《正比例函数》(第二课时)优秀教案

《正比例函数》教学设计第2课时本课是在学习函数概念及其表示法的基础上，用函数观点看小学中的正比例关系，通过观察具体问题中函数的解析式，抽象出正比例函数的模型．进一步研究其图象及其性质．1．会画正比例函数的图象；2．能根据正比例函数的图象和表达式y =kx（k≠0）理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性；3．通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观.用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．多媒体：PPT课件、电子白板.一、复习回顾1.什么是正比例函数？请你写出两个具体的正比例函数.2.描点法画函数图象的一般步骤是：__列表、描点、连线__.3.下列函数中，y是x的正比例函数的是__①④__.①y＝－5x；②y＝4x；③y＝3x2＋5；④y＝x2；⑤y＝－23x－1.二、实践探究【探究1】用描点法画出正比例函数y=2x的图象.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程练习：在同一坐标系中用描点法画出正比例函数y=1x的图象.3思考1：这两个函数解析式有何共同点？两个函数图象在形状和位置上，都有何共同点？归纳：一般正比例函数y=kx，当k＞0时，图象是经过原点的一条直线且经过三、一象限.思考2：当k＞0时，图象是左低右高还是左高右低？当自变量的值增大时，对应的函数值是增大还是减小？归纳：当k＞0时，图象从左向右上升，即随着x的增大y也增大.【探究2】当k＜0时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？请同学们画出函数y=-3x和y=-1.5x的图象，小组间进行合作探究.归纳：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.当k>0时，图象经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.正是由于正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条直线，我们可以称它为直线y＝kx.【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：x； (2)y＝－3x.(1)y＝32归纳：画正比例函数的图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数解析式的对应数值即可，如(1，k)，因为两点可以确定一条直线.三、应用新知例1 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象；对它们的图象进行比较，说出你观察到的特征.(1)y ＝12x ；(2)y ＝－12x. 解：比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过坐标原点的直线.函数y ＝12x 的图象从左向右上升，经过第一、三象限，即随着x 的增大y 也增大；函数y ＝－12x 的图象从左向右下降，经过第二、四象限，即随着x 的增大y 反而减小.例2 汽车由天津驶往相距120千米的北京，s(千米)表示汽车离开天津的距离，t(时)表示汽车行驶的时间，s 与t 之间的关系如图19－2－7所示.(1)汽车用几小时可到达北京？速度是多少？(2)汽车行驶1小时，离开天津有多远？(3)当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：(1)从图上可以看出汽车用4个小时可到达北京.速度＝1204＝30(千米/时). (2)汽车行驶1小时离开天津约为30千米.(3)当汽车距北京20千米时，汽车出发了约3.3小时.解法二：用解析式来解答：(1)由图象可知：s 与t 是正比例关系，设s ＝kt ，当t ＝4时，s ＝120，即120＝k×4，k ＝30，∴s ＝30t.(1)汽车4小时可达到北京，速度为30千米/时.(2)当t ＝1时，s ＝30×1＝30(千米).(3)当s ＝100时，100＝30t ，t ＝103(时). 以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优点.例3 观察图象比较大小：(1)k 1__＜__k 2；(2)k 3__＜__k 4；(3)比较k 1，k 2，k 3，k 4的大小，并用不等号连接.[答案：k 1＜k 2＜k 3＜k 4＝四、拓展提升变式训练1．如图19－2－3，三个正比例函数的图象对应的解析式为：①y ＝ax ，②y ＝bx ，③y ＝cx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a2．已知正比例函数y ＝kx (k <0)的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，则下列不等式中恒成立的是( )A ．y 1＋y 2>0B ．y 1＋y 2<0C ．y 1－y 2>0D ．y 1－y 2<03．若正比例函数y ＝(1－4m )x 的图象经过点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)，当x 1<x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜14D ．m ＞14五、课堂小结：一般地，正比例函数y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.当k ＞0时，直线y=kx 经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.。

《正比例函数》教学设计(一)一、教学目标：1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式．3、渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性．４、激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力二、教学重点：对于一次函数与正比例函数概念的理解．三、教学难点：根据具体条件求一次函数与正比例函数的解析式．四、教学方法：结构教学法、以学生“再创造”为主的教学方法五、教学步骤（一）明确目标前几节课我们学习了一些与函数有关的知识点，它们都是一些一般性的问题．从这节课开始，我们将来研究几个特殊函数的解析式和图象．首先，我们来研究一次函数．（板书）（二）整体感知提问：1．什么是函数？2．函数有哪几种表示方法？3．你能否举出几个函数的例子？若学生举的例子正是一次函数，就把它写在黑板上，用于讲解；若学生举的例子不适合，可采用书上给出的例子讲解．提问：（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系）（2）这些函数中的自变量是什么？函数是什么？这个问题主要是使学生明确函数就是等号左边的s和y；而自变量是x 和t之后，明确等号右边其实是一个代数式的形式，以便回答下一个问题．（3）在这些函数式中，含有函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式子？这个问题是给出一次函数的概念的关键问题，若学生没有想到用“一次式”这种方式表示，教师可直接向学生提出“是关于自变量的几次式”这个问题，再由学生回答．（4）结合我们学过的一元一次方程的有关知识，你能否说出x的一次式的一般形式是什么样的？由学生讨论回答，及时纠正可能出现的错误，最后加以总结：x的一次式是kx+b（k≠0）的形式．由上面的问题结果综合得到：（板书）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数．提问：（1）k、b是常数的含义是什么？答：对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的．（2）对于函数y=2x+3和y=-2x-5，你能否指出其中的k和b？这个问题一方面是为了向学生进一步说明k和b是常数的含义，另一方面也是为了培养学生思维的灵活性和深刻性，充分体会一次函数标准形式的表示方法，能正确分清其中的k和b，为以后学习一次函数的图象和性质打下良好的基础．强调学生在回答时，注意k和b的符号．（3）k≠0这个条件能否省略不写？由学生讨论回答，指出若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数，不必向学生交待常函数的意义．（4）上述一次函数的定义中，限制了k≠0，那么b能否为0呢？若b=0，上述式子变形为什么样？这个问题主要是为了引出正比例函数的概念，同时，通过这种引法，也可以使学生体会到正比例函数与一次函数是有关系的．由问题（4）总结，板书：特别地，当 b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数．提问：（1）正比例函数与一次函数有怎样的关系？答：正比例函数是一次函数的特例．（2）小学时，学过正比例的知识吗？是怎样叙述的？请你回忆一下．小学叙述时，是强调两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．写成式子是y=kx（k为常数，k不等于0）提问：小学学过的正比例与我们现在说的正比例函数有什么关系？先由学生观察，然后总结：把小学学过的正比关系的式子加以变形就成为y=kx（k一定），也就是我们现在所学习的正比例函数．由于小学定义时k为商，所以k当然不为0，这个细节可由教师提问后学生回答．但小学学习时，x与y只能取正数，但现在就不同了，x和y可以取任意实数．由这个总结使学生对学过的知识能加以系统的理解．练习一：P．105中1 口答．注意：一定要让学生说清原因．刚才我们学习了一次函数和正比例函数的概念，下面我们来看一下，能否根据实际问题自己列出一次函数和正比例函数的关系式呢？（出示幻灯）例1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．（1）求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；（2）求3.5秒时小球的速度；（3）求经过几秒小球的速度可变化为10米/秒．分析：v与t是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解：例2 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．这道题学生会感到有困难，以提问的方式分析：（1）油箱中的油为什么会减少？（耗油）（2）余油量与什么有关？（原油量与耗油量）（3）耗油量与什么有关，怎样表示？（4）你能否确定这个函数关系式？（5）这道题是实际问题，拖拉机能否一直工作？什么时候拖拉机不能工作了呢？练习二：P．105中2 填在书上，口答，注意单位（万元）．（三）重点、难点的学习与目标完成过程本节课的第一个重点是一次函数与正比例函数的概念，为了便于学生的理解，教师不是上来就给出概念让学生背，而是通过一些函数的解析式让学生归纳总结一次函数概念，然后通过一次函数概念中的一些条件的分析得出正比例函数，使学生很清楚地看到一次函数与正比例函数的关系．关于本节课的第二个重点和难点，教师更是要给学生充分的思考时间，并把问题层层剖析，使学生能理解实际问题的含义，由此自然而然地达到把实际问题抽象成数学模型的目的．（四）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1．这节课我们学习了几个特殊的函数？2．你能分别说出它们的一般形式吗？3．正比例函数与一次函数有怎样的关系？4．确定实际问题的自变量取值范围应注意什么？《正比例函数》教学设计（二）一、教学目标知识与技能：１.理解正比例函数的概念。

《正比例函数》教学设计第2课时一、教学目标1.在理解正比例函数概念的基础上掌握正比例函数的图像特征及性质．掌握数形结合的思想.2.能够利用正比例函数解决实际问题.3.掌握快速作出正比例函数的图像的方法.二、教学重点及难点重点：正比例函数的图像特征及性质．难点：通过观察图象，归纳总结概括出正比例函数的性质，体会数形结合的思想．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源微课、动画五、教学过程（一）问题导入有一块稻田，用一台插秧速度为0.6公顷/小时的插秧机来插秧苗。

（1）求插秧面积s(公顷)与插秧时间t（h）之间的函数关系式。

（2）如果这块稻田为12公顷，求插完这块稻田所需要的时间.（3）若这块稻田插秧共25小时，求这块稻田的面积.解：分析：(1)根据实际意义列出关系式s=0.6t,第（2）题就是知道函数值s求t.第（3）题就是知道自变量t=25，求函数值S解：（1）S=0.6t（2）把s=12代入s=0.6t中，得到t=20h;（3）把t=25代入s=0.6t中，得到s=15公顷（二）探究新知t=20h形如y＝kx(k为常数，k≠0)的形式，它是正比例函数，又由于正比例函数有三种表示形式；解析式法、列表格法、图像法，就能够做出正比例函数的图像.设计意图：通过实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解，通过讨论、归纳、分析使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点，培养学生的归纳比较的能力．（三）例题解析怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象呢？例1. 画出下列正比例函数的图象：（1）y ＝2x ，；（2）y ＝－1.5x ，y ＝－4x ． 1．画函数图象需要经历哪些步骤？（列表、描点、连线）你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗？2．教师在黑板上演示用描点法画出y ＝2x 的图象．教师注意：要操作规范，给学生做好样板；教师在黑板上画时注意和学生交流，同时要求学生在下面画．列表：描点，连线．接着学生独立画出的图象，两位学生在黑板上画．x y 31=x y 31=对于这个问题，教师应关注：组织学生对所画图象进行评价；和学生一起简要复习用描点法画图象的主要步骤：列表、描点、连线．3．对于（2）的两个函数的图象，要求学生独立完成，两位学生在黑板上画．然后小组交流、讨论．对于画出的图象只出现在一个象限的同学，教师要对列表时自变量的取值作适当引导．4．学生讨论、分析、比较上面4个图象的异同之处，找出所发现的规律．总结归纳：图象都是经过原点的直线，函数y ＝2x 和的图象经过第一、三象限，从左向右上升；函数y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象经过第二、四象限，从左向右下降．一般地，正比例函数y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx ．当k ＞0时，直线y ＝kx 经过一、三象限，从左向右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 经过二、四象限，从左向右下降，即y 随x 的增大而减小．5．正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，那么你画正比例函数的图象有什么简便方法吗？为什么？你一般选取哪些点画它的图象呢？因为正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，而且我们又知道，两点确定一条直线，现在，我们可以过原点（0，0）和点（1，k ）画直线，得到正比例函数的图象．设计意图：在多个实例的基础上讨论归纳出正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生进行了观察、分析、比较、概括的思维方法的教育，不断提高学生分析问题和解决问题的能力，同时让学生体会了数形结合思想．例2．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y ＝－3x ；（2）． 列表：x y 31=x y 23=描点，连线．设计意图：巩固理解正比例函数的概念，练习用两点法画正比例函数的图象．（四）课堂练习1.正比例函数y =2x ，m =0.5n ，p =-1.5q 它们的共同性质是（ ）A.图像都经过相同的象限B.图像都经过原点C.y 都随着x 的增大而增大 D .y 都随着x 的增大而减小2.对于正比例函数y =kx ,若y 随着x 的增大而增大，则k （ ）A.k >0 B .k ≥0 C.k <0 D.k ≤0.3．已知正比例函数y =(m -1)x ,若y 的值随x 的增大而增大， 则点（m ，1-m ）所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.函数y ＝－5x 的图象在第 象限内，经过点（0， ） 与点（1， ），y 随x 的增大而 ．5.已知233m y x -=是正比例函数，求m 的值.6.已知△ABC 的底边BC =8cm ,当BC 边上的高从小到大变化时， △ABC 的面积也随之变化.(1)写出△ABC 的面积 y （3cm ） 与高x （m ）之间的函数关系式， 并指出它是什么函数；（2）当x =7时，求出y 的值.答案：1.B 2.A 3.D 4.二、四 0 -5 减小解：由题意可知：2m -3=1解得m =2所以m 的值是2.6. 解：（1）y =842x x =，该函数是正比例函数.cm（2）当x=7时，y=4×7=283【课堂小结】1．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2．正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小．3．用两点法快速做出正比例函数的图像：找出原点（0，0）和（1，k）即可.【板书设计】19.2.1正比例函数（2）1.正比例函数的图像和性质2.快速作出正比例函数的图像。

“正比例函数”（第二课时）教学案例剖析研究课堂，研究教学是当今教学研究的永恒课题。

如何使我们的课堂教学真正有效，近年来各地充分利优质课评选、示范课观摩、研究课探讨、公开课展示等形式进行了大的研究，从表面上看收到了一定的效果。

但对广大的农村中小学常态课堂教学研究很少，对大多数没有参加这些活动的教师的引领、借鉴效果有多大，人们无从得知。

为此，笔者对一节研究课（正比例函数（第二课时）进行案例剖析，提出自已的一些见解，供同行参考。

教学内容：正比例函数的图象和性质（人教版数学八年级上册）。

教学目标：1、经历从正比例函数解析式与坐标平面内的点建立联系的过程，在画具体函数图像的过程中，归纳出画正比例函数图像的一般方法。

2、探究得出正比例函数图像是一条直线，感受从“一般”到“特殊”的思维过程及数学的图形美、简洁美，体验数形结合的思想。

3、通过一些具体函数图像的分析归纳出正比例函数的性质，经历“试验——猜想——证实”的数学发现过程，培养团队合作能力和探索能力。

评析：本节课教学内容是在学生已经了解正比例函数的定义，弄清了正比例函数解析式中各字母的意义，知道了哪个是常数，哪个是变量，哪个是自变量，哪个是函数等知识的基础上。

利用描点法画出、这两个函数的图象，利用图象引导学生探索正比例函数的性质。

从上述教学目标设计看：体现在知识与技能方面的可测性，过程与方法上的有效性，学生学习活动的团队合作探索性。

教学过程：一、复习：师：同学们：我们学习了正比例函数的解析式，谁来告诉老师：1、正比例函数的一般形式是什么？生（齐答）：。

师：强调在中，为自变量，是比例系数且，是的函数。

2、下列函数中哪些是正比例函数？并指出比例系数的值。

⑴⑵⑶⑷生：⑵、⑶是正比例函数，它们的比例系数的值分别是：、2。

师：对⑴、⑷为什么不是正比例函数作了强调性的解析。

并导入本节课题（板书）：正比例函数（第2课时）评析：通过复习，引导学生回忆已学过的正比例函数的有关知识，为本节学习作好铺垫，应当说这是一种较好的教学方法。

《正比例函数》(第二课时)教学设计绥阳县郑场中学马小庆【教学目标】知识与技能：能作正比例函数的图象，能掌握、运用正比例函数的性质；过程与方法：通过作正比例函数图象的过程，发展学生的观察、概括、归纳的能力，感知数形结合的数学思想；情感态度与价值观：通过描点作图题培养学生认真的学习习惯。

【教学重点】：正比例函数的图象特征和性质。

教学难点：正比例函数的图象特征和性质的概括和归纳。

【教学过程】：一、回顾旧知、提出问题问题1 昨天我们初步学习了正比例函数，你能写出两个具体的正比例函数解析式吗？什么叫正比例函数？（学生随便写出两个正比例函数解析式，如y=2x、y=-2x等。

回顾正比例函数概念，开放性地先让学生写出几个简单的正比例函数解析式，既是为了帮助学生回顾正比例函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数。

）问题2 函数都有哪几种表示方法？（教师引导学生说出表格法和图像法。

为激发学生学习本节课的兴趣做好铺垫。

）问题3 针对函数y=kx（k≠0），大家还想研究什么？应该怎样研究？（教师引导学生自然合理地提出要研究的问题――研究函数图象，研究步骤：列表、描点、连线。

通过回顾，引导学生自然合理地提出正比例函数图象的研究任务和研究方法。

）二、合作交流，探究k>0的函数性质问题4 让我们从具体的正比例函数y=2x的图象研究开始，画图象怎样画？（在学生说出画图象的步骤后，教师ppt演示。

学生对刚接触画图象，为避免学生因在列表、连线等细节上出现错误，教师示范，为后续学生独立作图提高准确性。

）追问1：看一看，画出的图象是什么？追问2：其他的正比例函数图象也是一条直线吗？请三人小组分工，分别取k为1、3、4，每人在练习纸上画一幅正比例函数图象。

（类比y=2x的图象画法，做出函数图象。

让学生画图象，观察、发现图象可能是直线。

）问题5 请组内讨论交流，你们的图象有什么共同点？（教师深入组内倾听学生的发言，发现学生的盲点和误区，给予指导。

正比函数（第2课时）教学设计教学目标知识技能1.会用描点法画正比例函数图象；2.能结合图象理解正比例函数图象性质过程方法学生通过探究实际问题中函数关系归纳得出正比例函数的概念,再通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。

学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程。

情感态度通过教师的主导作用,提高学生的合作学习效率,让学生体会合作学习的好处。

重点掌握正比例函数图象的性质．难点正比例函数图象与性质环节导学问题师生活动二次备课情境引入复习回顾：1.正比例函数的概念2. 画函数图象的一般步骤有哪些？教师提出问题,学生复习回顾,1.一般地,形如y= kx（K≠0）的函数,叫正比例函数,其中K叫做比例系数.2.（1）列表（2）描点（3）连线学生回答后：教师引导：现在我们已经知道正比例函数的定义及画图象的步骤,那么正比例函数的图象有什么特征呢,它有哪些性质呢？自主探究例1：画出下列正比例函数的图象,（1）y=2x （2）y=-2x解：（1）函数y=2x中x可取任意实数,列表如下：（2）描点、连线：教师动手操作示范,边画边讲述作图的步骤：（1）•列表表示几组对应值；（2）描点；（3）连线．画出y=2x图象后,让学生画y=-2x图象,•并且引导学生进行比较【学生活动】先观看教师的操作,然后独立地画出y=-2x的图象．合作交流自主探究合作交流（2）（1）函数y=-2x中x可取任意实数,列表如下：（2）描点、连线：观察上述正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点.归纳：两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．【思考】知道正比例函数是一条直线,那么解：（1）列表描点连线解：（2）列表描点连线画正比例函数图像有无简便方法?经过原点与点（1,k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如（1,k）．因为两点可以确定一条直线．例2、在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较．12y x=；12y x=-解：列表描点、连线从两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升,经过三、一象限,即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降,经过二、四象限,即随x增大y反而减小．归纳正比例函数图象特征：正比例函数y=kx（k是常数,k≠0）的教师出示例2,引导学生尝试用两点法画函数图象,点拨列表时,取值尽量使得计算简便。

《正比例》第二课时说课陈秋钦尊敬的各位老师，大家下午好！我说课的题目是《正比例》第二课时，我将从说教材、说教法学法、说教学过程、说板书等几个方面加以说明。

一、说教材。

我将从教材、学情、目标、重难点以及关键进行分析。

1、教材学情分析：本节课取自北师大版数学六年级下册第四单元第二节《正比例》的第二课时，学生在此之前已经学习了比和比例的有关知识，并结合情境体会了生活中常见的变量之间的关系，探索和初步理解了正比例，学习本节课为本单元后面学习正比例的图象、反比例和初中继续学习函数打下良好的基础。

本节课主要教学“根据正比例的意义，判断两个量是否成正比例”，正比例在生活中有着广泛的应用，但对小学生老说，正比例的意义的理解还是有一定的难度的。

2、三维目标：知识与能力：根据正比例的意义，能判断两个相关联的量是不是成正比例。

过程与方法：通过自主探究、合作交流，掌握判断两个相关联的量是不是成正比例的方法。

情感态度与价值观：经历判断两个相关联的量是不是成正比例的过程，培养初步的抽象概括能力和勤于思考的良好习惯。

重点：判断两个相关联的量是不是成正比例。

难点：如何判断两个相关联的量是不是成正比例。

关键：交流怎样思考和判断。

二、说教法学法根据新课标的理念，结合本节课的内容和学生的实际情况，我将采用情境教学法、活动教学法，引导学生自主探究、合作交流。

三、说教学过程1、强化规范语言依据新课标理念，引导学生说完整规范的数学语言是非常有必要的，因此，我设计的第一个环节是让学生完整规范地说一说正比例的意义，为接下来的学习做好铺垫。

2、探究活动（一）为了使本节课生动有趣，我设计了一个学生喜爱熟悉的情境导入新课，西游记中孙悟空化斋前画下了圆形的伏魔圈，而唐僧在等待的过程中三次出题考八戒和悟净，由伏魔圈的大小与半径的关系，引出问题1。

学生自主独立完成，再交流汇报。

他们通过计算，很容易发现圆的面积和半径的比值不相等，不成正比例。

学生可能也会总结出两个相关联的量不一定成正比例。

课题：18.2（2）正比例函数的图像
育秀实验学校教学目标
1、通过画正比例函数图像的操作实践，体验“描点法”画正比例函数图像；
2、知道正比例函数的图像是过原点的一条直线，会画正比例函数的图像；知道函数图像的意义.
教学重点及难点
知道正比例函数的图像是过原点的一条直线，并会画正比例函数的图像.
教学设计说明
函数是教学中重要的基本概念之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具，它渗透在中学数学的许多内容之中，同时，函数是一个重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解，本节课是函数知识的开始，正比例函数又是中心内容。

本节课首先复习回顾了函数的基本性质，同时回顾了平面直角坐标系的相关知识，为后面的描点法铺垫，在新课中，采用了让学生自主探索，作图，归纳，小结的方式，让学生多动手，多合作，体会学习的快乐，培养学生合作交流的能力，在习题上，从简入难，拓展练习对学生能力要求比较高。

“正比例函数”（第二课时）教学案例剖析道真县玉溪镇中心学校胡军（点评）余庆县城关中学杨小燕（执教）研究课堂，研究教学是当今教学研究的永恒课题。

如何使我们的课堂教学真正有效，近年来各地充分利优质课评选、示范课观摩、研究课探讨、公开课展示等形式进行了大的研究，从表面上看收到了一定的效果。

但对广大的农村中小学常态课堂教学研究很少，对大多数没有参加这些活动的教师的引领、借鉴效果有多大，人们无从得知。

为此，笔者对一节研究课（正比例函数（第二课时）进行案例剖析，提出自已的一些见解，供同行参考。

教学内容：正比例函数的图象和性质（人教版数学八年级上册）。

教学目标：1、经历从正比例函数解析式与坐标平面内的点建立联系的过程，在画具体函数图像的过程中，归纳出画正比例函数图像的一般方法。

2、探究得出正比例函数图像是一条直线，感受从“一般”到“特殊”的思维过程及数学的图形美、简洁美，体验数形结合的思想。

3、通过一些具体函数图像的分析归纳出正比例函数的性质，经历“试验——猜想——证实”的数学发现过程，培养团队合作能力和探索能力。

评析：本节课教学内容是在学生已经了解正比例函数的定义，弄清了正比例函数解析式中各字母的意义，知道了哪个是常数，哪个是变量，哪个是自变量，哪个是函数等知识的基础上。

利用描点法画出、这两个函数的图象，利用图象引导学生探索正比例函数的性质。

从上述教学目标设计看：体现在知识与技能方面的可测性，过程与方法上的有效性，学生学习活动的团队合作探索性。

教学过程：一、复习：师：同学们：我们学习了正比例函数的解析式，谁来告诉老师：1、正比例函数的一般形式是什么？生（齐答）：。

师：强调在中，为自变量，是比例系数且，是的函数。

2、下列函数中哪些是正比例函数？并指出比例系数的值。

⑴⑵⑶⑷生：⑵、⑶是正比例函数，它们的比例系数的值分别是：、2。

师：对⑴、⑷为什么不是正比例函数作了强调性的解析。

并导入本节课题（板书）：正比例函数（第2课时）评析：通过复习，引导学生回忆已学过的正比例函数的有关知识，为本节学习作好铺垫，应当说这是一种较好的教学方法。

正比例函数（优质课教案）一、教学目标•理解正比例函数的概念和性质；•掌握绘制正比例函数的方法；•能够解决与正比例函数有关的实际问题。

二、知识点概述正比例函数是数学中的一种特殊函数，它的特点是变量之间存在着“成比例”的关系。

正比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如物体的速度与时间的关系、花费与购买数量的关系等。

学生在初次接触正比例函数时，往往会产生一些困惑。

因此，本节课将通过具体的案例引入正比例函数的概念，以达到让学生全面、准确地理解正比例函数的目的。

三、教学过程1. 导入引入首先，通过一个实际生活中的例子引入正比例函数的概念。

如：假设小明骑自行车到学校的路程是30公里，他分别以10公里/小时和15公里/小时的速度骑行。

请问他分别需要多少时间才能到达学校？通过这个例子，引导学生思考速度和时间之间的关系，进而引出正比例函数的概念。

2. 了解正比例函数的定义和性质对正比例函数的定义和性质进行简要介绍。

如：正比例函数是指变量之间存在着“成比例”的关系。

如果两个变量 x 和 y 的比值始终保持不变，我们可以称它们之间存在正比例关系。

正比例函数的表示形式为 y = kx，其中 k 是常数。

正比例函数有以下性质：•函数图像经过原点；•函数图像是经过原点的直线；•随着 x 的增加，y 也会相应地增加。

3. 绘制正比例函数的图像通过一个绘制正比例函数的图像实例，让学生进一步理解正比例函数的特点和性质。

如：给定一个正比例函数 y = 2x，我们可以通过选取一些点（如 (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) 等）并将它们连接起来，得到函数的图像。

请学生跟随教师一起进行实际绘制，让他们直观地感受正比例函数的图像形态。

4. 解决实际问题通过几个具体的实际问题，让学生应用所学的正比例函数知识解决问题。

如：•问题一：某餐厅的每小时能服务30桌客人，如果餐厅准备了300桌餐具，需要多少时间才能用完？•问题二：某班级有30名学生，班长将代表信发给每位同学，如果每份信需要2分钟发完，班长需要多长时间才能完成任务？请学生尝试独立解决这些问题，并将解决过程写成算式，最终求得答案。

新人教版九年级数学《正比例函数》教案一、教学目标1. 了解正比例函数的定义和特点；2. 掌握如何用数学语言描述正比例函数的关系；3. 能够根据已知条件求解正比例函数的未知量；4. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点1. 正比例函数的定义和特点；2. 如何描述正比例函数的关系。

三、教学内容第一课时：正比例函数的概念1. 引入通过生活中的实例，引导学生思考什么是正比例函数。

2. 讲解- 介绍正比例函数的定义和特点；- 给出正比例函数的示例，并解释其特点；- 通过图像展示正比例函数的特点，引导学生对其理解。

3. 练设计一些简单的练题，让学生通过计算和分析实例，进一步巩固对正比例函数的理解。

第二课时：描述正比例函数的关系1. 引入通过实际例子，引导学生探究如何用数学语言描述正比例函数的关系。

2. 讲解- 引入符号表示法，介绍如何用代数表达正比例函数的关系；- 解释如何确定正比例函数的比例常数。

3. 练设计一些练题，让学生通过代入数值和计算，掌握如何用数学语言描述正比例函数的关系。

四、教学方法1. 案例引入法：通过生活中的实例，引导学生主动思考和提问，激发兴趣；2. 讲授结合练：通过简单的讲解和练相结合，帮助学生逐步掌握和巩固知识。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生参与课堂讨论和练的情况，评价其积极性和理解程度；2. 练成绩：根据练题的完成情况和准确性，评价学生对知识的掌握程度；3. 小测验：布置小测验，检验学生对正比例函数的理解和应用能力。

六、教学资源1. 教材：新人教版九年级数学教材；2. 板书：课堂讲解的重点和示例。

七、教学反思在教学过程中，要注意引导学生主动思考和解决问题的能力，以培养其数学思维和应用能力。

同时，根据学生的实际情况，适当调整教学内容和方法，确保教学效果的提高。

《正比例函数》教案《正比例函数》教案《正比例函数》教案1教学要求：1、使学生认识正比例关系的意义，理解、掌握成正比例量的变化规律及其特征，能依据判断两种相关联的量成不成正比例关系。

2、进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力，让学生掌握判断两种相关联量成不成正比例关系的方法，培养学生判断、推理的能力。

教学重点：认识正比例关系的意义。

教学难点：掌握成正比例量的变化规律及其特征。

教学过程：一、复习铺垫1、说出下列每组数量之间的关系。

（1）速度时间路程（2）单价数量总价（3）工作效率工作时间工作总量2、引入新课。

上面是已经学过的一些常见数量关系，每组数量中，数量之间是有联系的，存在着相依关系。

当其中有一个量变化时，另一个量也随着变化，而且这种变化是有规律的，这节课开始，我们就来研究和认识这种变化规律。

今天，先认识正比例关系的意义。

（板书课题）二、教学新课1、教学例1。

出示例l。

让学生计算，在课本上填表，并思考能发现什么。

指名口答，老师板书填表。

让学生观察表里两种量变化的数据，思考：（1）表里有哪两种数量，这两种数量是怎样变化？（2）路程和时间相对应数值的比的比值各是多少？这两种量变化有什么规律？引导学生进行讨论，得出：（1）表里的两种量是所行时间和所行路程。

路程和时间是两种相关联的量，（板书：两种相关联的量）路程随着时间的变化而变化。

（2）时间扩大，路程也扩大；时间缩小，路程也缩小。

（3）可以看出它们的变化规律是：路程和时间比的比值总是一定的。

（板书：路程和时间比的比值一定）因为路程和时间对应数值比的比值都是50。

提问：这里比值50是什么数量？（谁能说出它的数量关系式？想一想，这个式子表示的是什么意思？(把上面板书补充成：速度一定时，路程和时间比的比值一定）2、教学例2。

出示例2和思考题。

要求学生按刚才学习例1的方法学习例2，然后把你学习中的发现综合起来告诉大家。

学生观察思考后，指名回答。

然后再提问：这两种相关联量的变化规律是什么？枝数比的比值一定)你是怎样发现的？比值1、6是什么数量，你能用数量关系式表示出来吗？谁来说说这个式子表示的意思？（把板书补充成c单价一定时，总价和枝数比的比值一定）3、概括。

《正比例函数》（第二课时）教学设计及反思作者：李天婵来源：《文理导航·教育研究与实践》 2016年第2期新疆医科大学子女学校李天婵教材分析函数是中学教学中非常重要的内容，是学生第一次学习数形式结合，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后面学习一次函数打下基础，为此在教学中通过问题串，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。

学情分析正比例数是学生第第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，为后面学习一次函数打下基础，根据学生基础和知识层次制定不同的要求，提倡同伴间互相合作，充分遵循学生的认知规律，教学中注意由易到难、循序渐进，让每个学生获得成功的喜悦。

教学目标知识与技能：能作正比例函数的图象，能掌握、运用正比例函数的性质；过程与方法：通过作正比例函数图象的过程，发展学生的观察、概括、归纳的能力，感知数形结合的数学思想；情感态度与价值观：通过描点作图题培养学生认真的学习习惯。

教学重点：正比例函数的图象特征和性质。

教学难点：正比例函数的图象特征和性质的概括和归纳。

教学过程：一、回顾旧知、提出问题问题1 昨天我们初步学习了正比例函数，你能写出两个具体的正比例函数解析式吗？什么叫正比例函数？（学生随便写出两个正比例函数解析式，如y=2x、y=-2x等。

回顾正比例函数概念，开放性地先让学生写出几个简单的正比例函数解析式，既是为了帮助学生回顾正比例函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数。

）问题2 函数都有哪几种表示方法？（教师引导学生说出表格法和图像法。

为激发学生学习本节课的兴趣做好铺垫。

）问题3 针对函数y=kx（k≠0），大家还想研究什么？应该怎样研究？（教师引导学生自然合理地提出要研究的问题——研究函数图象，研究步骤：列表、描点、连线。

通过回顾，引导学生自然合理地提出正比例函数图象的研究任务和研究方法。

《正比例函数》教学设计第2课时一、教学目标1.会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.3.体会“数形结合”的数形思想方法.4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.二、教学重难点重点：理解正比例函数的图象和性质.难点：掌握正比例函数的图象和性质并能灵活解决问题.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计二探究新知(1)y=2x，y=31x；(2)y=－1.5x，y=－4x .示范：函数y=2x的图象列表，首先要考虑自变量的取值范围，函数y=2x中自变量x可为任意实数.描点，把自变量的值作为横坐标，把对应的函数值作为点的纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点.连线，把横坐标按照从小到大的顺序，顺次连接，注意函数图象要光滑，要出头.引导：现在老师已经完成了函数y=2x的图象，请同学们用同样的方法画y=31x的函数图象.提出问题：①观察这两个正比例函数的图象，它们的形状相同吗？一定经过哪些象限和特殊点？②变化趋势怎样？跟随老师一起画出函数y=2x的图象.学生列表，在坐标纸上描点、连线，画出函数y=13x的图象，并进行观察、交流.示范画函数图象的具体步骤，给出了学生具体的参照，巩固了学生对描点法画图的理解.加深学生对描点法的巩固，让学生在动手实践的过程中，感悟这些函数图象的相同点和不同点，为后面的发观察发现：①这两个正比例函数的图象都是一条经过原点和第一、三象限的直线.②这2条直线，从左到右上升，即y随x的增大也增大.示范：函数y=－1.5x的图象列表，函数y=－1.5x中自变量x可为任意实数.描点、连线引导：请同学们用同样的方法画出y=－4x的函数图象.函数y=－4x的图象提出问题：①观察这两个正比例函数的图象，它们的形状相同吗？一定经过哪些象限和特殊点？②变化趋势怎样？观察发现：①这两个正比例函数的图象都是一条经过原点和第二、四象限的直线.②这2条直线，从左到右下降，即y随x的增大反而减小.拓展：比较四个函数图象的相同点与不同点，你还有别的发现吗？分析：③倾斜度：函数y=2x的图象比函数y=13x的图象更接近y 轴，函数y=－4x的图象比函数y=－1.5x图象更接近y轴.提出问题：从以上画图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征？观察、分析、讨论跟随老师一起画出函数y=-1.5x的图象.独立画图观察、分析、讨论现规律作准备.示范画函数图象的具体步骤，给出了学生具体的参照，巩固了学生对描点法画图的理解.在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的特征，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教与学生一起归纳正比例函数的图象和性质：正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.提出问题：通过前面的探讨，同学们发现画正比例函数的图象有更简单的画法吗？总结：因为正比例函数的图像是一条直线，且经过原点，而两点确定一条直线，画正比例函数的图像时，只需描两个点，(0，0)和(1，k)即可，然后过这两个点画一条直线.即“两点法”小组讨论育.了解事物的特征就可以使解决问题变得更简捷一些，培养学生分析问题、解决问题的能力，对数形结合思想的理解.环节三应用新知【辨析应用，深化认知】教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价.【典型例题】例1：用你认为最简单的方法画出下列函数的图象.（1）y=32x ; y=3x .解答：例2：已知正比例函数y=(k+6)x(1)若函数图象经过第一、第三象限，则k的取值范围是________.(2)若函数图象经过点(3，21)，则k=_____.分析：（1）∵函数图象经过第一、第三象限，∵k+6>0，解得k>－6.（2）将坐标(3，21)带入函数解析式中，21=(k+6)·3，解得k=1.学生练习用“两点法”画图象巩固“两点法”画图象巩固正比例函数图象的性质【随堂练习】教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习1.函数y=－7x的图象在象限内，从左向右，y随x的增大而.(2)函数y=7x的图象在象限内，从左向右，y随x的增大而.(3)已知函数y= 2x, 点A(3，y1)和点B (6，y2)在函数图象上，则y1y2(填“>”或“<”).答案：（1）第二、四；下降；减小.（2）第一、三；上升；增大.（3）＜练习2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx(k＜0)的图象的大致位置只可能是().答案：A练习3.如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.(1)k1k2，k3k4(填“>”或“<”)；(2)用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来．分析：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴.答案：(1)＜;＜(2)k1＜k2＜0＜k3＜k4和学生一起回顾本节课所学内容：巩固例题练习。