高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式测评(含解析)新人教A版选修4_5

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第三讲柯西不等式与排序不等式达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1,则下列不等式中正确的是（）A．(a＋b＋c)2≥3B．a2＋b2＋c2≥2C.错误!＋错误!＋错误!≤2错误!D．a＋b＋c≤错误!解析：用3(ab＋bc＋ca）≤(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)易得．答案：A2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y,z的值为( )A.错误!,错误!，错误!B．错误!，错误!，错误!C．1，错误!，错误!D．1，错误!,错误!解析：x2＋y2＋z2＝错误!≥错误!＝错误!.当且仅当错误!时,等号成立,则4k＋9k＋16k＝29k＝10，解得k＝错误!，∴错误!选B.答案：B3．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是（)A．［0，5] B．［－5，0］C．[－错误!，错误!] D．[－5，5]解析：｜3x＋2y｜≤错误!·错误!≤错误!，所以－错误!≤3x＋2y≤错误!。

二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式综合检测 新人教A 版选修4-5(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy >0，则(x 2＋4y 2)(y 2＋1x2)的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0【解析】 [x 2＋(2y )2][(1x)2＋y 2]≥(x ·1x ＋2y·y )2＝9.【答案】 B2．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( )A ．[0，455]B ．[－165，165]C ．[0，165]D ．[－455，455]【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2， 64－4e 2≥64－16e ＋e 2， 即5e 2－16e ≤0， ∴e (5e －16)≤0， 故0≤e ≤165.【答案】 C3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元D ．340元【解析】 由排序原理，反序和最小． ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元). 【答案】 C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18【解析】 由(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)≥(a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c)2＝9，∴所求最小值为9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均为小于0，且a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( )A ．0B ．1C ．3D ．333【解析】 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3. 【答案】 C6．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．21 B ．121 C ．16D ．116【解析】 ∵1＝x ＋2y ＋4z ≤ x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16， ∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.【答案】 B7．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B ． 2 C ．1D ．2【解析】 f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3，∴f (x )的最大值为 3. 【答案】 A8．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M >NC ．M ≤ND ．M <N【解析】 由(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 所以M ≥N ，当a ＝b ＝c ＝d 时等号成立， 故应选A. 【答案】 A9．已知半圆的直径AB ＝2R ，P 是弧AB 上一点，则2|PA |＋3|PB |的最大值是( )A.6R B ．13R C ．213RD ．413R【解析】 由2|PA |＋3|PB | ≤22＋32|PA |2＋|PB |2＝13|AB |2＝13·2R . 【答案】 C10．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P 、Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q【解析】 ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )≥∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . 【答案】 B11．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．>B ．≥C ．<D ．≤【解析】 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式： 顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 【答案】 B12．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n的最小值是( )A ．nB ．1nC.nD ．2n【解析】 不妨设0≤a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解． 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n . 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2013·湖北高考)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.【答案】314714．已知实数m ，n ＞0，则a 2m ＋b 2n ________a ＋b2m ＋n.(填≥、＞、≤、＜)【解析】 因为m ，n ＞0，利用柯西不等式，得(m ＋n )(a 2m ＋b 2n )≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n.【答案】 ≥15．函数y ＝(1＋1sin α)(1＋1cos α)(0＜α＜π2)的最小值是________．【解析】 由柯西不等式，得y ＝[12＋(1sin α)2][12＋(1cos α)2]≥(1×1＋1sin α·1cos α)2＝(1＋2sin 2α)2≥(1＋2)2＝3＋2 2. 当且仅当1cos α＝1sin α，即α＝π4时等号成立．【答案】 3＋2 2 16.图1如图1所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．【解析】 由题图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.【答案】 ≥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设x 2＋2y 2＝1，求u (x ，y )＝x ＋2y 的最值． 【解】 由柯西不等式， 有|u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y | ≤1＋2·x 2＋2y 2＝ 3. 得u max ＝3，u min ＝－ 3. 分别在(33，33)，(－33，－33)时取得最大值和最小值． 18．(本小题满分12分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.求证x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. 【证明】 因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式得： [(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )](x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y)≥(x ＋y ＋z )2，又因为x ＋y ＋z＝1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2z ＋2y≥x ＋y ＋z 2y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y ＝13.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边依次为a ，b ，c ，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.【证明】 考察两个数组a ，b ，c 和A ，B ，C . 不妨设a ≥b ≥c ， 则有A ≥B ≥C .于是， 由排序不等式可得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ， aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB .(顺序和≥乱序和)将以上三式的两边分别相加，得 3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C ) ＝(a ＋b ＋c )π， 所以aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 大于0，且a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.【证明】 由柯西不等式， 得(a cos 2θ＋b sin 2θ)2≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2](cos 2θ＋sin 2θ) ＝a cos 2θ＋b sin 2θ. 又a cos 2θ＋b sin 2θ<c ， ∴(a cos 2θ＋b sin 2θ)2<c . 因此，a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】 构造两组数a ，b ，c ；1a，1b，1c，于是由柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2][(1a)2＋(1b)2＋(1c)2]≥(a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c)2，即(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥32.因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c≥9.22．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b ＞a b b a(a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.【证明】 (1)不妨设a ＞b ＞0， 则lg a ＞lg b.从而a lg a ＋b lg b ＞a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a＋lg b b＞lg b a＋lg a b. 即lg a a b b＞lg b a a b， 故a a b b＞b a a b .(2)不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c.∴a lg a＋b lg b＋c lg c≥b lg a＋c lg b＋a lg c.a lg a＋b lg b＋c lg c≥c lg a＋a lg b＋b lg c. ∴2a lg a＋2b lg b＋2c lg c≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c.∴lg(a2a·b2b·c2c)≥lg (a b＋c·b a＋c·c a＋b)．故a2a b2b c2c≥a b＋c b c＋a c a＋b.。

三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。

二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有C项正确.答案C2.设xy>0,则的最小值为()A.-9B.9C.10D.0解析=9.答案B3.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,则和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是()A.S≤T≤KB.K≤T≤SC.T≤K≤SD.K≤S≤T解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A. B. C. D.2解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.答案A5.用柯西不等式求函数y=的最大值为()A. B.3 C.4 D.5解析由柯西不等式,得函数y==4,当且仅当时,等号成立,故函数y的最大值为4.故选C.答案C6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为()A.A<BB.A>BC.A≤BD.A≥B解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.答案B8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析由柯西不等式可得x+≥=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.答案D9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为()A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sin α=cos α时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案C10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为()A.1B.9C.36D.18解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2,∵x+2y+3z=1,∴2≥36,∴≥18,∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.答案D11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=a cos C+b cos B+c cos A,则p,q的大小关系是()A.p≥qB.p=qC.p≤qD.无法确定解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.则由排序不等式可得q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A, ①a cos C+b cos B+c cos A≥a cos C+b cos A+c cos B, ②由①+②得2(a cos C+b cos B+c cos A)≥a cos B+b cos A+b cos C+c cos B+c cos A+a cos C,即2(a cos C+b cos B+c cos A)≥2R(sin A cos B+cos A sin B)+2R(sin B cos C+cos B sin C)+2R(sin C cos A+cos C sin A),整理,得a cos C+b cos B+c cos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=R(sin A+sin B+sin C)==p.答案C12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为()A.B.C.D.解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.答案14.若a,b,c>0,则a+b+c.解析不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).答案≥15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为.解析不妨设0<a1≤a2≤…≤a100,则0<≤…≤,由排序不等式可得+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.答案10016.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是.解析三角形的面积S=,即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)≥()2=s2,又a,b,c>0,所以s≤t.答案s≤t三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12), 因此()2≤2(2a+2b+2)=8,故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)=(b2+c2+a2)≥=(a2+b2+c2)2,又因为a2+b2+c2>0,所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2·x+·2y.由柯西不等式可得[x2+(2y)2]≥,即(2x+y)2≤×1,所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.所以u的最大值是,此时x=,y=;u的最小值是-,此时x=-,y=-.20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.证明不妨设a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c, 以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lg c a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥.当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.22.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(x P,y P),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-x P-y P)2,所以2S=+(1-x P-y P)2.由柯西不等式,得[+(1-x P-y P)2](12+12+12)≥(x P+y P+1-x P-y P)2,即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即x P=y P=时,等号成立.故当x P=y P=时,面积和S最小,且最小值为,此时点P坐标为.。

一般形式的柯西不等式课时提升作业一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由已知得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,结合柯西不等式,知===,所以=.2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是( ) A.9 B.10 C.14 D.15【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.故u=3x+6y+5z的最大值为9.3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是( )A.x≥1或x≤-3B.-3≤x≤1C.x≥-1或x≤3D.-1≤x≤3【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.答案:95.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.【解析】(a+b+c)=[()2+()2+()2]≥=(2+3+6)2=121.当且仅当==时等号成立.答案:121三、解答题6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.【证明】因为f(x)=+≥=3,即函数f(x)=+的最小值a=3.所以p+q+r=3.由柯西不等式得(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,于是p2+q2+r2≥3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( )A. B. C.6 D.3【解析】选B.由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]即x2+y2+(1-x-y)2≥.当且仅当x=y=1-x-y.即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立.所以a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值为1.2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为( ) A.3-2 B.3+2C-1 D.+1【解析】选B.≥,当且仅当sinα=cosα时等号成立,此时==3+2.即的最小值为3+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.方程2+=的解为________.【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.【解析】由柯西不等式,得(2+)2=≤[22+()2]=6×=15,即2+≤.当且仅当=,即x=-时,等号成立.故原方程的根是x=-.答案:x=-4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.【解析】由已知得absinC=,=2R=2.所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,所以≥(++)2.即++≥++.当且仅当a=b=c=1时等号成立.答案:s≤t三、解答题5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>a n>a n+1,求证:++…++>0. 【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-a n+1写成a1-a n+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(a n-a n+1),于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(a n-a n+1)]·≥n2>1.即(a1-a n+1)·(++…+)>1,所以++…+>,故++…++>0.。

人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题a1a2a31．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则值为( )A．3 C．9B．6 D．12＋＋的最小a1′a2′a3′111解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，a3a2a1由乱序和不小于反序和知， a3a1a2a3所以＋＋≥＋＋＝3，a1′a2′a3′a1a2a3a1a2a3a1a2所以＋＋的最小值为3，故选A. a1′a2′a3′答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元 D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N C．M＜N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a・a4＋b・b4＋c・c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N. 答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则aA．1B．233b＋bc＋ca的最大值是( )B．M＝N D．M＞NC．3 D. 解析：设a≥b≥c≥0，所以由排序不等式可得ab＋ba ≥c＋cb ≥ a≤ac. a＋bb＋cc.而(a＋bb＋c所以aa＋bc≤3. b＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aac＋ca≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零 C．小于零B．大于等于零 D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3・a＋b3・b＋c3・c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1ab＋cbc7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________． c＋aa＋b感谢您的阅读，祝您生活愉快。