概率论经典实例
概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。
1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。
稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌
人相遇的概率就越大。美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定的海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口，结果，奇迹出现了。盟军舰队被击沉的概率由原来的25 %降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。
为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法。先在水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库中。经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼。例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，根据上述数据，估计水库内鱼的尾数为2000*500/40=25000尾。这种方法让几乎不可能测得的鱼的总数得到了较为精确结果。
假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2,3….9十个数字中的任意一个，假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率为0.0001。这也使得盗银行卡的人无法简单从银行取钱，若密码的数字越多，其一次就取到钱的概率越低，这几乎是不可能事件事件。
生产生活更是离不开概率，在令人心动的彩票摇奖中概率也同样指导着我们的实践，以前段时间比较流行的6+1中国体育福利彩票为例来计算一下，买一注彩票，你只需在0到9 的10个数字中任意选取7个，可以重复。在每一期开奖时有一个专门的摇奖机按顺序随机摇出7个标有数字的小球。如果你买的号码与开奖的号码一致，那你就中了特等奖，其奖金最高是500万元。可是，当我们计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况时我们会吓一跳，1000000种！这就是说，假如你只买了一注彩票，7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一，一千万分之一是一个什么样的概念呢？如果每星期你坚持花20元买10注彩票，那你在每19230年中有赢得一次大奖的机会，即使每星期坚持花2000元买1000 注，也大致需要每192年才有一次中大奖的机会，这几乎是单靠人力所不能完成的。获大奖仅是我们期盼的偶然中的偶然事件，即数学上归为小概率事件之列(不可能发生的事件)。举个例子，假如你买1注彩票，号码为0000000，大家也许会笑你是个是个傻瓜，0000000中大奖，可能吗？其实号码0000000和其他任何可能中大奖的概率是一样的，都是一千万分之一。当你意识到0000000号码不能中奖时，也应该明白其他号码中奖的可能性其实也一样不可能。经常听到有人用大量钱财用来买彩票，自认为买的数量和次数越多就越有机会赢得大奖，结果都两手空空而归，家破人亡，懂得这方面知识的人就不会做出极端的行为了
熟知概率知识的人都在日常生活中自觉不自觉地用过这几个量来做决策。例如我们出门乘车，大家常选择的交通工具是汽车、火车和飞机，其费用依次升高，但事故率则依次减小。做出决定时价格是决定因素，但对有些消费者，还有一个重要因素要考虑的是安全问题，其中汽车事故频发，火车比较安全，而飞机不易发生事故，这用数学语言来描述，即发生事故的均值，汽车最大，火车次之，飞机最小。事故率是降低了，可比较出现事故后的事故强度则递增了，这用数学语言来描述即发生的事故的方差增大，飞机出现事故的概率较小,但一旦发生事故其损失惨重。
生活中的降水现在也可以用概率来解决。比如，甲乙两城市都位于长江下游。根据一百多年的气象记录，知道一年中，雨天的比例甲城市占0.2，乙城市占0.18，两地同时下雨占0.12。求：（1）已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率。（2）已
