统计信号处理第三章

g(t)与 z(t)联合平稳 那么： (t) = 0 h(t-) z() d
T
改写 Wiener-Hopf 方程： Rgz(t- )0= 估值均方误差：e2min = Rg(0) 0
T
T
h(t-) Rz(-) d
[0,T]
h(t-) Rgz(t-) d
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Qingmin LIAO, Tsinghua University
Qingmin LIAO, Tsinghua University 3
最佳线性滤波器：
N
3.1
波形的LMS估计
用{z(): [0,T]}的线性组合来估计 g(t)，使均方误差最小。 线性组合表示：
ˆ (t) = lim g
0 i 1

h(t,i)z(i)
其中 N = T
R s (0) R s (t ) R s (T ) R s (T t ) R s2 (0) R s2 (T ) R s (0) R s (T t ) R s (t ) R s (T ) R s2 (0) R s2 (T )
可见：当 t=0 时，a=1，b=0；当 t=T 时，a=0，b=1。
ˆ (t) g
= 0
求解 h(t,)：
ˆ g
T
h(t,) z() d
z(t)
h(t,)
方法之一：用正交原理求解 由 E([g(t) (t)]z()) = 0，[0,T]得： E([g(t) 0 故：
T
h(t,) z() d ]z()) = 0 h(t,) Rz(,) d [0,T] Wiener-Hopf 方程
t t
ˆ g
t+ 问题类型： ① 预测问题： g(t) = s(t+) 其中>0 ② 滤波问题： g(t) = s(t) ③ 平滑（内插）问题：对任意属于观测区间的 t，估计 s(t) 即：待估计量为 g(t)=s(t)，t观测区间 固定滞后平滑：基于[t0,t]的观测，估计 s(t)，其中>0
求物理不可实现 Wiener 滤波器的冲激响应 h(t)
解：W.F.的传输函数： H(s) =
1 1 1 s ( ) n ( ) 1 1 2 (1 s 2 )


1
3 s2
2
作双边拉氏反变换得： h(t) = 此时，e
2 min
1 e 3
3 t
=1 2

ˆ (t) = as(0) + bs(T) g
t[0,T]
E([s(t) as(0) bs(T)]s(0)) = 0 E([s(t) as(0) bs(T)]s(T)) = 0 aRs(0) + bRs(T) = Rs(t) aRs(T) + bRs(0) = Rs(Tt)
故，物理不可实现的 Wiener 滤波器的传输函数： s ( ) 1 H() = s ( ) n ( ) =1 ( ) ( ) 1 s n
1 2 此时，e min= 2


1 2 (s() s ( ) n ( ) )d
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s ( )
2


s ( ) n ( ) s ( ) n ( ) d
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例： 考虑如下的加性噪声中的滤波问题： 已知：s(s) =
2 ，n(s) = 1 1 s 2
3.2.1
物理不可实现的W.F.
ˆ 令 = t-，则： g (t) = 0 h() z(t-) d h()仅存于区间[0,+)上
W-H 积分方程：Rgz(t-) = h(t-) Rz(-) d 令 t-=u，t-=v，则： Rgz(u) = 0 h(v) Rz(u-v) dv 求解：频谱因式分解法和预白化法 频谱因式分解法：
Chapter 3
Estimation of Waveforms
信号波形复原/波形估计：将信号（观测时间 T 内连续）过滤出来 应用： 估值描述： 估计基础： 问题： 通信系统、目标跟踪、图象处理、过程控制等 给定两个有关联的随机过程 z(t)和 s(t)， 希望利用 z(t)或它的某些值去估计（信号）s(t)的各种参量 g(t)。 z(t)在一定时刻 t=的值，属于时间轴上集合 I（离散点或区间） 。 寻找这些数据 z()的适当变换，作出 g(t)的最佳估计 (t)。
T
T
h(t,) Rz(,) d] d= 0 [0,T]
由于 f(t,)可为任意函数，故： Rgz(t, )0=
h(t,) Rz(,) d
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3.2 Wiener滤波
线性最小均方估值： W-H 方程：
ˆ (t) = g
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3.1 波形的线性最小均方估计
线性最小均方估计：
寻找线性估值： 目的：
ˆ (t) = L[z()] g
其中I，L[]为线性算子
ˆ (t)]2) = E([g(t) L[z()]]2)最小 使均方误差 e2 = E([g(t) g
[0,T]
利用了 t 以前的数据{z(): (-,t]}和 t 以后的数据{z(): (t,+)} 令 = t-，估值可表为：
ˆ g
(t) = h() z(t-) d
冲激响应 h()存在于区间(0,+)和区间(-,0)上 重写 Wiener-Hopf 积分方程（令 t-=u，t-=v） ： Rgz(u) = h(v) Rz(u-v) dv 作双边拉氏变换：
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3.2.2 物理可实现的Wiener滤波器
拓展观测区间：[0,T] (-,t)
ˆ (t) = t 时刻估值： g
LMS 估值
ˆ (t) = g
T 0
h(t-) z() d
T
W-H 方程 Rgz(t-) = 0
h(t-) Rz(-) d
[0,T]

t
h(t-) z() d仅利用了{z(): (-,t]}
0 T
h(t,) z() d
T
Rgz(t,)0 =
h(t,) Rz(,) d[0,T]
T
估值均方误差： e2min = Rg(t,t)0 假定： z(t)平稳
ˆ g
h(t,) Rgz(t,) d

Rz(t,) = Rz(t-) Rgz(t,) = Rgz(t-)
3.2.1 物理不可实现的Wiener滤波器
拓展观测区间：[0,T] (-,+)
ˆ (t) = t 时刻估值： g

ˆ (t) = LMS 估值： g 0 h(t-) z() d
T
h(t-) z() d

W-H 方程： Rgz(t-) = 0
T
h(t-) Rz(-) d
Parseval 定理
(g() ( ) z
gz ( )
2
) d

代入 H()
加性噪声中的滤波问题： g(t) = s(t) z(t) = s(t) + n(t)，s(t)和 n(t)相互独立，n(t)的均值为零 gz() = s() z() = s() + n()

1 2 d = 3 2 (1 2 )
= 0.577
L t
注意：双边拉氏变换公式： 2
1 s
2
1
1 s 1 s
1
e
L 1 (s) f ( t )


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应用正交原理：
若 E([g(t) L[z()]]z(i)) = 0（iI） ，则均方误差最小
证明：假设对 L[]算子正交原理成立。令 L1[]为另一线性算子， 则 E([g(t) L1[z()]]2) = E([g(t) L[z()] + L[z()] L1[z()]]2) = E([g(t) L[z()] + L2[z()]]2) = E([g(t)L[z()]]2) + 2E([g(t)L[z()]]L2[z()]) + E([L2[z()]]2) = E([g(t) L[z()]]2) + E([L2[z()]]2) 故 E([g(t) L1[z()]]2) E([g(t) L[z()]]2) 当且仅当 E([L2[z()]]2) = E([L[z()]L1[z()]]2) = 0 时，上式中等号成立 所以，我们以概率 1 有：当 L1[] = L[]时，估值的均方误差最小
物理不可实现的W.F.
T
估值方差：e
2
min
= Rg(0) h(v) Rgz(v) dv
1 = 2 1 = 2

e2min = Rg(0) 0 h(t-) Rgz(t-) d


1 g()d 2


H() gz*() d

-<u<+
gz(s) = H(s) z(s)
gz ( s )
其中：gz()称为互谱函数，H()称为传输函数，z()称为功率谱函数 故，最佳线性滤波器的传输函数： H(s) z ( s )
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3.2.1
z(t)实平稳随机过程 Rz()实偶函数 z(s)有理谱 则： z(s) = z+(s)z(s)
Rgz(t,) = 0
T