青岛大学06-11高数期末答案

2023-2024学年山东省青岛市四区市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，集合A满足，则()A. B. C. D.2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是()A.20B.26C.32D.363.函数与的图象()A.关于对称B.关于对称C.关于对称D.关于对称4.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.5.函数，则，()A.是偶函数，且在区间上单调递增B.是偶函数，且在区间上单调递减C.是奇函数，且在区间上单调递增D.是奇函数，且在区间上单调递减6.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则()A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为()A.2B.4C.6D.88.函数满足对任意的x，y均有，且，则()A.4048B.4046C.2024D.2023二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列大小关系正确的是()A. B. C. D.10.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则()A.是的极小值点B.有2个极大值点C.在区间单调递增D.11.假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是，若进行多次实验，直到失败r次，那么成功的次数X服从“负二项分布”，记作：，若，则()A.若，则，，1，2，…B.若，则X的数学期望C.，，1，2，…D.若最大，则，，1，2，…三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.展开式中的系数为______.13.已知，，，则______.14.已知，过点P可作曲线的两条切线，则t的取值范围为______；若切点为，，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

第1页共4页2022-20232023.01本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1234}{2468}{369}A B C ===，，，，，，，，，，，则()A B C 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．下述正确的是A ．若θ为第四象限角，则sin 0θ>B ．若cos 0θ=，则π2θ=C ．若θ的终边为第三象限平分线，则tan 1θ=-D ．“ππZ4k k θ=+∈”是“sin cos θθ=”的充要条件3．函数()f x =的定义域为A ．[1+∞，B ．(1)+∞，C ．(01]，D ．(0)+∞，4．若函数2()21x f x a =-+为奇函数，则a =A ．0B ．1C ．2D ．35．若110a b<<，则下列不等式中正确的是A ．a b<B ．22a b ab>C ．||a b >-D ．2a b a +<6．已知函数π()sin(26f x x =-，则A ．()f x 的最小正周期为2πB ．点π(0)6，是()f x 图象的一个对称中心C ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()f x 在ππ(63-，上单调递增第2页共4页7．若定义在R 上的函数()f x 满足：当π||2x ≤时，(sin )2(sin )3sin cos f x f x x x -+=，且(2)()f x f x +=，则36()5f =A ．1225-B ．1225C ．3625-D ．3658．已知函数()f x ，对任意12,(1,)x x ∈+∞且12x x ≠，21121122()()()()x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，且(1)f x +是偶函数，设31(log )2a f =，3(log 4)b f =，13(log 3)c f -=，则a b c ，，的大小关系为A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c<<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

青岛大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．函数的图形如图示，则函数
( )．
A、有一个极大值
B、有两个极大值
C、有四个极大值
D、没有极大值
【答案】A
4．曲线在点处切线的方程为（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
5．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
6．设为上的连续函数，且，则定积分（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
一、一选择题
7．.
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
9．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
10．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
11．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
14．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。

一、选择题1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-2．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 5．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．856．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．568．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．329．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A ．9-B ．12C ．12-D ．911．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．24312．在ΔABC 中，A =60°，B =75°，BC =10，则AB = A ．5√2B ．10√2C ．5√6D ．10√6313．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 14．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A B C D ．1015．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题16．已知实数a >b >0，且a +b =2，则3a−ba 2+2ab−3b 2的最小值为____17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.18．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++________19．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___20．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．21．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．22．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 23．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．24．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．25．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．三、解答题26．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.27．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？28．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．29．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．30．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。

一、选择题1．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞2．(0分)[ID ：12095]已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-3．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．(0分)[ID ：12104]若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．15．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -6．(0分)[ID ：12054]已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1B ．-1C ．-3D ．37．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}8．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．(0分)[ID ：12034]已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 10．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)211．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,612．(0分)[ID ：12070]定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞ D ．[)(]7,22,7--13．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+14．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =15．(0分)[ID ：12088]函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）二、填空题16．(0分)[ID ：12228]定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．17．(0分)[ID ：12226]已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.18．(0分)[ID ：12215]已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________19．(0分)[ID ：12203]若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________20．(0分)[ID ：12187]求值：2312100log lg = ________ 21．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.22．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．23．(0分)[ID ：12134]已知正实数a 满足8(9)a aa a =，则log (3)a a 的值为_____________.24．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________. 25．(0分)[ID ：12162]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12325]已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值； （2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.27．(0分)[ID ：12301]对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点． （1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围．28．(0分)[ID ：12279]已知集合A ={a ， a −1}，B ={2 ， y}，C ={x|1<x −1<4}. （1）若A =B ，求y 的值； （2）若A ⊆C ，求a 的取值范围. 29．(0分)[ID ：12263]已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性; (2)解不等式()()2341xxf f +≤+.30．(0分)[ID ：12249]已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D6．C7．D8．C9．D10．D11．D12．B13．B14．A15．D二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0由函数单调性可得在（04）上f（x）＜0在（4+∞）上f（x）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根17．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象18．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中19．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般20．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：21．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值22．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即23．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题24．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.6．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又(1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．7．D解析：D【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.10．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,由此解得：34<a <2， 故答案为(34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解11．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12．B解析：B 【解析】【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．13．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.14．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A15．D解析：D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.二、填空题 16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根 解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．17．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中解析：1【解析】 【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，所以满足24400m m ⎧∆=-=⎨>⎩，解得1m =.即实数m 的值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.20．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：解析：32-【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-.21．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】 【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解. 【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞， 此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+ 当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同， 故a 的取值范围为(]0,1. 故答案为:(]0,1. 【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.22．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．23．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.24．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析：[0,1]∪(2,+∞)【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解A ×B 即可. 【详解】求解函数y =√2x −x 2的定义域可得：A ={x|0≤x ≤2}, 求解函数y =2x ,x >0的值域可得B ={x|x >1}， 则A ∪B ={x|x ≥0}，A ∩B ={x|1<x ≤2}结合新定义的运算可知：A ×B = {x|0≤x ≤1或x >2}， 表示为区间形式即[0,1]∪(2,+∞). 【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题 26．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可； （2）求出()g x 得表示，由函数()()22xxF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022xxg r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解， 设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+， 即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤， 故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.27．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11． 【解析】 【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=，解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，所以△24(1)0b a b =-->恒成立，即2440b ab a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<，则01a <<，∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解， 令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤，解可得，1011m <≤．故m 的范围为(]10,11．【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题．28．(1) 1或3；(2) 3<a <5.【解析】试题分析：(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：y 的值为1或3.(2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得 3<a <5.试题解析：（1）若a =2，则A ={1 ， 2}，∴y =1.若a −1=2，则a =3，A ={2 ， 3}，∴y =3.综上，y 的值为1或3.（2）∵C ={x|2<x <5}，∴{2<a <5 ， 2<a −1<5∴3<a <5. 29．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 30．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p-或． 【解析】【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+, （1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围. 【详解】 因为{}213U B x x p x p =-+，或，所以(){}213U U B B x p x p ==-≤≤+, （1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p-或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2023-2024学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()13A ,=-，}0{|B x x a =+≥，若{}|1A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是（）A.[]3,1- B.(]3,1-C.[)3,1- D.()3,1-【答案】C【解析】由已知，{|}B x x a =≥-，因为{}|1A B x x ⋃=>-，所以13a -<-≤，即31a -≤<.故选：C 2.复数i z a =+（R a ∈，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若()()111z z ++=，则=a （）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B【解析】因为i z a =+，所以i z a =-，()()()()()2111i 1i 111z z a a a ++=+++-=++=，解得1a =-，故选：B.3.在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=（）A.10B.12C.14D.16【答案】A【解析】由题意，3357,,,2222E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()4,2EF =，()1,3AB = ，412310EF AB ⋅=⨯+⨯=.故选：A4.2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产晶和最大规模的国际合作平台.树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图.该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（）A.72B.76C.78D.85【答案】B【解析】由题中频率分布直方图知区间[]50,60的频率为：()10.0270.0250.0160.014100.18-+++⨯=则在区间[][]50,60,60,70的频率为：0.180.027100.45+⨯=，所以第60百分位数在区间[]70,80，且设为x ，则700.60.45100.25x --=，解得76x =.故选：B 5.已知等差数列{}n a 各项均为正整数，11123a a a a =++，210a <，则其公差d 为（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，11123110a a a a a d =++=+，所以2310a a d +=，所以11210a d a d d +++=，所以127a d =，得172a d =，因为等差数列{}n a 各项均为正整数，所以公差d 为正整数，因为210a <，所以1910272d d d a d +=+=<，所以2009d <<，因为公差d 为正整数，所以1d =或2d =，当1d =时，由17771222a d ==⨯=，不合题意，舍去，当2d =时，17a =，符合题意，所以2d =，故选：C6.已知点F 是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，过点()的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2AF BF +的最小值为14，则E 的准线方程为（）A.4y =- B.=2y - C.4x =- D.2x =-【答案】D【解析】当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(22)y k x =-，由22(22)y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2222(422)80k x k p x k -++=，22422(422)3216240k p k pk p ∆=+-=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则128x x =，且120,0x x >>，当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为22x =，128x x =，所以122()()222p px AF BF x =++++12322x x p =++118322x p x =++1183322822x p p x ≥⋅+=+，当且仅当1182x x =，即12x =时取等号，所以2AF BF +的最小值为382p +，所以38142p +=，得4p =，所以抛物线E 的准线方程为22px =-=-，故选：D 7.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（）A.13B.12C.23 D.34【答案】C【解析】构造平面1A BD ，平面11CB D ，则1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊥平面11CB D ，设正方体边长为1，则112A B A D BD ===，13AC =，133AE EF FC ∴===，11111111326A ABD CBCD V V --∴==⨯⨯=，设A 到平面1A BD 的距离为h ，则112131(2)346A AB D V h -== ，解得33h =，E ∴∈平面1A BD ，同理可得F ∈平面11CB D ，∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为121263-⨯=，∴体积之比是23，故选：C ．8.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点依次为1F 、2F ，过点1F 的直线与E 在第一象限交于点P ，若122PF PF =，OP =，则E 的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.y x=± D.2y x=±【答案】如下图所示：因为122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==，则14=PF a ，因为O 为12F F 的中点，则120F O F O += ，则1122PO PF F OPO PF F O⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以，122PO PF PF =+ ，又因为1221F F PF PF =-uuu u r uuu r uuu r ，所以，()()()22222212212112222PO F F PF PF PF PF PF PF +=++-=+，即()()()()222222422c a a +=⨯+⨯，整理可得223c a =，即2223a b a +=，所以，b =，因此，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C A B = ，则（）A .事件A ，B 不互斥B.事件A ，B 相互独立C.()()||P A B P B A =D.()()()|2|P C A P C B P C +>【答案】AD【解析】对于A,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，A 正确；对于BC ，112426C C 8()C 15P AB ==,21122426C +C C 3()C 5P A ==,21142426C C C 14()C 15P B +==,所以()()()P AB P A P B ≠，故B 错误；故()8()415|=14()715P AB P A B P B ==，()8()815|=3()95P AB P B A P A ==，故C 错误；对于D ，112426C C 8()=()==C 15P C P AB ,故()()()()()()515|+|=()()2()()()()()314P AC P BC P C P C P C A P C B C P C P C P A P B P A P B +=+=+>,故D 正确，故选：AD.10.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于点4π,09⎛⎫⎪⎝⎭对称，在π5π,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，则（）A.32ω=B.ππ3k ϕ=+，Z k ∈C.()()12023π2024π2f f ++= D.()g x 为偶函数【答案】AC【解析】因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在π5π,99⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则周期5ππ8π2999T ⎛⎫>⨯-=⎪⎝⎭，则由2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知函数()f x 图象关于2π8π7π3992x =+=对称，又函数()f x 图象关于点4π,09⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以7π4π4π4993T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以32ω=，A 正确；当7π9x =时，函数()f x 取得最小值，则37π3π2π,Z 292k k ϕ⨯+=+∈，π2π,Z 3k k ϕ=+∈，B 错误；由3π()sin()23f x x =+，所以()()3π3π2023π2024πsin(2023πsin(2024π)2323f f +=⨯++⨯+πππ1sin()sin()2332=++=，C 正确；将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，()2π32ππ3()sin()sin 92932g x f x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，则()g x 为奇函数，D 错误.故选：AC 11.若实数,0a b >，且8ab a b =++，则（）A.8a b +≤B.16ab ≥C.34a b +≥+D.144113a b +≥--【答案】BCD【解析】对于选项A ，由28(2a b a b ab +++=≤，当且仅当a b =时等号成立，不妨设a b t +=，则得24320t t --≥，解得：8t ≥或4t ≤-，因,0a b >，则8a b +≥，故A 项错误；对于选项B ，由8ab a b -=+≥当且仅当a b =时等号成立，s =，则2280s s --≥，解得：4s ≥或2s ≤-，因0s >，则4s ≥，即16ab ≥，故B 项正确；对于选项C ，由8ab a b =++可得：(1)8a b b -=+，则1b >，且81b a b +=-，则899331343(1)44111b a b b b b b b b ++=+=++=++-≥+=+---，当且仅当93(1)1b b =--时取等号，即1,1b a =+=时，3a b +有最小值4+，故C 项正确；对于选项D ，由8ab a b =++可得：19ab a b --+=，即(1)(1)9a b --=，且1,1a b >>，则144113a b +≥==--，当且仅当1411a b =--时等号成立，由14118a b ab a b ⎧=⎪--⎨⎪=++⎩解得：527a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即当且仅当5,72a b ==时，1411a b +--有最小值43，故D 项正确.故选：BCD.12.将函数()y f x =的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（）A.sin y x =B.sin 2y x =C.ln y x x =-D.e xy x =【答案】AC【解析】若函数()f x 逆时针旋转π4角后所得函数仍是一个函数，则函数()f x 的图象与任一斜率为1的直线y x b =+均不能有两个或两个以上的交点.不对于sin y x =，设()sin f x x x b =--，则()cos 10f x x '=-≤，则()f x 为R 上的单调递减函数，即方程sin 0x x b --=只有一解，所以sin y x =与y x b =+只有一个交点，故符合题意，A 正确；对于sin 2y x =，设sin )2(g x x x =-，ππππ(0)0,()10,()004422g g g ==->=-<,则()g x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭有零点，即方程sin 20x x -=不只有一解，所以sin 2y x =与y x =多个交点，不符合题意，B 错误；对于ln y x x =-，设()ln ln F x x x x b x b =---=--，显然()F x 为()0,∞+上减函数，当e b x -=时，()0F x =，即所以ln y x x =-与y x b =+只有一个交点，故符合题意，C 正确；对于e x y x =，设()e 1x G x x x =--，则22(2)2e 10,(0)10,(2)2e 30G G G --=-+>=-<=->，显然()G x 在()2,0-和()0,2上各有零点，即所以e x y x =与1y x =+有多个交点，故不符合题意，D 错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.621()x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含42x y 项的系数是__________（结果用数字表示）.【答案】25-【解析】展开式中含42x y 项的系数是223366C (1)2C (1)154025⨯-+⨯⨯-=-=-.故答案为：25-14.正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=.已知事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,6B =，{}1,,,C a b c =，若()()()()P ABC P A P B P C =但A ，B 与C 均不独立，则事件C =______．【答案】{}1,5,7,8【解析】由已知()()()12P A P B P C ===又()()()()18P ABC P A P B P C ==，所以{}1ABC =，又A ，B 与C 均不独立，即()()()14P AB P A P B ≠=，()()()14P AC P A P C ≠=，()()()14P BC P B P C ≠=，所以C ={}1,5,7,8.故答案为：{}1,5,7,815.已知动点P ，Q 分别在圆221:(ln )()4M x m y m -+-=和曲线ln y x =上，则PQ 的最小值为__．【答案】122-【解析】由题意得()ln ,M m m ，即圆心M 在e x y =上，半径为12，故PQ 的最小值等于MQ 的最小值减去半径12，设(),ln Q n n ，由于e x y =与ln y x =关于y x =对称，MQ 的最小值等于Q 到直线y x =的距离的最小值的2倍，由ln y x =，可得1y x '=，令11n=，解得1n =，故ln y x =在点()1,0Q 处的切线与y x =平行，此时()1,0Q 到y x =的距离最小，最小值为102211-=+，故MQ 的最小值为2222´=，则PQ 的最小值等于122-.故答案为：122-16.若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是______．【答案】e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】()()222e 1,1()e 1e 1,01x x x a x x f x a x a x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨--<<⎪⎩，当1x ≥时，()e 2xf x ax ='+，令()0f x '≥得ee 202xxax a x+≥⇒≥-，令()e xh x x =-，1x ≥，()()2e 10x x h x x '-=≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，故()e xh x x=-在[)1,x ∞∈+上单调递减，又()()max 1e h x h ==-，所以2e a ≥-，解得2a e≥-；当01x <<时，()e 2xf x ax ='-，令()0f x '≥得e e 202x xx ax a -≥⇒≤，令()ex g x x=，01x <<，()()2e 10x x g x x '-=<在()0,1x ∈上恒成立，故()e xg x x=在()0,1x ∈上单调递减，其中()1e g =，故2a e ≤，解得2e a ≤，由于(1)e f =，即()f x 在1x =处连续，综上，e e ,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）证明：若2C A =，则2cos a b a C =-；（2）探究：是否存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．【解析】（1）证明：若2C A =，则()sin 2sin cos sin 2sin cos B A C A C A C-=+-sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C=+-()sin cos cos sin sin sin C A C A C A A =-=-=，所以，由正弦定理得：2cos a b a C =-．（2）假设存在ABC ，其三边为三个连续的自然数1m -、m 、()11m m +>，设这三边所对的角分别为A 、B 、C ，则若最大角是最小角的两倍，即2C A =．由（1）知，()121cos m m m C -=--，即()21cos 1m C -=．由余弦定理知，()()()222l l cos 21m m m C m m -+-+=-，所以，241m mm-=，即250m m -=，因为1m >，解得5m =，经检验满足条件．于是最大边长为16m +=．因此，存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．18.已知函数e ()ln (R)xa f x x x a x=-+∈．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：()e 1f x ≥-．【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，则11()1(0)xf x x x x-'=-=>当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，（2）（法一）当1a =时，2(e )(1)()(0)x x x f x x x --'=>由（1）可知ln 1x x x ≤-<，即e x x <，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，()()1e 1f x f ≥=-（当且仅当1x =时取得等号）（法二）当1a =时，e e e ()ln lnx x xf x x x x x x =-+=-令()()e 0x h x x x =>，可知(1)e ()xx h x x-'=于是()y h x =在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，e ()(1)e xh x h x=≥=（当且仅当1x =时取得等号）．令()()ln ,e k x x x x =-≥，则由（1）知：故()k x 在[e,)+∞单调递增，因此()e 1k x ≥-．所以e ()e 1xf x k x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭．19.如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面,,4,2,23,,ABC AB AC SA AB AC D E ⊥===分别为,BC SC 的中点，点,M N 都在棱SA 上，1AM =，且满足//DM 平面BEN .（1）求AN 的长；（2）求平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值.【解析】（1）如图，连接SD ，交BE 于点G ，连接NG ，则平面SMD ⋂平面BEN NG =.因为//DM 平面,BEN DM ⊂平面SMD ，所以//DM NG .因为,D E 分别为,BC SC 的中点，所以点G 为SBC △的重心，所以2SG GD =，所以2SN NM =.由题意知14AM SA =，则N 是SA 的中点，12.2AN SA ==（2）由题意知SA ⊥底面,ABC AB AC ⊥，所以AB ，,AC AS 两两垂直.以点A 为坐标原点，,,AB AC AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,23,0,0,0,4,1,3,0,0,3,2,0,0,2,0,0,1A B C S D E N M 所以()()2,3,2,2,0,2,(1BE BN DE =-=-=-，()0,2),1,3,1DM =--.设平面BEN 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BE m BN ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111112320220x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令11x =，则110,1y z ==，所以平面BEN 的一个法向量为()1,0,1m =.设平面DEM 的法向量为()222,,n x y z =，则00n DE n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222220x z x z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令22x =，则223,13y z =-=，所以平面DEM 的一个法向量为32,,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.故36cos ,8m n m n m n⋅==，由图象可知平面BEN 与平面DEM 夹角为锐角，所以平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值为368.20.为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x 表示，sin t x =，利润用y （单位：万元）表示，已知y 与x 的经验回归方程为ˆsin yb x a =+．x 12345678910y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544（1）求,a b 的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M ，集合M 中元素的个数记为随机变量X .（i ）求X 的分布列及数学期望；（ii ）规定：进行多轮选择，每轮出现3X =记为A ，出现3X ≠记为B ，先出现AB 为甲胜，先出现AA 为乙胜．记1P 表示“第一轮为A 且最终甲胜的概率”，2P 表示“第一轮为B 且最终甲胜的概率”，求1P ，2P 及甲胜的概率．参考数据：114.23iii t y∞=≈∑，0.14t ≈， 3.28y =，1021() 4.80i i t t =-≈∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ．其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1122211()ˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx x x nx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．【解析】（1）由已知公式得1011014.23100.14 3.289.6i ii t y t y =-≈-⨯⨯≈∑，所以9.6ˆ 2.04.8b=≈，ˆˆ 3.28 2.00.143a y bt=-=-⨯=，所以ˆˆ3,2a b==.（2）（i ）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，555222C 1(2)C C 10P X ===，3112532255C C C 63(3)C C 105P X ====，54422255C C 3(4)C C 10P X ===，其分布列为X234P1103531013316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=．当第一轮为A 时，若第二轮为B ，则甲胜；若第二轮为A ，则乙胜，所以13265525P =⨯=;当第一轮为B 时，若第二轮为A ，则最终甲胜的概率为125P ，若第二轮为B ，则最终甲胜的概率为225P ；所以2122226255255P P P P =+=+，解得2425P =．故甲胜的概率1225P P P =+=．21.已知O 为坐标原点，点P 在椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上，1C 的左、右焦点12,F F 恰为双曲线2224:13C y x -=的左、右顶点，1C 的离心率12e =．（1）求1C 的标准方程；（2）若直线l 与1C 相交于A ，B 两点，AB 中点W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上．探究直线AB 与双曲线2C 的位置关系.【解析】（1）由题可知：12(1,0),(1,0)F F -所以221a b -=，22212a b e a -==，解得2,a b ==．所以椭圆C 的标准方程为；22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，()22,B x y ，若直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，则11228Δ0,34kmx x k >+=-+，可得1224234x x km k+=-+，12122()232234y y k x x m mk +++==+，设00(,)W x y ，则02434km x k =-+，02334m y k=+，可得()2220221634k m x k=+，()22022934m y k =+，则22222002224(1216)43(34)34y m k m x k k++==++，同理可得：2222220022224(1612)4(43)3(34)(34)y m k m k x k k ---==++，因为W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上，则()222222244(43)3434m m k k k ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭+，解得22443m k =-，联立方程22413y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：222(34)8430k x kmx m ----=，所以()222Δ123440m k=+-=，直线AB 与2C 相切．若直线l 斜率不存在，由对称性知W 在x 轴上，W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，令0y =，可得()222x x =，且0x ≠，解得1x =±，则()1,0W ±，直线:1AB x =±，此时也有直线AB 与2C 相切，综上可知：直线AB 与2C相切．22.在各项均为正数的数列{}n a 中，12a =，216a =，2114(1)n n n a a a n +-=>．（1）证明数列1n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21)ln 1n nb n =+⋅+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ．（i ）求n S ；（ii ）证明：12n S >-．【解析】（1）由题意知114(1)n n n n a an a a +-=>，因此数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以218a a =为首项，以4为公比的等比数列，于是2112n n n a a ++=，2112(1)n n n an a --=>．2(21)(23)11321122122(1)n n n n n n n n a a a aa a n a a a a -+-++---=⋅⋅⋅⋅⋅==> ．又12a =适合上式，所以22n n a =．（2）（i ）因为2(21)ln2(21)ln (21)ln(1)2ln 1n nb n n n n n n n =++=+--++++，所以()()()()()()2ln13ln 22ln123ln 25ln 32ln 2221ln 21ln 12ln n S n n n n n =+-+++-++++--+++ ()2[03ln 23ln 25ln 3(21)ln (21)ln(1)]2ln1ln 2ln n n n n n n =+-+-++--+++++++ 2(21)ln(1)2ln !n n n n =-+++．（ii ）因为数列11121n n ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭的前n 项和为11111111111212231212n n n ⎛⎫⎛⎫--+-+-=-->- ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，所以只需证明：1112(21)ln 121n n b n n n n ⎛⎫=++>-- ⎪++⎝⎭，也就是()()11211111ln21121(21)212121n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫>--=-+-=- ⎪ ++++++⎝⎭⎝⎭，令(0,1)1nx n =∈+，只需证明11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，设函数11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，222111(1)()0222x f x x x x--'=--=≤．所以()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立，得证．。

WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中．题号12345678答案1．已知a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b0(B) a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin212().x0x yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中，df f 的是().（ A）f (x, y)xy（ B）f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C）f (x, y)x2y2（ D）f (x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x1)2( y 1)2 2 ，若I1x y d， I 2x yd ，D4D4I 33x y d，则有（） .4D（ A）I1I 2I3（ B）I1I 2I 3（ C）I2I1I 3（ D）I3I1I 26．设椭圆L：x2y 21的周长为 l ，则(3x2 4 y2 )ds（） .43Ll3l4l12l(A)(B)(C)(D)7．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（） .n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（） .（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数a n2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设f x是连续函数，{( x, y , z) | 0z9x2y2 } ， f (x 2y 2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点1x2,0 x以 2于.专业资料值得拥有⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1 及 z 0 所围成的空间闭区域，求I解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数nn的和．n 1n 12解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．0y解：专业资料值得拥有⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )d s，其中 L 为圆周x2y2ax (a0 )．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1之间的部分的下侧.解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y 2)d x (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．yy x2x y2D专业资料值得拥有O x2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷 (A)答案及评分标准一、单项选择题（ 8 个小题，每小题2 分，共 16 分）题号1 2345678答案D A B B A D C D1．已知 a 与 b 都是非零向量，且满足 a ba b ，则必有（ D）(A) ab 0 ； (B)a b 0 ； (C)a b0 ； (D) ab 0 ．2. 极限 lim( x2y 2)sin21 2 ( A )x 0x yy(A) 0； (B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．下列函数中， df f 的是 (B ) ；（ A ） f ( x, y) xy ；（ B ） f ( x, y) xy c 0 , c 0为实数 ；（ C ） f (x, y)x 2y 2； （ D ） f (x, y) e xy .4．函数 f ( x, y)xy (3 x y) ，原点 (0,0) 是 f (x, y) 的 ( B).（ A ）驻点与极值点；（ B ）驻点，非极值点；（ C ）极值点，非驻点； （ D ）非驻点，非极值点 .5 ． 设 平 面 区 域 D ： ( x 1)2( y 1)22 ， 若 I 1x yd ， I 2x y dD4D 4WORD 格式整理3xyd ，则有（ A）I 34 D（A ） I 1I 2 I 3 ； （B ） I 1 I 2 I 3 ；（ C ） I 2 I 1I 3 ；（D ） I 36．设椭圆 L ：x 2y21的周长为 l ，则(3 x24y 2)ds（ D ）43L(A) l ； (B)3l ；(C)4l ；(D)127．设级数a n 为交错级数， a n0 (n) ，则（ C）n 1(A) 该级数收敛； (B)该级数发散； (C) 该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8. 下列四个命题中，正确的命题是（ D）（ A ）若级数a n 发散，则级数a n 2也发散；n 1n 1（ B ）若级数a n 2发散，则级数a n 也发散；n 1n 1（ C ）若级数a n 2收敛，则级数a n 也收敛；n 1n 1（ D ）若级数| a n |收敛，则级数a n 2也收敛．n 1n 1二、 填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分 ) ．3x 4 y 2z 6 0a 为31. 直线3yz a 与 z 轴相交，则常数。

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。

（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。

（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）4. 二重积分的值与积分次序无关。

（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。

青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题2024.07本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足，则的虚部为（ ）A. B. 1 C. D. i2. 在空间直角坐标系中，点关于y 轴对称点的坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ）A B. C. D. 4. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）.的21i1z =-+z 1-i -O xyz -()1,1,2A ()1,1,2-()1,1,2-()1,1,2--()1,1,2-,αβ,m n m n ⊥,,m n αβαβ⊥⊥∥,,m n αβαβ⊂⊥∥,,m n αβαβ⊥⊥∥,,m n αβαβ⊥⊂∥{},,a b c ,,b c b b c +- ,,a a b a b +-,,a b a b c +- ,,a b a b c c+++A. B. 3 C. D. 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，则它的侧面积为（ ）A6 B. C. 24 D. 447. 若△ABC 为斜三角形，，则的值为（ ）A. B. C. 0 D. 18. 已知平面，平面，，BD 与平面所成的角为30°，，，则点C 与点D 之间的距离为（ ）A B. C.D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 正方体中，点E ，F 分别为，的中点，则（ ）A. 与为异面直线B. 平面C. 过点A ，E ，F 的平面截正方体的截面为三角形D. 平面10. 已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为（ ）A. B. C. D. 11. 已知四面体的所有棱长都等于6，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则（ ）A. 该四面体的高为B. 该四面体的体积为..sin cos A B =tan tantan A B C +2-1-AB ⊂αAC ⊥αBD AB ⊥α1BD AC ==2AB =1111ABCD A B C D -1AD AB AC EF //EF 11BDD B EF ⊥1AB Ca b 32⎫⎪⎪⎭(b = a ()0,2()2,0()VABC P VBC AP VBC Q VBC. 点的运动轨迹长度为D. 过的平面截该四面体内最大球的截面面积为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg ，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N ．（重力加速度g 取）13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______．14. 在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．（1）证明：四边形为等腰梯形；（2）若在圆台内部挖去一个以O 为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积．16. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P 是与的交点．P ACQ 3π2210m s 111ABC A B C -20π1AB AC AA ==2π3BAC ∠=ABCD ABC BCD 30︒A BCD H ABC V G AD BC ⊥4AB AC BC ===GH =1OO 1AA 1BB 11AA B B 1OO 1O 111ABC A B C -12AB AA ==1AC =160BAC A AB ∠=∠=︒11A ABB ⊥ABC ,M N 11,AC A C 1BC 1B C（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且．（1）求B ；（2）若B 的角平分线交AC 于点D ，，点E 在线段AC 上，，求的面积．18. 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W ，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P ，Q 分别在圆弧，上，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面，求P 到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB 是底面圆O 的直径，，椭圆面过点B 且垂直于平面ABC ，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB 同一侧．1//PB N 1BA M PAB 1A CM 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-BD =2EC EA =BDE △ABED 1AB AD ==2DE =AD DE ⊥BC DE ⊥BC ABED 180 GF HE GF HE //PF BHQ BHQ ⊥PGH GQ PGH BHQ BHQ BEQ 13HQ 2AB =()1,2,3,,i E i n = i F i F（1）当时，求的长度；（2）当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；（3）证明：．1π3AOF ∠=11E F 6n =1F 2F 3F F 6()()()()()()112233445566111111E F E F E F E F E F E F ------¼¼11112221πn n n n AF E F F F E F F F E F -⋅+⋅++⋅<n青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题答案一、【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】5【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明略（2【16题答案】【答案】（1）证明略（2）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）证明略（2（3）【19题答案】【答案】（1）； （2）； （3）证明略.152π3B =HQ =1123E F =164-。