江苏省扬州市2018-2019学年高一下学期期末调研测试数学试题及答案

8.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0分）2018-2019 学年江苏省扬州市高邮市七年级（上）期末数学试卷、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 9. 若向东走 20m 记作+20m ，则向西走 5m 可记作 ___________ m ． 10. 如图所示，是一个立体图形的展开图，这立体图形是 ________________ 11. 计算： 2（ a-b ）+3b= ______ ． 若把笔尖放在数轴的原点，先向左移动 3个单位长度，再向右移动 1 个单位长度，则这时笔尖位置表 示的数是（ ） A. B. C. D. 我国的“嫦娥四号” 度搜索“嫦娥四号” A. 列各组单项式中， A.于北京时间 2019年 1月 3日 10： 26分，在月球背面成功软着陆，目前，通过百 可看到有相关的结果约 1250000 个，则数据 1250000 用科学记数法可表示为 （ 12.13. 14. 列各数中： +（ -5）、 |-1|、 - 、 -（ -2019 ）、 负数有 ______ 个．已知 ∠1与∠2为对顶角，且 ∠1的补角的度数为 度数为 ________ ．如图，甲从 O 点出发向北偏西 27 °方向走到点 向南偏东 42°方向走到点 B ，则∠AOB 的度数是0、 79 A ， -2018) 2019°32′，则 ∠2的乙从点 O 出发B. C. D.是同类项一组的是（列结论中，正确的是（B. 2abc 与C. 2xy 与 2abD.与 3yxA. 单项式 的系数是 ，次数是 2B. 单项式 mn 的次数是 1，没有系数C. 单项式的系数是 ，次数是 4D. 多项式是三次三项式把一条弯曲的道路改成直道，可以缩短路程，其道理是（ A. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 列方程变形中，正确的是（ A. 由B. 由C. 由D. 由 B. 两点之间，线段最短 D. 以上都不正确，系数化为 1 得： ，移项得： ，去分母得： ，去括号得： 如图，已知点 C 为 AB 上一点， BC=12cm ，AC= CB ，D 、E 分别为 AC 、AB 的中点，则 DE 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6钟面角是指时钟的时针与分针所成的角（这里所说的角均是指不大于平角的角），如：在 钟面角为 90°，那么在 3：30与 5：00 之间钟面角恰好为 90°的次数共有（）3： 00 时的15. 若 a 2+ab=-2，b 2-3ab=-3，则 a 2+4ab-b 2的值为 _________ ．16. 图①是边长为 40cm 的正方形纸板， 裁掉阴影部分后将其折叠成如图② 所示的长方体盒子，已知该长方体的宽与高相等，这个长方体的体积 为 cm 3．17. 如图，有理数 a 、b 、c 在数轴上，则化简|a-c|-|2a+b|+|c-b|的结果是 __________ ．18. 数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 2，现点 A 做如下移动：第 1次点 A 向左移动 1个单位长度至点 A 1，第 2次从点 A 1向右移动 2个单位长度至点 A 2，第 3 次从点 A 2向左移动 3个单位长度至点 A 3，按 照这种移动方式进行下去，点 A 2019 表示的数是 _______________________________ ． 三、计算题（本大题共 2小题，共 16.0 分）19. 计算：（1）（-8）-（-7）-|-3|（2）-22+3×（-1）2019-9 ÷（ -3）20. 先化简，后求值：（ 3m 2-4mn ）-2（m 2+2mn ），其中 m ，n 满足单项式 -x m+1y 3与 y n x 2的和仍是单项式．24. 一个由一些相同的正方体搭成的几何体，如图1 是它的俯视图和左视图．（1）这个几何体可以是图A、B、C 中的____________ ；（2）这个几何体最多有_______ 块相同的正方体搭成，并在网格中画出正方体最多时的主视图（如图2）．四、解答题（本大题共8 小题，共80.0 分）21. 解下列方程：（1）3x-4=-2（x-1）（2）1+ =22. 利用网格作图：（1）过点C 作AB 的平行线CD；（2）过点B 作AC 的垂线，垂足为E；过点C 作AB的垂线，垂足为（3）点A到BE 的距离是线段________ 的长度．25. 如图，已知线段AB=20cm，C 是线段AB延长线上一点，点D 是BC 的中点．（1）当AC=6CD 时，求AC 的长；（2）若点E 是AC 的中点，求DE 的长．23. 已知：关于y的方程2-3（1-y）=2y的解和关于x的方程m（x-3）-2=-8 的解相同，求m 的值．26. 随着出行方式的多样化，我市三类打车方式的收费标准如下：出租车滴滴快车同城快车3 千米以内：8 元路程：1.4 元/千米路程：1.8 元/千米如：假设打车的平均车速为 40 千米 /小时，乘坐 8 千米，耗时 8÷40×60=12 分钟，出租车的收费为： 8+2.4 × （ 8-3）=20（元）；滴滴快车的收费为： 8×1.4+12 ×0.6=18.4（元）；同城快车的收费为： 8×1.8+12×0.4=19.2 （元）解决问题：（1）小明乘车从高邮文体公园去盂城驿，全程 10 千米，如果小明使用滴滴快车，需要支付的打车费用为 ______ 元；（2）小丽乘车从甲地去乙地，用滴滴快车比乘坐出租车节省了28.8 元，求甲、乙两地的距离；（3）同城快车为了和滴滴快车竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在5 千米以上（含 5 千米）的客户每次收费立减 11 元；同城快车车费对折优惠．通过计算，对同城快车和滴滴快车 两种打车方式，采用哪一种打车方式更合算提出你的建议．27. 定义：对于确定位置的三个数： a ，b ，c ，计算 a-b ， ， ，将这三个数的最小值称为 a ，b ，c 的“分差”，例如，对于 1，-2，3，因为 1-（-2）=3， =-1， =- ，所以 1，-2，3 的“分差”为 - ．（1）-2，-4，1 的“分差”为 _________ ；（ 2）调整“ -2，-4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是（3）调整 -1，6， x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为28. 如图 1，已知∠AOB 和∠COD （∠COD <∠AOB ），∠COD 绕着点 O 旋转， OE ，OF 分别是∠AOC ，∠BOD 的角平分线．（1）如图 2，当∠COD 在∠AOB 的内部时，①当 ∠AOB=90°，∠COD=45°时， ∠EOF = ________ ； ②当 ∠AOB=80°，∠EOF=20°时，∠COD= ______ ；（2）当∠COD 在如图 3的位置时，猜想 ∠EOF 的与∠AOB 和∠COD 的数量关系，并说明你的理由； （3）当∠COD 在如图 4的位置时， ∠EOF 与∠AOB 和∠COD 的数量关系是 ___________ ．超过 3千米的部分： 2.4 元/千米时间： 0.6 元/分钟 时间： 0.4 元/分钟2，求 x 的值．答案和解析1. 【答案】A【解析】解：由题意可得，0-3+1=-2．故选：A．向左移动3个长度单位，就是减3，向右移动 1 个单位就是加1，因此表示的数为0-3+1=-2本题考查了数轴，正确理解左减右加是解题的关键．2. 【答案】D【解析】解：将1250000用科学记数法表示为：1.25 ×106．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a<| 10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值> 10时，n 是正数；当原数的绝对值 <1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a<| 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．3. 【答案】D【解析】解：A 、相同字母的指数不同，故 A 错误；B、字母不同不是同类项，故B 错误；C、字母不同不是同类项，故C 错误；D、字母项相同且相同字母的指数也同，故 D 正确；故选：D．根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也同，可得答案．成了中考的常考点．4. 【答案】C【解析】解：A 、单项式的系数是，次数是3，故A 错误；B、单项式mn的次数是2，系数是1，故B错误；C、单项式-ab2x 的系数是-1，次数是4，故C正确；D、多项式2x2+xy+3 是二次三项式，故D 错误．故选：C．根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．本题考查了单项式，单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．5. 【答案】B【解析】解：把弯曲的公路改成直道，其道理是两点之间线段最短．故选：B．根据数学常识，连接两点的所有线中，线段最短，即两点之间线段最短解答．本题主要考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键．6. 【答案】D【解析】解：A 、3x=-4 ，系数化为1，得x=- ，故选项 A 错误，B、5=2-x ，移项，得x=2-5，故选项 B 错误，C、由+ =1，去分母得：4（x+1）+3（2x-3）=24，故选项 C 错误，D、由2x-（1-5x）=5，去括号得：2x+5x-1=5，故选项 D 正确，120°，查出个数即是所得．根据解方程的方法和等式的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．本题考查解一元一次方程、等式的性质，解答本题的关键是明确解方程的方法．7. 【答案】D 【解析】解：根据题意BC=12cm，AC= CB，所以AC=18cm，所以AB=AC+CB=30cm ，又因为D、E 分别为AC、AB 的中点，所以DE=AE-AD= （AB-AC ）=6cm．故选：D．求DE的长度，即求出AD 和AE 的长度．因为D、E分别为AC、AB 的中点，故DE= （AB-AC ），又BC=12cm，AC= CB，可求出AC，即可求出AB ，代入上述代数式，即可求出DE 的长度．考查了两点间的距离，此题要求学生灵活运用线段的和、差、倍、分之间的数量关系，熟练掌握．8. 【答案】C 【解析】解：设n=分，m=点，当m=3 时，有5.5 °×n-30°×3=90°或 5.5 °×n-30°×3=270°，解得：n1= ，n2= ；当m=4 时，有5.5 °×n-30°×4=90°或30°×4-5.5 °×n=90°，解得：n3= ，n4= ．当综上可知：钟面角为90°的情况有 4 次．故选：C．根据钟面角公式套入3点，4点即可求得具体哪个时间钟面角为90°，4点整时显然钟面角为考查了一元一次方程的应用，钟面角，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9. 【答案】-5【解析】解：若向东走20m记作+20m，则向西走5m 可记作-5m，故答案为：-5．根据题意，可以表示出向西走5m，本题得以解决．本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际含义．10. 【答案】圆锥【解析】解：如图所示，是一个立体图形的展开图，这个立体图形是圆锥．故答案为：圆锥．根据圆锥表面展开图的特点解题．本题考查圆锥表面展开图，记住圆锥的表面展开图的特征是解题的关键．11. 【答案】2a+b【解析】解：原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b原式去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12. 【答案】3【解析】解：在所列实数中，负数有+（-5）、- 、（-2018）2019这3个数，故答案为：3．故选：D．根据相反数的意义、绝对值的意义、乘方的意义，可化简各数，根据小于零的数是负数，可得答根据整式的运算法则即可求出答案．案．本题考查了正数和负数，化简各数是解题关键，注意小于零的数是负数．13. 【答案】100 °28′【解析】解：∵∠1 的补角的度数为79°32，′∴∠1=180 °-79° 32′ =100，° 28′∵∠1 与∠2 为对顶角，∴∠2=∠1=100 ° 2，8′故答案为：100°28．′求出∠1 的度数，根据对顶角相等求出即可．本题考查了对顶角和补角的定义，能熟记对顶角相等和补角的定义是解此题的关键．14. 【答案】165 °【解析】解：由题意得，∠AOB=27°+90°+90 °-42 °=165°，故答案为：165°．∠AOB 等于三个角的和，求出各角的度数，相加即可．本题主要考查方向角，解决此题时，能准确找到方向角是解题的关键．15. 【答案】1【解析】解：∵a2+ab=-2，b2-3ab=-3，∴原式=a2+ab-（b2-3ab）=-2-（-3）=1，故答案为：1．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．16. 【答案】2000【解析】解：设长方体的高为xcm，则其宽为，根据题意得：x=20-x ，解得x=10，故长方体的宽与高均为10cm，长为40-10×2=20cm，所以长方体的体积为：20×10×10=2000cm3．故答案为：2000设长方体的高为xcm，然后表示出其宽为20-x，根据该长方体的宽与高相等，列方程即可求出长方体的宽与高，再求出长，然后根据长方体的体积公式求解即可．本题考查了一元一次方程的应用以及展开图折叠成几何体，根据长方体宽和高之间的关系，列出一元一次方程是解题的关键．17. 【答案】a+2c【解析】解：由数轴可知，a<b<0<c，∴a-c<0，2a+b<0，c-b>0，|a-c|-|2a+b|+|c-b|=（-a+c）-（-2a-b）+（c-b）=-a+c+2a+b+c-b=a+2c，故答案为a+2c．先根据数轴确定绝对值里的代数式的正负，然后去括号合并同类项即可．本题考查了数轴与绝对值，正确去绝对值是解题的关键．18. 【答案】-1008【解析】解：第n次移动n 个单位，第2019次左移2019×1 个单位，每左移右移各一次后，点 A 右移1个所以A2019表示的数是1×（2018÷2）-2019×1+1=-1008．故答案为：-1008．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点 A 右移1个单位，故第2018次右移后，点A 向右移动1×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019个单位，故点A2019表示的数是1×（2018÷2）-2019×1+2．本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．19. 【答案】解：（1）原式=-8+7-3=-4-3=-7；（2）原式=-4+3×（-1）-（-3）=-4-3+3=-4．【解析】（1）减法转化为加法、计算绝对值，再计算加减可得；（2）先计算乘方和除法，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2 2 220. 【答案】解：原式=3m2-4mn-2m2-4mn=m2-8mn ，∵单项式-x m+1 y3与y n x2的和仍是单项式，∴-x m+1y3与y n x2是同类项，∴m+1=2，即m=1，n=3，则原式=1-8 ×1×3=-23．【解析】先去括号，合并同类项化简原式，再根据同类项的概念求出m和n的值，代入计算可得．本题主要考查整式的加减-化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．3x-4=-2x+2，3x+2x=2+4 ，5x=6，x=1.2；（2）1+ = ，6+2（2x+1）=3（3x-2），6+4x+2=9x-6，4x-9x=-6-6-2 ，-5x=-14，x= ．【解析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．22. 【答案】AE【解析】解：（1）取格点D，直线直线CD，直线CD即为所求．（2）取格点M，作直线BM 交AC于点E，直线BM 即为所求，取格点N，作直线CN交AB 于F，直线CN 即为所求．（3）点A 到BE的距离是线段AE 的长度故答案为AE．（1）取格点D，直线直线CD，直线CD 即为所求．（2）取格点M，作直线BM 交AC 于点E，直线BM 即为所求，取格点N ，作直线CN 交AB 于F，直线CN 即为所求．（3）点A 到BE的距离是线段AE 的长度本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23. 【答案】解：解方程2-3（1-y）=2y得：y=1，∵关于y的方程2-3（1-y）=2y的解和关于x 的方程m（x-3）-2=-8 的解相同，∴x=1，∴把x=1 代入m（x-3）-2=-8 得：-2m-2=-8 ，解得：m=3 ．【解析】求出第一个方程的解，把求出的数代入第二个方程，再求出m 即可．本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m 的方程是解此题的关键．24. 【答案】B 10【解析】解：（1）观察俯视图和左视图可知几何体是B，故答案为B．2）这个几何体最多有10 个相同的正方体搭成．故答案为：B，10．（1）分别画出图A，B，C 的左视图，俯视图即可判断．（2）根据左视图，俯视图即可解决问题．本题考查作图-三视图，与三视图判定几何体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25. 【答案】解：（1）∵点D 是BC的中点，∴BC =2CD ，∵AC =6CD ，∴AB=4CD，∵AB =20 cm，∴CD =5cm，∴AC =30cm；（2）∵点E是AC 的中点，∴DE=CE-CD= AC- BC= （AC-BC）= AB=10cm．【解析】（1）由AC=6CD ，以及点D 是BC 的中点，可得AB=4CD，再根据AB=20cm，可求CD，进一步可求AC 的长；（2）根据中点的定义和线段的和差关系可得DE=CE-CD= AC- BC= （AC-BC ）= AB ，依此可求DE 的长．本题考查的是两点间的距离，熟知中点的定义和各线段之间的和、差关系是解答此题的关键．26. 【答案】23【解析】主视图如图所示：解：（1）可根据上表可得，乘坐10千米，耗时10÷40×60=15分钟，则滴滴快车的收费为：10×1.4+15 ×0.6=23 元故答案为：23（2）∵28.8>8 ∴甲、乙两地的距离大于 3 千米∴设两地的距离为S，则有（S-3）×2.4+8-（×60×0.6）=28.8，整理得0.1S+0.8=28.8 解得S=280故甲、乙两地的距离为280 千米（3）当两地大于5千米时，设同城快车的费为M1，可得M1=0.5 ×（1.8S+ ×60×0.4）=1.2S，滴滴快车的收费为M2=1.4S+ ×60×0.6-11=2.3S-11①当M1=M2 时，有1.2S=2.3S-11，解得S=10，故当S为10千米时，两者都可以选②当两地相距离小于5千米时，滴滴快车没有优惠，此时滴滴快车的收费为：1.4S+×60×0.6=2.3S>1.2S，故选同城快车③当两地大于 5 千米小于10 千米时，可计算得M1>M2，故选滴滴快车④当两地大于10千米时，可计算得，M1<M2，故选同城快车（1）可根据上表可得，乘坐10千米，耗时10÷40×60=15分钟，则滴滴快车的收费为：10×1.4+15 ×0.6=23 元（2）由于滴滴快车比乘坐出租车节省了28.8元，可知行驶的路程超过了3千米．故可设两地的距离为S，则可列式子为：（S-3）×2.4+8-（×60×0.6）=28.8，求解S即可（3）首先计算出同城快车和滴滴快车两种收费相等时的情况，再进行讨论哪一种更合算．此题主要考查列代数式解方程，在第（3）中，也可以利用一次函数的图象进行解题．27.【答案】【解析】∴a-b=-2-（-4）=2，=∴-2，-4，1的“分差”为故答案为：2）① 若a=-2，b=1，c=-4∴-2，1，-4的“分差”为-3②若a=-4，b=-2，c=1则a-b=-4-（-2 ）=-2，= ，=∴-4，-2，1的“分差”为③若a=-4，b=1，c=-2则a-b=-4-1=-5 ，= ，=∴-4，1，-2的“分差”为-5④若a=1，b=-4，c=-2则a-b=1-（-4 ）=5，= ，=∴1，-4，-2的“分差”为⑤若a=1，b=-2，c=-4则a-b=1-（-2 ）=3，= ，=∴1，-2，-4的“分差”为综上所述，这些不同“分差”中的最大值为故答案为：3）∵“分差”为2，-1-6=-7①a=6，b=x ，c=-1，则a-b=-2-1=-3 ，= =1，∴三个数的顺序不能是-1，6，x和-1，x，6和x，-1，6∴a-b=6-x，若6-x=2，得x=4，< 2，不符合若，得x=5，6-x=1<2，不符合②a=6，b=-1，c=x ，∴a-b=6-（-1）=7，= ，=若，得x=2，<2，不符合若，得x=-7，> 2，符合③a=x，b=6，c=-1∴a-b=x-6，= ，=若x-6=2，得x=8，> 2，符合若，得x=3，x-6=-3<2，不符合综上所述，x 的值为-7或8．（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．（2）三个数顺便不同可以有 6 种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．（3）由“分差”为2（是正数）和-1-6=-7<2可知，-1-6 不能对应a-b，a-c，b-c，所以剩三种情况：6，-1，x 或6，x，-1或x，6，-1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．本题考查了实数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是3个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的x 是否满足题意．28.【答案】22.5 °40° ∠EOF =180 °- ∠AOB+ COD【解析】解：（1）①∵∠AOB=9°0 ，∠COD=4°5 ，设∠AOD=x ，则∠BOC=4°5 -x，∴∠AOC=45°+x，∠BOD=90°-x，∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD 的角平分线，∴∠AOE= ∠AOC= （45 °+x），∠DOF= ∠BOD=45°- x，∴∠AOF= ∠DOF+∠AOD=45°- x+x=45 +°x，∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=22.5 °；②∵∠AOB=80°，∠EOF=20°，设∠AOD=x ，∠DOC=y，∴∠AOC=y+x ，∠BOD=80°-x，∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD 的角平分线，∴∠AOE= ∠AOC= （y+x ），∠DOF= ∠BOD=40°- x，∴∠AOF= ∠DOF+∠AOD=40°- x+x=40 +°x，∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=40°+ x- （y+x ）=20 °；∴y=40 °，∴∠COD=40°；（2）∠EOF= ∠AOB- ∠COD；理由：设∠BODα= ，∴∠AOC=∠AOB+α+∠COD，∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD 的角平分线，∴∠AOE= ∠AOC= （∠AOB+α+∠COD），∠BOF= ∠BOD= α，∴∠AOF= ∠AOB+ ∠BOF=∠AOB+ α，∴∠EOF=∠AOF-∠AOE= ∠AOB+ α- （∠AOB+α+∠COD）= ∠AOB- ∠COD；（3）∠EOF=18°0 - ∠AOB+ COD，理由：设∠AOCα= ，∠BODβ= ，∵∠AOB=360°-∠AOC-∠BOD-∠COD，∴α +β =36-（0∠°AOB+ ∠COD），∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD 的角平分线，∴∠COE= ∠AOC= α，∠DOF= ∠BOD= β，∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF= α+β+∠COD= （α +）β+∠COD= （360 °-∠AOB- ∠COD）+∠COD，即∠EOF=18°0 - ∠AOB+ COD．故答案为：22.5 °，40°，∠EOF=18°0 - ∠AOB+ COD．（1）①∠AOD=x ，则∠BOC=4°5 -x，求得∠AOC=4°5 +x，∠BOD=9°0 -x，根据角平分线的定义得到∠AOE= ∠AOC= （45°+x），∠DOF= ∠BOD=45°- x，根据角的和差即可得到结论；② 设∠AOD=x ，∠DOC=y，得到∠AOC=y+x ，∠BOD=80°-x，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）设∠BODα= ，根据角平分线的定义得到∠AOE= ∠AOC= （∠AOB+α+∠COD），∠BOF=∠BOD= α，根据角的和差即可得到结论；（3）设∠AOCα= ，∠BODβ= ，根据角平分线定义得到∠COE= ∠AOC= α，∠DOF=∠BOD= β，于是得到结论．．本题考查了余角和补角，角的和差，角平分线的定义，正确的识别识别图形是解题的关键．。

扬州市2023届高三考前调研测试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}{0,1,2,3,4,5,6U A B ==，{}1,3,5UAB =，则B =（ ）．A ．{}1,0,2,4,6-B ．{}0,2,4,6C ．{}1,2,4,6-D ．{}2,4,62．已知空间内不过同一点的三条直线,,m n l ，则“,,m n l 两两相交”是“,,m n l 在同一平面”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．以点π(,0)2k ()k ∈Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．|tan |y x =4．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）． A ．17B ．27C ．37D ．476．复数i z x y =+（,x y ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应点(,)Z x y ，则下列为真命题的是（ ）．A ．若|1||1|z z +=-，则点Z 在圆上B ．若|1||1|=2z z ++-，则点Z 在椭圆上C ．若|1||1|=2z z +--，则点Z 在双曲线上D ．若|1|=|1|x z +-，则点Z 在抛物线上7．已知函数()f x 的导函数为()g x ，()f x 和()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，()sin x f x e x --也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）．A ．(0)0f =B ．(0)0g =C ．()(e )x f x f <D ．()(e )x g x g <8．已知向量(1,)a x y =++，(1,)b x y =-，满足a b ⊥的动点(,)M x y 的轨迹为E ，经过点(2,0)N 的直线l 与E 有且只有一个公共点A ，点P 在圆22(1x y +-=上，则A P 的最小值为（ ）．A ．3-B 1C ．2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两个离散型随机变量X ，Y ，满足21Y X =+，其中X 的分布列如下：A ．16a =B ．23b =C ．()2E Y =D ．4()3D Y =10．已知函数32()()f x x x x a a =--+∈R 的图象为曲线C ，下列说法正确的有（ ）． A ．a ∀∈R ，()f x 都有两个极值点 B ．a ∀∈R ，()f x 都有三个零点C ．a ∀∈R ，曲线C 都有对称中心D ．a ∃∈R ，使得曲线C 有对称轴11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；设第n 次“美好成长”后得到的数列为1221,,,,,k x x x ，并记()122log 12k n a x x x ⨯=⨯⨯⨯⨯，则（ ）．A ．25a =B ． 21n k =+C ．131n n a a +=-D ．数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为112231n +-+12．圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）． A ．若3PA PB +=，则P 点的轨迹为圆B ．若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C ．存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D ．1AP PQ QB ++的取值范围是+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()20232202301220235x a a x a x a x +=++++，3012202T a a a a =++++，则T 被5除所得的余数为 ．14．圆O （O 为坐标原点）与直线:2l x y +=相切，与直线l 垂直的直线m 与圆O 交于不同的两点P 、Q ，若0OP OQ ⋅<，则直线m 的纵截距的取值范围是 ．15．已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．16．若直线l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则直线l 的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①233n n S a =-；②13a =，313log log 1n n a a +=+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足________，139,n n n b n a *+-=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数0n ，使得0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立，求0n 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：（2）假设所有购物群销售凤梨的数量X 服从正态分布2)(,N μσ，其中μ为（1）中的平均数，212100σ=．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量在[266,596)（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若X 服从正态分布2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.954P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈．19．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222sin 2sin 2sin C B A =-． （1）求证：4cos c a B =；（2）延长BC 至点D ，使得AD BD =，求CAD ∠的最大值．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为6，截面11ACC A 的面积为6． （1）求点B 到平面11ACC A 的距离；（2）若2AB AD ==，60BAD ∠=︒，1AA =，求直线1BD 与平面11CC D D 所成角的正弦值．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦3PQ AF ==．（1）求△APQ 的内心坐标；（2）是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于,M N ，交PQ 于点R ，且满足MR ND MD RN ⋅=⋅？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．22．已知函数()sin ln(1)()f x a x x a =-+∈R ． （1）若1a =-，求证：0x ∀>，()20f x x +>；（2）当1a ≥时，对任意[0,]2kx ∈，都有()0f x ≥，求整数k 的最大值．扬州市2023届高三考前调研测试数学参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC 13．1 14．( 15．10π 16．1y x =-或1y x e=17．【解析】（1）若选择条件①：233n n S a =- 11233n n S a ++∴=-，则112233n n n n S S a a ++-=-即13n n a a +=， ……………………3分 令1n =，则11233S a =-，解得130a =≠ 13n na a +∴= {}n a ∴是以3为首项，3为公比的等比数列 3n n a ∴= ……………………5分若选择条件②：13133,log log 1n n a a a +=-= {}3log n a ∴是以31log 1a =为首项，1为公差的等差数列()3log 111n a n n ∴=+-⨯= ……………………3分 3n n a ∴= ……………………5分 （2）∴13933n n n n n b a +--== ……………………6分 11113372333n n n n n n n nb b ++++----=-= ……………………7分 ∴当113,0n n n b b +≤≤->，即1234b b b b <<<；当14,0n n n b b +≥-<，即4567b b b b >>>>； ……………………9分∴当04n =时，0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立． ……………………10分18．【解析】（1）由题意得：1222032100m +++=，解得18m =． ……………………2分 故平均数为1(1501225018350204503255018)376100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………4分 （2）由题意，376μ=，且266376110μσ=-=-，5963762202μσ=+=+，故1(596)(2)(10.954)0.0232P X P X μσ>=>+=⨯-=，所以“优质群”约有10000.02323⨯=个；11(266596)(2)0.6830.9540.818522P X P X μσμσ≤<=-<<+=⨯+⨯=，所以“一级群”约有10000.8185818.5819⨯=≈个； ……………………9分 所以需要资金为 231000819200186800⨯+⨯=，故至少需要准备186800元． ……………………12分 19．【解析】（1）222sin 2sin 2sin C B A =-∴在△ABC 中，由正弦定理得22222c b a =- ………………2分2222cos b a c ac B =+- 2222222224cos c a b a c ac B ∴+==+- 4cos c a B ∴=………………4分 （2）∴在△ABC 中，由正弦定理得：sin 4sin cos C A B = (显然角B 为锐角) 在△ABC 中，()sin sin C A B =+ sin cos cos sin 4sin cos A B A B A B ∴+= cos sin 3sin cos A B A B ∴=角B 为锐角 ∴角A 也为锐角 tan 3tan B A ∴= ……………………8分AD BD =B BAD A CAD ∴∠=∠=∠+∠CAD B A ∴∠=- ……………………9分()tan tan tan tan 1tan tan B ACAD B A B A-∴∠=-=+由（1）可知tan 3tan B A =，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22tan tan 13tan 2133tan tan A CAD A A A∴∠=+=≤=+ ……………………11分 当且仅当13tan tan A A=，即πtan 36A A ==时取等号． 此时DAC ∠的最大值为π6． ……………………12分 20．【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ABC A B C -是三棱柱，11111111121233B ACC A ABC A B C ABCD A B C D V V V ---===， ………………………………2分设点B 到平面11ACC A 的距离为d ，则1111116233B ACC A ACC A V S d d -=⋅=⨯=，所以1d =，即点B 到平面11ACC A 的距离为1． ………………………………4分（2）在ABCD 中，2,60AB AD BAD ==∠=︒，所以ABCD 是菱形，连接BD 交AC 于O ，则1BO =， 由（1）知点B 到平面11ACC A 的距离为1，所以BO ⊥平面11ACC A ． ………6分 设点1A 在直线AC 上射影为点H，11116ACC A SAC A H H =⋅==，则1A H =1BO A H ⊥，AH === 所以O 和H 重合，即1A O AO ⊥． ………………………8分以O 为坐标原点，1,,OA OB OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)B A D A -，根据11(AA DD ==-，(AB DC ==-，则1(D-1(3,2,BD =--，设平面11CC D D 的一法向量为(,,)n x y z =，则13030DD n DC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,1)n =， ………………10分 设直线1BD 与平面11CC D D 所成角为α，则111sin |cos ,||||||||BD n BD n BD n α⋅-=<>===， 所以直线1BD 与平面11CC D D 所成角正弦值为5． ………………12分 21．【解析】（1）22222,32,1b a b c a c a b c a=+=+=∴=== ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， ………………2分 不妨取33(1,),(1,),(2,0)22P Q A --，则32AP PF ==； 因为△APQ 中，AP AQ =，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分APQ ∠，交x 轴于T ，则T 为△APQDCB A的内心，且AT AP TF PQ ==AT =，则T ； …………4分 （2）椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称∴若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设(,0)D t ………………6分 设直线l 方程为()y k x t =-，1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程与椭圆方程联立22()143y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22222(43)84(3)0k x k tx k t +-+-=，则22248(3)0k k t ∆=+->，212284+3k tx x k +=，221224(3)43k t x x k -=+① ………………8分点R 的横坐标为1，M R N D 、、、均在直线l 上，MR ND MD RN ⋅=⋅∴221212(1)(1)()(1)()(1)k x t x k t x x +--=+-- ………………10分12122(1)()20t t x x x x ∴-+++= ∴2222284(3)2(1)+204343k t k t t t k k --+⨯=++，整理得4t =，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在 ∴存在定点(4,0)D 满足题意． ………………12分 22．【解析】（1）1a =-时，设()()2sin ln(1)2g x f x x x x x =+=--++，则1'()cos 21g x x x=--++， 011x x >∴+> 1(1,0)1x ∴-∈-+cos [1,1]x ∈- 1cos 201x x ∴--+>+，即'()0g x >在(0,)+∞上恒成立 ()g x ∴在(0,)+∞上单调增 又(0)0g = ()(0)0g x g ∴>=，即：0x ∀>，()20f x x +>；………………4分 （2）1a =时，当4k =时，(2)sin 2ln30f =-<，所以4k <． ………………5分 下证3k =符合．3k =时，当3[0,]2x ∈时，sin 0x >，所以当1a ≥时，()sin ln(1)sin ln(1)f x a x x x x =-+≥-+．记()sin ln(1)h x x x =-+，则只需证()sin ln(1)0h x x x =-+≥对3[0,]2x ∈恒成立．1'()cos 1h x x x =-+，令1()cos 1x x x φ=-+，则21'()sin (1)x x x φ=-++在π(0,)2递减， 又2π1'(0)10,'()102(1)2φφπ=>=-+<+，所以存在1(0,)2x π∈，使得'1()0x φ=， 则11(0,),'()0,()x x x x φφ∈>在1(0,)x 递增，11π(,),'()0,()2x x x x φφ∈<在1π(,)2x 递减；又1(0)0,()0212πφφπ==-<+，所以存在21π(,)2x x ∈使得2()0x φ=，且22π(0,),()0,(,),()02x x x x x x φφ∈>∈<， 所以()h x 在2(0,)x 递增，在2π(,)2x 递减，又ππ(0)0,()1ln(1)022h h ==-+>，所以()0h x ≥对π[0,]2x ∈恒成立因为3π[0,][0,]22⊆，所以3k =符合．综上，整数k 的最大值为3． ………………12分。

2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。

扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学2014．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．不等式01xx <-的解集为 ▲ .2．直线l：30x +=的倾斜角为 ▲ .3．在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若75CAB ∠=，60CBA ∠=，则,A C 两点之间的距离是 ▲ 千米（结果保留根号）.4．圆1O 22:40x y x +-=和圆2O 22:20x y y +-=的位置关系是 ▲ .5．等比数列{}n a 的公比为正数，已知23954a a a ⋅=，22a =，则1a = ▲ .6．已知圆22:240O x y x my +-+-=上两点,M N 关于直线20x y +=对称，则圆O 的半径为 ▲ .7．已知实数,x y 满足条件20510000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ .8．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，则β= ▲ .9．若数列{}n a 满足：112a =，112n n n a a n++=（*n N ∈），则{}n a 的通项公式为n a =▲ .10．已知函数()2f x =2cos ()12x π++2sin cos 3x x -，(0,)3x π∈，则函数()f x 的值域为▲ .11．已知函数()2xf x =，()()8f a f b ⋅=，若0a >且0b >，则14a b+的最小值为 ▲ .12．等比数列{}n a 的公比12q =，前5项的和为3164．令12log n n b a =，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，若n T c <对*n N ∈恒成立，则实数c 的最小值为 ▲ .13．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为,,a b c ．若2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是▲ .14．实数,,a b c 成等差数列，过点(3,2)P -作直线0ax by c ++=的垂线，垂足为M ．又已知点(2,3)N ，则线段MN 长的取值范围是 ▲ .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ． （1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos b A c A a C =+． （1）求角A 的大小；（2）若b c +=，ABC ∆的面积S =，求a 的长． 17．（本题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n S n n =+．等比数列{}n b 满足：143,81b b ==． （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）若312123nn na a a a Tb b b b =++++，求n T ．18．（本题满分15分）如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．QPDCBA19．（本题满分16分）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）（1）公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项，525S =． ①求数列{}n a 的通项公式；②令(0)n Sn b t t =>，若对一切*n N ∈，都有2122n n n b b b ++>，求t 的取值范围； （2）是否存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，若存在，请写出数列{}n c 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2014．61．(0,1) 2．6π34．相交 5．1 6．3 7．11 8． 3π 9． 2n n 10．(2,1]-- 11．312．1213． 14．15．解：（1）12AB k =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2- …………3分又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= …7分（2）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k = …10分 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=- ……………12分∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57=∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． …………14分注：设直线斜截式求解也可.16．解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，即2sin cos sin()B A A C =+；∵()B A C π=-+ ∴sin sin()B A C =+ 且不为0 ∴1cos 2A = ∵(0,)A π∈ ∴3A π= ……………7分（2）∵1sin 2S bc A === ∴13bc = (9)分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， ……………11分又∵b c +=，0a >∴2221a a =-，解得：1a = (14)分17．解：（1）由已知得：13a =， ………………2分2n ≥且*n N ∈时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+经检验1a 亦满足21n a n =+ ∴21(*)n a n n N =+∈ ………………5分∴1[2(1)1](21)2n n a a n n +-=++-+=为常数∴{}n a 为等差数列，且通项公式为21(*)n a n n N =+∈ ………………7分（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则34127b q b ==， ∴3q =，则1333n n n b -=⨯=，*n N ∈ ∴213n n n a n b += ……………9分23357213333n n n T +∴=++++ ①234113572121333333n nn n n T +-+=+++++ ② ①-②得：2123411111(1)2111121214243312()12133333333313n n n n n n n n n T -+++-+++=++++-=+⨯-=--…13分22,*3n nn T n N +∴=-∈………………15分18．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=- ∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ (8)分（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-． ……………15分19．解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为：1x =，为圆O 的切线； …………1分当切线l 的斜率存在时，设直线方程为：4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=， ∴圆心O1=，解得：158k =∴直线方程为：158x y -+．综上，切线的方程为：1x =或158170x y -+= ……………4分 （2）点(1,4)M 到直线280x y --=的距离为：d == 又∵圆被直线28y x =-截得的弦长为8∴6r == ……………7分∴圆M的方程为：22(1)(4)36x y -+-= ……………8分（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQ PRλ= ∵点P 在圆M 上 ∴22(1)(4)36x y -+-=，则222819x y x y +=++ ……………10分 ∵PQ为圆O的切线∴OQ PQ ⊥∴222211PQ PO x y =-=+-，222()()PR x a y b =-+-22221[()()]x y x a y b λ∴+-=-+-即2228191(281922)x y x y ax by a b λ++-=++--++整理得：22(222)(882)(1819)0a x b y a b λλλλλλλ-++-++---=（*）若使（*）对任意,x y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩……………13分∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得：221441819()()0λλλλλλλ-----= 整理得：23652170λλ-+=，解得：12λ=或1718λ= ∴1214a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩∴存在定点R (1,4)--，此时PQ PR为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR为定值6． ………………16分20．解：（1）①设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵525S =∴ 15535()5252a a S a +=== ∴35a = ∵{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项 ∴2213(1)(1)(3)a a a +=++即2333(1)(21)(3)a d a d a -+=-++，∴2(6)8(62)d d -=-解得：2d =或6d =-∵0d > ∴2d = ∴52(3)21n a n n =+-=-， *n N ∈ ………4分②∵11a = ∴2n S n = ∴2n n b t = ∴222(1)2(2)[]2n n n t t t ++>⋅，整理得：212t < ∵0t >∴02t << ………7分（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，则 ∴1212n n n n c cc c +++>⨯ ∴112n n n n c c c c +->⨯，……，32122c cc c >⨯，将1n -个不等式叠乘得：11122n n n c c c c -+>⨯ ∴121112n n n c cc c +-<⨯（2,*n n N ≥∈） ………10分 若211c c <，则211112n cc -⨯< ∴当*n N ∈时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令1c M =，所以22111211()()()()(1)10M M M M M M M c c c c c c c c c c M M ++++-=-+-+-++-+≤-++=-<与2*M c N +∈矛盾． ………13分 若211c c ≥，取N 为221log 2c c +的整数部分，则当n N ≥时，211112n c c -⨯<∴当n N ≥时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令N c M =，所以111121()()()()(1)10N M N M N M N M N M N M N M N N Nc c c c c c c c c c M M +++++++-+-+-+=-+-+-++-+≤-++=-<与1*N M c N ++∈矛盾．∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立． ………16分。

扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2014．61．(0,1) 2．6π34．相交 5．1 6．3 7．11 8． 3π 9． 2n n 10．(2,1]-- 11．312．12 1314．15．解：（1）12AB k =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2- …………3分 又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= …7分 （2）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k = …10分 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=- ……………12分∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57=∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． …………14分 注：设直线斜截式求解也可.16．解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，即2sin cos sin()B A A C =+；∵()B A C π=-+ ∴sin sin()B A C =+ 且不为0 ∴1cos 2A =∵(0,)A π∈ ∴3A π= ……………7分 （2）∵1sin 2412S bc A bc === ∴13bc = ……………9分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， ……………11分又∵b c +=，0a >∴2221a a =-，解得：1a = ………………14分17．解：（1）由已知得：13a =， ………………2分2n ≥且*n N ∈时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+经检验1a 亦满足21n a n =+ ∴21(*)n a n n N =+∈ ………………5分∴1[2(1)1](21)2n n a a n n +-=++-+=为常数∴{}n a 为等差数列，且通项公式为21(*)n a n n N =+∈ ………………7分 （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则34127b q b ==， ∴3q =，则1333n n n b -=⨯=，*n N ∈ ∴213n n n a n b += ……………9分 23357213333n n n T +∴=++++ ①234113572121333333n nn n n T +-+=+++++ ② ①-②得：2123411111(1)2111121214243312()12133333333313n n n n n n n n n T -+++-+++=++++-=+⨯-=--…13分22,*3n n n T n N +∴=-∈………………15分18．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=，11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯=在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=-∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ ………………8分（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-． ……………15分19．解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为：1x =，为圆O 的切线； …………1分 当切线l 的斜率存在时，设直线方程为：4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=， ∴圆心O1=，解得：158k =∴直线方程为：158x y -+．综上，切线的方程为：1x =或158170x y -+= ……………4分（2）点(1,4)M 到直线280x y --=的距离为：d == 又∵圆被直线28y x =-截得的弦长为8∴6r == ……………7分∴圆M 的方程为：22(1)(4)36x y -+-= ……………8分（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQ PRλ= ∵点P 在圆M 上 ∴22(1)(4)36x y -+-=，则222819x y x y +=++ ……………10分∵PQ 为圆O 的切线∴OQ PQ ⊥∴222211PQ PO x y =-=+-，222()()PR x a y b =-+-22221[()()]x y x a y b λ∴+-=-+-即2228191(281922)x y x y ax by a b λ++-=++--++整理得：22(222)(882)(1819)0a x b y ab λλλλλλλ-++-++---=（*）若使（*）对任意,x y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩……………13分 ∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得：221441819()()0λλλλλλλ-----= 整理得：23652170λλ-+=，解得：12λ=或1718λ= ∴1214a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩∴存在定点R (1,4)--，此时PQ PR或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR………………16分20．解：（1）①设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵525S =∴ 15535()5252a a S a +=== ∴35a = ∵{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项∴2213(1)(1)(3)a a a +=++即2333(1)(21)(3)a d a d a -+=-++，∴2(6)8(62)d d -=- 解得：2d =或6d =-∵0d > ∴2d = ∴52(3)21n a n n =+-=-， *n N ∈ ………4分 ②∵11a = ∴2n S n = ∴2n n b t = ∴222(1)2(2)[]2n n n t t t ++>⋅，整理得：212t < ∵0t >∴02t <<………7分 （2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，则 ∴1212n n n n c cc c +++>⨯ ∴112n n n n c c c c +->⨯，……，32122c cc c >⨯，将1n -个不等式叠乘得：11122n n n c c c c -+>⨯ ∴121112n n n c cc c +-<⨯（2,*n n N ≥∈） ………10分 若211c c <，则211112n cc -⨯< ∴当*n N ∈时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令1c M =，所以22111211()()()()(1)10M M M M M M M c c c c c c c c c c M M ++++-=-+-+-++-+≤-++=-<与2*M c N +∈矛盾． ………13分 若211c c ≥，取N 为221log 2c c +的整数部分，则当n N ≥时，211112n c c -⨯<∴当n N ≥时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令N c M =，所以111121()()()()(1)10N M N M N M N M N M N M N M N N Nc c c c c c c c c c M M +++++++-+-+-+=-+-+-++-+≤-++=-<与1*N M c N ++∈矛盾．∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立． ………16分。

扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题高一 数 学 参 考 答 案一、填空题： 1． {}0,1,3 2．12-3．1 4. 3π 5. {|31}x x x ≥-≠且 6.21 7．()2,+∞ 8．4 9．2133a b →→+ 10． 23- 11． (3,0),()k k Z ππ-∈ 12． (-3,1)(1,2)(2,+)∞ 13．12m ≥-或1m =- 14． 2813. 解:由题方程22|1|0x mx x +--=在区间(0,2)上有且只有1解，即方程2|1|x m x x -=-在区间(0,2)上有且只有1解，从而函数2|1|,(0,2)x y x x x-=-∈图象与直线y m =有且只有一个公共点。

作出函数212,(0,1)|1|1,11,(1,2)x x x x y x x x x x⎧-∈⎪⎪-=-=-=⎨⎪⎪-∈⎩的图象， 结合图象知12m ≥-或1m =- 14.解：令()3x f x t -=，则()3x f x t =+，()4f t =,又()3tf t t =+，故34tt +=，显然1t = 为方程34t t +=一个解，又易知函数3x y x =+是R 上的增函数，所以方程34t t +=只有一个解1，故()31x f x =+，从而(3)28f =二、解答题：（解法不唯一，请关注学生答卷，合理给分）15．解：(I)由2280x x --+=，解得{}4,2A =- ……………………………2分1a =时，(],1B =-∞ …………………………………… …………… ……4分{}4A B ∴=-I ……………………………………………………………7分(2)A B ⊆Q410210a a --≤⎧∴⎨-≤⎩ ……………………………………………………………10分1142a ∴-≤≤……………………………………………………… ……14分 16．解：（1）由题：2216,9a b ==，043cos606a b =⨯=…………………………3分22(2)(2)232216362932a b a b a a b b ∴+-=+-=⨯+⨯-⨯=……………………7分（2）由题：2222|2|(2)4441646949a b a b a a b b -=-=-+=⨯-⨯+=…………11分|2|7a b ∴-= …………………………………………………………………………14分17．解：（1）由题2sin cos a b θθ⋅=+r r ,若52a b ⋅=r r ，则52sin cos =2θθ+，1sin cos =2θθ∴ ……2分所以2(sin cos )=1+2sin cos 2θθθθ+=．又因为θ为锐角，所以sin cos θθ+7分 （2）因为//a b ，所以tan 2θ=， ……10分所以222222sin 2cos tan 222311sin tan tan 42θθθθθθ++==+=+=， ……15分18．解：（1）①选择函数模型()sin ,(0,0,)y A x B A ωϕωπϕπ=++>>-<<拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，……………………………………………1分 由题：1,6,4A B T ===，2||T πω=，2πω∴=，sin()62y x πϕ∴=++，………3分由题图象：sin()62y x πϕ=++图象过点(1,6)，02x πϕ∴+=一解为1x =，2πϕ∴=-，sin()66cos 222y x x πππ∴=-+=-… ………………………………………………5分②选择函数模型()2log y x a b =++拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系…………………………………………………6分由题：()2log y x a b =++图象过点(1,3)，(2,4)，()()223log 14log 2a ba b =++⎧⎪⎨=++⎪⎩， ………8分解得：03a b =⎧⎨=⎩，2log 3y x ∴=+， … …………………………………10分（2）由（1）：当5x =时，56cos6cos 622y x ππ=-=-=，222log 3log 53log 83336y x =+=+<+=+= 当6x =时，6cos6cos36172y x ππ=-=-=+=，22log 63log 833367y =+<+=+=<当7x =时，76cos6cos622y x ππ=-=-=，222log 3log 73log 83336y x =+=+<+=+= 当8x =时，6cos6cos 46152y x ππ=-=-=-=，22log 3log 833365y x =+=+=+=>当9x =时，96cos6cos622y x ππ=-=-=，222log 3log 93log 83336y x =+=+>+=+= 当10x =时，6cos6cos572y x ππ=-=-=，222log 3log 103log 163437y x =+=+<+=+=当11x =时，116cos6cos622y x ππ=-=-=，222log 3log 113log 83336y x =+=+>+=+= 当12x =时，6cos6cos 652y x ππ=-=-=，222log 3log 123log 833365y x =+=+>+=+=>这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损。

2019—2020学年度第一学期检测试题高一化学 2020．01可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5Fe-56 Cu-64 Zn-65 Ag-108选择题（共40分）选择题（本题包括20小题，每题2分，共40分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1．化学与社会可持续发展密切相关。

下列做法应该提倡的是 A ．多开私家车出行B ．使用高残留农药提高粮食产量C ．尽量使用一次性塑料购物袋D ．加入石灰石对煤炭脱硫2．用化学用语表示 Cl 2 + H 2S = 2HCl + S 中的相关微粒，其中正确的是 A ．中子数为1的氢原子：1 1HB ．Cl －的结构示意图：C ．H 2S 中S 元素的化合价：-1D ．HCl 在水中电离方程式：HCl = H + + Cl －3．重铬酸钾（K 2Cr 2O 7）是一种重要的着色剂、强氧化剂。

它属于A ．酸B ．碱C ．盐D ．氧化物4．下列属于化学变化的是 A ．水蒸发B ．硫燃烧C ．氯气液化D ．矿石粉碎5．下列物质中属于电解质的是 A ．氯化钠溶液B ．金属铜C ．硫酸钠D ．乙醇6．有关硅酸盐产品说法错误．．的是 A ．硅酸钠的水溶液是建筑行业使用的黏合剂 B ．水泥生产的设备是水泥回转窑 C ．普通玻璃的成分是石英、碳酸钠和石灰石 D ．陶瓷生产的原料是黏土7．下列液体中能产生“丁达尔效应”的是 A ．稀硫酸 B ．氢氧化铁胶体 C ．水 D ．四氯化碳注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，包含选择题［第1题～第20题，共40分］、非选择题［第21题～第26题，共60分］两部分。

本次考试时间为90分钟，满分100分。

考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号、考生号、座位号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置。

江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为，所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以故答案为.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.【答案】【解析】【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.两平行直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】化为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】化为，由平行线的距离公式可得，两平行直线与之间的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为，因为过点，所以，解得，所以，所求直线方程为，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________. 【答案】【解析】【分析】由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的高与底面半径都是2，所以其侧面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________.【答案】【解析】【分析】由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，所以，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数,所以,故答案为,【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的面积等于时，________. 【答案】【解析】【分析】由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为的面积等于，所以，由余弦定理可得，故答案为.【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题为________（填所有真命题的序号）.【答案】①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．综上，以上真命题为①③．故答案为：①③点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.11.点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.12.如图，在边长为2的正方体中，为楼的中点，则二面角的正切值是________.【答案】【解析】【分析】作与连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】作与，可得，连接，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，就是二面角的平面角，，故答案为.【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.【详解】将平面与平面展开到一个平面（），如图连接交于，则此时最小，由，可得是的中点，因为是正三棱柱，所以平面平面，所以到的距离就是到平面的距离，即到平面的距离为，所以，故答案为,【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.14.已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】分析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.【详解】原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有的解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结，，因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，由平行四边形性质得点也是中点，因为点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，点是的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.已知在中，内角，，.所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值；（2）若，，求值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得的值，再由正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，可得，即有，在中，由余弦定理得，将代入上式，得，因为，所以.（2）由，，得，所以，所以由正弦定理得.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.【答案】（1）；值域为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，由可得，利用正弦函数的图象与性质可得结果；（2）求得，利用，解不等式可得结果.【详解】（1），所以，当时，，，所以的值域为.（2），当时，，要使函数有且只有一个零点，则，解得.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．18.如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.（1）在图中作出并指明平面和平面交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，直线即为所求交线；（2）由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面.则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】（1）如图1，延长与交于点，连接，直线即为所求交线.（2）因为四边形是正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如图2，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角，在中，，，，所以，，从而，，在中，，所以.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，然后解不等式，进而可得结果.【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知直线，，，记，，.（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为.（3）【解析】【分析】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得点到距离，则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，则解得故所求点的坐标为.（2）法一：由，得，故为直角三角形，且为斜边，中线长为，由，得与的交点，由，得与的交点，故中线长，即当时，中线长有最小值为.法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.（3）由，得与交点，由两点间距离公式得，点到距离，三角形面积，当时，；当时；当时.所以，，.【点睛】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。