19.2.1正比例函数(第二课时)

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质教案【教学目标】知识与技能目标1.能够画出正比例函数的图象.2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象．过程与方法目标在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质．情感、态度与价值观目标学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想．【教学重点】正比例函数图象的画法和性质的理解.【教学难点】利用正比例函数图象与性质灵活解题.【教学准备】教师准备教学中出示的例题；学生准备坐标纸、学习用具.【教学过程设计】一、情境导入导入一:当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?[设计意图]以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.导入二:1.在下列函数中,哪些是正比例函数?并指出正比例系数分别是多少?①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4,⑤y=,⑥y=-x ,⑦y=-2x.2.画函数图象需要经历哪些步骤?3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?[设计意图]通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.二、新知构建1.画正比例函数的图象[过渡语]你能用描点法画正比例函数的图象吗?思路一画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.(1)y=2x;(2)y=-2x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y-6 -4 -2 0 2 4 6描点,连线,画出图象,如图所示:(2)列表:y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6描点,连线,画出图象,如图所示.练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x;(2)y=-x.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.思路二1.正比例函数的图象问题画出下列正比例函数的图象:①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.[设计意图]通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.2.正比例函数的性质思路一提问:观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.两个函数图象的共同点:都是经过原点的直线.不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x 增大y反而减小.学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:比较两个函数图象可以看出:两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx.(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.(2)性质:当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.提问:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.思路二问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y= 2x的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y 随x的增大而;③函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;④函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;⑤函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.师生共同归纳总结:正比例函数y=kx(k≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).思考:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.[知识拓展](1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.3.例题讲解例1(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是.〔解析〕(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,∴2k-3<0,∴k<.故k的取值范围是k<.[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.例2(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.(1)求k的值;(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;(3)若A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.〔解析〕(1) 把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解;(2)把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质进行求解.解:(1)∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)由k=-2可得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.(3)y=-2x,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,∴y3<y1<y2.[设计意图]通过设计正比例函数的简单应用,让学生根据正比例函数的解析式和性质进行求解,及时复习正比例函数的性质.例3(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x, y=x;(2)y=-1.5x, y=-4x.〔解析〕根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.解:(1)列表,得:x0 1y=2x0 2y=x0描点,连线,即为函数y=2x, y=x的图象(如下图).(2)列表,得:x0 1y=-1.5x0 -1.5y=-4x0 -4描点,连线,即为函数y=-1.5x, y=-4x的图象(如下图).[设计意图]通过设计正比例函数图象的简单画图,让学生知道利用两点确定一条直线来作图,体验数形结合思想的应用.三、教学小结师生一起总结正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小..【板书设计】19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质1.画正比例函数的图象2.正比例函数的性质3.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是()A.xy=-2B.y+8x=0C.3x=4yD.y=-x解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1解析:∵函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减小,∴1-k<0,解得k>1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为.解析：因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=3600×2×0.05x=360x.故填y=360x.4.直线y=x经过(0,),(,2),且过第象限,y随x的增大而.解析:由y=x可知当y=2时,x=3,故直线y=x经过(0,0),(3,2).由k=>0可知直线y=x 过第一、三象限,y随x的增大而增大.答案:03一、三增大5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,那么k=. 解析:∵函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,∴∴k=-5.故填-5.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式;(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?解:(1)y=5×x=0.75x.(2)列表,得:x0 1y=0.75x0 0.75描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如下图).(3)当x=220时,y=0.75×220=165(元).【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质学案【学习目标】1．理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的性质．3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．【学习重点】正比例函数的图象和性质．【学习难点】利用正比例函数的图象和性质解答有关问题．【自主学习】一、知识链接1.已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= .2.画函数图象的步骤有：、、.二、新知预习1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，13y x=；（2）y=-1.5x，y=-4x.2.函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是__________________________；函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是____________________________.3.自主归纳：(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的；（2）k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；（3）k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而；k<0时，函数值y随自变量x 的增大而.三、自学自测1.函数y=－3x的图象是经过点（0，__）和（1，___）的一条______，图象经过第___、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______.2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）．四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的图象问题1：正比例函数的图象什么？画正比例函数的图象只需要确定几个点？【典例探究】例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）-3y x=；（2）3.2 y x =方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可. 例2已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.知识点2：正比例函数的性质问题2：在函数y=x，y=3x，12y x=-和-4y x=中，随着x的增大，y的值分别如何变化?要点归纳：在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而________;当k<0时，y的值随着x值的增大而________.例3已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大三、归纳总结正比例函数y=kx(k≠0)图象正比例函数的图象是一条过原点的直线.k>0 k<0图象是自左向右上升的，经过第一、三象限图象是自左向右下降的，经过第二、四象限|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【学习检测】1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）2.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限A(解析:∵正比例函数y=2x中,k=2>0,∴正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限.)3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2 C．k＞2D．k≥24.已知正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,则k的值是()A.±3B.±2C.2D.-2D(解析:由正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,可得故k=-2.)5.正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.-2C.4D.-4B(解析:∵正比例函数y =mx 的图象经过点A (m ,4),∴m 2=4,∴m =±2.又∵y 的值随x 值的增大而减小,∴m <0,∴m =-2.故选B .)6.函数y=-7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点_______，y 随x 的增大而_______.7.已知正比例函数y =kx (k ≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y 随x 的增大而 .(填增大或减小)减小(解析:∵点(2,-3)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上,∴2k =-3,解得k =-,∴正比例函数解析式是y =-x ,∵k =-<0,∴y 随x 的增大而减小.)8.点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)是正比例函数y =x 的图象上两点,且x 1<x 2,则y 1 y 2.(填“>”“=”或“<”号)<(解析:由k =>0可知y 随x 的增大而增大,故当x 1<x 2时,y 1<y 2.故填<.) 9.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m_______，函数图象经过第一、三象限； （2）当m_______，y 随x 的增大而减小； （3）当m_______，函数图象经过点（2，10）.10.如图分别是函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=，x k y 4=的图象. （1）k 1 k 2，k 3 k 4(填“>”或“<”或“=”)； （2）用不等号将k 1， k2， k 3， k 4及0依次连接起来．11.已知函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,求正比例函数的解析式,并画出函数图象.解:∵函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,∴|a |-3=0,∴a =±3,当a =3时,y=6x+6(舍);当a=-3时,y=-6x.∴正比例函数的解析式为y=-6x.列表,得:x0 -1y0 6描点,连线即可得到函数y=-6x的图象,如图所示.12.已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象;(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx,∵当x=-2时y=-4,∴-2k=-4,∴k=2,∴y与x的函数关系式为y=2x.(2)列表,得:x0 1y=2x0 2描点,连线得到函数y=2x的图象,如图所示.(3)∵点(a,-2)在这个函数图象上,∴2a=-2,∴a=-1.(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,那么y的取值范围为0≤y≤10.13.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.解:存在.理由如下:因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2,设点P的坐标为(n,m),因为△OAP的面积为4,所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,所以m=±4,当m=4时,把x=n, y=m=4代入y=2x,得4=2n,所以n=2,此时点P的坐标为(2,4),当m=-4时,把x=n, y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).。

19.2.1正比例函数（第2课时）导学案【学习目标】1、能够画出正比例函数的图象2、能够利用正比例函数解决简单的数学问题【重点】正比例函数的图象与性质【课前准备】1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？①______________,②___________________③____________________2、细读课本87—89页，完成课本87页练习第2题【学习流程】正比例函数图像的画法与性质1、用描点法画出下列函数的图像（1）、 y=2x （2）、 y=-2x （3）、 y=0.5x （4）、 y=-0.5x （1）解：（1）列表得：（2）描点：（3）连线：（2）解：（1）列表得：（2）描点：（3）连线：（3）解：（1）列表得：（2）描点：（3）连线：（4）解：（1）列表得：（2）描点：（3）连线：2、活动二：观察上题画函数，完成下列问题（1）正比例函数是一条，它一定经过。

（2）因为过点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（，）和（，）（3）当k > 0时，直线经过象限，y随x的增大而当k〈0时，直线经过象限，y随x的减小而知识升华既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像（1）、 y=-3x （2） y=32x解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：当x=_____时，y=_____,取点_______和_________,（2）描点、连线得：随堂练习1、汽车以40千米/时的速度行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为___________________.y是x的_______函数。

2、圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的函数关系式是________________.y是x的_______函数。

3、函数y=kx(k≠0)的图像过P（-3，7），则k=____，图像过_____象限。

19.2.1正比例函数（第二课时）教学目标1.了解正比例函数图象是一条直线，理解正比例系数与图象之间的关系，掌握由两点法画正比例函数图象的方法，能运用正比例函数的性质解决有关问题.2.经历画正比例函数图象的过程，体会由“数”到“形”的数学思想，通过归纳正比例函数的性质，体会由“形”到“数”的数学思想.3.从数和形的角度理解正比例函数，体会“数形结合”解决问题的思想方法.4.培养学生严谨的思考态度，仔细观察、抽象的能力和合作交流的意识，多角度认识性质的思考方法.教学重难点重 点 通过画出正比例函数图象的过程，从“数”和“形”的角度理解正比例函数性质. 难 点 在正比例函数图象生成中，理解为什么正比例函数图象是一条直线.教学准备：多媒体课件，多张带网格的直角坐标系纸（保证学生画出图象的一致性）.我的思考从正比例函数解析式画出函数图象，再从正比例函数图象归纳出正比例函数性质，是研究特殊函数的研究途径，对以后研究其它一般函数都有积极的意义，由于是学生初次研究一种特殊函数的图象及其性质，教学中要特别注意处理好以下问题.1.处理好为什么正比例函数图象是一条直线.图象是研究函数性质的基础，尤其是画第一个函数y x =的图象时，教材选只取了(3,3)--、(2,2)--、(1,1)--、(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3)等这样的7个整数点的坐标，通过观察这几个点的坐标位置，判断正比例函数图象是一条直线.但作为初学者是否会产生这样的疑问：这些整数点之间是否是曲线连结的呢？为此，可在点(0,0)与(1,1)一段采用“逐步细化”的方法：（1）在(0,0)与(1,1)之间找出10等分点，画出y x =的图象的一段；（2）在(0,0)与(1,1)之间找出20等分点，画出y x =的图象的一段；依次类推，乃至100等分点，1000等分点……，从而说明点(0,0)与(1,1)一段是直线连结起来的，在这个过程中，由具体一段函数图象的变化研究，让学生体验，随着点数的不断增加，让学生体会正比例函数是如何由曲线变成直线的，进而说明y x =的图象是一条直线，如果没有这样的“逐步细化”的说明，很难说明正比例函数是一条直线.2.处理好“数形结合”思想方法的渗透.“数形结合”思想方法是研究函数的一般方法，提出如下问题供学生思考，一是从数看形：（1）在画函数图象时，使函数图象位置发生变化的量是x 、y 、k 中的哪个量？（2）这个量是如何影响正比例函数值的变化和正比例函数图象的呢？（3）为什么0k >时，图象经过一、三象限？为什么0k <时，经过二、四象限？二是从形看数：当图象是经过一、三象限时，你能获得哪些信息？经过二、四象限呢？这个过程要充分发表意见，最好采取小组交流、合作讨论的形式尽可能得出更多的结论，这样学生对正比例函数的认识才是全面的、深刻的.教学设计活动一：创设情境1.在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少？①y x =；②23y x =；③2y x =；④24y x =-；⑤1y x-=；⑥y x =-；⑦2y x =-. 2.画函数图象需要经历哪些步骤？3.你们能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗？师生行为在学生回答问题1和2时，教师要关注学生学习本课的基础是否扎实，若有问题及时弥补.设计意图通过问题1识别正比例函数的意义及其系数；问题2是画函数图象步骤的复习，都是本课学习的基础，是正比例函数图象及其性质得以继续研究的保证；问题3主要是过渡语，能够过渡到本课即将学习的内容.活动二：画函数图象1.正比例函数y x =的自变量取值范围是什么？你们能取完自变量x 的所有值吗？2.如果不能，你们认为在列出的表格中自变量x 取哪些值合适？3.填表1：x…… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… y …… ……4.请你们在准备的直角坐标系中描出这些点，观察这些点摆放有何规律？5.你们能保证以上两点之间一定是直线连结的吗？以点(0,0)与(1,1)之间为例，说明为什么是直线连结的呢？6.要解决问题5，我们进行如下研究：（1）让学生在(0,0)与(1,1)之间描出10等分点（如下表2），画出y x =的图象的一段； x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y（2）让学生在(0,0)与(1,1)之间结合上表2描出20等分点（如下表3），画出y x =的图象的一段；x0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 y（3）如果我们不断找下去，找100等分点呢？1000等分点呢？可以发现(0,0)与(1,1)之间是靠什么线连结的，那么其他两个整数点之间又靠什么线连结的呢？（4）通过以上探究，你们发现正比例函数y x =的图象是什么？7.请你们通过描出适当的点，在上面的直角坐标系中画出正比例函数2y x =的图象，观察它的图象是什么？8.请你们再次通过描出适当的点，在另一个直角坐标系中画出正比例函数y x =-和2y x =-的图象，观察它的图象是什么？师生行为在解决问题1至问题5学生描点时，教师要提醒学生描点要准确、细致，以便于得到初步的结论——这几个整数点在同一条直线上；通过解决问题6时，特别注意学生通过在(0,0)与(1,1)之间逐步细化描点，体会到正比例函数的图象是直线.问题7和问题8让学生独立画图，自己验证这些结论，同时感受随着正比例系数的变化对函数图象的影响，以利于性质的总结.设计意图1.通过先描出表1中的整数点，用直尺比划，可以得出一个初步感知——正比例函数的图象是直线，再通过(0,0)与(1,1)一段逐步细化的方法，让学生确定结论——正比例函数的图象是一条直线.2.通过问题7和问题8的验证，加深理解“正比例函数是一条直线”这一结论，同时发现随着正比例系数的变化，函数图象的变化特点，以利于全面总结正比例函数的性质. 活动三：总结性质1.正比例函数的图象都是经过____ ___点直线，那么你们画正比例函数有什么简便方法？为什么？你们一般选取哪些点画它的图象呢？2.在画正比例函数的图象时，使函数图象位置发生变化的量是x 、y 、k 中的哪个量？3.这个量是如何影响正比例函数的函数值的变化？又如何影响正比例函数图象的呢？请你们分情况具体说一说？4.为什么0k >时，图象经过一、三象限？而0k <时，图象却经过二、四象限？5.当正比例函数图象是经过一、三象限时，你们能获得哪些信息？经过二、四象限呢？ 师生行为教师要重点关注：（1）回答问题1时，关注画图过程的基本活动经验的积累；（2）回答问题2—4，要看学生是否准确表述正比例系数k 对函数图象有何影响；（3）回答问题5，让学生充分思考和交流，尽可能得出更多的信息（如0k >时，k 越大，直线与x 轴正半轴的夹角就越大等……）.设计意图问题2—4，是从“数”看形，问题5是从“形”看“数’，即从”数形结合”的角度看正比例函数，有利于学生全面掌握和认识正比例函数，为后面的练习打下基础.活动四：初步练习用你们认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）32y x =；（2）3y x =-. 师生行为教师重点观察在画图过程中学生能否用最简单的方法正确画出函数的图象.设计意图用两点法画正比例函数图象是研究函数的基础，体会简便方法对画正比例函数的好处. 活动四：巩固练习1.若正比例函数(3)y k x =-满足下列条件，求出k 的取值范围.（1）y 随x 的增大而增大；（2）图象经过一、三象限；（3）图象如右图所示：2.下列图象中是函数 1.2y x =-的大致图象是（ ）参考答案：1.（1）3k >，（2）3k >，（3）3k <；2.D.师生行为教师要关注学生对语言描述、数学符号和图象信息之间的转化能力，最好请学生解释其中的原因，教师加以点评.设计意图巩固正比例函数的性质，问题1在于强化语言描述、数学符号和图象信息之间的转化能力，问题2在于理解函数图象性质.活动五：课堂小结与作业布置课堂小结：1.从数看：若正比例函数y kx =（常数0k ≠），k 对函数值的变化有何影响呢？对函数图象又有何影响呢？2.从形看：若正比例函数y kx =（常数0k ≠）的图象经过一、三象限，那么你们可以得出什么信息？反之，若经过二、四象限呢？作业布置：教材98P 第1、2题.补充：1.已知y 关于x 的正比例函数(2)y k x =-的图象经过一、三象限，则y 关于x 的函数(3)y k x =-说法不正确的是（ ）A.图象是经过原点的直线B.y 随x 的增大而减小C.图象经过二、四象限D.图象从左到右呈上升趋势2.已知y 关于x 的正比例函数||4(3)k y k x -=+，且y 随x 的增大而减小，那么k =________.3.若1234,,,y k x y k x y k x y k x ====的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）A.1234k k k k <<<B.2143k k k k <<<C.4213k k k k <<<D.4231k k k k <<<参考答案：1.D ；2.5k =-；3.C.师生行为总结本课所学内容时，教师要看学生从数和形两个角度去总结正比例函数的图象及其性质.设计意图总结是为了进一步培养学生的数形结合的意识，补充习题则是更全面理解所学知识，灵活解决问题.专家点评本课是学生真正意义上第一次研究函数图象及其性质，其研究方法与途径对以后学习和研究其他函数图象和性质提供了基础.从本课教学来说，其本质是从数和形的角度研究正比例函数，重点是正比例函数的性质，难点是画出正比例函数的图象，作者在设计本课的一些做法值得广大读者思考.1.为什么正比例函数的图象是直线的思考？正比例函数图象是直线，它是用直线把一些特殊的点连接起来，这是正比例函数的难点，至于为什么只能用直线连接起来，而不是用曲线连接的，教材没有给出合理的解释.而本课的教学中，教师让学生从正比例函数的一段图象入手，经历由较少点连接到用较多点连接的过程，让学生慢慢体会、领悟正比例函数的图象由“曲”变直的过程，这对初学画正比例函数图象的学生来说十分重要，这才是真正意义上对函数图象的学习！这种逐步细化的方法，对画一次函数、双曲线和抛物线等函数图象都提出了理性的思考，对培养学生思维的严密性是十分必要的.2.正比例函数的图象为什么分布在一、三或二、四象限的思考？这个问题调查过一些学生，学生回答的结果如下：①在一、三象限，y 随x 的增大而增大；在二、四象限，y 随x 的增大而减小；②图象在一、三象限0k >；图象在二、四象限0k <；③从图象上看出来的.这些说法都是从图象上去看的，都不是问题的本质，图象是一个结果的展示而已，即在图象生成之后去分析，很少去思考“从解析式的角度研究函数图象的性质”.而本课教学中，教师就解决了这个问题的根本原因——决定x 、y 的符号是k ，比如0k >时，当x 取正数，y 也一定是正数，故图象在第一象限；0x =时，0y =，故直线经过原点；当x 取负数，y 也一定是负数，故图象在第三象限.这样就不难说明“为什么0k >时，图象经过一、三象限，而0k <时，图象却经过二、四象限”的真正原因了.这种对函数图象的研究既从数到形，又从形到数两方面进行研究，有利于全面认识正比例函数的本质.3.一般函数图象与正比例函数图象之间迁移关系的思考？从19.1节中画一般函数图象的途径，到画正比例函数图象是正迁移，这种迁移能让学生理解描点法是画一般函数图象的一般方法，进而理解两点法画正比例函数图象，再通过解析式和图象理解正比例函数的性质，这对后面即将研究一次函数都有很大的帮助.但是涉及到19.1节中一般函数的图象是用平滑的曲线把一些特殊点连接起来的，这样造成了画图的负迁移.造成负迁移并不一定是坏事，只要教师及时加以引导，找到产生错误的原因，反而加深对知识理解和认识，这就是作者花了大量时间讲清为什么正比例函数图象是直线的原因，相信会给学生留下深刻的印象，这又将对一次函数的学习产生正迁移.总之，正比例函数图象是学生第一次真正意义上接触直线形式的函数图象，学生对它的学习会产生很多的疑问，如果能在这些疑问处下足了功夫，对学生今后学习其它函数问题是非常重要的.附：带网格的直角坐标系纸。

19.2.1 正比例函数第2课时教学目标：探究正比例函数图象的特征，会正确画出正比例函数图象；理解正比例函数的性质．学生经历“画图——观察——归纳——说理”的探究过程，培养了学生动手操作能力、促进了学生由感性向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力．教学重点：1、正比例函数图象的特征和画法；2、正比例函数的性质．教学难点：正比例函数图象是直线的分析说明．教学过程：（一）引入：上节课我们学习了形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数，(0)y kx k =≠是函数的解析式，为了更深入、全面地认识正比例函数，我们这节课就来研究它的图象和性质．（二）画正比例函数图象：老师列举了两个具体的正比例函数，请你用描点法画出这两个函数的图象：y x =、2y x =-（学生在学案纸上画出图象），学生展示，师生总结（回顾）用描点法画函数图象的步骤和注意事项．（三）观察归纳：观察y x =、2y x =- 的图象，你能描述它们的图象特征吗？如何说明你的发现？ （正比例函数图象是一条经过原点的直线）（四）说明道理：通过具体的y x =、2y x =-两个例子说明正比例函数图象是一条直线，学生先独立思考，再课堂展示：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上1、y x =——用角平分线的判定定理；“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”说明所描点都在一、三象限的角平分线上（也可用三角形全等证明）．2、2y x =-——证明任意三点共线（可三角形全等证明角相等；可用勾股定理求出三条线段的长度） N Rt △ABM 中，AB =Rt △BON 中，BO =Rt △AOP 中，AO =∵AB +BO =AO∴点A 、B 、O 三点共线552（五）师生感受正比例函数图象得出过程：画——观——归——证．（六）简单方法画正比例函数(0)y kx k =≠图象：确定两点（0,0）、（1，k ）．简单方法画13y x =和 1.5y x =-的图象． （七）观察并归纳：从以上四个正比例函数图象中，你发现了什么规律？学生思考并阐述发现：正比例函数图象和性质(八) 思考： 在正比例函数y kx =中，若k <0，怎样说明随着x 的增大y 反而减小？ 引导学生从“数”、“形”两个角度解释，充分体现“数形结合”的思想．（九）正比例函数图象性质应用点(1,)A a 、点(3,)B b 在直线2y x =-上，试比较a 、b 的大小．方法1：计算a 、b 值；方法2：画图象，数形结合方法3：利用正比例函数增减性比较a 、b 大小（十）课堂小结（十一）作业：1、课本89页练习2、课本98页复习巩固1、2题。

课堂实录第一环节：创设情境，引入新知师：上课。

生：起立。

老师好。

师：同学们好，请坐。

很高兴今天能和大家一起学习，相信我们三班的同学是最棒的，对吗？生：对。

师：同学们前面几节课我们学了变量和函数的知识,今天我们来一起学习函数当中最简单的函数——正比例函数（板书14.2.1正比例函数），在我们学习新的内容之前，我们大家先来看这段录像。

学生看录像。

师：看完这只百余克的小燕鸥跋山涉水的生命路程后，你有什么体会？生1：这只小燕鸥每年都从南极飞向北极，再飞回来，小燕欧有极强的生命力，我们也要像小燕欧已让热爱生命，认真学习。

生2：小燕欧很可爱，我们要热爱自然、爱护环境，保护好小燕欧。

（二）观察探究，形成新知师：就像同学们说的那样，人们为了研究这种生命力如此顽强的燕鸥，在1996年鸟类研究学家做了一个这样的实验,他们在芬兰给一只燕鸥套上标志环,在128天后, 人们在25600千米外的澳大利亚发现了它，假如我们认为燕鸥是沿直线飞行的，你能否用我们学过的数学知识来研究一下这三个问题吗？（出示问题）现在分组讨论。

一会找小组的同学来给大家讲讲。

学生活动。

师：好了，请大家坐好。

同学们基本上都完成了，我发现同学们的基础知识非常好。

哪个小组的同学来给大家讲讲？第一个问题。

小组1：学生答：200km师：为什么？小组1：因为路程除以时间等于速度。

师：有不同意见吗？生：没有。

师：非常好。

第二个问题。

小组2：行程y与飞行时间x之间的函数关系：y=200x。

因为路程等于速度乘以时间。

师：有不同意见吗？生：没有。

师：在这个解析式中谁是自变量?自变量x的函数？生：x是自变量，y是x的函数。

师：在这个实际问题中，你觉得自变量x的取值可以是任意实数吗？为什么？生1：x不能取任意实数，因为x是时间不能取负的，在128天时发现的所以应小于等于128天。

所以0≤x≤128。

师：有不同意见吗？生：没有。

师：同学说非常好。

第三个问题。

小组3：y=2000×45=9000千米。

八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（1）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,正确理解正比例函数的概念；2.会根据已知条件求正比例函数的解析式.【前置学习】一、基础回顾：写出下列每个问题中的两个变量之间的函数关系式：1.京沪高铁列车的平均速度为300km/h ，列车的行程y(km)随时间t(h)的变化而变化；2.圆的周长 随半径的大小变化而变化；l r 3.铁的密度为7.8，铁块的质量（单位：）随它的体积V （单位：）的3/cm g m g 2cm 大小变化而变化；4．每个练习本的厚度为0.5，一些练习本摞在一起的总厚度（单位：）随这cm h cm 些练习本的本数的变化而变化；n 5.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度（单位：℃）随冷冻时间T t （单位：分）的变化而变化.解:1. ；2. ；3. ；4. ；5. .二、自主探究请认真学习课本至页“练习”以前的内容后，思考：86P 87P 1.观察上面五个函数的解析式，他们有什么共同特点？2.这五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？归纳：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做 . 3.下列函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥中，x y -=3x y =x y 8=23+=x y x y 2=2x y =属于正比例函数的是 .三.疑难摘要.【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一：1.正比例函数的一般形式是什么？比例系数k 必须满足什么条件？自变量的指数是几？2.若y =5x是正比例函数，则m = ；若是关于x 的正比例函数，则3m-2(4)y m x =-m.3.已知当m = 时，y 是x 的正比例函数. 82)3(--=m x m y八年级数学（上）导学练案总第 课时学习反思展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题例题 已知y 与x 成正比例，且x =2时，y =-6.（1）求出y 与x 之间的函数解析式；（2）若点在这个函数的图象上，求a 的值.)2,(-a三、巩固新知,当堂训练课本P 87练习 第1、2题.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？【自我检测】 1.一列火车以120km/h 的速度匀速前进，那么它行驶的路程s （km ）随行驶时间t （h ）变化的函数解析式为 ；此函数是 函数.2.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是（ ）(A)圆的面积s 与它的半径r ； (B)面积一定时，长方形的长y 与宽x .(C)路程是常数s 时，行驶的速度v 与时间t.(D)三角形的底边是常数a 时，它的面积s 与这条边上的高h3.若函数是正比例函数，则常数a 的值为（ ）ax a y )1(-=（A ）0 （B ）±1 （C ）1 （D ）-14.已知y 与x 成正比例，且x =3时，y =-6.（1）写出y 与x 之间的函数解析式； （2）当y =-2时，求x 的值；（3）若点P （-6,m +4）在该函数图象上，求m 的值.【应用拓展】5. 已知y -2与x +1成正比例，当x ＝8时，y ＝6，写出y 与x 之间的函数关系式，并分别求出x ＝4和x ＝-3时y 的值.八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（2）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① ② ③ ④ ⑤ x y 2=23x y =x y 4-= 1.5y x =-13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1） （2）x y 2= 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数与y =-4x 的图象各有什么特征？ 13y x =3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的 ；我们称它为直线y=kx .（2）当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 ；k ＜当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 .k ＜四、 疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.八年级数学（上）导学练案 总第 课时学习反思 2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线经过第 象限，y 随x 增大而 ；5y x =直线经过第象限，y 随x 增大而 . x a y )1(2+-=2.若直线经过二、四象限，则k 的取值范围是 . x k y )32(-=3.若直线经过一、三象限，则m = . 32)1(-+=mx m y 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.0.6y x =-2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数,下列说法正确的是( )x y 3-=(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y 4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数()图象上的两点，则y 1ax y -=0<a 与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数的图象经过第二、四象限，则m = .4)92(--=m x m y 6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与 点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。