A <tB ．三、解答题（本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1, y l )，将射线OA 按逆时针方向旋转2π3后与单位圆交于点B(x 2, y 2)，f(a)=x l −x 2．（1）若角α为锐角，求f(α)的取值范围； （2）比较f(2)与f(3)的大小．17.如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为AB̂上的点，点M 为BC 中点．（1）求证：B 1M // 平面O 1AC ；（2）若AB =AA 1，∠CAB =30∘，求二面角C −AO 1−B 的余弦值．18. 某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量誉，受益人获得的公益金y ．与摸出的红球数ξ的关系是y =20000+5000ξ（单位：元）．（1）求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率； （2）求随机变量ξ的分布列与期望．19.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，如图所示．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A 与椭圆上的另一点C （非右顶点）关于直线l 对称，直线l 上一点N(0, y 0)满足NA →⋅NC →=0，求点C 的坐标．20. 已知函数f(x)={2x −1，0≤x <1，2f(x −1),x ≥1，方程f(x)=12的解从小到大组成数列{a n }．(1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．21. 已知函数f(x)=x −a x (a >O ，且a ≠1)．（1）当a =3时，求曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程； （2）若函数f(x)存在最大值g(a)，求g(a)的最小值．2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. D5. C6. D7. C8. A9. D10. A11. 184.512. 213. 7314. [12, +∞) 15. ①④⑤16. 解：（1）如图所示，∠AOB=2π3，由三角函数的定义可得x1=cosα，x2=cos(α+2π3)，f(α)=x l−x2=cosα−cos(α+2π3)=cosα−cosαcos2π3+sinαsin2π3=32cosα+√32sinα=√3sin(α+π3)．∵ 角α为锐角，∴ π3<α+π3<5π6，∴ 12<sin(α+π3)≤1，∴ √32<√3sin(α+π3)≤√3，即f(α)的范围是(√32, √3]．（2）∵ f(2)=√3sin(2+π3)，f(3)=√3sin(3+π3)，π2<2+π3<3+π3<3π2，函数y=sinx在(π2, 3π2)上是减函数，∴ f(2)>f(3)．17. （1）证明：连结OB1，OM，∵ O1B1 // AB，且O1B1=12AB=OA，∴ 四边形AOB1O1为平行四边形，∴ OB1 // AO1，由 OB1 // AO1 OM // ACAO1∩AC=A}⇒平面OMB1 // 平面O1AC，又∵ B1A⊂平面OMB1，∴ B1M // 平面O1AC．（2）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥O 1A ， 垂足为E ，连结CE ，∵ BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴ BB 1⊥CD ，∵ AB ∩BB 1=B ， ∴ CD ⊥平面ABB 1A 1，∴ CD ⊥AO 1，∴ CE ⊥AO 1，∴ ∠CED 为二面角C −AO 1−B 的平面角， 令AB =2a ，在Rt △CDE 中，CD =√32a ，DE =3√55a ， ∴ cos∠CED =2√5117． 18. （1）解：在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，摸球结束时羸得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为： p =15+45⋅15=925．（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，对应的随机变量y ξ的取值为20000，25000，30000， ∵ P(ξ=0)=(35)2=925， P(ξ=1)=(25+35⋅25)⋅(45)2=256625，P(ξ=2)=1−925−256625=144625，∴ 随机变量y ξ的分布列为：∴ Ey ξ=20000×925+25000×256625+30000×144625=24352． 19. 解：（1）由题意，A(−a, 0)，B(0, b)，F(1, 0)， ∵ OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，∴ b 2−a −1=0，∵ b 2=a 2−1，∴ a 2−a −2=0，解得a =2， ∴ a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）设C(x 1, y 1)(y 1≠0)，且A(−2, 0)，则AC 的中点M(x 1−22, y 12)，由已知k AC =y 1x 1+2，则k l =−x 1+2y 1，∴ l:y −y 12=−x 1+2y 1(x −x 1−22)，令x =0，则y 0=x 12−4+y 122y 1=−y16，即N(0, −y16)，∴ NA →⋅NC →=(−2, y 16)⋅(x 1, 7y 16)=−2x 1+7y 1236=0，∴ 7x 12+96x 1−28=0∴ x 1=27（x 1=−14舍去）， ∴ y 1=±127， ∴ C(27, ±127)．20. 解：(1)0≤x <1时，由f(x)=12得2x −1=12，∴ x =log 232，即a 1=log 232．1≤x <2时，0≤x −1<1，f(x)=2f(x −1)=2x −2， 由f(x)=12得2x −2=12，∴ x =log 254+1，∴ a 2=log 254+1；(2)设n −1≤x <n ，则0≤x −(n −1)<1，∴ f(x)=21f(x −1)=22f(x −2)=...=2n−1f[x −(n −1)] =2n−1(2x−n+1−1)=2x −2n−1，∵ 2n <2n +1<2n+1，∴ x =log 2(2n +1)−1∈(n −1, n)， 即方程f(x)=12在x ∈[n −1, n)内有且仅有一个实根，∴ a n =log 2(2n +1)−1． 21. 解：（1）当a =3时，f(x)=x −3x ， ∴ f′(x)=1−3x ln3， ∴ f′(1)=1−3ln3， ∵ f(1)=−2，∴ 曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程为y +2=(1−3ln3)(x −1)，即y =(1−3ln3)x −3+3ln3；（2）f′(x)=1−a x lna ．①0<a <1时，a x >0，lna <0，∴ f′(x)>0， ∴ f(x)在R 上为增函数，f(x)无极大值； ②a >1，设f′(x)=0的根为t ，则a t=1lna ，即t =ln1lnalna，∴ f(x)在(−∞, t)上为增函数，在(t, +∞)上为减函数， ∴ f(x)的极大值为f(t)=t −a t=ln1lnalna−1lna ，即g(a)=ln1lnalna−1lna ，∵ a >1，∴ 1lna >0．设ℎ(x)=xlnx−x，x>0，则ℎ′(x)=lnx=0得x=1，∴ ℎ(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上为增函数，∴ ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=−1，即g(a)的最小值为−1，此时a=e．。
§10.6 圆锥曲线的综合问题考点一定值与最值问题1.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2答案 A2.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.6答案 D3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.答案 B4.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O 的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.5.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P,且点P 在第一象限.(1)已知直线l 的斜率为k,用a,b,k 表示点P 的坐标;(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直,证明:点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.解析 (1)设直线l 的方程为y=kx+m(k<0),由消去y 得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2kmx+a 2m 2-a 2b 2=0.由于l 与C 只有一个公共点,故Δ=0,即b 2-m 2+a 2k 2=0,解得点P 的坐标为.又点P 在第一象限,故点P 的坐标为P.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直,故直线l 1的方程为x+ky=0,所以点P 到直线l 1的距离d=,整理得d=.因为a 2k 2+≥2ab,所以≤=a -b,当且仅当k 2=时等号成立.所以,点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.6.(2014湖南,21,13分)如图,O 为坐标原点,椭圆C 1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为e 1;双曲线C 2:-=1的左、右焦点分别为F 3、F 4,离心率为e 2,已知e 1e 2=,且|F 2F 4|=-1.(1)求C 1,C 2的方程;(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB,M 为AB 的中点,当直线OM 与C 2交于P,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.解析 (1)因为e1e 2=,所以·=,即a 4-b 4=a 4,因此a 2=2b 2,从而F 2(b,0),F 4(b,0),于是b-b=|F 2F 4|=-1,所以b=1,所以a 2=2.故C 1,C 2的方程分别为+y 2=1,-y 2=1.(2)因为AB 不垂直于y 轴,且过点F 1(-1,0),故可设直线AB 的方程为x=my-1.由得(m 2+2)y 2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2 .而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.7.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值. 所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).考点二存在性问题。
第九章 圆锥曲线1.【2014安徽六校教育研究会2月联考数学文】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为 ( )（A（B ） （C（D2.【2014安徽六校教育研究会2月联考数学文】抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是 ．3.【2014安徽六校教育研究会2月联考数学文】（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线28y x =-有一个公共的焦点，且过点(-. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点,若OA OB ⊥(O 为坐标原点),试判断直线l 与圆2283x y +=的位置关系，并证明你的结论.OA OB ⊥12120x x y y ∴+=22(4)02m m ∴--=考点：1、椭圆和抛物线的标准方程；2、直线与抛物线的位置关系.4.【2014安徽宿州】 (本小题14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2. (Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.由韦达定理，得y1＋y2＝－4t2t2＋3，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－4t22t2＋3＋2＝62t2＋3，5.【2014皖西七校联合考试数学文】（本小题满分13分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,2)，其左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是1F 、2F ，P （异于A 、B ）是椭圆上的动点，连接,PA PB 交直线:5l x =于M 、N 两点,若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列. （Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）求证:以线段MN 为直径的圆过点2F .【答案】；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于,2,a c c a c -+成等比数列，利用等比中项可知2(2)()()c a c a c =+-，在等式两边同时除以2a得5c e a ==；（Ⅱ）又由5c a =(0,2)点可知，可得椭圆方程为22154x y +=，设。
