2017-2018学年数学人教A版选修2-3优化练习：第二章2.22.2.1条件概率Word版含解析

章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．袋中装有大小相同的只球，上面分别标有，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是 ( )．．．．解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故的所有可能取值有、、、、、、、、共种．答案：．某产品有件，其中有次品件，现从中任取件，则其中至少有一件次品的概率约是( )．．．．解析：＝－≈，故选.答案：．已知离散型随机变量的分布列如下：则其数学期望()等于( )．．．＋．解析：由分布列的性质得＝－－＝，所以()＝×＋×＋×＝.答案：．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球次，则恰有人投球命中的概率为( )解析：记“甲投球次命中”为事件，“乙投球次命中”为事件.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为＝()＋()＝()()＋()()＝×＋×＝.答案：．设随机变量ξ～()，又η＝ξ，则(η)和(η)分别为( )和和和和解析：因为随机变量ξ～()，所以(ξ)＝×＝.(ξ)＝××＝，又∵η＝ξ，∴(η)＝(ξ)＝，(η)＝(ξ)＝.答案：．已知离散型随机变量等可能取值，…，，若(≤≤)＝，则的值为( )．．．．解析：由已知的分布列为(＝)＝，＝，…，，所以(≤≤)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＝，＝.答案：．已知，为随机变量，且＝＋，若()＝，()＝，则，可能的值分别为( )．．．．解析：由()＝(＋)＝()＋＝＋＝，把选项代入验证，可知选项满足．答案：．从中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数之和为偶数”，事件为“取到的两数均为偶数”，()＝( )解析：∵()＝＝，()＝＝，∴()＝＝.答案：．已知随机变量～(，σ)．若(>)＝，则(≤≤)＝( )．．．．解析：因为随机变量～(，σ)，所以正态曲线关于直线＝对称．又(>)＝，所以(≤≤)＝－(>)＝－＝.答案：．盒中有只相同形状的螺丝钉，其中有只是坏的，现从盒中随机地抽取个，那么概率是的事件为( )．恰有只是坏的．只全是好的．恰有只是好的．至多只是坏的解析：设ξ＝表示取出的螺丝钉恰有只为好的，则(ξ＝)＝(＝)，∴(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝.故选.答案：．设样本数据，，…，的均值和方差分别为和，若＝＋(为非零常数，＝，…，)，则，，。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21【解析】 E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.【答案】 D2．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1【解析】 由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3．设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3ξ)＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5【解析】 由ξ的分布列知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以D (ξ)＝5×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109，所以D (3ξ)＝9D (ξ)＝10.【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52D ．5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158. 【答案】 A5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( )A.甲 C ．一样D ．无法比较【解析】 E (ξ)＝9.2，E (η)＝9.2，所以E (η)＝E (ξ)，D (ξ)＝0.76，D (η)＝0.56<D (ξ)，所以乙稳定．【答案】 B 二、填空题6．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 257．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．【解析】 在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.【答案】 0.58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值.【导学号：29472074】【解】 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16. 又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， 所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝1527＝59. (2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差D(ξ)(保留3位有效数字)．【解】ξ的取值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此，随机变量ξ的分布列为：E(ξ)＝1×0.7＋2D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.[能力提升]1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6【解析】由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.【答案】 B2．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝()A.0.36C．0.49 D．0.68【解析】先由随机变量分布列的性质求得p＝1 2.由E (ξ)＝0×15＋1×12＋310x ＝1.1，得x ＝2.所以D (ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 【答案】 C3．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________.【解析】 因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332，即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32. 【答案】 324．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-1所示．图2-3-1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。

第二章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P (ξ<4)＝0.3，那么n 的值为导学号 51124614( D )A ．3B ．4C ．9D ．10[解析] ∵P (ξ<4)＝3n＝0.3，∴n ＝10.2．(2017·浙江理，8)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，(i ＝1,2.)若0<p 1<p 2<12，则导学号 51124615( A )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)[解析] 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)． 又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )，根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A ．3．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D (X )等于导学号 51124616( B )A ．19B ．29C ．13D ．23[解析] 由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝(0－23)2×13＋(1－23)2×23＝29，故选B ．4．(2016·天水高二检测)设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，则P (X <1－3a )＝P (X >a 2＋7)成立的一个必要不充分条件是导学号 51124617( B )A ．a ＝1或2B ．a ＝±1或2C ．a ＝2D ．a ＝3－52[解析] ∵X ～N (3,4)，P (X <1－3a )＝P (X >a 2＋7)， ∴(1－3a )＋(a 2＋7)＝2×3，∴a ＝1或2.故选B ．5．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝7，D (ξ)＝6，则p 等于导学号 51124618( A ) A ．17B ．16C ．15D ．14[解析] 如果随机变量ξ～B (n ，p )，则Eξ＝np ，Dξ＝np (1－p )， 又E (ξ)＝7，D (ξ)＝6，∴np ＝7，np (1－p )＝6，∴p ＝17.6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为导学号 51124619( C )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的[解析] X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，∴选C ．7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为导学号 51124620( D )A ．18B ．14C ．38D ．34[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P＝1－P 1＝34.8．已知随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，则E (2ξ＋1)与D (2ξ＋1)的值分别为导学号 51124621( D )A ．13,4B ．13,8C ．7,8D ．7,16[解析] 由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16. 9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是导学号 51124622( A )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．设随机变量ξ服从分布P (ξ＝k )＝k15，(k ＝1、2、3、4、5)，E (3ξ－1)＝m ，E (ξ2)＝n ，则m －n ＝导学号 51124623( D )A ．－319B ．7C ．83D ．－5[解析] E (ξ)＝1×115＋2×215＋3×315＋4×415＋5×515＝113，∴E (3ξ－1)＝3E (ξ)－1＝10，又E (ξ2)＝12×115＋22×215＋32×315＋42×415＋52×515＝15，∴m －n ＝－5.11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a 、b 、c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为导学号 51124624( C )A ．13B ．12C ．112D ．16[解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·⎝⎛⎭⎫3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝12，即a ＝16，b ＝12时成立． 12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为导学号 51124625( A )A ．74B ．7720C ．34D ．73[解析] 由于f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )为偶函数，f 1(x )，f 3(x )，f 4(x )为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P (ξ＝1)＝C 13C 16＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 13C 16C 15＝310，P (ξ＝3)＝C 13C 12C 13C 16C 15C 14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 11C 13C 16C 15C 14C 13＝120.所以ξ的分布列为：E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2016·泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E (η)＝1，则D (η)的值为__11__.导学号 51124626[解析] 根据题意得出随机变量ξ的分布列为：E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32，∵η＝aξ－2，E (η)＝1，∴1＝a ×32－2，即a ＝2，∴η＝2ξ－2，E (η)＝1，D (ξ)＝12×(0－32)2＋120×(1－32)2＋110×(2－32)2＋320×(3－32)2＋15×(4－32)2＝114，∵D (η)＝4D (ξ)＝4×114＝11.故答案为11.14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B |A )＝ 23.导学号 51124627[解析] 由条件知，P (A )＝34，P (AB )＝C 23C 24＝12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝23.15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元.导学号 51124628[解析] 设此人获利为随机变量X ，则X 的取值是300，－100，其概率分布列为：所以E (X )＝300×0.6＋(－16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号).导学号 51124629①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.导学号 51124630(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和E (ξ)的值． [解析] (1)记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么P (M )＝A 22C 24A 33＝118，即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是118.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么 P (E )＝A 33C 24A 33＝16，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P (E )＝1－P (E )＝56.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有i 个同学到A 社区，则p (ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13.所以p (ξ＝1)＝1－p (ξ＝2)＝23，ξ的分布列是：∴E (ξ)＝1×23＋2×13＝43.18．(本题满分12分)(2017·天津理，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.导学号 51124796(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.19．(本题满分12分)(2017·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.导学号 51124797(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4， 则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 的数学期望EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2. 20．(本题满分12分)(2016·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.导学号 51124631(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析] (1)由已知有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415.P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 分布列为：随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.21．(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：导学号 51124632(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求p(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(220－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.导学号51124633(1)分别求甲队以3︰0,3︰1,3︰2胜利的概率；(2)若比赛结果为3︰0或3︰1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3︰2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．[解析](1)依次将事件“甲队以3︰0胜利”、“甲队以3︰1胜利”、“甲队以3︰2胜利”记作A 1、A 2、A 3，由题意各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23·(23)2·(1－23)×23＝827， P (A 3)＝C 24(23)2·(1－23)2×12＝427. 所以甲队以3︰0胜利、以3︰1胜利的概率都为827，以3︰2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3︰2胜利”为事件A 4，则由题意知 P (A 4)＝C 24(1－23)2·(23)2×(1－12)＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能取值为0、1、2、3， 由事件的互斥性得，P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，或P (X ＝3)＝(1－23)3＋C 23(1－23)2×23×13＝327. ∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1解析：由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m －n2＝0.2.答案：B2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621D.521解析：P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.答案：D3．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，得c ＝13.答案：C4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.答案：C5．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则P (A.239 B.2310 C.139 D.1109 解析：由分布列的性质∑i ＝1np i ＝1，得23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，所以P (X ＝10)＝m＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239＝1－2×13(1－139)1－13＝139. 答案：C6．随机变量ξ的分布列如下：则ξ解析：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815.答案：8157．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下： 50.1解析：由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案：0.68．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________． 解析：设X 的分布列为由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：[－13，13]9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列． 解析：由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67.∴X 的分布列如下表：10.在8个大小相同的球中，有23个，求取出的球中白球个数X 的分布列．解析：X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为1．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56解析：a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15 ＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝54×⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＝56.答案：D2．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )． 答案：C3．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为解析：ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1,0.6,0.34．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：165．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．解析：(1)P ＝1－C 04C 26C 210＝1－13＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)X 所有可能的取值(单位：元)为0,10,20,50,60，P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13；P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25；P (X ＝20)＝C 23C 210＝115；P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215；P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的分布列为6.4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解析：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 答案：D2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.48解析：P ＝C 34×0.43×(1－0.4)＋C 44×0.44＝0.179 2≈0.18.答案：A3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 答案：D4．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4解析：依题意P (ξ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243， P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大． 答案：B5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：由1－C 0n⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，得⎝⎛⎭⎫12n <0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．解析：正面向上的次数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (ξ＝3)＝C 35·⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝10×132＝516. 答案：5167．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k，k ＝0,1,2. ∴P (X ≥1)＝1－P (X <1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.∴1－(1－p )2＝59，结合0≤p ≤1，解得p ＝13.答案：138．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．解析：所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次． 依题意有：C 12p (1－p )·C 02(1－q )2＋C 22p 2[C 02(1－q )2＋C 12q (1－q )]＝736，解得q ＝23或q ＝103(舍去)． 答案：239．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)解析：1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P 5(0)＝⎝⎛⎭⎫1－145＝⎝⎛⎭⎫345,1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P 5(1)＝C 15×14×⎝⎛⎭⎫1－144，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P ＝1－[P 5(0)＋P 5(1)]≈0.37.10．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 解析：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A 、B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581. (2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B )·[1－P(B )]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.[B 组 能力提升]1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k解析：由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，表示前n －1次取到k －1个红球，第n 次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P ＝C k －1n －1(110)k ·(910)n －k ，故选C. 答案：C2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 解析：质点P 移动5次相当于5次独立重复试验，若移动5次后位于点(2,3)处，则恰有2次向右移动，3次向上移动．故所求概率为C 25(12)3(12)2＝C 25(12)5. 答案：B3．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C 23⎝⎛⎭⎫142·34＝964. 答案：9644．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：∵P 4(1)≤P 4(2)，∴C 14·p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2,4(1－p )≤6p ，∴0.4≤p ≤1.答案：[0.4,1]5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解析：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427. (2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”的事件为B k (k ＝0,1,2)． 则由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 由于事件B 等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5＝28729.。

[课时作业][组基础巩固]．已知()＝，()＝，则()等于( )解析：由()＝得()＝()·()＝×＝.答案：．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{}，令事件＝{}，＝{}，则()等于( )解析：∵∩＝{}，∴()＝.又∵()＝，∴()＝＝.答案：．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：解析：在服药的前提下，未患病的概率＝＝.答案：．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．解析：记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则()＝，由条件概率的计算方法，可得()＝＝＝.答案：．某种动物活到岁的概率是，活到岁的概率是，则现龄岁的这种动物活到岁的概率是()．．．．解析：记事件表示“该动物活到岁”，事件表示“该动物活到岁”，由于该动物只有活到岁才有活到岁的可能，故事件包含事件，从而有()＝()＝，所以现龄岁的这种动物活到岁的概率为()＝＝＝.答案：．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为．解析：∵()＝，()＝，∴()＝.∴()＝.答案：.如图，是以为圆心，半径为的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝.解析：因为()表示事件“豆子落在正方形内”的概率，为几何概型，所以()＝＝.()＝＝＝.由条件概率计算公式，得()＝＝＝.答案：．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放在验钞机上检验发现是假钞，则第张也是假钞的概率为．解析：设事件表示“抽到张都是假钞”，事件为“张中至少有一张假钞”．所以为()．而()＝，()＝，∴()＝＝.答案：．设某种动物能活到岁的概率为，能活到岁的概率为，现有一只岁的这种动物，问它能活到岁的概率是多少？解析：设事件为“能活到岁”，事件为“能活到岁”，则()＝，()＝，而所求概率为()，由于⊆，故＝，于是()＝＝＝＝，所以一只岁的这种动物能活到岁的概率是.．任意向轴上()这一区间内掷一个点，问：()该点落在区间内的概率是多少？()在()的条件下，求该点落在内的概率．解析：由题意知，任意向()这一区间内掷一点，该点落在()内哪个位置是等可能的，令＝，。

2.2二项分布及其应用2．2.1条件概率1．了解条件概率的概念．2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理条件概率阅读教材P51～P53，完成下列问题．1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.()(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.()(3)P(B|A)与P(A|B)相同．()【解析】(1)√因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B 不会发生．(2)√ 因为事件A 等于事件B ，所以事件A 发生，事件B 必然发生． (3)× 由条件概率的概念知该说法错误． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×2．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝________.【解析】 由P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12.【答案】 123．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【解析】 根据条件概率公式知P ＝0.40.8＝0.5. 【答案】 0.54．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．【解析】 第一次取到不合格品后，还剩99件产品，其中4件不合格品，则第二次再取到不合格品的概率为P ＝499.【答案】 499[小组合作型]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．【自主解答】由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝2 5，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(AB) P(A).2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[再练一题]1．从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝()【导学号：29472053】A.18 B.14C.25D.12【解析】 P (A )＝C 23＋C 23C 26＝25，P (AB )＝C 23C 26＝15.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝15÷25＝12. 【答案】D利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 【精彩点拨】 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【自主解答】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30， 根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )． (2)在原样本空间Ω中，先计算P (AB )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算求得P (B |A )．(3)条件概率的算法：已知事件A 发生，在此条件下事件B 发生，即事件AB 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算事件AB 发生的概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A ).[再练一题]2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】 由题意得球的分布如下：设则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411.[探究共研型]利用条件概率的性质求概率探究1掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．探究2“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．探究3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【解】法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝145÷110＝29，P(C|A)＝P(AC)P(A)＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为5 9.法二：因为n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，所以P (B ∪C |A )＝59.所以所求的条件概率为59.1．利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．[再练一题]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (A ∩C )＋P (B ∩C ) ＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝5100×100200＋25100×100200＝21800. (2)P (A |C )＝P (AC )P (C )＝520021800＝2021.1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115 【解析】 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215. 【答案】 C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14 B.13C.12D．1【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是1 3.【答案】 B3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.【答案】1 24．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．【解析】由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.【答案】1 25．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【导学号：29472054】【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果．所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球后放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.。

[课时作业][A组基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2，只需证b2－a(－b－a)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(2a＋b)(a－b)＞0，只需证(a－c)(a－b)＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1，∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是()A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≥1且|b|≤1C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.答案：CA.2＋6≥3＋ 5B.2＋6≤3＋ 5C.2＋6＞3＋ 5D.2＋6＜3＋ 5解析：要想确定2＋6与3＋5的大小，只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小，即确定12与15的大小，显然12＜15.∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x，y∈R＋，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是() A．2 2 B. 2C．2 D．1解析：原不等式可化为a≥x＋yx＋y＝(x＋y)2x＋y＝1＋2xyx＋y要使不等式恒成立，只需a不小于1＋2xyx＋y的最大值即可．∵1＋2xyx＋y≤2，当x＝y时取等号，∴a≥2，∴a的最小值为 2.故选B.答案：B6．设n∈N，则n＋4－n＋3________ n＋2－n＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小．即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1)＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号，∵(n＋4＋n＋1)2－(n＋3＋n＋2)2＝2[(n＋4)(n＋1)－(n＋3)(n＋2)]∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1. 答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________. 解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2. 设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1， 只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a )＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1，∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l 4)2， 因此本题只需证明π(l 2π)2＞(l 4)2. 为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π. 上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l 4)2. [B 组 能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝ lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0， 所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________．解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3，即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎨⎧ 3ab >0，3a －3b >0或⎩⎨⎧ 3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b .答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝m ＋n y 2＝mz z 2＝yn ，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y. 即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y. 要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)，只需证x ＋1≥(y ＋1)(z ＋1)成立．只需证x ＋1≥(y ＋1)＋(z ＋1)2即可． 也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y， 则只需证y 2z ＋z 2y≥y ＋z 即可． 即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立， 由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l .(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)，即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0，得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21. 欲证x 2≥a 13，只需证2x 31＋a ≥3x 21·a 13， 即证(x 1－a 13)2(2x 1＋a 13)≥0，显然成立，∴原不等式成立.。

[课时作业][A 组　基础巩固]1．已知P (B |A )＝，P (A )＝，则P (AB )等于( )1325A. B.56910C.D.215115解析：由P (B |A )＝得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.P (AB )P (A )1325215答案：C2．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( )A. B.2512C.D.3545解析：∵A ∩B ＝{2,5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，∴P (A |B )＝＝.n (AB )n (B )25答案：A3．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：患病未患病总计服用药104555未服药203050总计3075105在服药的前提下，未患病的概率为( )A. B.3537C.D.9111115解析：在服药的前提下，未患病的概率P ＝＝.4555911答案：C4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A ．0.75 B ．0.60C ．0.48D ．0.20解析：记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B ，根据题意，易得P (A )＝0.80，P (B )＝0.60，则P (AB )＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P (B |A )＝＝＝0.75.P (AB )P (A )0.600.80答案：A5．某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )A ．0.32 B ．0.5C ．0.4D ．0.8解析：记事件A 表示“该动物活到20岁”，事件B 表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A 包含事件B ，从而有P (AB )＝P (B )＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P (B |A )＝＝＝0.5.P (AB )P (A )0.40.8答案：B6．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为，在事件A 发生的条件下，310事件B 发生的概率为，则事件A 发生的概率为________．12解析：∵P (AB )＝，P (B |A )＝，31012∴P (B |A )＝.P (AB )P (A )∴P (A )＝.35答案：357.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.解析：因为P (A )表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”的概率，为几何概型，所以P (A )＝＝.S 正方形EFGHS 圆O2πP (AB )＝＝＝.12×1×1π×1212π12π由条件概率计算公式，得P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )12π2π14答案：148．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．解析：设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”．所以为P (A |B )．而P (AB )＝，P (B )＝，C25C 220C25＋C15C 115C 220∴P (A |B )＝＝.P (AB )P (B )217答案：2179．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？解析：设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ，于是P (B |A )＝＝＝＝0.5，P (AB )P (A )P (B )P (A )0.40.8所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间内的概率是多少？(0，13)(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．(15，1)解析：由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝，由几何概率的计算公式可知{x |0<x <13}(1)P (A )＝＝.13113(2)令B ＝Error!，则AB ＝，{15<x <13}P (AB )＝＝.13－151215故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )2151325[B 组　能力提升]1．分别用集合M ＝中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，{2，4，5，6，7，8，11，12}已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( )A. B.712512C.D.47112解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A ，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B .则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝＝.n (AB )n (A )47答案：C2．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.B.35110C.D.5925解析：设A ＝{第一次取得新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝C C ，n (AB )＝C C .16191615∴P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )C16C15C16C1959答案：C3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n (A )＝C ＝84，n (AB )＝C ＝6，3924∴P (B |A )＝＝＝.n (AB )n (A )684114答案：1144．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．解析：记A ＝{从2号箱中取出的是红球}，B ＝{从1号箱中取出的是红球}，则P (B )＝＝，P ()＝1－P (B )＝，P (A |B )＝＝，P (A |)＝＝，P (A )＝P (AB ∪A )42＋423B 133＋18＋149B 38＋113B ＝P (AB )＋P (A )＝P (A |B )P (B )＋P (A |)P ()＝×＋×＝.B B B 492313131127答案：11275．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解析：记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题”，而另2道题答错，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B .由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝＋＋＝，C 610C 620C 510C 110C 620C 410C 210C 62012 180C 620P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )，P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝＋＝＋＝.P (A )P (D )P (B )P (D )210C 62012 180C 6202 520C 62012 180C 6201358故所求的概率为.13586．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解析：记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，基本事件总数为6×6＝36，其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．从而P (M )＝.1136记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件N ，若使方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2.c 因为b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．当先后两次出现的点数中有5时，若b ＝5，则c ＝1,2,3,4,5,6；若c ＝5，则b ＝5,6，从而P (MN )＝.736所以在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为P (N |M )＝＝.P (MN )P (M )711。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cos α＞cos(α＋β)，又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．答案：D2．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0， 故b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.答案：C3．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x ＜0时，0＜b ＜1.∴a ＞b .答案：A4．四面体ABCD 中，棱AB 、AC 、AD 两两垂直，则点A 在底面BCD 内的射影一定是△BCD 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：如图，设点O 是点A 在底面BCD 内的射影，并连接AO ，则AO ⊥面BCD .连接BO 并延长交CD 于点E .由已知易得AB ⊥CD .又∵AO ⊥面BCD ，∴AO ⊥CD .∴CD ⊥面AOB ，∴CD ⊥BE .∴O 在CD 的高线上，同理O 在BC ，BD 的高线上．答案：D5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．又由①得b 2＝(a ＋c )24>ac ＝x 2b ·y 2b所以b 4>x 2·y 2，故x 2，b 2，y 2不成等比数列．答案：B6．设e 1、e 2是两个不共线的向量，A B →＝2e 1＋ke 2，C B →＝e 1＋3e 2，若A 、B 、C 三点共线，则k ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴存在λ使A B →＝λCB →，即2e 1＋ke 2＝λ(e 1＋3e 2)．∴λ＝2，k ＝6.答案：67．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.则cos(α－β)＝________.解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γcos α＋cos β＝－cos γ， 两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 答案：－128．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 答案：≤9．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明：∵a ，b ＞0，且a ＋b ＝1.∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． 证明：因为1a ，1b ，1c成等差数列， 所以1a ＋1c ＝2b. 即a ＋c ac ＝2b，所以b (a ＋c )＝2ac ， 所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝(b ＋c )c ＋a (a ＋b )ac ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac ＝2ac ＋a 2＋c 2ac＝(a ＋c )2ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b ， 所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． [B 组 能力提升]1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( ) A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定 解析：q ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .答案：B2．(2014·高考山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 答案：A3．如果不等式|x －a |＜1成立的充分非必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1， 由题意知(12，32a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧ a －1≤12a ＋1≥32，(且等号不同时成立)解得12≤a ≤32. 答案：12≤a ≤324.如图，在三棱锥V -ABC 中，M 、N 分别是侧面VAC 和侧面VBC 的重心． 求证：MN ∥底面ABC .证明：如图，连接VM 、VN 并延长，分别交AC 、BC 于P 、Q 两点，连接PQ .由已知可知，M 、N 分别是侧面VAC 和侧面VBC 的重心．在△VPQ 中，VM VP ＝23，VN VQ ＝23， 所以VM VP ＝VN VQ， 所以MN ∥PQ .因为MN ⊄底面ABC ，PQ ⊂底面ABC ，所以MN ∥底面ABC .5．若实数x ，y ，m 满足|x －m |<|y －m |，则称x 比y 接近m .(1)若x 2－1比3接近0，求x 的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2ab ab .解析：(1)由题意得|x 2－1|<3.即－3<x 2－1<3，所以－2<x <2，所以x 的取值范围是(－2,2)．(2)证明：当a ，b 是不相等的正数时，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b )2(a ＋b )>0.又a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )>2ab ab ，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2>2ab ab >0，所以a 3＋b 3－2ab ab >a 2b ＋ab 2－2ab ab >0，所以|a2b＋ab2－2ab ab|<|a3＋b3－2ab ab|，所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab ab.。