第十一章 偏最小二乘法

什么是偏最小二乘偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。

近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。

而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。

这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。

这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。

但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。

偏最小二乘回归可以解决这个问题。

它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X 和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。

现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了。

偏最小二乘法的起源与发展H Wold作为PLS的创始人，在70年代的经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。

HW．old的儿子S Wold和C Albano等人在1983年提出了偏最小二乘回归的概念，用来解决计量化学中变量存在多重共线性，解释变量个数大于样本量的问题，如在光谱数据分析中。

偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。

近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。

由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。

本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。

该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。

如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。

在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。

替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。

在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。

§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。

一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。

偏最小二乘法（PLS）简介偏最小二乘法（PLS）简介简介偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。

近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。

而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。

这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。

这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。

但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。

偏最小二乘回归可以解决这个问题。

它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。

现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。

例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。

偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法partial least square method是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。

近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。

而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。

这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。

这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。

但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。

偏最小二乘回归可以解决这个问题。

它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。

现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。

例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。

偏最小二乘法( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法, 已被广泛应用于近红外、红外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立, 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法〔1, 2〕。

近年来, 随着PLS方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展, PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。

由于PLS方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分, 克服主成分分析( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点, 可有效降维, 并消除光谱间可能存在的复共线关系, 因此取得令人非常满意的定性分析结果〔3 ～5〕。

本文主要介绍PLS方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。

该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。

如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS。

在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。

替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。

在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。

§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。

一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。

在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。

第十一章 最小二乘问题一、内容提要§11.1最小二乘问题1． 定义 给定矩阵nm RA ×∈，向量m b R ∈，求nR x ∈0，使得0||||min ||||nx Rb Ax b Ax ∈−=−, 称上述问题为线性最小二乘问题，简称为最小二乘问题；称解0x 为最小二乘解。

最小二乘问题也可以看作是线性方程组,m n Ax b A R ×=∈的最小二乘问题，相应地最小二乘解0x 称为线性方程组的最小二乘解。

2． 数学性质定理1 最小二乘问题的解恒存在；且解唯一的充分必要条件是 n A rank =)(。

定理2 最小二乘解满足方程组T T A Ax A b =，反之，若x 是上述方程组的解，则其是最小二乘解。

称上述方程为最小二乘问题的正规方程组（或法方程组或Euler 方程）。

3． QR 分解定理3 设矩阵nm R A ×∈列满秩，即n A rank =)(。

则存在列标准正交矩阵nm RQ ×∈及非奇上三角矩阵nn RR ×∈，使得QR A =，且在约定R 的对角元素0>ii r 情形下，上述分解唯一, 称之为矩阵A 的QR 分解。

所谓列标准正交矩阵 ()n q q Q L 1=，指的是列向量组标准正交，也即E Q Q T =。

利用QR 分解，可计算出最小二乘解：1） 作矩阵A 的QR 分解，QR A =； 2） 求解上三角方程组，TRx Q b =。

4． 相关概念设1(,,)m nn A a a R×=∈L ，定义矩阵A 的值域为，},|{)(n R x Ax y y A R ∈==1(,,)n L a a =L ；矩阵A 的零空间定义为. },0|{)(nR x Ax x A N ∈==，定理 4 )()(TA N A R =⊥， )()(A N A R T=⊥。

§11.2 奇异值分解1． 定义与结论 设矩阵nm RA ×∈，则A A T的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L ，称n i i i ,,1,L ==λσ为矩阵A 的奇异值；并称1,r σσ为A 的最大奇异值和最小奇异值。

偏最小二乘法教案一、引言偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种常用的统计分析方法，广泛应用于科学研究和数据分析领域。

本教案旨在介绍偏最小二乘法的基本原理、应用场景以及实际操作过程。

二、偏最小二乘法概述1. 基本原理偏最小二乘法是一种多元统计分析方法，主要用于分析自变量与因变量之间的关系。

它通过对自变量与因变量进行正交变换，得到新的综合变量，使得新变量之间的协方差最大，同时与因变量的相关性也最大。

2. 应用场景偏最小二乘法可以应用于许多领域，如生物医学、化学工程、金融等。

例如，在生物医学领域，可以利用偏最小二乘法对肿瘤等疾病的相关因素进行分析和预测。

三、偏最小二乘法的步骤1. 数据准备首先，需要收集相关的数据，包括自变量和因变量。

确保数据质量，并进行必要的数据预处理。

2. 模型建立在偏最小二乘法中，需要建立自变量与因变量之间的模型。

通过选择合适的模型算法和参数，得到最佳的模型表达。

3. 变量选择与降维在建立模型时，可能会面临自变量过多的问题。

为了简化模型和提高模型的稳定性，可以进行变量选择和降维操作。

4. 模型评估与优化完成模型建立后，需要对模型进行评估与优化。

可以采用交叉验证、拟合度等指标进行评估，并根据评估结果进行相应的调整和优化。

5. 结果解释与应用最后，需要对模型结果进行解释和应用。

可以通过系数分析、相关性分析等方法，理解自变量与因变量之间的关系，并对实际问题进行预测和决策。

四、实例演示1. 数据收集以某企业的销售数据为例，收集相关的自变量（如广告投入、促销活动等）和因变量（如销售额）。

2. 数据预处理对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、数据转换等操作，确保数据的可靠性和一致性。

3. 模型建立选择适当的偏最小二乘法模型算法，建立自变量与因变量之间的关系模型。

4. 变量选择与降维如果自变量较多，可以采用变量选择和降维的方法，减少模型复杂度和提高模型的预测能力。

偏最小二乘算法偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLS 回归）是一种常用的统计分析方法，用于处理多变量数据集中的回归问题。

它是在被解释变量与解释变量之间存在复杂关系的情况下，通过降维和建立线性模型来解决回归问题的一种有效手段。

下面将详细介绍偏最小二乘算法的原理和应用。

一、原理介绍偏最小二乘算法的核心思想是通过寻找解释变量与被解释变量之间最大的协方差方向，将原始变量空间转换为新的综合变量空间，从而实现降维的目的。

具体步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行中心化和标准化处理，以消除量纲和变量之间的差异。

2. 求解权重矩阵：根据解释变量和被解释变量的协方差矩阵，通过迭代的方式求解权重矩阵，使得新的综合变量能够最大程度地反映原始变量之间的关系。

3. 计算综合变量：将原始变量与权重矩阵相乘，得到新的综合变量。

4. 建立回归模型：将新的综合变量作为自变量，被解释变量作为因变量，通过最小二乘法建立回归模型。

5. 预测与评估：利用建立的回归模型对新的解释变量进行预测，并通过评估指标（如均方根误差、决定系数等）评估模型的拟合效果。

二、应用案例偏最小二乘算法在多个领域都有广泛的应用，下面以药物研究为例，介绍其应用案例。

假设我们需要研究一个药物的活性与其分子结构之间的关系。

我们可以收集一系列药物分子的结构信息作为解释变量，收集相应的生物活性数据作为被解释变量。

然后利用偏最小二乘算法，建立药物活性与分子结构之间的回归模型。

通过偏最小二乘算法，我们可以找到最相关的分子结构特征，并将其转化为新的综合变量。

然后，利用建立的模型，我们可以预测新的药物的活性，从而指导药物设计和优化。

三、优缺点分析偏最小二乘算法具有以下优点：1. 能够处理多变量之间的高度相关性，避免了多重共线性问题。

2. 通过降维，提高了模型的解释能力和预测精度。

3. 对于样本量较小的情况，仍能有效建立回归模型。

偏最小二乘算法以偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种在统计学和数据分析领域中常用的多元回归方法。

它主要用于处理具有多个自变量和一个因变量的数据，通过寻找最佳的线性组合来建立模型，从而解决数据分析和预测问题。

本文将介绍PLSR算法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。

1. PLSR算法的原理PLSR算法基于最小二乘法，通过将自变量和因变量进行线性组合，找到一组最佳的投影方向，使得投影后的变量之间的协方差最大，并且与因变量之间的相关性最大。

这样，就可以通过建立线性模型来预测因变量的值。

PLSR算法在处理高维数据和多重共线性问题时具有很好的效果。

2. PLSR算法的应用PLSR算法可以应用于多个领域，如化学、生物医学、食品科学等。

在化学领域，PLSR算法常用于分析和预测化学物质的性质，例如预测某种化学物质的溶解度、反应速率等。

在生物医学领域，PLSR算法可以用于分析遗传数据，如基因表达谱和蛋白质组学数据，以及预测药物的活性和副作用。

在食品科学中，PLSR算法可以用于分析食品的成分和品质，以及预测产品的口感和营养价值。

3. PLSR算法的优势相比于其他回归方法，PLSR算法具有以下几个优势：（1）PLSR算法可以处理高维数据和多重共线性问题，避免了过拟合和模型不稳定性的问题。

（2）PLSR算法可以同时考虑自变量和因变量之间的关系，可以更准确地建立预测模型。

（3）PLSR算法可以通过选择最佳的投影方向来降低数据的维度，减少自变量的数量，提高模型的可解释性和预测能力。

（4）PLSR算法可以处理非线性关系，通过引入非线性变换或核技巧，可以拟合更复杂的数据模式。

4. PLSR算法的应用案例以药物研发为例，研究人员常常需要建立药物活性和物理化学性质之间的关系模型。

通过收集一系列药物分子的物理化学性质数据和生物活性数据，可以使用PLSR算法建立预测模型，从而预测新药物的活性。

偏最小二乘法 1.1 基本原理偏最小二乘法（PLS ）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。

但它相对于主成分回归（PCR ）更进了一步，两者的区别在于PLS 法将浓度矩阵Y 和相应的量测响应矩阵X 同时进行主成分分解：X=TP+E Y=UQ+F式中T 和U 分别为X 和Y 的得分矩阵，而P 和Q 分别为X 和Y 的载荷矩阵，E 和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X 和Y 时所引进的误差。

偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。

为了实现这一点，数学中是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子。

同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。

分解得到的T 和U 矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。

偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T 和特征浓度矩阵U 进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B ：B=(T T T -1)T TU因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y 和矩阵X 的主成分分解以及对关联矩阵B 的计算。

1.2主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。

他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。

同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。

新变量是一组正交的，即互不相关的变量。

这种新变量又称为主成分。

如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。

下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。

假设有n 个样本包含p 个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：A n×m =C n×pB p×m如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。

换句话说，光谱A 表示在由p 个波长构成的p 维变量空间的一组点（n 个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。

多重共线性问题的偏最小二乘估计1. 引言1.1 背景介绍多重共线性问题是回归分析中常见的一个问题，指的是自变量之间存在高度相关性或线性关系，导致回归系数估计不准确甚至不可靠的情况。

在实际应用中，多重共线性问题可能会导致回归系数估计出现偏差，增加了模型的不确定性，降低了模型的预测能力。

传统的最小二乘估计方法在存在多重共线性问题时表现不佳，容易导致过拟合或欠拟合的情况。

为了解决多重共线性问题，偏最小二乘估计方法被提出并得到广泛应用。

偏最小二乘估计方法通过降低自变量之间的相关性，提高回归系数的稳定性和准确性，从而改善模型的性能。

偏最小二乘估计方法在多元回归分析、主成分回归、岭回归等领域都有重要的应用价值。

本文旨在探讨多重共线性问题对回归分析的影响，分析传统最小二乘估计方法存在的问题，介绍偏最小二乘估计方法的原理和应用，并探讨偏最小二乘估计方法相对于传统方法的优势和未来研究展望。

通过本文的阐述，读者将更加深入地了解多重共线性问题以及对应的解决方法，为实际应用中的数据分析提供参考依据。

1.2 研究意义多重共线性问题的偏最小二乘估计方法在回归分析领域具有重要的研究意义。

多重共线性是指自变量之间存在高度相关性或线性关系，导致回归模型失真或不准确的问题。

在实际数据分析中，多重共线性现象时常存在，特别是在变量较多或样本量较小的情况下。

解决多重共线性问题可以提高回归模型的精确度和解释力，对实际问题的预测和分析具有重要意义。

偏最小二乘估计方法正是针对多重共线性问题而提出的一种有效技术。

与传统的最小二乘法相比，偏最小二乘法能够有效地降低自变量之间的相关性，减少共线性带来的影响，提高模型的稳定性和准确性。

研究偏最小二乘估计方法不仅可以帮助我们更好地理解多重共线性问题的本质，还可以为实际数据分析提供更有效的工具和方法。

研究偏最小二乘估计方法对于解决多重共线性问题具有重要意义，可以提高回归模型的质量和可靠性，为相关领域的研究和应用带来更多的启发和帮助。