高二数学上学期入学考试试题(1)word版本

HY中学2021-2021学年高二数学上学期入学测试(cèshì)试题说明： 1．试卷分第I卷和第II卷，满分是150分，时间是120分钟． 2．将第I卷和第II卷之答案填涂在答题卡相应的答题栏内．第I卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．x1，x2，…，xn的平均数为10，HY差为2，那么2xi-1，2x2-1，…，2xn-1的平均数和HY差分别为( )A． 19和2 B． 19和4 C． 20和2 D． 20和42．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，那么这两条棱是一对异面直线的概率为( )A． B． C． D．3．函数的最小正周期为π，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数f(x)的图象( )A．关于直线x=一对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于直线x= 对称4．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数为( )A． 1 B． 2 C．无数个不存在5．向量，向量，那么的最大值与最小值的和为( )A．4 B．4 C．16 D．4+46．△ABC的内角(nèi jiǎo)A、B、C的对边分别a，b，c，a= ，c=2，cosA= ，那么b的值是( )A． B． C．2 D．37．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且其面积那么角C的度数为( )．A． B． C． D．8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+ c2= a2+ bc. 假设sinB·sinC=sin2A，那么△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．．那么的值等于( )A． B． C． D．10. tan10°tan 20°+ tan 20°tan 60° + tan 60° tan10° =( )A, 1 B. 2 C, tan10° D. tan20°11.设，不等式8x2一(8 sin a)x+cos2a≥0对x∈R恒成立，那么a的取值范围为( )A． B． C． D．12．定义向量一种运算“〞如下：对任意的令，下面错误的选项是( )A．假设与一共线，那么 B．C．对任意的，有D．第II卷〔非选择题，一共(yīgòng)90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合} ，那么集合T中元素的个数为．14.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，先利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数al =RAND，b1=RAND，然后进展平移与伸缩变换a=4a1-2，b= 4b1．试验进展了100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为65,己知最后两次试验的随机数为(0.3，0.08)，(0.4，0.3)，那么本次模拟得到的面积的近似值为〔保存小数点后两位〕．15．己知=3，=4，与的夹角为60°，那么与的夹角余弦值为．△ABC中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足(2a-c) cosB=bcosC，那么= .三，解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17.化简(1)(2)18．假设点(p，q)，在|p|<3，|q|≤3中按均匀分布出现．(1)点M(x，y)横、纵坐标分别(fēnbié)由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，那么点M(x，y)落在上述区域的概率？(2)试求方程x2 +2 px - q2 +1=0有两个实数根的概率．19,某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华〞的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩〔均为整数〕分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下局部频率分布直方图．观察图形给出的信息，答复以下问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图：(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)从成绩是[40，50)和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。

新高二数学上学期入学考试试题1时量：120分钟 总分：150分班级： 姓名： 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、的值是 ( )sincos1212ππA ．B ．C ．D ．114182、直线与直线垂直，则的值为（ ）210ax y +-=2310x y --=aA ．B ．C ．D ．3-43-233、△中，，，，则△的面积为（ ）ABC 36a =50c =30B =︒ABCA. B. C. D.4509004、已知等比数列中，，，则（ ）{}n a 32a =4616a a =91157a a a a -=-A ． 2B ． 4C ．8D ．165、在△中，如果，那么等于（ ）ABC ()()3a b c b c a bc +++-=AA ．B ．C ．D ．60︒30︒120︒150︒6、设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c7、设等差数列的前项和为，若，，则（ ）{}n a ()*n S n ∈N 48a =420S =8a =A. 12B. 14C. 16D. 188、变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）,x y 20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩2z x y =+A ． 3B ． 4C ． 1D ． 2 9、等差数列的前项和为，若，则（ ）{}n a nS 64711a a =117S S = A ． B ． 2 C ． 1 D ．1-1210、若直线过点，则的最小值为（ ）)0,0(1:>>=+b a byax l (1,2)A 8a b +A ．34B ．27C ．16D ．25 11、不等式的解集为（ ）111x ≥-- A ． B ．(][),01,-∞+∞[)0,+∞ C ． D ．(](),01,-∞+∞[)()0,11,+∞12、在△中，分别为角的对边，，则△的形状为( )ABC ,,a b c ,,A B C 21cos222A b c=+ABC A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13、若，，则的取值范围是_____________．14a <<24b -<<2a b -14、等差数列的前项和为，若，则等于_________．{}n a n S 37116a a a ++=13S 15、函数的最大值为____________．()4sin 3cos 1f x x x =+- 16、在△中，已知，则最大角等于 ．ABC sin :sin :sin A B C =三、解答题(本题共6大题计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）已知等差数列中，，为其前项和，.{}n a 2614a a +=n S 525S = （1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和12n n n b a a +=⋅{}n b nT.18、（12分）如图，在直三棱柱中，，点是的中点．111ABC A B C -AC BC ⊥D AB 求证：（1）；1AC BC ⊥ （2）平面．1//AC 1B CD19、（12分）△的内角的对边分别是，ABC ,,A B C ,,a b c已知 ．222a b c ab+-cos cos 1a b B A c c ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭（1）求角；C（2）若，△的周长为，求△的面积．c =ABC 5ABC S20、（12分）设为数列的前n 项和，对任意，都有.n S {}n a n *∈N 21n n S a =- （1）求数列的通项公式；{}n a（2）若数列的前n 项和为，求使得成立的的最小值.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 12500n T -< 21、（12分）已知函数的最大值为.()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭3（1）求的值及的单调递减区间；a ()f x（2）若，，求的值.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1125f α⎛⎫= ⎪⎝⎭cos α22、（12分）解关于的不等式.x 2(1)10ax a x -++>高二年级入学考试数学试题时量：120分钟 总分：150分班级： 姓名： 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

HY中学2021-2021学年高二数学上学期入学考试试题〔扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一中2021届高二上入学考试参考答案数学一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕13、 350x y +-= 14、2x x -- 1516、34π 三、解答题17．〔I 〕{}|1m m ≤；〔II 〕{}|35m m -<<.解：〔I 〕因为()()214f x x m x =+-+开口向上 所以该函数的对称轴是102m x -=-≥ 因此10m -≤，解得1m ≤所以m 的取值范围是{}|1m m ≤ ···················· 5分 〔II 〕因为()()2140f x x m x =+-+>恒成立， 所以()21160m ∆=--<，整理得22150m m --< 解得35m -<<,因此 m 的取值范围是{}|35m m -<<. ···········10分18．〔I 〕21n a n =+，3n n b =；〔II 〕 13n n S n +=⋅. 详解：〔I 〕设{}n a 的公差为d ，那么由得21134a a a =即()()2331233d d ⨯+=+，解得：2d =或者0d =〔舍〕所以()32121n a n n =+-=+因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =所以3n n b = ····························· 6分 〔II 〕由〔I 〕可知()213n n n n c a b n ==+⋅所以()12123353213n n n S c c c n =+++=⨯+⨯+++⨯ ①()23133353213n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ②○1-②式得： ()()()()()231211111223339213313292131339921323n n n n n n n n S n n n n +-++++-=⨯++++-+⨯-=⨯+-+⨯-=-+-+⨯=-⨯ 所以13n n S n +=⋅ ··························· 12分19．〔I 〕3=b ；〔II 〕. 详解：〔I 〕由题意及正弦定理得，03=-bca ac0≠ac，b ∴=························· 6分 〔II〕由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴sin(+=16B π），∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=，∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 322S ac B =≤⨯=． ∴ABC ∆． ···················· 12分20．〔I 〕见解析；〔II 〕66. 详解：证明：〔Ⅰ〕取AD 的中点O ，连接,PO CO PAD 为等边三角形，PO AD ∴⊥//,,BC AO BC AO AB BC =⊥∴四边形ABCO 为矩形CO AD ∴⊥CO PO O =AD ∴⊥平面POC又PC ⊂平面POC ，AD PC ∴⊥ ·················· 6分 (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD PO ∴⊥平面ABCD ，PO ∴为三棱柱P ABC -的高PAD 为等边三角形，2AD =，所以3PO =3,1CD OD ==，2OC AB ∴==11221222ABC S AB BC ∆∴=⋅=⨯⨯= 112633326B PAC P ABC ABC V V S PO --∆∴==⋅=⨯⨯= ··········· 12分 21．〔I 〕 1a =；〔II 〕 (],1-∞-.详解：〔I 〕由()()22sin sin cos 2sin 2sin cos 1cos 2sin 22sin 214f x x x x a x x x ax x a x a π=+-=+-⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭ 因为()f x 经过点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11422sin 2=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a ππ，解得1=a . ·· 6分〔II 〕由〔I 〕知()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当244x ππ-=-，即0x =时，()min 1f x =-，因为()f x m ≥恒成立，即()min m f x ≤，所以1m ≤-因此m 的取值范围为：(],1-∞- ···················· 12分22．〔I 〕()()22231x y -+-= ；〔II 〕 不存在直线1l解:〔I 〕由，线段AB 的中点35,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32112AB k -==-- 故线段AB 的中垂线方程为：5322y x -=-，即10x y -+= 因为圆C 经过,A B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上又因为直线l ：320x y -=平分圆C ，所以直线l 经过圆心由10320x y x y -+=⎧⎨-=⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩，即圆心的坐标为()2,3C 而圆的半径1r BC === 所以圆C 的方程为：()()22231x y -+-= ··············· 6分〔II 〕设()11,M x y ，()22,N x y将2y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，得：()()22211x kx -+-=即()()2212440k x k x +-++= ① 由()()22241610k k∆=+-+>，得212160k k -+> 所以122241k x x k ++=+，12241x x k⋅=+. 又因为 ()()()()121212122121222124OM ON x x y y x x kx kx kx x k x x ⋅=+=+++=++++ 所以()222424124611k kk k k ++⨯+⨯+=++ 即23410k k ++=，解得1k =-或者13k =-此时①式中0∆<，没有实根，直线1l 与C 交于,M N 两点相矛盾，所以不存在直线1l ，使得6OM ON ⋅= ················· 12分本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高二数学第一学期开学考试试卷9月参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．不等式2101x x -≤+的解集是 ． 2．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ．3．在等比数列}{n a 中，如果53a a 和是一元二次方程0452=+-x x 的两个根，那么642a a a 的值为 ．4．直线x －y －5＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0所截得的弦的长为 ． 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且tan B ，则角B 的大小是 ．6．若直线08)5(20354)3(=-++=+-++y m x m y x m 与直线平行，则=m ． 7．设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //． 其中正确命题是 （填写序号） 8．在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC 的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是 ．9．右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是 ．10．直线2y kx =+与圆2220x y x ++=只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为 ．11．已知,x y 的取值如下表：从散点图分析y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = ．12.如图（1）是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列24{}n n+（*n ∈N ）的项，则所得y 值中的最小值为 ．13．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，2007200512008,220072005S S a =--= ，则2008S 的值为 ．14．关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，则实数k 的范围为 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图； （3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 16．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 为1CC 的中点，1AB 与1A B 相交于点O ，连接OD ．（1）求证：OD ∥ABC 平面； （2）求证：1AB ⊥平面1A BD ．17．（本小题满分15分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有sin sin A C -+cos()22A C -=． （1）求A 的大小； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分15分）有一五边形ABCDE 的地块（如图所示），其中CD ，DE 为围墙.其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地. （Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？ （Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层?19．（本小题满分16分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点A (1，0)． （1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程； （2）若1l 的倾斜角为4p，1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标； （3）若1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时1l 的直线方程．本小题满分16分）已知负数a 和正数b ，令11,a a b b ==，且对任意的正整数k ，当02k ka b +≥时,有1k k a a +=，12k k k a b b ++=；当02k k a b +<，有12k k k a ba ++=，1k kb b +=． （1）求n n b a -关于n 的表达式；（2）是否存在,a b ，使得对任意的正整数n 都有1n n b b +>？请说明理由． （3）若对任意的正整数n ，都有212n n b b ->，且221n n b b +=，求n b 的表达式．江苏省扬州中学---度开学考试数学答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．1(1,]2- 2．150 3．8± 45．3π或23π6．18+ 7．2.6 8．7- 9．③④ 10．16 11．60︒ 12．3[,1)413．2008- 14．6k ≤ 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（1）编号为016； （2）（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是160.3250=，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人．答：获二等奖的大约有256人．16．证明：（1）取1BB 的中点E ，连结,ED EO ，则OE ∥AB ，又OE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC,∴//OE 平面ABC ． 同理//DE 平面ABC ，又OE DE E ⋂=∴平面//OED 平面ABC ，而OD ⊂平面OED ， ∴//OD 平面ABC ．（2）连AD D B ,1∵11ABB A 是正方形，∴11AB A B ⊥∵11Rt ACD Rt B C D ∆∆≌，∴1AD B D = 又O 是1AB 的中点，∴1AB DO ⊥， ∵1A B DO O ⋂=∴1AB ⊥平面1A BD ．注：其它解法酌情给分 17．解：（1） B=600，A ＋C ＝1 C ＝1－A ， ∴ sin A －sin C ＋22 cos （A －C ）＝21sin A －23 cos A ＋22［1－2sin 2（A －60°）］=22， ∴sin（A －60°）［1－2 sin （A －60°）］＝频率组距∴sin（A －60°）＝0或sin （A －60°）＝22， 又0°＜A ＜1 ∴A ＝60°或105°．(2) 当A ＝60°时，Ｓ△＝21ａc sin B ＝21×4Ｒ2sin 360°＝433 当A ＝105°时,S △＝21×4Ｒ2·sin105°sin15°sin60°＝43． 18．解：（Ⅰ）由图建立如图所示的坐标系，可知AB 所在的直线方程为x 20＋y20＝1，即 x ＋y ＝G (x ，y )，由y ＝可知G (x ，)．S ＝ (34-（）)(23-5－x )＝－x 2＋4x ＋18·14＝－(x －2)2＋256．由此可知，当x ＝2时，S 有最大值256平方米．答：长宽均为16时面积最大.（Ⅱ）设应把楼房建成x 层，则楼房的总面积为256x 平方米，每平方米的购地费为4000000÷(256x )元，每平方米的建筑费用为500＋25(x －5)元． 于是建房每平方米的综合费用为y ＝500＋25(x －5)＋4000000256x ＝375＋25x ＋4000000256x ≥375＋225·4000000256＝375＋2·5·200016＝375＋1250＝1625（元）.当25x ＝4000000256x ，即x 2＝4000000256·25 ，x ＝200016·5＝25时，y 有最小值1125．故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层． 19．(1) 解：①若直线1l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意． ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即： 2=，解之得 34k =. 所求直线方程是1x =，或3430x y --=． (2) 直线1l 方程为y =x -1.∵PQ ⊥CM ,∴CM 方程为y －4=－(x －3),即x ＋y －7＝0.∵1,70,y x x y =-⎧⎨+-=⎩∴4,3.x y =⎧⎨=⎩∴M 点坐标（4，3）．(3) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为0kx y k --=， 则圆1l d =心到直的距离CPQ 又三角形面积12S d =⨯=== ∴当dS 取得最小值2. 17.d k k ∴==或∴直线方程为y ＝x －1,或y ＝7x －7. ：(Ⅰ)当a k +b k 2≥0时，b k +1－a k+1=a k +b k 2 -a k = b k -a k 2；当a k +b k 2<0, b k +1－a k +1 = b k - a k +b k2= b k -a k 2．所以，总有b k +1－a k +1 = 12(b k -a k ), 因此，数列｛b n －a n ｝是首项为b －a ，公比为12的等比数列．所以b n －a n ＝(b －a )(12)n -1．(Ⅱ) 假设存在a,b ，对任意的正整数n 都有b n >b n +1，即a n =a n +1．所以a n =a n -1…= a 1=a ，又b n －a n ＝(b －a )(12)n -1，所以b n ＝a + (b －a )(12)n -1，又a n +b n 2≥0,即a + (b －a )(12)n ≥0, 即2n ≤a-b a ，因为a-b a 是常数，故2n ≤a-ba 不可能对任意正整数n 恒成立．故不存在a,b ，使得对任意的正整数n 都有b n >b n +1．(Ⅲ)由b 2n -1>b 2n ，可知a 2n -1=a 2n ，b 2n =a 2n -1+b 2n -12,所以b 2n =a 2n +b 2n -12，即b 2n -b 2n -1=-( b 2n -a 2n )=- (b-a ) (12)2n-1．又b 2n =b 2n +1，故b 2n +1-b 2n -1=-( b 2n -a 2n )= (a-b ) (12)2n-1,∴b 2n -1= (b 2n -1-b 2n -3)+( b 2n -3-b 2n -5)+…+( b 3-b 1)+b 1= (a-b )[ (12)2n-3+ (12)2n-5+…+ (12)1]+b =(a-b )12(1-(14)n-1)1-14+b= 23(a-b )[ 1- (14)n-1]+b ． 当n 为奇数时，令n =2m -1,可得b n =b 2m -1= 23(a-b )[ 1- (14)m-1]+b = 23(a-b )[ 1- (12)n-1]+b ，当n 为偶数时，可得b n =b n +1= 23(a-b )[ 1- (12)n ]+b ，故121(-)[ 1- ()]+(3221(-)[ 1- ()]+()32n n n a b b n b a b b n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数)为偶数。

南山中学2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)开学考试试题考前须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．假设a＞b，那么以下各式中正确的选项是〔〕A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．2．等差数列中，，公差，那么〔〕A．B．C．1 D．03．向量，，假设，那么实数 ( )A．-1 B．1 C．2 D．-24．在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，假设2＝，且＝＋，那么x＋y＝〔〕A．－B．－C．D．－1 35．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎?丹铅总录?记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n表示解下n〔n ≤9，n N *〕个圆环所需的挪动最少次数，假设a 1＝1．且a n ＝，那么解下5个环所需的最少挪动次数为〔 〕A ．7B ．13C ．16D ．226．设，是两条不同(bù tónɡ)的直线，，是两个不同的平面，那么以下四个命题：①假设，，，那么；②假设，，那么；③假设a β⊥，αβ⊥，那么//a α或者；④假设b a ⊥，a α⊥，，那么αβ⊥．其中正确命题的个数为〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．47．设x ，y 满足约束条件那么z ＝2x ＋y 的最小值是〔 〕 A ．－15B ．－9C ．1D ．98．?九章算术?中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞.某“堑堵〞的三视图如下图，俯视图中间的实线平分矩形的面积，那么该“堑堵〞的侧面积为〔 〕A ．B ．C ．D ．9．假设△ABC 中，，那么此三角形的形状是〔 〕A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．记S n为等比数列(děnɡ bǐ shù liè){a n}的前n项和．假设a5–a=12，a6–a4=24，那么=〔〕3A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1D．21–n–1 11．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设，，那么b的取值范围为〔〕A．B．C．D．12．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，那么线段长度的最小值为〔〕A．B．C．3 D．2二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题3分，一共12分．13．在中，，，，那么______________.14．如图是棱长为a的正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为________．15．某每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，变动的范围是________．16．圆是边长为2的正方形的内切圆，MN为圆O的一条(yī tiáo)直径，点为正方形四条边上的一个动点，那么的取值范围是______．三、解答题：本大题一一共4小题，每一小题10分，一共40分。

高二（上）入学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=M ，{}0)2)(1(<-+=x x x N ，则=N M （ ） A ．{}0,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,02．=︒︒-︒︒70sin 160sin 70cos 20cos （ ） A ．0B ．21C ．23 D ．13．下列说法中正确的是( ).A 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 .B 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形.C 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体.D 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台4．若3tan =α，则=-)4tan(πα（ ）A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=+73a a （ ） A ．18B ．24C ．30D ．426． 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 0a b ->D ．21a b-<7．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m 8．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则此三角形是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列}{n a 的各项均为正数，且167465=+a a a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）A ．20B ．15C ．8D ．5log 32+10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( ).A 12尺 815尺 .C 1631尺 .D 1629尺 11．在ABC ∆中，4=a ，5=b ，6=c ，则=AC2sin sin （ ）A ．43B ．54C ．1D ．3412．设n S 是数列{}n a 的前项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则2021S =（ ）.111,.,.2021,202120212020AB C D-二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______ 14．若实数b a ,满足122=+ba，则b a +的最大值是___________.15．已知母线长为3m 的圆锥的轴截面的底角为α，且322sin =α，一只蚂蚁从底面圆周上一点A 出发沿圆锥侧面一周回到点A 所经过的最短路程为_____ 16.给出下列四个叙述:①化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒ ②已知向量a 与b 的夹角为45︒,||2a =,||4b =,则||10a b -=；③已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-,且3(,2)2παβπ+∈,(,)2παβπ-∈,则24sin 225α=； ④已知O 为ABC ∆的重心,动点P 满足112663OP OA OB OC =++,则点P 是ABC ∆的边AB 的中线的一个三等分点.⑤.已知0,0a b >>,且2a b +=,则14a b +的最小值是 92⑥若不等式2210x x k x R -+->∈对恒成立,则实数k 的取值范围是k<2其中所有正确叙述的序号是 .三．解答题17．（10分）已知函数2()3(5)f x x a a x b =-+-+. (Ⅰ)当不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求实数,a b 的值；(Ⅱ)若对任意的实数a ,若不等式(2)0f <恒成立,求实数b 的取值范围.18．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为x m ，由于地形限制,0x a <≤，水池总造价为)(x f 元．（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的最小值．19. (12分)如图，是四棱柱1111D C B A ABCD -的三视图。

城固县第一中学2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期开学考试试题注意：本套试卷一共 4 页，22 题，满分是 150 分，时间是 120 分钟第 I 卷〔选择题〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

每一小题只有一个正确答案〕1．点P〔〕在第三象限，那么角在A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．我校高中生一共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，303．与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于A．B．C． D．44. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．655．在中，有如下四个命题：①；∆为等腰三②；③假设，那么ABC∆为锐角三角形．其中正确的命题序号角形；④假设，那么ABC是A．①② B．①③④ C．②③ D．②④6. 将函数的图象沿x轴方向左平移个单位，平移后的图象如右图所示. 那么平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．B ．C ．D ．7．给出如下(r úxi à)四对事件：①某人射击1次，“射中7环〞与“射中8环〞； ②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环〞与“乙射中8环〞；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目的〞与“两人均没有射中目的〞； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目的〞与“甲射中，但乙未射中目的〞， 其中属于互斥事件的有〔 〕A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图 所示，那么时速在[60，70)的汽车大约有( ) A ．30辆 B ． 40辆C ． 60辆 D ．80辆 9. 在等差数列{}中，，．数列{n a }的通项公式A.n+1B.n+2C.n+3D.n+410.假如下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中 WHILE 后面的“条件〞应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<9频率 组距40 50 60 70 80 i ＝11 s ＝1 DoS ＝S *i i ＝i －1 Loop While “条件〞11.以下(yǐxià)各式中，值为的是A． B． C． D．12. 某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间是不超过10分钟的概率是( )A.13B．12C.23D.34第 II 卷〔非选择题〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．扇形半径为8, 弧长为12, 那么中心角为弧度, 扇形面积是14. 与之间的一组数据为x0 1 2 3y 1 3 5-a 7+a那么y与x的回归直线方程必过定点_____15〔文科做〕．样本的平均数是，HY差是，那么15〔理科做〕.在ABC中，，P是BN上的一点，假设，那么实数m的值是__________.16 ．定义在R上的函数f(x) 是偶函数，满足f(x+1)=- f(x)，且在上是增函数，下面关于f(x)的判断：〔1〕f(x)的图像关于点P对称；〔2〕f(x)的图像关于直线X=1对称；〔3〕f(x)在上是增函数；〕〔4〕f(2)=f(0) 其中正确的判断是__________.〔把你认为正确的判断序号填上〕三、解答题〔17题10分、18---22题每一小(yī xiǎo)题12分，本大题一一共70分〕17. 〔本小题满分是10分〕先化简再求值：，其中且=2，求？18. 〔本小题满分是12分〕,,当为何值时，(1) 与垂直？(2) 与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 〔本小题满分是12分〕某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩〔均为整数〕分成六组[40，50〕，[50，60〕．．．[90，100]后画出如下局部频率分布直方图.观察图形的信息，答复以下问题：〔Ⅰ〕求成绩落在[70，80〕上的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ) 估计(g ūj ì)这次考试的及格率〔60分及以上为及格〕和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上〔包括70分〕的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.20．〔本小题满分是12分〕，, 且(1) 求函数的解析式;(2) 当时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.第19题图21．〔本小题满分(m ǎn f ēn)是12分〕向量 =〔cos α，sin α〕，=〔cos，sin β〕，|｜＝．〔Ⅰ〕求cos 〔α－β〕的值； 〔Ⅱ〕假设０＜α＜，－2π＜β＜０，且sin β＝－，求sin α的值．22．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕函数f(x)=|sin2x|+|cos2x|(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)当x∈[0，]时，求f(x)的取值范围；(Ⅲ)我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f(x)的性质〔本小题只需直接写出结论〕城固一中高二第一(dìyī)学期开学考试数学参考答案一、BDACC CBDBD DB二、13.，48 14.〔1.5,4〕 15文.96 15理. 16、〔1〕、〔2〕、(4)---------------7代值后为：------------1018.解：〔1〕，得------6〔2〕(3)a b ，得-------10此时，所以方向相反。

三学实验2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)开学考试试题考前须知：1.本套试卷分满分是150分．考试时间是是120分钟。

2.在答题之前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写上清楚。

3.选择题使需要用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超区域书写之答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第I卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设直线的倾斜角为60°，那么直线的斜率为A. 3 B．－ 3 C.33D．－332.△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，那么∠B等于A．30° B．30°或者150° C．60° D．60°或者120°3.给定以下命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒ba<1；④a＞b⇒1a<1b.其中正确的命题个数是A．0 B．1 C．2 D．3 4.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，那么(2a＋b)·a等于A．－1 B．0 C．1 D．25.在以下四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是6.在等差数列(děnɡ chā shù liè){a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项的和S 11等于 A ．58 B ．88 C ．143 D ．1767.直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是8.关于直线m ，n 与平面α，β，以下四个命题中真命题的序号是：①假设m ∥α，n ∥β，且α∥β，那么m ∥n ； ②假设m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，那么m ⊥n ；③假设m ⊥α，n ∥β，且α∥β，那么m ⊥n ； ④假设m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，那么m ∥n .A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③9.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，那么l 的斜率k 的取值范围是A ．k ≥34或者k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对10. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，假设对于任意的，f (x )<－m ＋4恒成立，那么实数m 的取值范围为A．(－∞，0] B. C．(－∞，0)∪ D.11.△ABC的内角(nèi jiǎo)A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A－b sin B=4c sin C，cos A=－，那么=A．6 B．5 C．4 D．312.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，那么AM→·AO→等于A．4 B．5C．6 D．7第II卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，那么m 的值是_______；14.记S n为等比数列{a n}的前n项和．假设，那么S5=_______；15.直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________；的四个顶点在球的球面上，，△是边长为的正三角形，分别是的中点，，那么球O的体积为_______．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.〔本小题10分〕AB→＝(－1,3)，BC→＝(3，m)，CD→＝(1，n)，且AD→∥BC→.(1)务实数n 的值；(2)假设(jiǎshè)AC →⊥BD →，务实数m 的值．18.〔本小题12分〕直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的斜截式方程，使得： (1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.19.〔本小题12分〕记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－a 5． (1)假设a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)假设a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．20. 〔本小题12分〕Rt△ABC 的顶点A (－3,0)，直角顶点B (－1，－22)，顶点C 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求斜边上的中线的方程．21.〔本小题12分〕的内角(nèi jiǎo)的对边分别为，设．(1)求；(2)假设，求．22.〔本小题12分〕如下图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面DAC⊥平面EBC；2021年秋季三学实验2021级入学考试数学(sh ùxu é)答案一．选择题：题号123456789 11112 答案ADACABDDAD AB二．填空题：13.0或者1 14. 15.－2316.三．简答题：17.解 因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )， (1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3.(2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )， BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)， 又AC →⊥BD →， 所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18.解 ∵直线(zhíxiàn)l 的方程为3x ＋4y －12＝0， ∴直线l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34.∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即y ＝－34x ＋94(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′在y 轴上的截距为b ，那么l ′在x 轴上的截距为－34b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或者y ＝43x －463.19.解：〔1〕设的公差为d ． 由得．由a 3=4得．于是．因此{}n a 的通项公式为．〔2〕由〔1〕得，故.由知，故等价于，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是．20.解 (1)∵Rt△ABC 的直角顶点B (－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，故k AB ·k BC ＝－1.又∵A (－3,0)，∴k AB ＝0＋22－3－(－1)＝－2，∴k BC ＝22，∴直线(zhíxiàn)BC的方程为y＋22＝22(x＋1)，即x－2y－3＝0.∵点C在x轴上，∴由y＝0，得x＝3，即C(3,0)．(2)由(1)得C(3,0)，∴AC的中点为(0,0)，∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝22，∴直线OB的方程为y＝22x.21.〔1〕由得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．〔2〕由〔1〕知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．22.(1)证明连接AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点(zhōnɡ diǎn)，∵G是EC的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面EBC，∴AC⊥平面EBC.∵AC⊂平面DAC∴平面DAC⊥平面EBC内容总结（1）三学实验2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题考前须知：1.本套试卷分满分是150分．考试时间是是120分钟。

卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.已如集合，，那么A. B.C.或者D.2.向量，，，假设，那么实数x的值是A. B. C. D.3.，，那么A. B. C. D.4.等比数列满足，且，那么A.8B.16C.32D.645.对于实数a，b，cA.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么6.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B.C. D.7.是公差为1的等差数列，为的前n项和，假设，那么A. B. C.10 D.128.设m，nA.，，且，那么B.，，且，那么C.，，，那么D.，，，，那么9.的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，，A. B. C. D.10.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交或者相切11.圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，假设圆锥的轴截面为正三角形，那么圆锥的体积与球的体积之比为A.27：32B.3：8C.：16D.9：3212.在R上定义运算：假设不等式对任意实数x成立，那么A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.函数的定义域为______．14.假设，，，那么的最小值为______．15.设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，假设是偶函数，那么的最小值为______16.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设，那么．三、解答题〔本大题一一共4小题〕17.等差数列中，，，Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.圆C：，直线：，：假设，，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，务实数k的值线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程19.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．20.如图，某城有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影局部只有一块绿化地，后来有众多民建议在绿化地上建一条小路，便于民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，．应选：D．可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：，，即，向量，，，，即，解得，应选：A．根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论．此题主要考察平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的根本运算是解决此题的关键，考察学生的计算才能．3.【答案】D【解析】解：由，，得到，所以，那么．应选：D．由cos x的值及x的范围，利用同角三角函数间的根本关系求出sin x的值，进而求出tan x的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tan x的值代入即可求出值．此题考察了同角三角函数间的根本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sin x和tan x时注意利用x的范围断定其符合．4.【答案】A【解析】解：等比数列满足，且，那么，解得，，应选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值此题考察了等比数列的通项公式，考察了运算求解才能，属于根底题5.【答案】BA，当时，有故A错误；B假设，那么，；，，故B正确；C假设，取，，可知，故C错误；D假设，取，，可知，故D错误．应选：B．6.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，那么，解得，所求的直线方程为．应选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．7.【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，，，解得．那么．应选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．此题考察了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：对于A，，，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确；对于B，，，且，那么m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者者异面；故B错误；对于C，，，，那么与可能平行；故C错误；对于D，，，，，那么与可能相交；故D错误；应选：A．利用线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理对选项分别分析选择．此题考察了线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；关键是由条件，正确运用定理的条件进展判断．9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：，，又，，应选：B．对等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A．此题考察三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考察运算才能，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：表示圆心为，半径，，，由，，得，，代入成立，所以点为圆上的定点，所以直线与圆相切或者者相交，应选：D．求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可．此题主要考察直线和圆的位置关系的判断，根底题．11.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如以下列图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，那么圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．应选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．此题考察球体体积的计算，考察圆锥体积的计算，解决此题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考察计算才能，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：，即任意实数x成立，故，应选：C13.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，那么：；；原函数的定义域为：．故答案为：．可看出，要使得原函数有意义，那么需满足，解出x的范围即可．考察函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.【答案】【解析】解：假设，，，那么，当且仅当时，取等号，那么的最小值为．故答案为：．利用柯西不等式求出即可．此题考察了柯西不等式的应用，属于根底题．15.【答案】【解析】解：因为，所以，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，那么，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，故答案为：．由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解．此题考察了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题．16.【答案】【解析】【分析】此题考察平面向量根本定理的运用，考察向量的加法运算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题，设，，那么，，利用平面向量根本定理，建立方程，求出，，即可得出结论．【解答】解：设，，那么，．由于，，且，解得，，，故答案为．17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，解得，，【解析】由，，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求由，利用裂项求和即可求解此题主要考察了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径，点C到直线的间隔，那么直线被圆C截得的弦长，假设直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，那么直线被圆C截得的弦长，那么点C到直线的间隔，直线：，即，那么；解可得：；根据题意，设，线段AB的中点为M，且，那么，又由端点A在圆C上运动，那么有，变形可得：；故线段AB的中点M的轨迹方程为．【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的间隔和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的间隔，列方程求出k的值，根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案．此题考察直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于根底题．19.【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，设正方休的棱长为a，那么，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，由此能求出异面直线与EF 所成角的余弦值．此题考察线面平行的证明，考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，那么直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或者，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的间隔公式和根本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．此题考察根本不等式在最值问题中的运用，同时考察直线和圆相切的条件，考察化简整理的运算才能，属于中档题．。

2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。