江苏省南通市通州高级中学2012届高三期末模拟试卷数学

通州高级中学2012届高三期末模拟试卷数学试题一、填空题：1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ．5．复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 ． 6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ． 7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ．8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ；②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．9．设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的范围是______________．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为 ．第3题图11．设θγ,为常数（0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则2tan tan cos()sin ()4θγθγπθ+-=+12．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与 正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个 钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与 正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ．13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ． 14．定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1,2x x 总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212nn n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为上凸数列. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数,(110,)n n n N *≤<∈，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 . 二、解答题:15．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.（1）求证：1BD 平面1C DE ；DBCA 1B 1C 1D 1（第16题）EF（2）求三棱锥A BDF-的体积.17.如图，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R--+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH x⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP PQ=，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．18.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).19．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数． （1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{}n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S 满足416113S <<，这样的等比数列有多少个？通州高级中学2011届高三期末模拟试卷数学试题一、填空题：1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是[5,)+∞ ． 2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是5.10,5.10==b a3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 3 ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为35．复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 6 ．第3题图6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = 2 ． 7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π6π．8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ；②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 4 ．9．设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的范围是_____40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦_________．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为1112． 11．设θγ,为常数（0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则2tan tan cos()sin ()4θγθγπθ+-=+ 212．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与 正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个 钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与 正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝126 ．13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为115． 14．定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1,2x x 总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212nn n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为上凸数列. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数,(110,)n n n N *≤<∈，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 []13,25 .二、解答题:15．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.解：（1）由()()3a b c a c b ac +++-=得222a c b ac +-=由余弦定理得1cos 2B = 所以角3B =π--------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23A C +=π 222cos cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=++-11cos 2cos 22A A A =+-(2)16A =++πsin --------------------------------------------10分由203A <<π得32662A <+<πππ(2)16A ≤+≤π-1sin所以22cos cos()A A C +-的取值范围为[0，2] . -----------16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.（1）求证：1BD 平面1C DE ；（2）求三棱锥A BDF -的体积.ADBCA 1B 1C 1D 1（第16题）E F解：（1）连接1D C 与1DC 交于点F ，连接EF因为E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.所以1EF BD又 EF ⊂平面1C DE ，1BD ⊄平面1C DE所以1BD 平面1C D E--------------------------------------------------------8分 （2）由于点F 到平面ABD 的距离为1故三棱锥A BDF -的体积111212213323A BDF F ABD ABD V V S --∆====-------- 17.如图， 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e =（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解：（1）将(2)(12)(12)0k x k y k --+++=整理得(22)210x y k x y --++-+=解方程组220210x y x y --+=⎧⎨-+=⎩得直线所经过的定点（0，1），所以1b =．由离心率e =得2a =． 所以椭圆2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=．∵HP PQ =，∴()00,2Q x y ．∴OQ ∴Q 点在以O 为圆心，2以AB 为直径的圆O 上．又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()0022y x x =++． 令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∴()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切．18.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m 2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m 2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m 2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m 2的损失为250元.现在共派去x 名工人,抢修完成共用n 天. （Ⅰ）写出n 关于x 的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).解：（Ⅰ）由题意得所以.…………… 4分（Ⅱ）设总损失为……… 8分当且仅当时,即时,等号成立.所以应派52名工人去抢修,总损失最小.19．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数． （1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值． 解：（1）对于函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，当x ∈[1，2]时，f 1(x )＝1．当x ＜1或x ＞2时，f 1(x )＞|(x －1)－(x －2)|＝1恒成立，故f 1(x )是“平底型”函数． 对于函数f 2(x )＝x ＋|x －2|，当x ∈(－∞，2]时，f 2(x )＝2；当x ∈(2，＋∞)时， f 2(x )＝2x －2＞2．所以不存在闭区间[a ，b ]，使当x ∉[a ，b ]时，f (x )＞2恒成立． 故f 2(x )不是“平底型”函数．（2）因为函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，则存在区间[a ，b ] ⊆[－2，＋∞)和常数c ，使得mx ＋x 2＋2x ＋n ＝c 恒成立.所以x 2＋2x ＋n ＝(mx －c )2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，－2mc ＝2， c 2＝n ．解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1时，g (x )＝x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝2x ＋1>－1恒成立． 此时g (x )是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1时，g (x )＝－x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－2x －1≥1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝1． 此时，g (x )不是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数． 所以m ＝1，n ＝1．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{}n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S 满足416113S <<，这样的等比数列有多少个？ 解：（1）当1n =时，11122a S a +==，则11a =.又2n n a S +=，112n n a S ++∴+=，两式相减得112n n a a +=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的等比数列， 112n n a -∴=--------------------------------------------------------4分 （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为111,,()p q r a a a p q r +++<< 则1112222q p r=+， 2221r qr p --∴=+（*） 又p q r << *,r q r p N ∴--∈∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立 ∴假设不成立原命题得证.------------------------------------------------8分（3）设抽取的等比数列首项为12m ，公比为12n ，项数为k ， 且满足,,,0,1,1m n k N m n k ∈≥≥≥，则111221()21122m m k n n nS ⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦-- 又416113S << 14216112m n ∴>- 整理得：61224m m n --< ① 1n ≥ 122m n m --∴≤ 1612224m m m n --∴≤-< 4m ∴≤ 113S < 11213m ∴< 4m ∴≥ 4m ∴= 将4m =代入①式整理得6423n < 4n ∴≤ 经验证得1,2n =不满足题意，3,4n =满足题意.综上可得满足题意的等比数列有两个.。

2012届通州区高三重点热点专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知集合{1,cos }A θ=，1{0,,1}2B =，若A B ⊆，则锐角θ= ▲ ．2．若 12z a i =+, 234z i =-，且12zz 为 纯 虚 数，则 实 数 a 的 值为 ▲ ．3．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ ．4．命题p ：函数tan y x =在R 上单调递增，命题q ：ABC ∆中，A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件，则p q ∨是 ▲ 命题．（填“真”“假”）5．平面向量a 与b 的夹角为120︒，(0,2)a =，||1b =， 则a b += ▲ ．6．执行如图的程序框图，若输出5n =，则整数p 的 最小值是 ▲ ．7．设231,0()27,0x x x f x x x ⎧--=⎨-+<⎩≥，若()3f a >，则实数a的取值范围是 ▲ ． 8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图像． 9．设函数1()1f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为零），则()()f a f c += ▲ ． 10．设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β． 其中正确命题的序号有 ▲ ．11．在ABC ∆中，3AB AC =，AD 是A ∠的平分线，且AD mAC =，则实数m 的取值范围 是 ▲ ．12．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为▲ ．13．已知,a b R ∈，1C ：2224250x y x y a +-+-+=与2C ：22(210)2x y b x by +---+2210160b b -+=交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121212120x x y y y y x x -++=-+，则实数b 的值为 ▲ ．14．已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()(0,)2πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．16．（本小题满分14分）已知PA ⊥矩形ABCD所在平面，PA AD ==，E 为线段PD 上一点，G 为线段PC 的中点．（1）当E 为PD 的中点时，求证：BD CE ⊥； （2）当2PEED=时，求证：BG //平面AEC ．17．（本小题满分14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现PABC DEG有两个奖励方案的函数模型：（1）2150xy =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模 型是否符合该公司要求，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为2焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．19．（本小题满分16分） 函数ln ()a xf x x x=-，其中a 为常数． （1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值．20．（本小题满分16分）数列{}n a 中，11a =，37a =，且11(2)1n n na a n n +-=-≥． （1）求2a 及{}n a 的通项公式；（2）设k a 是{}n a 中的任意一项，是否存在,()r p N r p k *∈>>，使,,k p r a a a 成等比 数列？如存在，试分别写出p 和r 关于k 的一个．．表达式，并给出证明； （3）证明：对一切n N *∈，21176ni i a =<∑．2012届高三重点热点专项检测数学附加题21．本题包括高考A ，B ，C ，D 四个选题中的B ，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—1：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．C ．选修4—4：极坐标与参数方程将参数方程cos sin ,(sin 2x y θθθθ=+⎧⎨=⎩为参数)化为普通方程．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．由数字1，2，3，4组成五位数12345a a a a a ，从中任取一个．（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数()15j j ≤≤，至少存在另一个正整数 (15k k ≤≤，且)k j ≠，使得j k a a =”的概率；（2）记ξ为组成该数的相同数字的个数的最大值，求ξ的概率分布列和数学期望．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．求证：对于任意的正整数n ，(2n s N *∈. 2012届高三重点热点专项检测数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．3π 2．83 3．220 4．真 5．8 7．{|0a a <或}4a >8．512π 9．2 10．①②③④ 11．3(0,)2 12．34 13．53 14．1}二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）∵a b ⊥，∴sin 2cos 0θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，且(0,)2πθ∈，∴sin θ，cos θ=． …………………………6分（2）∵(0,)2πθ∈，(0,)2πϕ∈，∴(,)2ππθϕ-∈-，又sin()θϕ-=，∴cos()θϕ- …………………………10分∴[]cos cos ()ϕθθϕ=--cos cos()sin sin()θθϕθθϕ=-+-2==． …………………………14分 16．（1）过点E 作EQ AD ⊥于Q ，连结CQ ，则tan CD DBC BC ∠==tan DQ QCD CD ∠==，所以DBC QCD ∠=∠，又90QDC BCD ∠=∠=︒， ∴Rt DBC Rt QCD ∆∆，则易得BD CQ ⊥． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又//PA EQ ，∴BD EQ ⊥，又CQ EQ Q =，∴BD ⊥平面ECQ ，∴BD CE ⊥. …………………………7分 （2）取PE 的中点F ，连接GF ，BF ， ∵G 为PC 的中点，∴GF //CE ，又GF ⊄平面ACE ，CE ⊂平面ACE ， ∴GF //平面ACE ，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ． ∵E 为DF 的中点，∴BF //OE ，又BF ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ∴BF //平面ACE ，∵F GF BF = ， ∴平面BGF //平面AEC .又BG BGF ⊂平面，∴BG //平面AEC ． …………………………14分17．解：设奖励函数模型为y ＝f (x )，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③1()5f x x ≤恒成立．①对于函数模型()2150xf x =+：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<．所以f (x )≤9恒成立． …………………………3分因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max()121150105f x x ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦． 从而1()5f x x ≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分 ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=．所以f (x )≤9恒成立． …………………………9分设g (x )＝4lg x －35x -，则4lg 1()5e g x x '=-.当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-=<≤，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0，所以4lg x －35x -＜0，即4lg x －3＜5x ，所以1()5f x x ≤恒成立．故该函数模型符合公司要求． …………………………14分18．解：（1）由题意知222a c a c bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得6M ，6(1,N ．此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． …………………………16分19．解：（1）令ln 0x =，得1x =，且(1)1f =，∴函数()y f x =图像恒过定点(1,1)． …………………………2分（2）当1a =时，ln ()xf x x x=-，∴21ln ()1xf x x-'=-，即22ln 1()x x f x x +-'=， 令()0f x '=，得1x =．x(0，1) 1 （1，＋∞）()f x '－ 0 ＋ f (x )极小值∴min ∵()20f x b +≤在(0,x ∈+∞）上有解，∴min 2()b f x -≥，即21b -≥，∴实数b 的取值范围为1(,]2-∞-．…………………9分（3）2ln ()1a a xf x x-'=-，即22ln ()x a x a f x x +-'=，令2()ln g x x a x a =+-，由题意可知，对任意[,0)a m ∈，()f x '≥0在(0,)x ∈+∞恒成立， 即2()ln 0h x x a x a =+-≥在(0,)x ∈+∞恒成立．∵22()2a x ah x x x x+'=+=，令()0h x '=，得x =∴min 3()02h x h a ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭≥，解得32a e -≥． ∴m 的最小值为32e -． …………………16分20．解：（1）23211a a -=，故24a =． …………………1分2n ≥时，1111()111n n n a a a n n n n n n+-==----- ∴1111n n a a n n +--=-，∴11n a n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为常数列． ………………………4分 ∴141121n a n --=--，所以32(2)n a n n =-≥． 又11a =也满足上式，∴{}n a 的通项公式为32()n a n n N *=-∈． ………………………6分（2）当42p k =-，1610r k =-时满足,,k p r a a a 成等比数列． 证明如下：424(32)p k a a k -==-，161016(32)r k a a k -==-，显然,,k p r a a a 成等比数列． …………………………10分 （3）证明：2k ≥时， 22111111()(32)(34)(31)33431k a k k k k k =<=------， …………………12分 ∴当2n ≥时， 221211111111111325583431n ni i i i a a n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ 1117132316n ⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭． …………………………15分又1n =时，211716a =<，∴对一切n N *∈，21176ni ia =<∑． …………………16分附加题参考答案21B ．解：设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ①， 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ②， …6分由①②得1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,,……………8分解得2101a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………10分 21C ．解：cos sin (1)sin 2(2)x y θθθ=+⎧⎨=⎩，将(1)式平方得21sin 2(3)x θ=+， 将（2）式代入（3）式得21x y =+， ……………8分所以所求的普通方程为21(y x x =-. ……………10分 22．解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数12345a a a a a 共有54个数，满足条件的数分为两类：①只有一个数组成共有4个；②由两个数字组成，共有22452120C C ⋅⋅=个， ∴所求的概率为5124314256p ==. ……………4分（2） ξ的可能取值为2,3,4,5，则1332124543545150(2)4256C A C C C C P ξ⋅+⋅⋅⋅===， 312545390(3)4256C C P ξ⋅⋅===， 411543515(4)4256C C C P ξ⋅⋅===， 541(5)4256P ξ===. ……………6分 ∴ξ的分布为：∴6352(2)3(3)4(4)5(5)256EP P P P ξξξξξ=⋅=+⋅=+⋅=+⋅==. ……………9分 答：ξ的数学期望为635256． ……………10分 23．解：由二项式定理可知，1201122(22222nn nn n nn n n n C C C C --=++++,设(2n x =，而若有(2n +=,ab N *∈，则(2n =,a b N *∈， …………………6分∵(2(21n n ⋅=+⋅-=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-． …………………9分 ∴(2n s N *∈． …………………10分 注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．。

江苏省南通市通州区2012届高三下学期4月查漏补缺专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z = ▲ ．2．已知全集U R =，集合{}250A x Z x x =∈-+≤，{}40B x x =-<，则()U C A B 中最大 的元素是 ▲ ．3．直线30x ay ++=与直线460ax y ++=平行的充要条件是 ▲ ．4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则数列{}n a 的公比q 是 ▲ ． 5．如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C 的概率是 ▲ ． 6．实数x 满足3log 1sin x θ=+，则|1||9|x x -+-的值为 ▲ ．7．与抛物线2y x =有且仅有一个公共点，并且过点()1,1的直线方程为 ▲ ． 8．空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线l 与这三条直线所成的角均为α，则tan α= ▲ ．9．将函数5sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象．10．将一个长和宽分别为(),0a b a b <<的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是 ▲ ．11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若tan tan 1tan tan tan tan 6A B A C B C =-+，则222a b c+= ▲ ． 12．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称．若对任意的,x y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时， 22x y +的取值范围是 ▲ ．13．已知ABC ∆中，60B ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若点P 在ABC ∆所在的平面上，ABC DEFS NM第5题图OP OA OB OC =++ ，且8BP BC ⋅=，则边AC 上的高h 的最大值为 ▲ ．14．各项为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S，且()22n S n =≥，若11n n n n n a ab a a ++=+，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，，则n T = ▲ ． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0,2πωϕ><，若2cos cos sin sin 033ππϕϕ-=，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是4π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =-，求sin sin B C +的取值范围．16．（本小题满分14分）在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC DEF -中，已知BF AE ⊥，BF CE O = ，且AB AE =，连接AO ．（1）求证：AO ⊥平面FEBC ； （2）求证：四边形BCFE 为正方形．17．（本小题满分14分） 如图1，OA 、OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别 是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点P 分别修 建与OA 、OB 平行的栈桥PM 、PN ，且以PM 、PN 为边建一个跨越水面的三角形 观光平台PMN ．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220x y +=()020x ≤≤，曲线段EF 的方程是()200450xy x =≤≤，设点P 的坐标为(,)x y ，记z xy =（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）． （1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台PMN 面积PMN S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值．AO FE DCB第16题图18．（本小题满分16分）已知椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为()(,0)1F c c >，点P 在圆22:1O x y +=上任意一点（点P 第一象限内），过点P 作圆O 的切线交椭圆C 于两点Q 、R ．（1）证明：PQ FQ a +=； （2，求线段QR19．（本小题满分16分）已知函数()2ln f x ax b x =-+（0x >）．（1）若1a =，()f x 在()0,+∞上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若2,1a b ≥=，求方程()1f x x=在(]0,1上解的个数．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若任意的i ，j （1≤i ≤j ≤K ）， j i a a -仍是{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“K 项可减数列”． （1）已知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{}2n a -是“K 项可减数第18题图列”，试确定K 的最大值；（2）求证：若数列{}n a 是“K 项可减数列”，则其前n 项的和(1,2,,)2n n n S a n K == ；（3）已知{}n a 是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假， 并说明理由．数学附加题21．本题包括高考A ，B ，C ，D 四个选题中的B ，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α ，使得2αβ= A ．C ．选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有 5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7P(0)10ξ>=． （1）求文娱队的队员人数；（2）写出ξ的概率分布列并计算()E ξ．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在数列{}n a 和{}n b 中，n n a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n = ，其中2a ≥且a ∈*N ， b ∈R ．设123{,,,}A a a a = ，123{,,,}B b b b = ，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅ ．若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由．数学试题答案及评分标准一、填空题：1．1i + 2．3 3．2- 4．1或－1 5．236．8 7．210x y -+=或1y =89．3π 10．51,4⎛⎫⎪⎝⎭ 11．23 12．()13,49 13． 14．24621n n n ++二、解答题：15．解：（1）由条件，2coscos sinsin cos cos sin sin cos()033333πππππϕϕϕϕϕ-=-=+= 5,,,2636326πππππππϕϕϕϕ<∴-<+<∴+=∴= ， ……………………………3分又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是4π，所以周期为π，2ω∴=， ()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭． ……………………………6分（2）由()1f A =-，知sin 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 是ABC ∆的内角，0A π∴<<，132666A πππ∴<+<， 322,623A A πππ∴+=∴=，从而3B C π+=． ……………………………9分 由sin sin sin sin sin 33B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………12分20,3333B B ππππ<<∴<+<，sin 13B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即s i nsB C ⎤+∈⎥⎝⎦． ……………………………14分 16．（1）证明：因为BCFE 是菱形，所以BF EC ⊥又BF AE ⊥，AE EC E = ，所以BF AEC ⊥平面 因为AO AEC ⊂平面，所以BF AO ⊥ ……………………………4分因为,AE AB AC OE OC ===，所以AO EC ⊥ 由BF EC O = ，所以AO BCFE ⊥平面 ……………………………8分（2）证明：因为AO BCFE ⊥平面，所以,AO OE AO OB ⊥⊥， ……………………………10分又因为AE AB =，所以OE OB =， 所以EC BF =所以四边形BCFE 为正方形 ……………………………14分17．解：（1）220102xx y y +=⇒=- ， (2)分由题知，200200(,),(,)M y N x y x在曲线段EF 上， ∴4x ≥且4104122xy x ≥⇒-≥⇒≤，∴[]4,12x ∈， ……………………………4分[]221110(10)5032,5022z xy x x x ∴==-+=--+∈ ……………………………7分（2）11200200140000()()400222PMN S PM PN y x z x y z ∆⎛⎫=⋅=--=+- ⎪⎝⎭……………………10分[]32,50z ∈时，()()2220020014000011022z z S z z -+⎛⎫'=-+=⨯< ⎪⎝⎭， ∴()S z 在[]32,50上单调递减，∴()min ()50225S z S ==． ……………………………14分18．解：（1）设111(,)(0)Qxy x >，得1||FQ a ex =-， (3)分由PQ 是圆221x y +=的切线，||PQ 注意到221121x y a+=，1PQ ex ===，…………………………6分所以|PQ +=． ……………………………7分（2）由题意，e ==，2a ∴=． (9)分方法一：设直线QR 的方程为y kx m =+， 点P 在第一象限，0,0k m ∴<>． 由直线QR 与圆O 相切，221,1m k =∴=+． ……………………………11分由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()222148440k x kmx m +++-=， 设()()1122,,,P x y Q x y ，则122814kmx x k +=-+．由（1）知，()1222228)14143k m k m kmQR e x x k k m k =+=-==+++，………………14分223m k k +≥，2QR ∴≤=．当且仅当m =时，QR 取最大值2，此时直线QR的方程为(y k x =，过焦点F ．…16分方法二：设()()()001122,,,,,P x y Q x y R x y ，则直线QR 的方程为001x x y y +=． (11)分由0022144x x y y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()2222000048440y x x x x y +-+-=， 则012220084x x x y x +=+，22001x y += ，0122813x x x x ∴+=+， 由（1）知，()001222000081113133x x QR e x x x x x x =+==+++，…………………14分0013x x +≥2QR ∴≤=， 当且仅当0x =时，QR 取最大值2，此时P ⎝⎭，直线QR 过焦点F ． ………16分方法三：由（1）同理可求||||2PR FR +=，则4QR Q F F R ++=， (11)分,24,2QR RF FR QR QR RF FR QR ≤+≤++=∴≤，当且仅当直线QR 过焦点F 时等号成立，从而max 2QR =． ……………………………16分19．解：2l n ()2l2l n ,x b xf x x b x b x-++⎧=-+=⎨-+⎩≥ ……………………………2分 ①当02x <<时， ()2ln f x x b x =-++，()1bf x x'=-+． 由条件，得10bx -+≥恒成立，即b x ≥恒成立，∴2b ≥． (4)分②当2x ≥时，()2ln f x x b x =-+，()1b f x x'=+． 由条件，得10bx +≥恒成立，即b x ≥-恒成立，∴b ≥－2．综合①，②得b的取值范围是2b ≥． ……………………………6分（2）令1()|2|lg x a x x x=-+-，即122ln ,(0),()122ln ,().ax x x x a g x ax x x x a ⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≥………………………8分 当20x a <<时，1()2ln g x ax x x =-++-，211()g x a x x'=-++． ∵20x a <<，∴12ax >．则2(2)()0244a a a a g x a -'>-++=≥．即()0g x '>，∴()g x 在（0，2a）上是递增函数． (10)分当2x a ≥时，()12ln g x ax x x =-+-，()2110g x a x x'=++>． ∴()g x 在（2a，＋∞）上是递增函数． 又因为函数()g x 在2x a=有意义，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数． ………………12分∵22()ln 2a g a a =-，而2a ≥，∴2ln 0a ≤，则2()0g a <．∵a ≥2，∴3)1(-=a g ， ……………………………14分当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0，∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．当32<≤a 时，3)1(-=a g <0，∴g (x )＝0在]1,0(上无解．……………………………16分20．解：（1）设222n n n c a =-=-，则1230,2,6c c c ===，易得111212,,c c c c c c -=-=221c c c -=，即数列{}n c 一定是“2项可减数列”，但因为321322,,c c c c c c -≠-≠323c c c -≠，所以K 的最大值为2． ………………………5分（2）因为数列{}n a 是“K 项可减数列”， 所以(1,k t a a t K -=必定是数列{}n a 中的项， ……………………………7分而{}n a 是递增数列，故1k k k k a a a a --<-21k k k a a a a -<-<<- ， 所以必有112,k k k k a a a a a a --=-=，23,,k k a a a --= 1k k a a a -=， 则123k a a a a ++++ 1()()k k k k a a a a -=-+-+21()()k k k a a a a --++- 12(k Ka a a =-+3)k a a +++ ，所以K K K S Ka S =-，即2K K KS a =． 又由定义知，数列{}n a 也是“t 项可减数列”(1,2,,1)t K =- ，所以(1,2,,)2n n nS a n K == ． (10)分（3）（2）的逆命题为：已知数列{}n a 为各项非负的递增数列，若其前n 项的和满足(1,2,,)2n n nS a n K == ，则该数列一定是“K 项可减数列”，该逆命题为真命题． ……………………………12分理由如下：因为(12n n n S a =≤n ≤)K ，所以当n ≥2时，1112n n n S a ---=，两式相减，得12n n n n n a S S a -=-=112n n a ---，即1(2)(1)(2)n n n a n a n --=-≥ （*）则当3n ≥时，有12(3)(2)n n n a n a ---=-（**） 由（**）－（*），得212(3)n n n a a a n --+=≥，又1112a a =，所以10a =，故数列12,,,K a a a 是首项为0的递增等差数列．设公差为(0)d d >，则(1),(1,2,,)n a n d n K =-= ， 对于任意的,(1i j ≤i ≤j ≤)K ，j i a a -1()j i j i d a -+=-=， 因为1≤11j i K ≤-+≤，所以j i a a -仍是12,,,K a a a 中的项，故数列{}n a 是“K 项可减数列”． …………………………… 16分数学附加题参考答案21 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，2111132212143⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A …………………………4分 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔ A 3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ …………………………8分 3211,4322x y x x y y+==-⎧⎧∴∴⎨⎨+==⎩⎩，12α-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦. …………………………10分21 C ．选修4—4：极坐标与参数方程解：（1）设直线l 的倾斜角为θ，则1cos 2sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且[0,)θπ∈，3πθ∴=，即直线l的倾斜角为3π…………………………5分 （2）l的直角坐标方程为y =+)4cos(2πθρ-=的直角坐标方程为22((1x y +-=， 所以圆心⎝⎭到直线l的距离d =，AB ∴=…………………………10分22．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7x -）人，只会一项的人数是（72x -）人．…………………………2分（1）∵7P(0)P(1)1P(0)10ξξξ>=≥=-==，∴3P(0)10ξ==，即272x 27x C 3C 10--=．∴()()()()726237610x x x x --=--，解得2x =．故文娱队共有5人． …………………………5分（2）112425C C 4P(1)C 5ξ⋅===，2225C 1P(2)C 10ξ===， (7)分ξ的概率分布列为：∴341E()012110510ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………10分23．解：设存在实数[1,]b a ∈，使C A B =≠∅ ， 设0m C ∈，则0m A ∈，且0m B ∈，设0()t m a t =∈*N ，0(1)()m a s b s =++∈*N ，则(1)ta a sb =++，所以1t a bs a -=+，因为,,a t s ∈*N ，且2a ≥，所以t a b -能被1a +整除． …………………………4分（1）当1t =时，因为[1,]b a ∈， [0,1]a b a -∈-， 所以1a bs a -=∉+*N ； …………………………5分（2）当()2t n n =∈*N 时，22212[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b -=+--=++-++- ，由于[1,]b a ∈，所以1[0,1]b a -∈-，011b a ≤-<+，所以，当且仅当1b =时，t a b -能被1a +整除. …………………………7分（3）当()21t n n =+∈*N 时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++-- ，由于[1,]b a ∈，所以1[2,1]b a +∈+，所以，当且仅当11b a +=+，即b a =时，t a b -能被1a +整除． .……………………9分综上，在区间[1,]a 上存在实数b ，使C A B =≠∅ 成立， 当1b =时，2{,}n C y y a n ==∈*N ；当b a =时，21{,}n C y y a n +==∈*N ． …………………………10分。

江苏省南通市2012届四校联考数 学 试 题考试时间：120分钟 满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}， 那么集合A ∩(∁U B )等于 。

2、已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于 。

3、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于 。

4、已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于 。

5、已知54cos ),,0(-=∈απα，则)4sin(πα-= 。

6、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于________7、化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为 。

8、将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是 。

9、若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是 。

10、若π()sin 4n f n α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(4)(2)(6)f n f n f n f n ++++=··11、若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________12、设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．13、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 的大小为________14、设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是________二、解答题（15,16每题14分，17,18每题15分，19,20每题20分）15、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求： ①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间； ③函数)(x f 图像的对称轴。

7983456739 （第6题）（第7题）2012江苏省南通高三三模数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}11A =-，，{}10B =，，那么A B ＝ ▲ ．{}101-，，2． 已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ▲ ．13． 若抛物线()220y px p =>上的点()2A m ，到焦点的距离为6，则p = ▲ ．84． 已知函数2()log f x x =．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上随机取一0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．235． 若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ▲ ．()20-，6． 某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为 ▲ ．7． 若执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为▲ ．738． 已知单位向量a ，b 的夹角为120°，那么()2x x -∈R a b 的最小值是 ▲ ．9． 已知角ϕ的终边经过点()12P -，，函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭= ▲ ． 10．各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，，若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x '，则1(2f '= ▲ ．55411．若动点P 在直线l 1：20x y --=上，动点Q 在直线l 2：60x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是 ▲ ．[8，16]12．已知正方体C 1的棱长为C 1各个面的中心为顶点的凸多面体为C 2，以C 2各个面的中心为顶点的凸多面体为C 3，以C 3各个面的中心为顶点的凸多面体为C 4，依次类推．记凸多面体C n 的棱长为a n ，则a 6= ▲ ．213．若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ▲．3 14．已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上．若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是 ▲ ．43二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()sin f x m x x =+ ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的单调递减区间；（2）△ABC 中，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C =60°，3c =，求△ABC 的面积．解：（1）由题意，()f x ．……………………………2分而0m >，于是m π()2sin()4f x x =+．………………………………………4分()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z ，即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ．……………………………………………………6分所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …………………………………7分（2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得32=23sin sin 60c R C ==化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，得sin sin sin A B A B +=．………………………………………………………9分由正弦定理，得()2R a b +=，a b +． ①由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2390a b ab +--=． ② …………………11分将①式代入②，得()22390ab ab --=．ABC C 1B 1A 1FD E（第16题）O M解得3ab =，或 32ab=-（舍去）．…………………………………………………13分1sin 2ABC S ab C ∆==．……………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．………………………………………………………………………………3分 OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ．……………………………………………………………………6分 （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ． 由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．…………………………………………………9分 因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ． ………11分DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．………………………………………13分当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．…………………………………………………14分17．（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e . （1）若e ，求椭圆的方程； （2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k，若k e 的取值范围．解：（1）由2e =，c=2，得a=b =2． 所求椭圆方程为22184x y +=．…………………………………………………………4分（2）设00()A x y ，，则00()B x y -，-，故00222x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，．………………………………………………6分① 由题意，得0OM ON ⋅=．化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． …………8分 ② 设00()A x y ，，则00220022220014y kx x y a b x y =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⇒22200222220014x k x ab x k x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⇒222211(1)4k k a b +=+． 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得 2242(21)21k e e e -=-+． …………………………………………………………10分因为42210e e -+>，k 2>0，所以 2210e ->，2e >．…………………………12分 所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得21<42e -≤<1e .故离心率的取值范围是1⎤⎥⎝⎦. ………………………………………………14分 (说明：不讨论2210e ->，得01e <的扣2分) 18．（本小题满分16分）如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ 的方向射到边BC 上ABD P 1P 0P 2P 3P 4（第18题）点1P 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD ，DA 和AB 上的234P P P ，，处． （1）若P 4与P 0重合，求tan θ的值；（2）若P 4落在A 、P 0两点之间，且AP 0=2．设tan θ=t ，将五边形P 0P 1P 2P 3P 4的面积S 表示为t的函数，并求S 的最大值．解 ：（1）设00P B x =，则10tan PB x θ=，102tan PC x θ=-．……………………………………2分 0122tan tan tan x PC P C θθθ-===02tan x θ-，2023tan P D x θ=+-．…………………………4分 30(3)tan 2P D x θ=+-，304(3)tan P A x θ=-+，404(3)tan AP x θ=-+． …………………………………………………………………6分 由于4P 与0P 重合，403AP P B +=，所以46tan θ=，即2tan 3θ=． …………………8分 （2）由（1），可知444tan AP θ=-． 因为P 4落在A 、P 0两点之间，所以2tan 13θ<<，即213t <<． ……………………10分 S =S 四边形ABCD -01P BP S ∆122334PCPP DP P AP S S S ∆∆∆--- 1126tan (2tan )122tan θθθ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭12144(4tan 2)(44tan )42tan 2tan θθθθ⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245834tan tan θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123217t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………14分由于213t <<，所以123217t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32-≤=32- 故S的最大值为32-． ……………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数32()()ln f x x x g x a x =-+=，，a ∈R ．（1）若对任意[]1e x ∈，，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求a 的取值范围； （2）设()()()11f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩，，，≥．若P 是曲线y =F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y =F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．解：（1）由2()(2)g x x a x -++≥，得()2ln 2x x a x x --≤．由于[]1e x ∈，，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取得，所以ln ln 0x x x x <->，． 从而22ln x xa x x --≤恒成立，2min2ln x x a x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤． ………………………………………4分设()[]221e ln x xt x x x x -=∈-，，．求导，得()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-．………………6分 []1e x ∈，，10ln 12ln 0x x x x -+->≥，≤，，从而()0t x '≥，()t x 在[]1e ，上为增函数．所以()()min 11t x t ==-，所以1a -≤．…………………………………………………8分 （2）()321ln 1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨⎩，，，≥．设()()P t F t ，为曲线()y F x =上的任意一点．假设曲线()y F x =上存在一点()()Q t F t --，，使∠POQ 为钝角，则0OP OQ ⋅<．…………………………………………………………………………10分 ① 若t ≤-1，()32P t t t +，-，()()ln Q t a t --，，OP OQ ⋅=232ln()()t a t t t -+-⋅-+． 由于0OP OQ ⋅<恒成立，()()1ln 1a t t --<． 当t =－1时，()()1ln 1a t t --<恒成立． 当t <－1时，1(1)ln()a t t <--恒成立．由于10(1)ln()t t >--，所以a ≤0. ………12分② 若11t -<<，0t ≠，()32P t t t +，-，()32Q t t t -+，， 则OP OQ ⋅=23232()()0t t t t t -+-++<，4210t t -+>对11t -<<，0t ≠恒成立． ……………………………………………14分③ 当t ≥1时，同①可得a ≤0．综上所述，a 的取值范围是(]0-∞，． ………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）已知α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，且α＜β．数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=β， a n +2=a n +1+a n ，b n =a n +1－αa n (n ∈N *).（1）求b 2－a 2的值；（2）证明：数列{b n }是等比数列；（3）设c 1=1，c 2=-1，c n +2+c n +1=c n （n ∈N *），证明：当n ≥3时，a n =(-1)n －1（αc n -2+βc n ）． 解：因为α，β是方程x 2－x －1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.（1）由b 2= a 3－αa 2= a 1+a 2－αa 2=1+ a 2－αβ=2+ a 2，得b 2－a 2=2. ……………………4分 （2）因为b n +1b n = a n +2－αa n +1 a n +1－αa n = a n +1+a n －αa n +1 a n +1－αa n=(1－α)a n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1+a n a n +1－αa n = βa n +1－αβa na n +1－αa n=β， ……………………………8分又b 1= a 2－αa 1=β－α≠0，所以{b n }是首项为β－α，公比为β的等比数列． ……10分 （3）由（2）可知 a n +1－αa n =（β－α）βn －1． ①同理， a n +1－βa n =α（a n －βa n-1）．又a 2－βa 1=0，于是a n +1－βa n =0． ②由①②，得 a n =β n －1.…………………………………………………………………13分 下面我们只要证明：n ≥3时， (-1) n －1（αc n -2+βc n ）= β n －1． 因为(-1)n (αc n -1+βc n +1) (-1)n -1(αc n -2+βc n )=－αc n -1－βc n +βc n -1 αc n -2+βc n =－c n -1－βc n αc n -2+βc n =－c n -2－c n －βc nαc n -2+βc n =－c n -2－(1+β)c n αc n -2+βc n =－－αβc n -2－β2c n αc n -2+βc n=β．又c 1=1，c 2=-1，c 3=2，则当n =3时，(-1)2(αc 1+βc 3)= (α+2β)=1+β=β2， 所以{(-1) n －1 (αc n -2+βc n )}是以β2为首项，β为公比的等比数列． (-1) n －1 (αc n -2+βc n )是它的第n －2项，所以(-1) n －1 (αc n -2+βc n )= β2·βn －3=βn －1= a n .…………………………………………16分(第21-A 题)A B POE DC·数学Ⅱ参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ． 证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． …………………………………3分所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．……………………………………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知121217⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，M β，计算5M β． 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．………………………………3分 令12()031f λλλ===-，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为121111⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，αα． ………………………………………………………………………5分令m n =+12，βαα所以求得4m =， 3n =-．………………………………………………7分 55551212(43)4()3()=-=-M M ααM αM αβ5511224()3()λλ=-αα5511975433(1)11969⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………10分 C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆1C 的方程为π)4ρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos ,1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 相切，求实数a 的值．解：221:(2)(2)8C x y -+-=，圆心1(2,2)C ，半径1r =，2222:(1)(1)C x y a +++=，圆心2(1,1)C --，半径2r a =．………………………………………3分圆心距12C C = ………………………………………………………………………………5分两圆外切时，1212C C r r a a =+=== ………………………………………7分两圆内切时，12r r a a =-===±12C C综上，a =或a =±10分 D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y xz yzzxxy x y z≥． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥．……………………………3分同理，可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．………10分 22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（1）若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：（1）依题意知~()B ξ，143，ξ的分布列数学期望()E ξ=1632248140+1+2+3+4=81818181813⨯⨯⨯⨯⨯（或()E ξ=43np =）．………………………………………………………………………………………………5分 （2）设i A 表示事件“第一次击中目标时,击中第i 部分” ，1,2i =，i B 表示事件“第二次击中目标时,击中第i 部分”, 1,2i =．依题意，知()()0.1P A P B ==11,22()()0.3P A P B ==, A A B A B A B A B =11111122, …………………………………………………………7分所求的概率为()()()()()P A P A B P A B P A B P A B =+++11111122=()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B +++11111122 =0.10.9+0.90.1+0.10.1+0.30.3=0.28⨯⨯⨯⨯．答：事件A 的概率为0.28．……………………………………………………………10分 另解：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ，则12()C 0.10.9+0.10.1=0.19P C =⨯⨯，()=0.30.3=0.09P D ⨯．…………………………7分 ()()()0.28P A P C P D =+=．答：事件A 发生的概率为0.28．………………………………………………………10分23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（3）比较23420113452012⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯与34520122342011⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的大小，并说明理由． 解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分2012年5月9日星期三 高三数学二模参考答案与评分意见 第 11 页 （共 11 页） 11 （2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞， 且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增， e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2e h x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． …………………………………………………………………7分 （3）法一：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减， 函数ln ()x p x x =在(e,)x ∈+∞时单调递减． ∴ln(1)ln ,ln(1)(1)ln 1x x x x x x x x+<∴+<++． ∴(1)ln(1)ln x x x x ++<，即(1)(1)x x x x ++<．……………………………………………………9分 ∴3,4,,2011,x =⋅⋅⋅令则344543,54,<<20112012,20122011⋅⋅⋅<, 又23343423⨯<⨯，所以2342011345201234520122342011⨯⨯⋅⋅⋅⨯<⨯⨯⋅⋅⋅⨯．………………10分 法二：20112011201120112011020122012201220112012(20111)201120112011r r r C -=+==∑， ∵20112011201120112011,20112011r r r r C C -<∴<， ∴2011201102011120102009212011020112011201120112012201220112011201120112011120112011r rr C C C C C -=+++++=∑ 1111201120112011<+++= ∴2011201220122011<，同理可得344543,54<<，以下同一．。

江苏省通州高级中学 2006-2007 高三数学模拟练习 3张春明1．设 m 、 n 是两条不一样的直线，α 、 β 是两个不一样的平面，考察以下命题，此中正确的命题是（）A ． m , n , m nB ． ∥ , m , n ∥ m nC ．, m,n ∥m n D ． ,m, m nn2、设 a n (n2,3,4, )是(3x )n 的睁开式中 x 的一项的系数，则32 33 318 的值是（）a 2 a 3 a18A ．16B ． 17C ． 18D ． 193．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12 人，从这些教师中随机精选一人表演节目 . 若选到男教师的概率为9，则参加联欢会的教师共有（ ）20A ．120 人.B ．144 人C ．240 人D ．360 人4 、已知点P( t , t ), t ，动点M 在圆x2 21 上，动点 N 在圆 ( x 2)2 y 21 上，则R.( y 1)44PN PM 的最小值是（ ）A ．51B ． 5C ． 1D ． 25． 若 f (2x4) 为奇函数 , g ( x) 与 f ( x) 对于直线 y x 对称 ,则 g (x)g( x)（）A ． 0B.-4C. 4D. -86.已知平面 α ∥平面 β ,直线 l α ,点 P ∈ l,平面 α 、β 间的距离为 8，则在 β 内到点 P 的距离为 10 且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是（）A. 一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点7．定点 N （ 1，0），动点 A 、B 分别在图中抛物线 y 2x 2y 2 14x 及椭圆34的实线部分上运动，且 AB ∥ x 轴，则 △ NAB 的周长 l 取值范围是（）（A ）( 2,2)（B ）(10,4) （C ）(51, 4 )（D ）(2,4 )33168 、 设 定 义 域 为R 的 函 数 f ( x) 满 足 以 下 条 件 ： ① 对 任 意yA BONxx R, f ( x) f ( x) 0 ；②对随意x 1 , x 2 [1, a], 当 x 2x 1 时，有f (x 2 )f ( x 1 ) 0 ，则以下不等式不必定建立的是（）A 、 f (a) f (0)B 、1 a )f ( a ) 、1 3a ) f ( 3) D 、 f ( 1 3af (C f () f ( a)21 a1 a 二、填空题9．设 A a, b, c, d , B 1,2,3 .映照 f : AB 使得 B 中的元素都有原象 .则这样的10．点O是四边形ABCD内一点，知足OA OB OC0，若 AB AD DCAO，则．11．已知函数 f ( x)x3bx 2cx d 的图象经过原点O，且在x 1处获得极值，曲线 y f (x) 在原点处的切线 l 与直线y2x 的夹角为45 ，且直线l的倾斜角为钝角，则 f ( x) 的单一增区间是12．若不等式( 1)n a2( 1) n1对于随意正整数 n 恒建立，则实数 a 的取值范围是n三、解答题13、已知△ ABC 的面积 S 知足3≤ S≤ 3，且AB BC6，设 AB 与 BC 的夹角为（ 1）求的取值范围；（ 2）求函数f ( )sin 22sin cos3cos2的最小值。

江苏省南通市2012届高三数学模拟试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．若复数z满足（i是虚数单位），则z= ▲．2．已知集合A={x|6x+a>0}，若1A，则实数a的取值范围是▲．3．命题p：函数y=tanx在R上单调递增，命题q：△ABC中，∠A>∠是sinA>sinB的充要条件，则p∨q是▲命题．（填“真”“假”）4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则 ▲ ．5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为 ▲ ．6．如果， 那么= ▲ ．7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a= ▲ ．N开始输出TY结束9．将函数y ＝sin （2x ＋）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象．10. 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：1 若，则； ②若，则；③ 若，则； ④若，则.其中正确命题的序号是 ▲ ．11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式= ▲ ．12. 在中，A （1，1），B （4，5），C （—1，1），则与角A 的平分线共线且方向相同的单位向量为▲．13. 已知函数f(x)满足f(1)= ，f(x)+f(y)=4f()f()(x,y∈R)，则f(—2011)=▲．14. 已知二次函数，若函数在上有两个不同的零点，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)已知ABC的面积S满足，且=—8．（Ⅰ）求角A的取值范围；（Ⅱ）若函数，求的最大值．16．(本题满分14分)如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．ACBE.DABCDE.17．(本题满分15分)如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）已知圆O：=1，直线=1，试证明：当点P(m，n)在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．xOFAF1BCy18．(本题满分15分)各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．(Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．19．(本题满分16分)由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：吨）与上市时间（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线表示，销售价格（单位：元／千克）与上市时间（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．（Ⅰ）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1）（图2）20．(本题满分16分)如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．（Ⅰ）设a为实数，若a|a| 比a更接近1，求a的取值范围；（Ⅱ）f(x)=ln，证明：比更接近0（k∈Z）．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1　几何证明选讲已知中，,是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至.求证：的延长线平分.B．选修4—2　矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．选修4—4　参数方程与极坐标已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．D．选修4—5　不等式证明选讲设均为正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．（1）求：的值；（2）证明：为定值．参考答案一、填空题1. —1+2.3. 真4. 1005.6. 07.8. 2 9. 10.①③ 11. (n—1)2+1 12. 13. 14.二、解答题15. （Ⅰ）∵ =—8，∴=—8，∴ = ①∵②将①代入②得，由，得，又，∴.（Ⅱ）=====，当，即时，取得最大值，同时，取得最大值．16. （Ⅰ）由已知BO=,OD=在Rt△BOD中, BD=.ABCDE.（Ⅱ）方案(一)过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,,平面EFG//平面ACD原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.方案(二)过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,为使截去部分体积最小,故选用方案(二).17. （Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得∴．由△ABC的面积为5，得，=5.（2）解（1）（2）得a=3，c=2. ∴=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：．(Ⅱ) 圆O到直线=1距离d=，由点P(m,n)在椭圆M上，则，显然，∴1，>1, ∴d =<1，而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．弦长t=2=2,由得，∴, t=2, ，∴，，∴，弦长t的取值范围是[]．18．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2，　∴∴b3=＝8. ∵+2　①当n≥2时，+2 ②①-②得即∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．当n＝1时，+2，解得=1或=2，当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴．　（Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，事实上，当n≥5时，＝＜0即，∵<1 ∴当n≥5时，，故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a p,a q,a r构成等差数列，∴ 2a q=a p+a r，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．19.解(Ⅰ)．（在恒成立，所以函数在上递增当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．(Ⅱ) ，z=x—5y．令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则，∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，∴,则(z)max=11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B．∴,∴，则(z)max= ．20. (Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1|（1）当0<a<1时, |a2—1|≤|a—1|1-a2≤1—a，得a≥1或a≤0(舍去)（2）当a≥1时，a2—1≤a—1,得a= 1；（3）当a≤0时， a2+1≤1—a ，—1≤a≤0 ．综上， a的取值范围是{a|—1a0或a=1} (Ⅱ) ∵++…+=，∴=．令n（n+1）=t，∴t∈，且t∈Z，则F（t）= =．=∴F（x）在单调递减∴F（t）≤f（6）<F(2)=—ln1—0=0 ．∴,即≤0．∴比更接近0．附加题参考答案及评分标准A．选修4—1　几何证明选讲解（Ⅰ）设为延长线上一点∵四点共圆，∴ 3分又∴, 5分且, ∴, 7分对顶角, 故,即的延长线平分. 10分B．选修4—2　矩阵与变换解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，即； 3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，即， 6分解得即A＝， 7分A的逆矩阵是 10分C．选修4—4　参数方程与极坐标解由题设知,圆心2分∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30° 4分设是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=由正弦定理得8分，即为所求切线的极坐标方程. 10分D．选修4—5　不等式证明选讲证明： 3分9分即得. 10分另证利用柯西不等式取代入即证.22.解：（1）X的可能取值为4、5、6.P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=X的分布列为P456X5分(2)设 “6次取球后恰好被停止”为事件A则6次取球后恰好被停止的概率为 10分23.解：设焦点F（0,1）消得化简整理得（定值）（2）抛物线方程为过抛物线A、B两点的切线方程分别为和即和联立解出两切线交点的坐标为=（定值）。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________. 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共16页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)和解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．．．．．．．．置上．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________.9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

其中正确的命题的序号是___________12、在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A 、、所对的边，且0543=++c b a ,则c b a ::=___________.13、设F 是双曲线12222=-by a x 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为21,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交21,l l 于B A 、两点。