东城区2015-2016学年第一学期期中教学检测高三数学(理)试题及答案

东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是（A ）(1,0)(3,)-+∞ （B ）(1- （C ）3(1,0)(,)-+∞ （D ）(-C（7）在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，则得到正视图可以为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是 （A ）[0,1]（B ）8[0,]5（C ）1[,1]2- （D ）18[,]25-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ．13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .FEDCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z .所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ，所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+. 因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分 17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C +- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分）解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分(Ⅱ)由已知得231()e (1)2xa f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x xa f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-．令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ， 以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同； （2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-. 易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。

2015-2016学年北京市汇文中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣23．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log3165．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．57．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式．12．已知α为锐角，，则=．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．2015-2016学年北京市汇文中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵i（3+4i）=3i+4i2=﹣4+3i，∴复数i（3+4i）的虚部为3．故选A．【点评】熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键．2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣2【考点】命题的否定．【专题】规律型．【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要将结论变为相对的，还要改变量词，由此规则写出其否定即可【解答】解：由题意p：∀x∈R，x≥2，∴¬p：∃x∈R，x＜2，故选B．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是理解并掌握命题的否定书写的规律，对于两个特殊命题的否定，要记忆其书写规则，即：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要注意量词的变化．3．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的周期，判断选项即可．【解答】解：函数中，对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），可知函数是偶函数，f（x﹣π）=f（x），可知函数的周期为π，f（x）=sinx不满足题意；f（x）=sinx•cosx=sin2x，是奇函数，不满足题意；f（x）=cosx的周期是2π；不满足题意；f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，满足题意；故选：D．【点评】本题考查抽象函数的性质，函数的奇偶性以及函数的周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力．4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log316【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．【点评】本题考查有三视图还原几何体，本题是一个基础题，解题的过程中看清各个部分的数据，代入求体积公式得到结果．7．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P（m＞0），则，∴，∴过动点P的切线方程为：．①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B．则|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=≥+=4，当且仅当，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M，N，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．则，，所以化为解得，故假设成立．因此③正确．故选D【点评】理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．【解答】解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式2n﹣11．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题．=2n﹣11．当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，进而【分析】由题意可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1求出数列的通项公式．=（n﹣1）2﹣10（n﹣1）=n2﹣12n+11，【解答】解：由题意可得：当n≥2时，S n﹣1=2n﹣11．所以a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，所以数列的通项公式为：a n=2n﹣11．故答案为：a n=2n﹣11．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握数列通项公式的方法，以及结合正确的运算．12．已知α为锐角，，则=﹣3．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由α为锐角和cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：由α为锐角，cosα=，得到sinα==，所以tanα=2，则tan（+α）===﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是（10，20）．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题．【分析】利用Q=100﹣5P，弹性大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵Q=100﹣5P，弹性大于1∴=＞1∴（P﹣10）（P﹣20）＜0∴10＜P＜20故答案为：（10，20）【点评】本题考查新定义，考查解不等式，解题的关键是对弹性的理解．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为要求函数的增区间所以求出f′（x）令其大于零，同时考虑到x＞0，故求出增区间即可；（2）因为g（x）=f'（x），分区间讨论k的取值并根据a+b≥2当且仅当a=b时取等号的方法求出最小值即可．【解答】解（1）k=2，f（x）=（x+1）2﹣4lnx．则f′（x）==＞0，（此处用“≥”同样给分）注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=．g（x）=≥，当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．①若∈（0，2]，即当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；②若k＜﹣4，则在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6﹣k．综上所述，当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；当k＜﹣4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6﹣k．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力，a+b≥2当且仅当a=b时取等号的灵活运用．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】（I）根据2a n=S n+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；（II）因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立，两式相减可得a n+1+2=2（a n+2），然后根据等比数列定义可得结论；（III）先求出数列{n•a n}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n+1﹣2a n=a n+1+2．所以a n+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…【点评】本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．【点评】导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【考点】等差数列的通项公式．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013=0，可得a1007=0，a1008=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013=0，∴=0，∴a1+a2013=0，即a1007=0，∴a1008=d，当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=，∴1006d+d=，即d=，∴a n=a1007+（n﹣1007）d=（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n=，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|=1，∴|S k|（k=1，2，…，n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理科)一、单选题（共8小题）1．集合，，则=（）A．B．C．D．2．已知命题p：x∈R有sinx1，则﹁p为（）A．B．C．D．3．如图，为正三角形，，底面，若，，则多面体在平面上的投影的面积为（）A．B．C．D．4．若向量，，满足条件与共线，则的值（）A．B．C．D．5．成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。

根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。

若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．已知函数则的值为（）A ．B．4C．D．8．集合，若，已知，定义集合中元素间的运算，称为运算，此运算满足以下运算规律：①任意有②任意有(其中)③任意，有④任意有，且成立的充分必要条件是为向量．如果，那么下列运算属于正确运算的是（）A．B．C．D．9.设是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___．10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数的最大值为______11.已知直线与直线相交于点，又点，则______12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是______．13.若点和点分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为___．14.已知函数，关于此函数的说法正确的序号是__．①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④．15.已知函数()，且函数的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．16.如图，是等腰直角三角形，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当四棱锥体积取最大值时，(i)若为中点，求异面直线与所成角；(ii)在中交于，求二面角的余弦值．17.在2015-2016赛季联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，表示投篮次数，表示命中次数）,假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0．5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0．5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0．5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18.已知，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对于，恒成立；（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．19.已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标．20.数列中，定义：，．（Ⅰ）若，，求；(Ⅱ)若，，求证此数列满足；（Ⅲ）若，且数列的周期为4，即，写出所有符合条件的．北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二)数学 (理科)答案1.考点：集合的运算试题解析：故答案为：B答案：B2.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以﹁p为：。

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 22 （10） 21;3-（11） 58 （12） 1;0 （13） 01=+-y x（14）①④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列， 所以11n n a a q-=．因为1234,3,2a a a 成等差数列，所以213642,a a a =+即2320q q -+=． 解得2,1()q q ==舍.又它的前4和415s =，得41(1)15(0,1)1a q q q q-=>≠-，解得11a = ．所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以11122(n 1)1n n nn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分（16）（本小题共13分） 已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值. 解：（Ⅰ）由已知22()sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2π2sin(2).6x xx =-=- 所以 最小正周期2π2ππ.2T ω===由ππ3π2π22π,.262k x k k z +???得2π10πππ,36k x k k z +＃+?故函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间15π,π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ …………9分（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-． 所以7π()212f α+=7ππ2sin()2sin 66αα+-=-85=．…………………13分（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由. （Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥，所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，()0,2,0D ， ()0,0,2P .由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =uu u v向量(2,2,0)BD =-u u u r ,(2,0,2)PB =-u u r.设(,,)n x y z =r为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅00PB n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y =，可得=n（1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以cos ,AE EF =uu u v uu u v 所以，直线EF 与平面PBD…………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--u u r ，(2,2,0)AC =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤u u u r u u r. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r.由AC FM⊥，得0=⋅FM ，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34λ=. zC所以 13PM MC =. …………………13分（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，解得2,a b ==所以椭圆的标准方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,)2B -，则229||||4AF F B =g，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= （*）．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以2222834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．所以21||1AF ==-，所以22||1F B ==-所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x =+-++g222224128(1)13434k k k k k-=+-+++229(1)34k k =++2229(1)3491(1).434k k k =++=++当20k =时，22||||AF F B g 取最大值为3，所以 22||||AF F B g 的取值范围9,34⎛⎤ ⎥⎝⎦.又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B g 取值为94． 所以22||||AF F B g 的取值范围9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………13分 （19）（本小题共14分）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，/2e (1)1()1x x f x x x-=-+，/(1)0f =，(1)e 1f =-． 方程为e 1y =-． …………………4分（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2e (1)(1)x x ax x x---=， 2(e )(1)xa x x x--= ．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，所以 '()0f x > ⇒1x >；'()0f x < ⇒ 01x <<0.所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ． …………………8分（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解．令'2(e )(1)()0x ax x f x x --== ⇒e 0xax -= ⇒e x a x= .设e ()xg x x= (0,1)x ∈,所以 'e (1)()x x g x x-=, 当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，所以()g x 单调递减.又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞, 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,所以 当e a >时，'2(e )(1)()0x ax x f x x --== 有解. 设()e x H x ax =-，则 ()e 0x H x a '=-< (0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减. 因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<, 所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x . 所以有：所以 当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一.当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞． …………………14分（20）（本小题共13分）已知曲线n C 表示,x y 满足*1()nnx y n N +=∈的方程.（Ⅰ）求出1,2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数. 解:（Ⅰ）当1,2n = 时, 由图可知1141122C =⨯⨯⨯=, 2πC =. …………………3分（Ⅱ)要证()n S n N *∈是关于n 递增的，只需证明：1(n )n n S S N *+<∈．由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线n C 与1n C +，因为 1()(1)nnx y n N *+=∈L L因为 111()(2)n n x y n N ++*+=∈L L在(1)和(2)中令00,(0,1)x x x =∈，当0(0,1)x ∈，存在12,(0,1)y y ∈使得011n n x y +=， 11021n n x y +++=成立，此时必有21y y >．因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>， 所以121n n y y +>．两边同时开n 次方有，1221n ny y y +>>．（指数函数单调性） 这就得到了21y y >，从而()n S n N *∈是关于n 递增的． …………………10分(III)由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x yz z+=，反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，,x y 全是有理数， 不妨设,q tx y p s==，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质． 则由1nnx y +=可得，1nnq tp s+=．即nnnqs ptps +=．这时,,qs pt ps 就是*(2,)nnnx y z n n N +=>∈的一组解，这与方程*(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数．。

北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.C3.A4.D5.A6.C7.A8.D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9. 122a -<< 10. 5 11. 52 12. 0.4;13． 13. 31,22⎛⎤+ ⎥⎝⎦14. ①②④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题共13分）解：(Ⅰ)因为()3sin cos 12sin()+16f x x x x πωωω=++=+， 又()f x 的最小正周期为π，所以π2πω=，即ω=2. --------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()2sin(2)+16f x x π=+， 因为02x π≤≤， 所以72666x πππ≤+≤. 由正弦函数的性质可知，当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为f (6π)=3； 当7266x ππ+=时，即2=x π时，函数()f x 取得最小值，最小值为f (2π)=0. ------13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=o ，E F ，分别为AC BC ，的中点， GD F EC 'CB A所以EF AE ⊥，EF C E '⊥.又因为AE C E E '⋂=,所以EF AEC '⊥平面.由于EF AB P ,所以有AB AEC '⊥平面. -------------------------4分 解：（Ⅱ）(i)取AC '中点D ，连接,,,DE EF FG GD ,由于GD 为ABC '∆中位线，以及EF 为ABC ∆中位线,所以四边形DEFG 为平行四边形.直线GF 与AC '所成角就是DE 与AC '所成角.所以四棱锥C ABFE '-体积取最大值时，C E '垂直于底面ABFE .此时AEC '∆为等腰直角三角形，ED 为中线，所以直线ED AC '⊥.又因为ED GF P ,所以直线GF 与AC '所成角为π2. -------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C ABFE '-体积取最大值,分别以EA EF EC '、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,0,)C a '，(,2,0)B a a ，(0,,0)F a ，(,2,)C B a a a '-，(0,,)C F a a '-.设平面C B F '的一个法向量为n =(x,y,z),由0,0C B C F ⎧⎪⎨⎪⎩'⋅='⋅=n n uuu r uuu r 得⎩⎨⎧=-=-+002az ay az ay ax , 取y =1，得x =-1,z =1．由此得到n =(-1,1,1). zy x F E C 'CB A同理，可求得平面C AE '的一个法向量m =(0,1,0). 所以 13cos 33⋅==n m .故平面C'AE 与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为33.--------------------------------------14分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场， 分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是12. 在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是25. ---------------------------------------3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件1B ，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件2B .则1213121()()()25252P A P B P B =+=⨯+⨯=.------------------------------------------------7分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3.00332327(0)()()55125P X C ===； 11232354(1)()()55125P X C ===； 22132336(2)()()55125P X C ===； 33328(3)()5125P X C ===； X 的分布列如下表： X0 1 2 3 P27125 54125 36125 812526355EX np ==⨯=. --------------------------------------------------------13分 18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）222(31)()2(1)(2)22x x f x x x x x -++'=-+=>-++ , 当()0f x '>时，所以 2310x x ++<.解得 3522x -+-<<. 当()0f x '>时, 解得 352x -+>. 所以 ()f x 单调增区间为35(2,)2-+-，单调减区间为35(,)2-++∞.------------4分 （Ⅱ） 设2()()()2ln(2)(1)(1)(1)h x f x g x x x k x x =-=+-+-+>-, 当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立.22(31)2(3)(1)()222x x x x h x x x -++-++'=-=++, 当1x >-时，()0h x '<恒成立，()h x 单调递减． 又(1)0h -=,当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<. 对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立. ---------------------------------8分（Ⅲ） 因为 222(31)2(6)22()22x x x k x k h x k x x -++++++'=-=-++.由(II)知，当k = 2时，f (x) < g (x)恒成立， 即对于x > –1，2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1)，不存在满足条件的x 0；当k > 2时，对于x > –1，x + 1 > 0，此时2 (x + 1) < k (x + 1).2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立， 不存在满足条件的x 0；当k < 2时，令t (x) = –2x 2 – (k + 6)x – (2k + 2)，可知t (x)与h (x)符号相同,当x (x 0 , +)时，t (x) < 0，h (x) < 0，h (x)单调递减．当x (–1 , x 0)时，h (x) > h (–1) = 0，即f (x) – g (x) > 0恒成立．综上，k 的取值范围为(–, 2)． -------------------------------------------------------14分 19.（本小题共13分）解:（Ⅰ）由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,所以 b c =, 222b a =, 则椭圆C 的方程为122222=+b y b x . 又因为椭圆C:过点A(2，1)，所以112222=+bb ，故a=2,b=.2 所以 椭圆的的标准方程为12422=+y x . --------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)222)(y p x MP +-=. 因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以12422=+y x ， 故 22)41(2222x x y -=-=. 所以 222222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以 2≤x .（1） 若22≤p 即1≤p ，则当2x p =时MP 取最小值22p -，此时M 2(2,22)p p ±-.（2）若1p >，则当2x =时，MP 取最小值2-p ，此时M )0,2(.（3）若1p <-，则当2x =-时，MP 取最小值2+p ，此时M )0,2(-. -------13分20.（本小题共13分）（Ⅰ）由212(1)n n n n d a a a n ++=+-≥以及n n d a =可得： 2120(1)n n a a n ++-=≥所以从第二项起为等比数列. 经过验证{}n a 为等比数列12n n a -=. -------------------2分(Ⅱ)由于1n d ≥所以有2121n n n a a a +++-≥.令1n n n c a a +=-则有11n n c c +-≥叠加得：4n c n ≥-所以有14n n a a n +-≥-，叠加可得：29102n n n a -+≥，所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由于1n d =，11a =， 21a =若11d =可得32a =，若11d =-可得30a =同理，若21d =可得44a =或42a =，若21d =-可得40a =或42a =-具体如下表所示7452321111010325⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎨⎧⎧⎪⎨⎪⎪-⎪⎩⎪⎨⎪-⎧⎪-⎪⎨⎪-⎩⎪⎩⎩所以{}n a 可以为112211221122L L或110011001100L L此时相应的{}n d 为 11111111----L L或11111111----L L------------------------------------------------------13分。

北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设U=R ，集合{}{}04|,0|2≤-∈=>=x Z x B x x A ，则下列结论正确的是A. (){}0,1,2--=⋂B A C UB. ()]0,(-∞=⋃B A C UC. (){}2,1=⋂B A C UD. ()∞+=⋃,0B A2. 双曲线()301362222<<=--m my m x 的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 22362m -3. 设二项式431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为A ，则A=A. -6B. -4C. 4D. 64. 如图所示的程序框图表示求算式“179532⨯⨯⨯⨯”之值，则判断框内不能填入A. 17≤k ？B. 23≤kC. 28≤k ？D. 33≤k ？5. 已知()a x x f x++=24有唯一的零点，则实数a 的值为A. 0B. -1C. -2D. -36. 设C B A c b a ,,,,,为非零常数，则“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“CcB b A a ==”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件7. 设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,B. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,32 C. )31,32[-D. ),32[∞+-8. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是 A. ()0,2-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()2,-∞-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。

东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log,0,()2,0,xx xf xx>⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a>，则实数a的取值范围是（A）(1,0)(3,)-+∞（B）(1-（C ）3(1,0)(,)3-+∞（D）(1,)3-（7）在空间直角坐标系O xyz-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆22:2C x y+=，直线:240l x y+-=，点00(,)P x y在直线l 上．若存在圆C 上的点Q，使得45OPQ∠=（O为坐标原点），则x的取值范围是（A）[0,1]（B）8[0,]5（C）1[,1]2-（D）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。