9.11数学作业(绝对值)

绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础•绝对值又是 初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程(组 )、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：’ a(a >0)i •去绝对值的符号法则：a =\ 0(a =0)厂 a(a c0)2. 绝对值基本性质①非负性：a >0 ；②ab = a b ；③a=2(b 式0)； b b2 2 2④a = a = a ；⑤a +b 兰|a + b ;⑥ |a —b 岸 a —b Ea +|b .3.绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；a —b 表示数a 、数b 的两点间的距离. 例题讲解【例 1】(1)已知 a=1， b=2， c=3，且 anbAC ，那么 a + b — c = ________________ . (2) 已知 a 、b 、c 、d 是有理数，a —b 兰9，c —d <16,且 a —b —c+d =25，那么b -a - d -c = _____________ .(3) 已知 x =5， y =1，那么 |x — y — x + y = ___________ .(4) 非零整数 m 、n 满足m + n -5 = 0，所有这样的整数组(m, n)共有 ____________ 组.思路点拨 (1)由已知条件求出 a 、b 、c 的值，注意条件 a b c 的约束；(2)若注意到 9+16= 25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；(3)既可以对x ， y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；(4)从把5拆分成两个正整数的和入手.【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数，且a b a b ^0，那么—-a lbc abcc阪的所有可能的值为()• A • 0 B •1 或 _1 C •2 或—2 D • 0 或—2思路点拨 根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键. 【例3】已知ab -2与? -1互为相反数，试求代数式：1 1 1——+ --------------- + ------------------ ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出 a 、b 的值.【例4】化简 (1) 2x-1 ;(2) X-1 +|x-3 ;(3)|x —1—2+|x+1・思路点拨(1)就2x -1 _0,2x -1 ：：：0两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1, 3在同一数 轴上表示出来，就x c 1 , 1 < x<3, x > 3三种情况进行讨论；(3)由x + 1=0,x —1—2 = 0 , 得 x- -1, x = 1, x = 3 •【例5】已知a 为有理数，那么代数式a-1 +|a-2 + a-3 +|a-4的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由.思路点拨 a 在有理数范围变化， a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉， 为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值.链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段 a 、a 2n 是非负数的两种重要形式，非负数有如下 常用性质： (1)a >o ,即非负数有最小值为 o ；(2) 若 a + …+ h =0，则 a =b =…=h =0②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、 即令各绝对值代数式为 0,得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求 值即可•请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤.【例 6 】已知(x+1 +x —2)(y —2 + y+1)(z —3+|z+1) = 36，求 x + 2y + 3z 的最大 值和最小值.思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围.基础训练1 •若有理数 x 、y 满足 2015(x_1)2 + x_12y + 1 =0，贝H x 2 + y 2 = __________ 2.已知 a=5 , b=3，且 a —b=b — a ，那么 a +b = ____________ .(a 2015)(b 2015)的值.3 •已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示:A . a bB . a=bC . a ：：bD .a+2 , -b —4中，负数共有（a[ [ 「 ] I-2 -1 0 1能够使不等式（x -x ）（1 +x ） VO 成立的x 的取值范围是13 . 14 . a -ab b a 2ab 1I 4 a -b，那么5设a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，a 与b 互为相反数，且a—b b —cc -a 可能取得的最大值是15.使代数式3x T x"的值为正整数的x 值是（）.A .正数B .负数C .零D .不存在的 4x则c -1+|a _c +|a -b 化简后的结果是*-4. 若a 、b 为有理数，那么，下列判断中：（1）若a=b ,则一定有a = b ； （2）若5. 6. 7. 则一定有a>b ；（3）若anb ,则一定有aa ?二（-b ）2.正确的是填序号）.b ; (4)若 a =b ，则一定有已知数轴上的三点 A 、B 、C 分别表示有理数 a , 1, -1,那么a+1表示（） A . A 、B 两点的距离B. A 、C 两点的距离 C. A 、B 两点到原点的距离之和 D .C 两点到原点的距离之和（江苏省竞赛题）已知a 是任意有理数，则- a - a 的值是（A .必大于零B .必小于零C 必不大于零D .必不小于零若a b 1与（a -b 1）2互为相反数，则 a 与b 的大小关系是（）如图，有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在 a b , b - 2a ,b-9. 化简：(1) 3x —2+|2x+3;(2)x-1 -3 3x 1 . 10.求满足a —b+ab=1的非负整数对(a,b)的值.11. 若 x £—2，贝 U 1 -1 + ；若 a = —a ，贝U a —1 一 a-212.17•如果0 v P <15，那么代数式 x —p + x —15 + x — p —15在p 兰x 兰15的最小值是()• A. 30 B • 0 C • 15 D .一个与 p 有关的代数式18.设 a +b +c = 0， abc > 0，贝U b +C+°+a 异+b 的值是().囘 |b| I C A • -3 B • 1 C • 3 或-1 D • -3或 119 •有理数a 、b 、c 均不为零，且a+b + c = 0 ,设x=同十b」，|b + c c + a a+b|试求代数式x 19 -99x2002的值.19 9920 •若 a 、b 、c 为整数，且 a —b +c — a =1，求 c — a+a —b + b — c 的值•21 •已知x <1, y 兰1，设M = x + y+|y+1 +|2y - x - 4，求M 的最大值与最小值•22•已知 X 1 —1 + X 2 -2 + X 3 -3 +…+ X 2002 —2002 + X 2003 — 200^ = 0 ,求代数式 2X 1_2X 2-…-2X 2002- 2X 2003的值•16•如果 2a • b = 0,a-1b+ a -2等于( b答案： 37亠1.2.-2 或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A36即其值为两个+1, 一个-1或两个-1, 一个+1,x=1,原式=1904. 20. 提示:a 、b 、c 都为整数，则a-b 、c-a 均为整数，贝U|a-b | > | c-a? | 为两个非负整数，I a-b | 19+ | c-a | 99=1, 只能 | a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1 ................................................................... ① 或 | a-b | 19=1 且 | c-?a | 99=0 ............... ②， 由①得 a=b,且 | c-a | =1, | b-c | = | c-a | =1; 由②得 c=a,且 | a-b | =1,? | b-c | = | a-b | =1, 无论①或②，都有| a-b | + | c-a | =1,且| b-c | =1, 故 | c-a | +? | a-b | + | b-c | =2.21. 提示:-1 < x < 1,-1 < y < 1, | y+1 | =y+1, | 2y-x-4 | =4+x-2y,当 x+y w 0 时,?M=5-2y,得 3< M K 7; 当 x+y > 0 时,M=2x+5,得 3K M K 7;又当 x=-1,y=1 时,M=3;当 x=-1,?y=-1 时,M=7, 故M 的最大值为7,最小值为3. 22. 由题意得:x 1=1,x 2=2,…，x 2003=2003,原式=2-2 2-23-…22002+ 22003J4x —3f-5x —19.(1)原式=.-x 5 5x 13 (x 二)(一3 EX ：：：?) (2) 原式=4x 323(X 》-2x 12x 5 4x —31O.(a,b)=(1,O),(O,1),(1,1) 11.-2-X 、-1 12.x<-1 提示：因 || a _ b |= 1提示:由条件得、ab = Ox | > x, I x | -x > 0,故(x ：：： -2) 1 (-2 乞 x) 31( X ：：:1) 3 (1 乞 x ：： 4)1+x<0.4 2 24 13. 提示:ab=-b =- | b | =-14.16 15.D252516.B 提示:原式=|a—2|a H||a| 4a|17.C 18.B2|a|19.提示:a 、b 、c 中不能全同号，必一正二负或二正一负，彳得 a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b), 旦=-1,c a |b||c|即—=-1,b c所以丄吐,b +c汽=-1,中必有两个同号，另一个符号与其相反,?=22003-2 2002-...23-2 2+2提咼训练2•代数式x+11 + x —12 + x + 13的最小值为 ________ .3. 已知 a ■< b c 0 vc ，化简式子：a —b + a + b — c — a + 2b — c 得 ______ .4.若a 、b 、c 、d 为互不相等的有理数， 且a —c =b —c =d —b=1那么a — d5 .设a 是有理数，则 a - a 的值（）.A .可以是负数B .不可能是负数C .必是正数D .可以是正数，也可以是负数6. ____________________________________________________ 已知m = _m ，化简m_1_m_2所得的结果是 ____________________________________ .7. _______________________________________________________ 若a =3, b =5，那么a + b - a — b 的绝对值等于 __________________________________________ . &有理数a 、b 、c 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（）.A . a +b +c >0B . a+bccC . a-c=|a+cD . b -c =|c -aa b 0 cA . 3种B . 4种C . 5种D . 6种1计算:1 1 3 一29.abc+ ----- abc，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能值.10.已知 a 、b 、c 满足(a b)(b c)(c a^ 0，且 abc ：：： 0，则代数式 a --b c 的a ib ic值为11 .若有理数m 、 n 、p 满足=1, P2mnp = 3mnp12.设a 、b 、c 是不为零的有理数，那么a"a13 .如图，已知数轴上的点 A 、B C 所对应的数a 、那么原点O 的位置在（ ）. A .线段AC 上B .线段CA 的延长线上 C.线段BC 上D .线段CB 的延长线上14•若 x c —2，则 y = 1 — 1 +x | 等于（）•A. 2 x B . -2 -x C . x D.- x15.已知 a 、b 、c 、d 是有理数，a —b 兰9, c —d <16，且 a —b —c + d =25，求b -a - d -c 的值.16.在数轴上把坐标为 1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点 1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由.b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点.如果a +b。

初三数学下册综合算式专项练习题绝对值运算初三数学下册综合算式专项练习题：绝对值运算绝对值运算是初中数学中的重要内容之一。

绝对值表示一个数离零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。

在解决绝对值运算的综合算式时，我们需要熟练掌握绝对值的定义和基本性质，以便能够正确而高效地解题。

本文将针对初三数学下册综合算式专项练习题中的绝对值运算进行详细说明，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。

一、绝对值的定义绝对值的定义很简单，即一个数离零的距离。

假设实数a，它的绝对值记作|a|，可以用下面的公式表示：|a| = a，若a ≥ 0|a| = -a，若a < 0例如，对于数-5和数3，它们的绝对值分别是5和3，因为它们与零的距离分别是5和3。

绝对值的性质如下：1. 对于任意实数a，有|a| ≥ 0，即绝对值永远是非负数。

2. 若a > 0，则|a| = a。

3. 若a < 0，则|a| = -a。

二、绝对值运算的基本规则在解决综合算式中的绝对值运算时，我们需要遵循以下基本规则：1. 若绝对值内是一个正数，则去掉绝对值符号，即|a| = a。

2. 若绝对值内是一个负数，则去掉绝对值符号，并将负号取反，即| -a| = a。

3. 在复杂的综合算式中，可以先计算绝对值内的部分，再根据绝对值的定义来确定最终结果的正负。

三、综合算式练习题解析下面，我们来解析一些典型的综合算式练习题。

例题1：求下列各式的值（结果为非负数）。

1. |-7| + |5|2. |-3| - |-7|3. |4 - 7| + |-3 + 8|解答：1. |-7| + |5| = 7 + 5 = 122. |-3| - |-7| = 3 - 7 = -4（注意：根据绝对值的定义，结果应该是非负数，这里需要重新计算）3. |4 - 7| + |-3 + 8| = |-3| + |5| = 3 + 5 = 8例题2：解方程组{x + 2y = 4，|2x - 5| + y = 9}。

例1求下列各数的绝对值：<1>－38；<2>0.15；<3>a<a＜0>；<4>3b<b＞0>；<5>a－2<a＜2>；<6>a－b．分析：欲求一个数的绝对值,关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数,然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号,<6>题没有给出a与b的大小关系,所以要进行分类讨论．解：<1>｜－38｜＝38；<2>｜＋0.15｜＝0.15；<3>∵a＜0,∴｜a｜＝－a；<4>∵b＞0,∴3b＞0,｜3b｜＝3b；<5>∵a＜2,∴a－2＜0,｜a－2｜＝－<a－2>＝2－a；说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一,当绝对值符号内的数<用含字母的式子表示时>无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论．例2判断下列各式是否正确<正确入"T〞,错误入"F〞>：<1>｜－a｜＝｜a｜；< ><2>－｜a｜＝｜－a｜；< ><4>若｜a｜＝｜b｜,则a＝b；< ><5>若a＝b,则｜a｜＝｜b｜；< ><6>若｜a｜＞｜b｜,则a＞b；< ><7>若a＞b,则｜a｜＞｜b｜；< ><8>若a＞b,则｜b－a｜＝a－b．< >分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义,所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数<或证明>一个结论是错误的,只要能举出反例即可．如第<2>小题中取a＝1,则－｜a｜＝－｜1｜＝－1,而｜－a｜＝｜－1｜＝1,所以－｜a｜≠｜－a｜．同理,在第<6>小题中取a＝－1,b＝0,在第<4>、<7>小题中取a＝5,b＝－5等,都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确,须写出证明过程．如第<3>小题是正确的．证明步骤如下：此题证明的依据是利用｜a｜的定义,化去绝对值符号即可．对于证明第<1>、< 5>、<8>小题要注意字母取零的情况．解：其中第<2>、<4>、<6>、<7>小题不正确,<1>、<3>、<5>、<8>小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程,只是在证明时需要写明道理和依据,步骤都要较为严格、规X．而判断一个结论是错误的,可依据概念、性质等知识,用推理的方法来否定这个结论,也可以用举反例的方法,后者有时更为简便．例3判断对错．<对的入"T〞,错的入"F〞><1>如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0．< ><2>如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0．< ><3>如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1．< ><4>如果说"一个数的绝对值是负数〞,那么这句话是错的．< ><5>如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数．< >解：<1>T．<2>F．－1的倒数也是它本身,0没有倒数．<3>F．正数的绝对值都等于它本身,所以绝对值是它本身的数是正数和0．<4>T．任何一个数的绝对值都是正数或0,不可能是负数,所以这句话是错的．<5>F．0的绝对值是0,也可以认为是0的相反数,所以少了一个数0．说明：解判断题时应注意两点：<1>必须"紧扣〞概念进行判断；<2>要注意检查特殊数,如0,1,－1等是否符合题意．例4 已知<a－1>2＋｜b＋3｜＝0,求a、b．分析：根据平方数与绝对值的性质,式中<a－1>2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为"0〞,当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立,所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．解：∵<a－1>2≥0,｜b＋3｜≥0,又<a－1>2＋｜b＋3｜＝0∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1,b＝－3．说明：对于任意一个有理数x,x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的,在解题过程中经常用到．例5填空：<1>若｜a｜＝6,则a＝______；<2>若｜－b｜＝0.87,则b＝______；<4>若x＋｜x｜＝0,则x是______数．分析：已知一个数的绝对值求这个数,则这个数有两个,它们是互为相反数．解：<1>∵｜a｜＝6,∴a＝±6；<2>∵｜－b｜＝0.87,∴b＝±0.87；<4>∵x＋｜x｜＝0,∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0,∴－x≥0∴x≤0,x是非正数．说明："绝对值〞是代数中最重要的概念之一,应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值的代数定义,至少要认识到以下四点：<家教4.0,复习辅导"有理数〞例3 2结<1>—<4>>例6 判断对错：<对的入"T〞,错的入"F〞><1>没有最大的自然数．< ><2>有最小的偶数0．< ><3>没有最小的正有理数．< ><4>没有最小的正整数．< ><5>有最大的负有理数．< ><6>有最大的负整数－1．< ><7>没有最小的有理数．< ><8>有绝对值最小的有理数．< >解：<1>T．<2>F．数的X围扩展后,偶数的X围也随之扩展．偶数包含正偶数,0,负偶数<－2,－4,…>,所以0不是最小的偶数,偶数没有最小的．<3>T．<4>F．有最小的正整数1．<5>F．没有最大的负有理数．<6>T．<7>T．<8>T．绝对值最小的有理数是0．例7 比较下列每组数的大小,在横线上填上适当的关系符号<"＜〞"＝〞"＞〞><1>｜－0.01｜______－｜100｜；<2>－<－3>______－｜－3｜；<3>－[－<－90>]_______0；<6>当a＜3时,a－3______0；｜3－a｜______a－3．分析：比较两个有理数的大小,需先将各数化简,然后根据法则进行比较．解：<1>｜－0.01｜＞－｜100｜；<2>－<－3>＞－｜－3｜；<3>－[－<－90>]＜0；<6>当a＜3时,a－3＜0,｜3－a｜＞a－3．说明：比较两个有理数大小的依据是：①在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,正数大于0,大于一切负数,负数小于0,小于一切正数,两个负数,绝对值大的反而小．②两个正分数,若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同,则分子越大分数值越大；也可将分数化成小数来比较．例8 比较大小：分析：比较两个负分数的大小,按法则,先要求出它们的绝对值,并比较绝对值的大小．<1>这两个数的绝对值是两个异分母的正分数,要比较它们的大小,需通分；<2>用<1>的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的,此法不可取．通过比较它们的倒数,可以快捷的达到目的．说明：两个有理数比较大小,当它们都是负数时,必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小．<1>一定要注意,因为是两个负数,所以它们的绝对值越大,对应点在数轴的左边离原点的距离就越远,因此它的值就越小．<2>比较两个异分母正分数的大小时,如果通分很麻烦,可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的．理论依据例9 在数轴上画出下列各题中x的X围：<1>｜x｜≥4；<2>｜x｜＜3；<3>2＜｜x｜≤5．分析：根据绝对值的几何意义画图．例如,｜x｜≥4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；｜x｜＜3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合．解：<1>｜x｜≥4,即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4,如图1．∴当x＞0时,有x≥4；当x＜0时,有x≤－4．<2>｜x｜＜3,即数轴上x对应的点到原点的距离小于3,如图2．即有－3＜x＜3．<3>2＜｜x｜≤5,即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5,如图3．即－5≤x＜－2或2＜x≤5．说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时,最容易错的是忘记或画错原点左边<负半轴上>符合条件的点的X围．应当认真研究负数部分符合条件的点的X围的画法,并真正做到"理解〞．例10 <1>求绝对值不大于2的整数；<2>已知x是整数,且2.5＜|x|＜7,求x．分析：<1>求绝对值不大于2的整数,就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点．<2>因为2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数,所以,依绝对值定义应该是满足－7＜x＜－2.5,或2.5＜x＜7的所有整数．解：<1>先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的X围．由图看出,绝对值不大于2的整数是：－2,－1,0,1,2<2>符合2.5＜|x|＜7的所有整数,就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整数．由图看出,符合2.5＜｜x｜＜7的整数是：x＝±3,±4,±5,±6．说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义,所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义．此题也可以用代数定义求解．根据绝对值的几何定义,用数形结合的思想,把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决,是经常采用的方法．例11已知a、b、c所表示的数如图所示：<1>求｜b｜,｜c｜,｜b＋1｜,｜a－c｜；*<2>化简｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜．分析：由图知a＜－1＜b＜0,0＜c＜1．根据以上条件,先确定绝对值符号内的数是正数还是负数,然后再化简．解：由图知a＜0,b＜0,c＞0,且b＞－1,a＜c,a＜b,c＜1,c＞b,∴b＋1＞0,a－c＜0,a－b＜0,c－1＜0,c－b＞0<1>｜b｜＝－b,｜c｜＝c,｜b＋1｜＝b＋1｜a－c｜＝－<a－c>＝c－a<2>｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜＝<b－a>－<－a>＋<1－c>＋<c－b>＝b－a＋a＋1－c＋c－b＝1说明：<1>a－b的相反数是－<a－b>＝b－a．a＋b的相反数是－<a＋b>＝－a－b．<2>｜a－b｜的几何意义是：数轴上表示数a、b的两个点之间的距离．不同的两个点之间的距离总是一个正数,等于"较大的数减较小的数〞的差．例12 解方程：<1>已知｜14－x｜＝6,求x；*<2>已知｜x＋1｜＋4＝2x,求x．分析：解简单的含有绝对值符号的方程,一般都根据绝对值的代数定义,先化去绝对值符号,然后求解．<2>题需把原方程转化为｜x＋1｜＝2x－4的形式后,才便于应用绝对值的代数定义．解：<1>∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6∴x－14＝±6当x－14＝6时,x＝20；当x－14＝－6时,x＝8．∴x＝20或8．<2>∵｜x＋1｜＋4＝2x∴｜x＋1｜＝2x－4∵｜x＋1｜≥0,∴2x－4≥0,x≥2．∵x≥2,∴x＋1＞0,｜x＋1｜＝x＋1．原方程变形为x＋1＋4＝2x∴x＝5．*例13 化简｜a＋2｜－｜a－3｜分析：要化简此式,关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a＋2和a－3在a取不同数值时它们的符号情况,才能正确地转化为不含绝对值的式子．为了能达到此目的,首先应判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0时a的取值,即a＝－2和a ＝3,由此可知,a的取值可分为三种情况：即a＜－2,－2≤a＜3,a≥3．这时｜a＋2｜和｜a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了．解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0得a＝－2或a＝3．－2和3把数轴分为三部分<如图>：当a＜－2时,原式＝－<a＋2>－[－<a－3>]＝－a－2＋a－3＝－5当－2≤a＜3时,原式＝a＋2－[－<a－3>]＝a＋2＋a－3＝2a－1当a≥3时,原式＝a＋2－<a－3>＝a＋2－a＋3＝5说明：解含有绝对值符号的题目时,首先要将其转化为不含绝对值符号的形式．然后再进行整理或化简．。

绝对值练习题及答案绝对值练习题及答案绝对值是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与数值相关的问题。

在这篇文章中，我们将探讨一些绝对值的练习题，并给出相应的答案。

通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解和应用绝对值的概念。

一、基础练习题1. 计算以下数的绝对值：-5, 0, 7, -2, 10.答案：5, 0, 7, 2, 10.2. 求解以下方程：|x| =3.答案：x = 3 或 x = -3.3. 如果|x - 2| = 4, 求解x的可能值。

答案：x = 6 或 x = -2.4. 求解以下不等式：|2x - 3| ≤5.答案：-1 ≤ x ≤ 4.二、进阶练习题1. 已知|x - 4| = 2x + 1，求解x的值。

答案：x = -3.解析：将方程两边平方，得到(x - 4)² = (2x + 1)²，展开化简后得到x² - 10x - 15 = 0，解这个方程可以得到x = -3 或 x = 5，但是只有x = -3满足原方程。

2. 若|3x - 2| = 5x + 1，求解x的值。

答案：x = -1 或 x = 1.解析：将方程两边平方，得到(3x - 2)² = (5x + 1)²，展开化简后得到4x² + 14x -3 = 0，解这个方程可以得到x = -1 或 x = 1，均满足原方程。

三、挑战练习题1. 若|2x - 3| < 4x + 1，求解x的值。

答案：-1 < x < 2/3.解析：对于绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，即2x - 3 < 4x +1 和 2x - 3 > -(4x + 1)，解这两个不等式可以得到-1 < x < 2/3，满足原不等式。

2. 若|3x - 4| > 2x + 1，求解x的值。

答案：x < -1 或 x > 3.解析：同样地，我们将绝对值不等式转化为两个不等式，即3x - 4 > 2x + 1 或3x - 4 < -(2x + 1)，解这两个不等式可以得到x < -1 或 x > 3，满足原不等式。

绝对值的题目及答案绝对值是数学中的一个重要概念，指数值与零点的距离，一般用两个竖线表示。

在日常生活中，绝对值常用于计算温度、距离等物理量，也可用于求解方程、不等式等数学问题。

下面列举几个绝对值的题目及答案：题目一：求 |-5| + |3|解答：根据绝对值的定义，|-5| = 5，|3| = 3，所以 |-5| + |3| = 5 + 3 = 8。

题目二：求解方程 |2x - 1| = 5解答：根据绝对值的定义，当 2x - 1 > 0 时，|2x - 1| = 2x - 1；当 2x - 1 < 0 时，|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1。

根据以上推理，可以列出如下的方程：2x - 1 = 5 时，解得 x = 3。

-2x + 1 = 5 时，解得 x = -2。

所以方程 |2x - 1| = 5 的解为 x = 3 或 x = -2。

题目三：求解不等式 |x - 3| < 4解答：根据绝对值的定义，当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3；当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3。

根据以上推理，可以列出如下的不等式：x - 3 < 4 时，解得 x < 7。

-x + 3 < 4 时，解得 x > -1。

所以不等式 |x - 3| < 4 的解为 -1 < x < 7。

除了上述题目外，还有很多与绝对值相关的问题，如求绝对值函数的图像、讨论绝对值不等式的解集等等。

在解决这些问题时，需要深入理解绝对值的概念，掌握相关的计算方法，才能做出准确的答案。

综上所述，绝对值是数学中重要的概念之一，广泛应用于各种问题中。

通过练习多个绝对值的题目，不仅可以提高自己的数学水平，还能训练自己的思维能力和解决问题的能力。

因此，在学习数学时，应该多关注绝对值，并勤加练习。

绝对值练习题答案绝对值练习题答案绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与零的距离。

在解决绝对值问题时，我们需要考虑数的正负情况，以及绝对值的性质。

下面，我将为大家提供一些练习题，并给出相应的答案。

1. 求以下数的绝对值：a) |-5|b) |3|c) |-10|答案：a) |-5| = 5b) |3| = 3c) |-10| = 102. 计算以下表达式的值：a) |4 - 7|b) |5 + 2|c) |10 - 15|答案：a) |4 - 7| = |-3| = 3b) |5 + 2| = |7| = 7c) |10 - 15| = |-5| = 53. 求解以下方程：a) |x - 2| = 4b) |3x + 1| = 7c) |2x - 5| = 3答案：a) |x - 2| = 4当 x - 2 > 0 时，x - 2 = 4，解得 x = 6当 x - 2 < 0 时，-(x - 2) = 4，解得 x = -2所以方程的解为 x = 6 或 x = -2b) |3x + 1| = 7当 3x + 1 > 0 时，3x + 1 = 7，解得 x = 2当 3x + 1 < 0 时，-(3x + 1) = 7，解得 x = -2 所以方程的解为 x = 2 或 x = -2c) |2x - 5| = 3当 2x - 5 > 0 时，2x - 5 = 3，解得 x = 4当 2x - 5 < 0 时，-(2x - 5) = 3，解得 x = 1所以方程的解为 x = 4 或 x = 14. 求解以下不等式：a) |x - 3| < 2b) |2x + 1| > 5c) |3x - 4| ≥ 1答案：a) |x - 3| < 2当 x - 3 > 0 时，x - 3 < 2，解得 3 < x < 5当 x - 3 < 0 时，-(x - 3) < 2，解得 1 < x < 3所以不等式的解为 1 < x < 5b) |2x + 1| > 5当 2x + 1 > 0 时，2x + 1 > 5，解得 x > 2当 2x + 1 < 0 时，-(2x + 1) > 5，解得 x < -3所以不等式的解为 x < -3 或 x > 2c) |3x - 4| ≥ 1当 3x - 4 > 0 时，3x - 4 ≥ 1，解得x ≥ 5/3当 3x - 4 < 0 时，-(3x - 4) ≥ 1，解得x ≤ 1所以不等式的解为 x ≤ 1 或x ≥ 5/3通过以上练习题的解答，我们可以看到绝对值的运用是十分灵活的。

绝对值练习题一、绝对值的定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“｜｜”来表示。

例如，数字 5 的绝对值是 5，记作|5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是5，记作|－5| ＝ 5。

也就是说，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。

二、基础练习题1、计算下列各数的绝对值：（1）｜－3 ｜＝（2）｜ 0 ｜＝（3）｜ 7 ｜＝答案：（1）3 （2）0 （3）72、比较下列各组数绝对值的大小：（1）｜－2 ｜与｜－5 ｜（2）｜ 3 ｜与｜－4 ｜答案：（1）因为｜－2 ｜＝ 2，｜－5 ｜＝ 5，2 ＜ 5，所以｜－2 ｜＜｜－5 ｜（2）因为｜ 3 ｜＝ 3，｜－4 ｜＝ 4，3 ＜ 4，所以｜ 3 ｜＜｜－4 ｜3、已知｜ x ｜＝ 4，求 x 的值。

答案：因为｜ x ｜＝ 4，所以 x ＝ 4 或 x ＝－4三、进阶练习题1、若｜ a 2 ｜＝ 5，求 a 的值。

解：因为｜ a 2 ｜＝ 5，所以 a 2 ＝ 5 或 a 2 ＝－5当 a 2 ＝ 5 时，a ＝ 7当 a 2 ＝－5 时，a ＝－3综上，a 的值为 7 或－32、已知｜ 2x 1 ｜＝ 3，求 x 的值。

解：因为｜ 2x 1 ｜＝ 3，所以 2x 1 ＝ 3 或 2x 1 ＝－3当 2x 1 ＝ 3 时，2x ＝ 4，x ＝ 2当 2x 1 ＝－3 时，2x ＝－2，x ＝－1综上，x 的值为 2 或－13、若｜ a ＋ 3 ｜＋｜ b 2 ｜＝ 0，求 a 和 b 的值。

解：因为绝对值一定是非负的，要使｜ a ＋ 3 ｜＋｜ b 2 ｜＝ 0 成立，则｜ a ＋ 3 ｜＝ 0 且｜ b 2 ｜＝ 0所以 a ＋ 3 ＝ 0，a ＝－3b 2 ＝ 0，b ＝ 2四、综合练习题1、化简：｜（ 5）｜解：（ 5）＝ 5，所以｜（ 5）｜＝｜ 5 ｜＝ 52、计算：｜ 1 2 ｜＋｜ 2 3 ｜＋｜ 3 4 ｜＋＋｜ 99 100 ｜解：｜ 1 2 ｜＝ 1，｜ 2 3 ｜＝ 1，｜ 3 4 ｜＝ 1，，｜ 99 100 ｜＝ 1原式＝ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 （共 99 个 1 相加）＝ 993、已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简｜ a ｜＋｜ b ｜＋｜ c ｜。

绝对值练习题绝对值是数学中常见的一个概念，表示一个数离原点的距离。

绝对值的定义如下：对于任意实数x，如果x大于等于0，那么|x|等于x；如果x小于0，那么|x|等于-x。

在实际应用中，绝对值经常被使用，如求解绝对值方程、不等式、距离等。

本文将为你提供一些绝对值练习题，帮助你更好地理解和掌握绝对值的概念和应用。

练习题一：求解绝对值方程题目描述：求解以下绝对值方程：1.|x - 5| = 72.|2x + 3| = 93.|3 - x| = 4解题步骤：首先，我们需要知道如何求解绝对值方程。

对于形如|a| = b 的绝对值方程，我们可以将其分成两种情况进行讨论：•当a大于等于0时，|a| = a，所以方程转化为a = b，此时的解为a = b；•当a小于0时，|a| = -a，所以方程转化为-a = b，此时的解为a = -b。

根据以上步骤，我们可以逐一解答上述题目。

第一题解答：首先，将第一题转化为两种情况：•当(x - 5)大于等于0时，方程为x - 5 = 7，解为x = 12；•当(x - 5)小于0时，方程为-(x - 5) = 7，解为x = -2。

所以，绝对值方程|x - 5| = 7的解为x = 12和x = -2。

第二题解答：将第二题转化为两种情况：•当(2x + 3)大于等于0时，方程为2x + 3 = 9，解为x = 3；•当(2x + 3)小于0时，方程为-(2x + 3) = 9，解为x = -6。

所以，绝对值方程|2x + 3| = 9的解为x = 3和x = -6。

第三题解答：将第三题转化为两种情况：•当(3 - x)大于等于0时，方程为3 - x = 4，解为x = -1；•当(3 - x)小于0时，方程为-(3 - x) = 4，解为x = 7。

所以，绝对值方程|3 - x| = 4的解为x = -1和x = 7。

练习题二：求解绝对值不等式题目描述：求解以下绝对值不等式：1.|2x - 1| < 52.|3x + 2| ≥ 103.|4 - x| > 3解题步骤：对于绝对值不等式，我们可以使用以下两个性质求解：1.对于任意实数a和b，如果|a| < b，则-a < b且a < b；2.对于任意实数a和b，如果|a| > b，则-a > b且a > b。

绝对值练习题及答案绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数与零的距离。

在解决实际问题中，经常会遇到有关绝对值的计算和应用。

本文将提供一些绝对值练习题，并提供详细的解答。

请阅读以下内容，进一步理解和掌握绝对值的概念和运算。

练习题1：计算以下数的绝对值：1. |-5|2. |3.14|3. |-2 - 7|4. |10 - 15 + 20 - 25|练习题2：解决以下不等式，并确定绝对值的解集：1. |x - 3| > 52. |2x + 1| ≤ 83. |5 - 2x| = 34. |3x + 2| > |4x + 1|练习题3：求以下函数的定义域与值域：1. f(x) = |x - 3|2. g(x) = |x + 2| + 13. h(x) = |2x - 5|练习题4：解决以下方程，并确定绝对值的解集：1. |x - 2| = 42. |3x + 1| = 53. |2x - 3| + 1 = 24. |4x + 5| - |x + 2| = 10答案及解析：练习题1：1. |-5| = 52. |3.14| = 3.143. |-2 - 7| = |-9| = 94. |10 - 15 + 20 - 25| = |-10| = 10练习题2：1. |x - 3| > 5解：根据不等式性质，将绝对值拆分为两个等式：x - 3 > 5 或 x - 3 < -5得到：x > 8 或 x < -2解集为：(-∞, -2) ∪ (8, +∞)2. |2x + 1| ≤ 8解：根据不等式性质，将绝对值拆分为两个等式：2x + 1 ≤ 8 或2x + 1 ≥ -8得到：x ≤ 7/2 或x ≥ -9/2解集为：(-∞, -9/2] ∪ [-7/2, +∞)3. |5 - 2x| = 3解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式： 5 - 2x = 3 或 -(5 - 2x) = 3得到：x = 1 或 x = -4解集为：{1, -4}4. |3x + 2| > |4x + 1|解：根据绝对值的性质，将不等式拆分为两个等式： 3x + 2 > 4x + 1 或 3x + 2 < -(4x + 1)得到：x < 1 或 x > -1解集为：(-∞, -1) ∪ (1, +∞)练习题3：1. f(x) = |x - 3|定义域：所有实数值域：大于等于0的实数2. g(x) = |x + 2| + 1定义域：所有实数值域：大于等于1的实数3. h(x) = |2x - 5|定义域：所有实数值域：大于等于0的实数练习题4：1. |x - 2| = 4解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式： x - 2 = 4 或 -(x - 2) = 4得到：x = 6 或 x = -2解集为：{6, -2}2. |3x + 1| = 5解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式：3x + 1 = 5 或 -(3x + 1) = 5得到：x = 4/3 或 x = -6/3解集为：{4/3, -2}3. |2x - 3| + 1 = 2解：根据绝对值的定义，将等式拆分为两个等式：2x - 3 + 1 = 2 或 -(2x - 3) + 1 = 2得到：x = 2 或 x = -1解集为：{2, -1}4. |4x + 5| - |x + 2| = 10解：根据绝对值的性质，将等式拆分为四个等式：4x + 5 - (x + 2) = 10 或 4x + 5 + (x + 2) = -104x + 5 - (-(x + 2)) = 10 或 4x + 5 + (-(x + 2)) = -10得到：x = 3 或 x = -6解集为：{3, -6}通过以上的练习题及答案，希望你对绝对值的概念、计算和应用有了更深入的理解。

绝对值中考要求重难点1．掌握绝对值的概念与化简2．绝对值的几何意义3．分类讨论思想在绝对值中的应用课前预习外尔斯特拉斯现在通用的绝对值符号“| |”，是德国数学家外尔斯特拉斯在1841年率先引用的，后来为人们所广泛接受。

德国数学家外尔斯特拉斯也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。

他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。

这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。

德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。

他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。

外尔斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。

从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。

用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。

可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。

他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。

例题精讲模块一绝对值的意义及其化简1.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。

数a的绝对值记作a2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩4.绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++. 【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=， 则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 2则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2C B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？FED C BP A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D ，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE之间课堂检测1． 4x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若42x -=，则x = ．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x 、4、2或62． 化简：212x x x -++-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，20x +=，0x =，∴零点为1x =、2x =-、0x =∴可分四段讨论：2x <-、20x -≤<、01x ≤<、1x ≥①当2x <-时，则10x -<，20x +< ∴11x x -=-+，22x x +=--，x x =-∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+----=-+--+=2x -②当20x -≤<时，则10x -<，20x +≥ ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =-∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+++--=-++++=4③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+当11x -≤<时，124x x --+-=5当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -总结复习1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．课后作业1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x -- ②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2 ③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。