3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (2)

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式课标要求1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用.重点难点重点:两角差的余弦公式的推导及应用.难点:两角差的余弦公式的推导.两角差的余弦公式cos(α-β)= ,可简记为C(α-β),其中α,β是任意角.思考: (1)两角差的余弦公式是如何推导的?(一是利用三角函数线,二是利用向量数量积)(2)公式有何特点?(公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是两组含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆)题型一 运用公式化简求值【例1】 化简求值:(1)cos 75°;(2)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.名师导引:(2)(3)中所给式子不符合两角差的余弦公式,可先用诱导公式调整再计算.题后反思 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值. 跟踪训练11:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为( )(A)12 (C)-12 题型二 条件求值【例2】 已知α,β∈（3π4,π）,sin(α+β)=-35, sin （β-π4）=1213,求cos （α+π4）的值. 题后反思 (1)求解给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值.注意根据角的终边所在的象限确定符号.(2)注意角的配凑:如(α+β)-α=β,(α+β)-β=α,(2α+β)-α=α+β,(α+2β)-β=α+β等.跟踪训练21:(2014牡丹江一中期末)若α,β均为锐角,sin(α+β)=35,则cos β=()【例1】求cos 31π12+cos25π12的值.【例2】已知sin α+sin β,求(cos α+cos β)2的取值范围. 达标检测——反馈矫正及时总结1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于(C)(A)cos 100°(B)sin 100°(D)1 22.已知锐角α、β满足cos α=35,cos(α+β)=-513,则cos β等于(A)(A) 3365(B)-3365(C)5475(D)-54753.sin 75°=.4.°+12sin 75°= .课堂小结1.利用向量数量积、推导两角差的余弦公式.2.利用两角差的余弦公式可实现给式求值或给值求值问题,求解关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式.同时注意公式的正用和逆用及拆角、拼角等技巧.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.3.能灵活运用公式进行化简和求值.重点:(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.(2)利用公式进行化简和求值.难点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形用.1.两角和的余弦公式cos(α+β)=,简记为C(α+β).思考1: C(α±β)公式有什么共同特征?(余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=; S(α-β):sin(α-β)=.思考2: S(α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式ϕ)（其中tan ϕ=ba,ϕ为辅助角）;ϕ)（其中tan ϕ=ab,ϕ为辅助角）.3.两角和与差的正切公式T(α+β):tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+-;T(α-β):tan(α-β)=tan tan1tan tanαβαβ-+.思考3:使用T(α±β)的条件是什么?(公式T(α±β)只有在α≠π2+k1π,β≠π2+k2π,α±β≠π2+k3π(k1,k2,k3∈Z)时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的)题型一三角函数式的化简求值【例1】(1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sinπ12cosπ12;(4)1tan751tan75+-.名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解.(4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.题后反思三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tanπ4”、“”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.题型二三角函数的条件求值【例2】已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=-35,求cos 2α的值.名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.题后反思(1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值;(3)求2α-β的值. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数取得最大值时,x= .题后反思 辅角公式ϕ)(或ϕ))可以将形如asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )](C)[-1,1] ] 【例1】 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值.【例2】 已知α,β都是锐角,且,sin β=12,求α-β的值. 达标检测——反馈矫正 及时总结 .(2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12 2.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 3.sin 255°= . 4.1tan12tan72tan12tan72--= . 5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值.1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例.2.利用两角和与差的正、余弦、正切公式解决问题时常用到方程思想和整体思想.求解时注意角的变换,根据角的差异及式子的差异选择恰当公式,找准解题思路和方法.3.求值时注意角的范围引起的三角函数值符号的变化.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1、2课时）学习目标：1、能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系；2、能运用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题。

学习重点：运用公式进行化简、求值、证明等问题学习难点：用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

一、知识链接：1、cos(α－β)＝2、cos 80cos 35cos10cos 55+ =3、0000cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_______a a a a -++-+= 二、新课导学 （一）新知探究思考1:由公式C αβ-出发，如何推导出两角和的余弦公式？新知1：对于任意角,αβ有：cos()αβ+=思考2：怎样用两角和与差的余弦公式推导出sin()αβ±？（利用诱导公式来实现正、余弦的互化）新知2：对于任意角,αβ有：sin()αβ+= sin()αβ-=思考3：你能用两角和与差的正、余弦公式及正切函数与正、余弦函数的关系推导出tan()αβ±吗？新知3：tan()αβ+=tan()αβ-=思考4：公式T αβ±中的,αβ依然可以是任意角吗？若不是，你能确定出公式T αβ±中的,αβ的取值范围吗？依据是什么？注意：公式的变形：tan tan αβ±=分析以上6个公式的特点，并记忆。

（二）新知运用 Ⅰ、简单的公式应用1、（A 级）求0000sin 15,sin 75,cos 75,tan 105的值。

2、（A 级）完成课本P 131的练习 第五题 （做在课本上）3、（A 级）求下列各式的值： （1）sin 21cos 39cos 21sin 39+（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；（3）cos(40)cos 20sin(40)sin(20)-+--（4）0cos(25)sin(35)sin(25)ααα++-+ ； （5）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° （6）tan 50tan 20tan 50tan 203--第二课时4、自学课本P129例题3，并完成课本P131的练习2、3、4、7 练习2 （A级）解：练习3 （A级）解：练习4 （A级）解：练习7（B级）解：5、（B级）在△ABC中，若3cos5A=，且5cos13B=，则cos___________C=Ⅱ、凑角思想的应用6、（B级）21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+已知求的值。

第2课时（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+co s (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=22ba a +,sinφ=22ba b +,从而得到tanφ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练 化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx)=22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin (α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,①sinαcosβ-cosαcosβ=31.②①+②得sinαcosβ=125, ①-②得cosαsinβ=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tanα+tanβ=ab -,tanαtanβ=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。

2015—2016学年度高一数学导学案 使用时间 编制：陈腾 组长：王玉梅 年级：高一第1 页 共 2 页 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n(βα sin()αβ-= 如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n()αβ+= t a n()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。

自主探究2---配凑角求值例2、()的值，求，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4tan 414-tan 52tan παπββα班级： 小组： 姓名： 评价：第 2页 共 2 页 自主探究3---三角函数与一元二次方程的综合例3、已知22-,22-πβππαπ<<<<且βαtan tan ，是方程0762=++x x 的两个根，求βα+的值(五)当堂检测1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______3 sin 2sin3cos2cos3, ______x x x x x =、若则的值是()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、5、不查表求cos75°的值.6、已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+的值是（） Ａ.4πＢ.34π Ｃ.74π Ｄ.2π7、在ABC ∆中，已知53cos ,sin ,135A B ==则cos C 的值是（ ）A.1565B.5665 C.1665或5665 D.1665-8、化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+-._________15tan 3115tan 3 9=︒+︒-、 10、求tan105°的值。

探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1．课时目标（1）了解两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式，并会进行简单的化简、求值等应用．2．基础预探（1）两角和的余弦：cos （α+β）=__________；（2）两角和与差的正弦：sin （α+β）=__________；sin （α－β）=__________；（3）两角和与差的正切：tan （α+β）=__________；tan （α－β）=__________．【知识训练】1．满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是（ ） A ．α=12π13，β=4π3 B ．α=2π，β=3π C ．α=2π，β=6π D ．α=3π，β=6π 2．下列等式中成立的是（ ）A ．2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B ．2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C ．2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D ．2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β4．已知sin αcos β=－31，cos αsin β=21，则sin （α+β），sin （α－β）的值分别为（ ） A ．61，65 B ．－61，－65 C ．61，－65 D ．－61，65 5．若tan α=21，则tan （α+4π）=____________． 6．已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值．【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中，对应的角α，β可以是单独的两个角，也可以是对应的两个整体部分所组成的角，比如α=（α+β）－β，β=（α+β）－α，2α=（α+β）+（α－β），2β=（α+β）－（α－β），（4π+α）+（4π－α）=2π等，同时在解答时要注意角的范围的讨论．在实际求解问题过程中，要注意对角的变形与整体思维的考虑．运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”：一要审查公式成立的条件；二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号；三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用；四要注意和、差的相对性．【题型探究】题型一：公式的直接应用例1．已知α，β都是锐角，且sin α=55，cos β=10103，求α+β的值 思路导析：利用两角和的余弦公式分三步进行：①先求α+β的余弦值；②确定α+β所在的范围（或区间）；③求角α+β的值．点评：其实，间接利用公式求解有关角的值的问题，可以结合不同的三角函数值加以解决：①求cos （α+β），在（0，π）内余弦值为22的角是唯一的，故可求之；②求sin （α+β），将角α+β的范围缩小到（0，2π）或更小，使之正弦值为22的角是唯一的；③求tan （α+β），在（0，π）内正切值为1的角也是唯一的．变式练习1：已知α，β是锐角，且sin α=51，cos β=101，求α－β的值．题型二：公式的整体应用例2．求sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）的值．思路导析：这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开，再加以必要的合并与化简，而这里的75º与15º均为非特殊角，又要通过必要的两角和与差的公式，最终达到求值的目的．而如果通过整体思维考查，令β=α+15º，通过换元转化加以运算，则更加简单、快捷．点评：这道题充分突出整体思维，通过整体换元，把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题，从而使问题迎刃而解．变式练习2：设2)tan(=-βα，3)4tan(=-βπ，则)4tan(απ-等于（ ） A ．71 B ．71- C ．51 D ．51- 题型三：公式的综合应用例3．已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围． 思路导析：先把cos α+cos β作为一个整体，利用条件中相关等式的变形与组合，结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式，利用三角函数的图象与性质加以综合．点评：综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题，关键在是等价变换与应用等．变式练习3：不查表，求下式的值：tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒．【随堂练习】1．tan15°+cot15°等于（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 2．cos75°－cos15°的值等于（ ）A ．26B ．－26C ．－22D ．22 3．cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为（ ）A ．0B ．－21 C ．21 D ．1 4．锐角βα,满足54cos =α，53)cos(=+βα，则βsin =________． 5．cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=________．6．已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm -+11tan α．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）cos αcos β－sin αsin β；（2）sin αcos β+cos αsin β，sin αcos β－cos αsin β；（3）βαβαtan tan 1tan tan -+，βαβαtan tan 1tan tan +-． 【知识训练】1．A ；【解析】由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A ； 2．D ；【解析】根据两角和与差的公式加以判断；3．B ；【解析】由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0，∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）；4．C ；【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解；5．3；【解析】tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3； 6．解 由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，解得tan α=31， 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32． 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角，sin α=55，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=10103，∴sin β=β2cos 1-=1010， 那么cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=552·10103－55·1010=22， ∵α，β是锐角，∴0<α+β<π，故α+β=4π．变式练习1：解 ∵α是锐角，sin α=51，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=101，∴sin β=β2cos 1-=10103， 那么cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β=22， ∵α，β是锐角，∴－2π<α－β<2π， 又sin α=51<10103= sin β，则α<β，故α－β=－4π． 例2. 解 令β=α+15º，则sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）=sin （β+60º）+cos （β+30º）－3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º－sin βsin30º－3cos β =21sin β+23cos β+23cos β－21sin β－3cos β=0． 变式练习2：A ； 【解析】)4tan(απ-＝)]()4tan[(βαβπ---＝)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---＝23123⨯+-＝71； 例3. 解析：令t =cos α+cos β， ①而sin α+sin β=22， ② 由①2+②2，得t 2+21=（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos （α－β），∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］， ∴t ∈［－214，214］，即cos α+cos β的取值范围为［－214，214］．变式练习3：解 因为tan （23︒+22︒）=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan （23︒+22︒）（1－tan23︒tan22︒）， 原式=tan45︒ （1－tan23︒tan22︒）+tan23︒tan22︒=1－tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1；【随堂练习】1．C ；【解析】由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-，∴原式=3333+-+3333-+=4；2．C ；【解析】cos75°－cos15°=cos （45º+30º）－cos （45º－30º）=cos45ºcos30º－sin45ºsin30º－（cos45ºcos30º+sin45ºsin30º）=－2sin45ºsin30º=－22； 3．A ；【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos （20º－110º）=cos （－90º）=cos90º=0；4．257；【解析】根据锐角βα,和条件，可得53sin =α，54)sin(=+βα，则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257； 5．21；【解析】cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos[90º－（45º+x ）]sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－sin （45º+x ）sin （15º－x ）=cos[（45º+x ）+（15º－x ）]=cos60º=21； 6．证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］，∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α，∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α，∴tan （α+β）=m m -+11tan α．。

3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一 两角和与差的正切公式知识点二 两角和与差的正切公式的变形 1．T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).2．T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .( × )提示 公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π2(k ∈Z )即可．( × )提示 还应使α±β≠k π＋π2，k ∈Z .3．若α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.( √ )题型一 正切公式的正用例1 (1)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 A解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.反思感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ．考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.题型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ .考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案3解析 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 解 方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练2 若A ，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tan A )·(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.2π3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求角 答案 A解析 由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2， 得1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2. 所以tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B .由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1－tan A tan B 1－tan A tan B ＝1，得A ＋B ＝π4.和、差角公式的综合应用典例 已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 17[素养评析] 借助和、差角公式，将要求代数式与已知条件建立联系，需要具备较好的运算能力，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．(2018·全国Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15， 解得tan α＝32.3．计算：3－tan 15°1＋3tan 15°＝ .考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 1解析 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.4．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 综合应用两角和与差的正切公式求角 答案 －2π3解析 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. 所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值．考点 和、差角公式的综合应用 题点 综合运用和、差角公式化简求值 解 (1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝255×35－55×45＝2525. (2)tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路． 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．一、选择题1．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 C解析 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 2．已知tan α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α等于( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12考点 两角和与差正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12. 3．在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A 等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 在△ABC 中， 因为3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，所以B ＋C ＝150°，所以A ＝30°，所以sin 2A ＝sin 60°＝32.4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π3考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求角答案 C解析 ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝－1，又α为锐角，∴2α＝3π4，∴α＝3π8.5．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A ．－13 B.13 C ．－3 D ．3考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2＝13.6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于()A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.又∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝33，∴tan B ＝3，又0°＜B ＜180°，∴B ＝60°.7．已知tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为() A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 C解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a )＋lg 1a ＝1－lg(10a )·lg 1a ，1＝1－lg(10a )·lg 1a ，∴lg(10a )·lg 1a ＝0.∴lg(10a )＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1. 二、填空题8.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案3 9.1－3tan 75°3＋tan 75°＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 －1解析 原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式综合应用答案 43 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3， 则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13＝17. 三、解答题12．已知一元二次方程ax 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)＝0的两个根为tan α，tan β，求tan(α＋β)的值． 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值解 由a ≠0和一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝2a ＋1a ，tan αtan β＝a ＋2a， 代入上式可得：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2a ＋1a 1－a ＋2a＝－12－a .13．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值． 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用解 (1)由题意得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55， 因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan [(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。