九年级数学锐角三角函数11

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。

中考数学频考点突破--锐角三角函数1．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B 处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=21米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由.2．如图，AD是△ABC的中线，tanB= 13，cosC= √22，AC= √2．求：（1）BC的长；（2）sin△ADC的值．3．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）4．如图，AB是△O的直径，PA切△O于点A，PO交△O于点C，连接BC，△P=△B．（1）求△P的度数；（2）连接PB，若△O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．5．如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC= 30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（答案可用根号表示）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？6．化简：（1）√9 ﹣（ 12 ）0+2sin30°（2）x+1x−1﹣ xx+1 ．7．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD ），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度为i=1： √3 ，AB=10米，AE=15米．（i=1： √3 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平而AE 的高度BH ； （2）求宣传牌CD 的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： √2 ≈1.414， √3 ≈1.732）8．如图， AB 为 ⊙O 直径，D 为 ⊙O 上一点， BC ⊥CD 于点C ，交 ⊙O 于点E ， CD 与 BA 的延长线交于点F ， BD 平分 ∠ABC .（1）求证： CD 是 ⊙O 的切线；（2）若 AB =10，CE =1 ，求 CD 和 DF 的长.9．如图，已知△O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作△O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E.（1）求证：△DAC=△DCE；（2）若AB=2，sin△D= 13，求AE的长.10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使△CAD=30 °，△CBD=60 °．（1）求AB的长(精确到0.1米，参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41)；（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．11．如图，PA，PB是△O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin△APC= 513．（1）求△O的半径；（2）求弦AB的长．12．根据题意解答（1）计算：|﹣√2|+（π﹣3）0+（12）﹣1﹣2cos45°（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，求方程的另一个根．13．如图，四边形ABCD内接于△O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作△O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F.（1）求证：AF△EF；（2）若cos△DAB＝34，BE＝1，则线段AD的长是.14．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=8，sin A= 3 5（1）求AB的长;（2）若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE△△ABC时，求CE的长.15．如图海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东58°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P 在北偏东26°方向上．（1）求灯塔P到点B的距离；（2）如果海轮不改变航线由B继续向东航行，通过计算估计海轮有没有触礁的危险？16．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD△AE于点D，座杆CE=15cm，且△EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）答案解析部分1．【答案】（1）解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，Rt△ABH中，i=tan∠BAH=√3，∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5米∴点B距水平地面AE的距离为5米.（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5√3，∵BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，△AED＝90°，∴四边形BHEG是矩形，∴BG＝HE即BG=AH+AE=5√3+21，在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5√3+21.在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21，∴DE=AEtan53°=43AE=43×21=28.∴CD=CG+GE−DE=26+5√3−28≈6.7m<7m.答：广告牌CD高符合要求.【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）过B作BG△DE于G，BH△AE于H，根据坡度可得△BAH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质就可得到BH；（2）由（1）得BH=5，AH=5√3，易得四边形BHEG是矩形，则BG＝HE，求出BG，进而得到CG，在Rt△ADE中，应用三角函数的概念可得DE，进而可求得CD. 2．【答案】（1）解：过点A作AE△BC于点E，∵cosC= √22，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB= 13，即AEBE=13，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴CD= 12BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE△BC，DE=AE，∴△ADC=45°，∴sin△ADC= √22．【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）过点A作AE△BC于点E，根据cosC= √22，求出△C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= 13，求出BE的长即可；（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．3．【答案】（1）解：延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE△海岸线l于点E，过点A作AF△l于F，如图所示．∵△BEC=△AFC=90°，△EBC=60°，△CAF=30°，∴△ECB=30°，△ACF=60°，∴△BCA=90°，∵BC=12，AB=36× 4060=24，∴AB=2BC，∴△BAC=30°，△ABC=60°，∵△ABC=△BDC+△BCD=60°，∴△BDC=△BCD=30°，∴BD=BC=12，∴时间t= 1236=13小时=20分钟，∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线（2）∵BD=BC，BE△CD，在Rt△BEC中，∵BC=12，△BCE=30°，∴BE=6，EC=6 √3≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE△海岸线l于点E，过点A作AF△l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明△BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出△BAC=30°，属于中考常考题型．4．【答案】（1）解：∵PA切△O于点A，∴PA△AB，∴△P+△POA=90°．∵△POA=△B+△OCB，∴△P+△B+△OCB=90°，∵OB=OC，∴△B=△OCB．又∵△P=△B，∴△P=△B=△OCB．∴△P=30°；（2）解：∵在Rt△PAO中，△APO=30°，OA=a，∴PA= √3AO=√3a，∴△PBC面积是12PA×AB= 12× √3a×（a+a）= √3a2【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出△PAB=90°，求出△P=△B=△OCB，即可得出答案；（2）解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可．5．【答案】（1）解：如图，延长OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，在 RtΔBEF 中，∵EF =AC =30m ， ∠FEB =30∘ ， ∴BE =2BF设 BF =x ，则 BE =2x ，根据勾股定理知， BE 2=BF 2+EF 2 , ∴(2x)2=x 2+302 ，∴x =±10√3 ，（负值舍去）， x =10√3 因此， EC =30−10√3(m)（2）解：当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时， ΔABC 为等腰三角形， 因此，当太阳光与水平线夹角为 45∘ 时，甲楼的影子刚才不落在乙楼的墙上【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）如图所示作出辅助线，在 RtΔBEF 中运用勾股定理列出方程解答即可；（2）当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时，可得 ΔABC 为等腰三角形，从而得出太阳光与水平线夹角．6．【答案】（1）解：原式=3﹣1+2× 12=3﹣1+1 =3（2）解：原式= (x+1)2(x+1)(x−1) ﹣ x(x−1)(x+1)(x−1) = x 2+2x+1−x 2+x (x+1)(x−1)= 3x+1(x+1)(x−1)【知识点】实数的运算；分式的加减法；0指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值 【解析】【分析】（1）由二次根式的化简、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值，即可将原式化简，继而求得答案；（2）首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．7．【答案】（1）解：在Rt△ABH 中， ∵tan△BAH= BH AH =i= 1√3 = √33． ∴△BAH=30°，∴BH=AB ．sin△BAH=10．sin30°=10× 12=5．答：点B 距水平面AE 的高度BH 是5米；（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos△BAH=10．cos30°=5 √3，在Rt△ADE中，tan△DAE= DE AE，即tan60°= DE15，∴DE=15 √3，如图，过点B作BF△CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5 √3+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 √3﹣5，在Rt△BCF中，△C=90°﹣△CBF=90°﹣45°=45°，∴△C=△CBF=45°，∴CF=BF=5 √3+15，∴CD=CF﹣DF=5 √3+15﹣（15 √3﹣5）=20﹣10 √3≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）在Rt△ABH中，由tan△BAH= BHAH=i=1√3= √33．得到△BAH=30°，于是得到结果BH=AB．sin△BAH=10．sin30°=10× 12=5；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos△BAH=10．cos30°=5 √3，在Rt△ADE中，tan△DAE=DEAE，即tan60°= DE15，得到DE=15 √3，如图，过点B作BF△CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5 √3+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 √3﹣5，在Rt△BCF 中，△C=90°﹣△CBF=90°﹣45°=45°，求得△C=△CBF=45°，得出CF=BF=5 √3+15，即可求得结果．8．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BC，∵BC⊥CD，∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，∵AB=10，∴OD=OE=12AB=5，∴∠ODE=∠OED，∵OD//BC，∴∠ODE=∠CED，∴∠OED=∠CED，∵DG⊥OE，BC⊥CD，∴CD=GD（角平分线的性质），在Rt△DEG和Rt△DEC中，{GD=CDDE=DE，∴Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，∴GE=CE=1，∴OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中，GD=√OD2−OG2=√52−42=3，∴CD=GD=3，由圆周角定理得：∠FOE=2∠ABC，即∠FOD+∠DOE=2∠ABC，∵OD//BC，∴∠FOD=∠ABC，∴∠FOD+∠DOE=2∠FOD，解得∠FOD=∠DOE，在Rt△ODG中，tan∠DOE=GDOG=34，∴tan∠FOD=tan∠DOE=34，在Rt△DOF中，DF=OD⋅tan∠FOD=5×34=154.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠ODB=∠CBD，可证OD//BC，利用平行线的性质可得OD⊥CD，根据切线的判定定理即证；（2）连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，先求出OD=OE=12AB=5，证明Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，可得GE=CE=1，从而求出OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中利用勾股定理求出GD=3，由角平分线的性质可得CD=GD=3，由圆周角定理及平行线的性质可求出∠FOD=∠DOE，从而可得tan∠FOD=tan∠DOE=GD OG=34，利用DF=OD⋅tan∠FOD求出结论即可.9．【答案】（1）解：∵AD是圆O的切线，∴△DAB=90°. ∵AB是圆O的直径，∴△ACB=90°.∵△DAC+△CAB=90°，△CAB+△ABC=90°，∴△DAC=△B.∵OC=OB，∴△B=△OCB.又∵△DCE=△OCB，∴△DAC=△DCE.（2）解：∵AB=2，∴AO=1.∵sin△D= 13，∴OD=3，DC=2.在Rt△DAO中，由勾股定理得AD= √OD2−OA2= 2√2.∵△DAC=△DCE，△D=△D，∴△DEC△△DCA，∴DCAD=DEDC，即2√2=ED2.解得：DE= √2，∴AE=AD﹣DE= √2.【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由切线的性质可知△DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知△ACB=90°，根据同角的余角相等可知△DAC=△B，然后由等腰三角形的性质可知△B=△OCB，由对顶角的性质可知△DCE=△OCB，故此可知△DAC=△DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD= 2√2，由△DAC=△DCE，△D=△D 可知△DEC△△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE= √2，于是可求得AE= √2.10．【答案】（1）解：由题意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30°=√33=21√3，在Rt△BDC中，BD=CDtan60°=√3=7√3，∴AB=AD－BD= 21√3−7√3=14√3≈14×1.73=24.22≈24.2（米）．（2）解：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）分别再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函数，即可求出AD 与BD的长，从而求出AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆车的速度，比较与40千米每小时的大小即可确定是否超速。

教学内容：锐角三角函数【重点难点提示】重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5％．【经典范例引路】例1 （1）计算：︒︒+︒cos75sin15sin22+cot30°-tan45°-cos30°;（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=25,b=2，求cosA.解：（1）原式=︒︒-︒+︒cos)1590(sin15sin22+ cot30°-t an45°-cos30°;=︒︒︒cos15cos15sin22+3-1-23=1+3-1-23=23（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝25，b＝2，∴c＝222)5(2+=26∴cosA=cb=622=66【解题技巧点拨】（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．例2 已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°证明：∵α、β为锐角∴90°-β也为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°【解题技巧点拨】本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．【综合能力训练】一、填空题1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝．（2001江西中考题）2．求值：21sin60°·22cos45°＝ .（2001广州市中考题）3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA＋sinB= ；△ABC为对称图形（填“轴”或“中心”）（2001北京中考题）4.α为锐角时，2)1(cos-α＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，2)1(sin-A＋|cosB+1|＝．6.已知：cot(90°-x)=2，则xxxxcossincossin-+= 。

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）tan 45︒的值等于（ ）A ．2B ．1C D 2. （陕西省2022年（A 卷））如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin ABBCα=B ．sin BCABα=C ．sin ABACα=D ．sin ACABα=4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）A B ．C ．13D ．35. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos ∠APC 的值为（ ）A B ．C ．25D 6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（ ）A ．13B ．12C D 7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ，连接PO 并延长与O 交于点C 、D ，若12CD =，8PA =，则sin ADB ∠的值为（ ）A ．45 B ．35C ．34D ．438. （云南省2022年）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（ ）A ．713B ．1213C ．712D ．13129. （湖南省湘潭市2022年）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 10. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共12小题） 11. （广东省2022年）sin30°的值为 ．12. （山东省滨州市2022年）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A = . 13. （江苏省扬州市2022年）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为 ．14. （湖南省益阳市2022年）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．15. （江苏省常州市2022年）如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠= ．16. （四川省凉山州2022年）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为 ．17. （黑龙江省绥化市2022年）定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=，则sin15︒的值为 ． 18. （江苏省连云港市2022年）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A = ．19. （山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2021-2022学年）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠= ．20. （广西河池市2022年）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝ ．21. （四川省凉山州2022年）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是 ．22. （湖南省湘西州2022年中考数学试卷）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A b 2＝a 2＋c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2＋b 2﹣2ab cos C现已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝60°，则BC ＝_____． 三、解答题（本大题共9小题）23. （湖南省湘西州20222tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．24. （2022年西藏中考数学真题试卷）计算：01|()tan 452+︒．25. （湖南省岳阳市2022年）计算：2022032tan 45(1))π--︒+--．26. （湖南省株洲市2022年）计算：()202212sin 30-︒．27. （2022年四川省乐山市中考数学真题）1sin 302-︒28. （湖南省常德市2022年中考数学试题）计算：213sin 30452-︒︒⎛⎫- ⎪⎝⎭29. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．30. （黑龙江省哈尔滨市2022年）先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭的值，其中2cos451x =︒+．31. （黑龙江省哈尔滨市2021年）先化简，再求代数式2323111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭的值，其中2sin 451a =︒-．参考答案1. 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∴∠B =90°-45°=45°，∴△ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∴根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∵∠A =45°， ∴tan 451︒=， 故选 B ． 2. 【答案】D 【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 【详解】解：∵26BD CD ==， ∴3CD =，∵直角ADC 中，tan 2C ∠=， ∴tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，∴直角ABD △中，由勾股定理可得，AB === 故选D ． 3. 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形， ∵∠ABC =α， ∴sin ACABα=， 故选：D ． 4. 【答案】C 【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°， 又∵OP AB ∥，则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形， ∴OA =OB ，设OC =x ，则OB =2OC =2x ， 则OB =OA =3x ， ∴tan 133OC x OAP OA x ∠===． 5. 【答案】B 【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∥AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos ∠APC ＝cos ∠EDC 即可得答案． 【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∥AB ， ∴∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC 5DE ==， ∴22252025EC DC DE +=+==， ∴DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∴cos ∠APC ＝cos ∠EDC＝DC DE =故选：B ． 6. 【答案】C 【分析】证明四边形ADBC 为菱形，求得∠ABC =30°，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：连接AD ，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD 、△BCE 、△BCD 、△ACD 都是等边三角形， ∴AD = BD = BC = AC ，∴四边形ADBC 为菱形，且∠DBC =60°， ∴∠ABD =∠ABC =30°， ∴tan ∠ABC = tan30°= 故选：C ． 7. 【答案】A 【分析】连结OA ，根据切线长的性质得出PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ，再证△APD ≌△BPD （SAS ），然后证明∠AOP =∠ADP +∠OAD =∠ADP +∠BDP =∠ADB ， 利用勾股定理求出OP=10=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】 解：连结OA∵PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ， ∴PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ， ∴∠APD =∠BPD ， 在△APD 和△BPD 中， AP BPAPD BPD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP10=，∴sin∠ADB=84105 APOP==．故选A．8. 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出12CE CD=，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CE CD OEC==∠=︒，OC=12AB=13，∴12 cos13CEOCEOC∠==．故选：B．9. 【答案】A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tanα的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．10. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽ ∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC ， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B11. 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 故答案为：1212. 【答案】1213 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AC =5，BC =12，∴AB=13，∴sin A =1213BC AB =．故答案为：1213．13. 【详解】 解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出a c =或a c =∴在Rt ABC 中：in s a c A ==，故答案为： 14. 【答案】45 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．15. 【分析】 过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD =【详解】解：过点D 作BC 的垂线交于E ，90DEB ∴∠=︒90A ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，//,1DE AB AD BE ∴==，ABD BDE ∴∠=∠， BD 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，//AD BE ，ADB CBD ∴∠=∠，∴∠CDB =∠CBD3CD CB ∴==，1AD BE ==，2CE =∴，DE ∴BD ∴sinBE BDE BD ∴∠==，sin ABD ∴∠=故答案为：16. 【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=， 解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解， 则4tan tan 3OC A AC α===， 故答案为：43．17. 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos45sin30︒︒︒︒-=12==故答案为： 18. 【答案】45 【分析】如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∴5AC =， ∴4sin =5CE A AC =， 故答案为：45．19. 【答案】725【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE 5=，BC=AD=8，证得Rt △EGF ~Rt △EAG ，求得253EA =，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解． 【详解】矩形ABCD 中，GC=4，CE =3，∠C=90︒，∴5==，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90︒，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180︒，∴∠AGE=90︒，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EG EFEA EG=，即535EA=，∴253 EA=，∴73 =，∴773sin DAE25253DEAE∠===，故答案为：725．20. 【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出OA OB=△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22AF AD BE BC==，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴12AF BE AD==，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD=2AB，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG ≌△BEH （SAS ），∴∠BAG =∠EBH ，∴∠BAG +∠ABO =∠EBH +∠ABO =∠ABG =90°， ∴∠AOB =90°，∵BG ＝EH ＝25BE ＝2， ∴BE =5，∴AF =5，∴AG =∵∠OAB =∠BAG ，∠AOB =∠ABG ， ∴△AOB ∽△ABG ， ∴OA OB AB AB BG AG ==，即52OA OB ==∴OA OB ==， ∵OM ⊥ON ，∴∠MON =90°=∠AOB ，∴∠BOM =∠AON ，∵∠BAG +∠FAG =90°，∠ABO +∠EBH =90°，∠BAG =∠EBH ， ∴∠OBM =∠OAN ，∴△OBM ～△OAN ， ∴OB BM OA AN=， ∵点N 是AF 的中点， ∴1522AN AF ==，∴52BM =，解得：BM =1， ∴AM =AB -BM =4， ∴552tan 48AN AMN AM ∠===． 故答案为：5821. 【分析】 取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ⊥AB ，则OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∴OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∴OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==， ∵OA =OB ，∴∠BOD =12∠AOB ，∵∠ACB =12∠AOB ，∴∠ACB =∠DOB ，∴cos ∠ACB = cos ∠DOB =故答案为：22. 【分析】从阅读可得：BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB AC cos A ，将数值代入求得结果．【详解】解：由题意可得，BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB •AC •cos A＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC故答案为：【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．23. 【答案】6【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，再合并即可．【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．24. 【答案】2【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．【详解】解：01|()tan 452+︒11-2=【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键． 25. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．【详解】解：2022032tan 45(1))π--︒+--32111=-⨯+-3211=-+-1=．26. 【答案】3【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．【详解】解：()2022112sin 3013213132-︒=+-⨯=+-=． 27. 【答案】3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】 解：原式113322=+-=． 28. 【答案】1【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝1142-⨯+1=．29. 【答案】AC =4，sin A =35 【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴4AC ．3sin 5BC A AB ==．30. 【答案】11x -，2【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x ，继而代入计算可得．【详解】 解：原式22131(1)(1)2x x x x x ⎡⎤---=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2(1)(3)1(1)2x x x x ----=⋅- 221(1)2x x -=⋅-11x =-∵2112x =⨯+=∴原式==31. 【答案】11a +，【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值，即可求解．【详解】解：原式=223(1)23111a a a a a a ++-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=33231(1)(1)a a a a a a +---⋅+- =1(1)(1)a a a a a -⋅+- =11a +，当2sin 451a =︒-=21=1时，原时。

用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。

解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（ ）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，， ，则 sin B 的值为（ ）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，， ，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝ ，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由； （3）AQ ＝ ，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ； （2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15． 如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1） 求a 、b 的值；（2） 若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ； （2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标； （2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由； （3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1） （2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2） （3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数； （2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值； （3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。