X射线衍射的几何原理
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X射线衍射基本原理
非相干散射示意图
(3) 荧光辐射
当X射线光量子具有足够高的能量时，可以将被 照射物质原子中的内层电子激发出来，使原子处于激 发状态，通过原子中壳层上的电子跃迁辐射出X射线特 征谱线。这种利用X射线激发作用而产生的新特征谱线 称为二次特征辐射也称为荧光辐射。
入射X射线光量子的能量加必须等于或大于特此原 子某一壳层的电子激发出所需要的脱出功。即：
2dsin =n
上式是X射线在晶体中产生衍射必 须满足的基本条件，它反映了衍射线方 向与晶体结构之间的关系。这个关系式 首先由英国物理学家布拉格父子于1912 年导出，故称为布拉格方程。
布拉格反射
(二) 布拉格方程的讨论
(1) 选择性反射
X射线在晶体中的衔射实质上是晶体中各原子散 射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相 当于原子面对入射线的反射，所以才借用镜面反射规 律来描述X射线的衍射几何。但原子面对X射线的反射
电子的数值，而被吸收并引起
二次特征辐射。
铂的质量系数系数与波 长的关系
当X射线透过多种元素组成的物质时，X射线的衰
减情况受到组成该物质的所有元素的共同影响，由被
照射物质原子本身的性质决定，而与这些原子间的结
合方式无关。多种元素组成物质的质量吸收系数由下
式表示：
N
m (m)i wi
i1
并不是任意的，只有当、 和d 三者之间满足布位格
方程时才能发生反射。所以把X射线的这种反射称为选 择反射。
(2) 产生衍射的极限条件
在晶体中产生衍射的波长是有限度的。在电磁波 的宽阔波长范围里，只有在X射线波长范围内的电磁波 才适合探测晶体结构。这个结论可以从布拉格方程中 得出。
由于sin不能大于1，因此， n/2d=sin＜1，即n
简述XRD的工作原理和应用
简述XRD的工作原理和应用1. 工作原理X射线衍射（X-ray Diffraction, XRD）是一种利用物质对入射X射线进行衍射并对衍射光进行分析的方法。
它基于物质的晶体结构和晶格参数，通过衍射图样的分析来获得物质的结晶结构信息。
1.1 X射线衍射的基本原理X射线波长通常与原子间的距离数量级相当，当入射X射线照射到晶体上时，其中的原子吸收和散射X射线，并形成一系列的衍射波，这些衍射波之间会相互干涉与叠加，最终形成衍射图样。
衍射图样的几何模式与晶体的晶格参数和晶体结构密切相关。
1.2 布拉格方程布拉格方程是X射线衍射的重要基础，它描述了X射线在晶体中的衍射条件。
布拉格方程可以表示为：$n \\lambda = 2d \\sin \\theta$其中，n为衍射级数，$\\lambda$为入射X射线的波长，d为晶格面的间距，$\\theta$为入射角。
根据布拉格方程，可以根据X射线衍射图样的衍射峰位置和强度来推断晶体结构和晶格参数。
2. 应用X射线衍射在材料科学和结构研究领域有着广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用：2.1 相分析通过分析衍射图样的衍射峰位置和强度，可以确定物质的组成、晶体结构和晶格参数，进而得到样品的相信息。
相分析是X射线衍射最基础的应用之一，它常用于晶体学研究、材料表征等领域。
2.2 结构表征X射线衍射可以用来分析材料的结构特征。
通过测量衍射角度和衍射峰的强度，可以确定晶胞的几何参数、晶体的晶格常数以及晶体中原子的位置等。
这对于研究材料的结构和性质具有重要意义，例如在合成新材料或改善现有材料的研究过程中。
2.3 晶体缺陷分析通过分析X射线衍射图样的衍射峰形状和宽度，可以获得晶体的缺陷信息。
晶体中的缺陷会导致衍射峰的展宽和形状发生变化，通过对衍射峰的形状和展宽进行分析，可以获得晶体缺陷的类型、密度和分布等信息。
2.4 应力分析应力是材料力学性质的重要参数。
通过测量入射X射线和衍射光的波长差、角度差以及衍射峰的形状和位置等信息，可以确定材料中的应力分布。
第二章 X射线衍射的几何原理
第二章 X射线衍射几何原理
2.1 2.2 2.3 2.4 布拉格定律及其公式的讨论 倒易点阵 衍射矢量方程 厄瓦尔德图解法
晶体衍射的入射波源
光子 E= hν=hc/λ，λ（Å ）=12.4/E（keV） 若波长为1Å 、E约为12.4keV ，属于x-ray范围，用来作为入 射束的x-ray可以是连续谱或单色的，可用来分析晶体结构。 中子 E=
空间点阵
七个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系 三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ 布拉菲点阵 简单三斜 晶系 六方 Hexagonal a1=a2＝a3≠c，α=β＝ 90º ， γ=120º 菱方 Rhombohedral a=b=c, α=β=γ≠90º 布拉菲点阵 简单六方
单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º ≠β
sin θ1＝ λ/2 d ，sin θ2＝ 2λ/2 d ，sin θ3＝3 λ/2 d ，…，sin θn＝n λ/2 d
衍射级数n=
只有有限几个值
布拉格方程的讨论
产生衍射的条件 波长入一定， 由2dsin=->sin=/(2d)≤1->d≥ /2 面间距d一定， 由2dsin=->sin=/(2d)≤1-> ≤2d,但不 能太小 布拉格方程表达了反射线空间方位（）与反射晶面面间距（d）及 入射线方位（）和波长（）的相互关系。 入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面产生的反射方向 上的相干散射线，而被接收记录的样品反射线实质是各原子面反射 方向上散射线干涉一致加强的结果，即衍射线。因此，在材料的衍 射分析工作中，“反射”与“衍射”作为同义词使用。 衍射产生的必要条件 “选择反射”即反射定律+布拉格方程是衍 射产生的必要条件。即当满足此条件时有可能产生衍射；若不满足 此条件，则不可能产生衍射。 布拉格方程的应用－求面间距d和波长 。
2.1 2.2 2.3 2.4 布拉格定律及其公式的讨论 倒易点阵 衍射矢量方程 厄瓦尔德图解法
晶体衍射的入射波源
光子 E= hν=hc/λ，λ（Å ）=12.4/E（keV） 若波长为1Å 、E约为12.4keV ，属于x-ray范围，用来作为入 射束的x-ray可以是连续谱或单色的，可用来分析晶体结构。 中子 E=
空间点阵
七个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系 三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ 布拉菲点阵 简单三斜 晶系 六方 Hexagonal a1=a2＝a3≠c，α=β＝ 90º ， γ=120º 菱方 Rhombohedral a=b=c, α=β=γ≠90º 布拉菲点阵 简单六方
单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º ≠β
sin θ1＝ λ/2 d ，sin θ2＝ 2λ/2 d ，sin θ3＝3 λ/2 d ，…，sin θn＝n λ/2 d
衍射级数n=
只有有限几个值
布拉格方程的讨论
产生衍射的条件 波长入一定， 由2dsin=->sin=/(2d)≤1->d≥ /2 面间距d一定， 由2dsin=->sin=/(2d)≤1-> ≤2d,但不 能太小 布拉格方程表达了反射线空间方位（）与反射晶面面间距（d）及 入射线方位（）和波长（）的相互关系。 入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面产生的反射方向 上的相干散射线，而被接收记录的样品反射线实质是各原子面反射 方向上散射线干涉一致加强的结果，即衍射线。因此，在材料的衍 射分析工作中，“反射”与“衍射”作为同义词使用。 衍射产生的必要条件 “选择反射”即反射定律+布拉格方程是衍 射产生的必要条件。即当满足此条件时有可能产生衍射；若不满足 此条件，则不可能产生衍射。 布拉格方程的应用－求面间距d和波长 。
第3章-X射线衍射的几何原理
2 二维原子点阵 a(cos cos0 ) H b(cos cos0 ) K
3 三维原子点阵 的衍射
a(cos cos0 ) H
b(cos
c os0
)
K
c(cos cos0 ) L
3.3 布拉格定律
布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论
布拉格方程的导出：
布拉格实验
根据图示，干涉加强的条件是：
三种基本的实验方法：
1）用单色（标识）X射线照射转动的单晶 体：转动晶体法
2）用多色（连续）X射线照射固定不动的 单晶体：Laue法
3）用单色（标识）X射线照射多晶体：多 晶体衍射法
Laue法的Ewald图解
多晶体衍射法的Ewald图解
Exercise
3-1 Show that Laue’s law and Bragg’s law are
identical.
3-2 Cementite Fe3C is orthorhombic with lattice
constant a=4.52 Å, b=5.089 Å, c=6.743 Å, draw
the following 0-th reciprocal plane: (100 )*0
(110
1
H
N1
2
K
N2
3
L
N3
H、K、L为整数（包括零在内）
主峰最大值的对应位置为：
1 H 2 K 3 L
3.2 劳厄方程
干涉函数
G1 2
sin 2 N1 1 sin 2 1
在 1 H 处有函数极大值，即在
1 H 的方向上产生衍射线。
G 2 中的三个因子是类似的。因此，决定
X射线衍射原理
qqcos d
2
I m q c 2 o d I c s q c 2 o d G s 2 F H 2m K 2 e c 4 4 R L 2 ( 1 c 2 2 2 o ) I 0 s
影响衍射强度的其它因素
• 多重性因子--PHKL 晶体中晶面间距相等的晶面(组)称为等同晶面(组)．晶体中 各面的等同晶面(组)的数目称为各自的多重性因子。
•例如的一组晶面间距从大到小的顺序：2.02Å，1.43Å，1.17Å，1.01 Å，
0.90 Å，0.83 Å，0.76 Å……当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射时，因
λkα/2=0.97Å，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜
靶进行照射， 因λkα/2=0.77Å， 故前六个晶面组都能产生衍射。
3、面心点阵
单胞中有四种位置的原子，它们的坐标分别是（0，0，0）、 （0,1/2,1/2）、 （1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0）
FHK2L[f1co2s(0)f2co2s(K 2L 2)f3co2s(H 2K 2)f4co2s (H 2L 2)2][fssi2n(0)f2si2n(K 2L 2)f3si2n(H 2K 2)f4si2n (HL)2]f2[1cos(KL)cos(HK)cos(HL)2]
1
d HKL
S
S0
N
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对 应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可
写为
SS0
rHaKbLc
衍射矢量方程
厄瓦尔德图解
• 以球的1 为倒半易径点作对球应，的得晶到面厄组瓦均尔可德参球与。衍所射有。落在厄瓦尔德
hkl
S/
2
I m q c 2 o d I c s q c 2 o d G s 2 F H 2m K 2 e c 4 4 R L 2 ( 1 c 2 2 2 o ) I 0 s
影响衍射强度的其它因素
• 多重性因子--PHKL 晶体中晶面间距相等的晶面(组)称为等同晶面(组)．晶体中 各面的等同晶面(组)的数目称为各自的多重性因子。
•例如的一组晶面间距从大到小的顺序：2.02Å，1.43Å，1.17Å，1.01 Å，
0.90 Å，0.83 Å，0.76 Å……当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射时，因
λkα/2=0.97Å，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜
靶进行照射， 因λkα/2=0.77Å， 故前六个晶面组都能产生衍射。
3、面心点阵
单胞中有四种位置的原子，它们的坐标分别是（0，0，0）、 （0,1/2,1/2）、 （1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0）
FHK2L[f1co2s(0)f2co2s(K 2L 2)f3co2s(H 2K 2)f4co2s (H 2L 2)2][fssi2n(0)f2si2n(K 2L 2)f3si2n(H 2K 2)f4si2n (HL)2]f2[1cos(KL)cos(HK)cos(HL)2]
1
d HKL
S
S0
N
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对 应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可
写为
SS0
rHaKbLc
衍射矢量方程
厄瓦尔德图解
• 以球的1 为倒半易径点作对球应，的得晶到面厄组瓦均尔可德参球与。衍所射有。落在厄瓦尔德
hkl
S/
x射线衍射原理
s0 、 s 及R*HKL构成等 腰三角形， s0 的终点 是倒易原点， s 的终点
是R*HKL的终点，即倒 易点， s0 与 s 夹角为 2，为衍射角。
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－ X射线衍射原理 第一节 衍射方向
厄瓦尔德图解步骤
具体步骤见书P.71。下图为某晶体(001)*倒易面 上倒易点与反射球相交截情形
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的各种问题，必须在 衍射现象与晶体结构之间建立关系。
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－ X射线衍射原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程
反射线光程差： ＝ ML +LN= 2dsin
干涉一致加强的条件为： ＝ n
得到了“选择反射”的结 果
3、产生衍射的极限条件：由布拉格方程可知，晶体中只有满足d> /2的晶面才产生衍射，所以产生的衍射线时有限的，利用此条件可判 断出现衍射线条的数目。
4、布拉格方程反映晶体结构中晶胞大小及形状，而对晶胞中原子的 品种和位置并未反映，d相同， 相同。
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－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度
根据汤姆逊的工作，一个电子对入射
强度为I0的偏振X射线（电场矢量E0只沿 一个固定方向振动）的散射强度Ie为：
Ie
I0
e4 R 2m 2c4
sin2φ
对于非偏振X射线，将其电场矢量E0分解为垂直的两束偏振光，如 图，E0x和E0z，且 I0 = E02 = E0x2 + E0z2。对于完全非偏振光有： E＝ E0z，所以E0x2 ＝ E0z2＝ E02 /2 ，即I0x=I0z= I0 /2。因而有：
第3节 X射线衍射原理
衢州学院化学与材料工程学院
(a) 体心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
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Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40
1,1,0 (44.68,100.0)
b（cosβ2-cosα2）= Kλ 也可写成 a · （ S－S0）＝ Hλ b· （ S－S0）＝ Kλ
• 这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才是衍射方向。
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• 三维劳厄方程——考虑三维晶体的衍射方向 劳厄方程 • 只有同时满 足三个方程 的方向上才 会出现衍射 a（cosβ1-cosα1）= Hλ b（cosβ2-cosα2）= Kλ c（cosβ3-cosα3）= Lλ 也可写成 a · （S －S0）= Hλ b· （S －S0）= Kλ c· （S －S0）= Lλ • 三个方向直线 点阵的衍射圆 锥交成衍射线 S ，衍射方向 由衍射指标 hkl表征。
任选两相邻面，反射线光程差
δ＝ML+LN＝ 2dsinӨ 干涉一致加强的条件为： δ＝nλ 即 2dsinӨ ＝nλ （布拉格方程）
式中：n-任意正整数，称反射级数。
布拉格方程 的导出
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布拉格方程（ 2dsinӨ=nλ）的讨论
① 选择反射 • 衍射线的方向恰好是原子面 对入射线的反射，类似可见光镜 面反射的入射及反射束、反射 面法线均处于同一平面的特点。• 故借用镜面反射几何描述 X 射线 的衍射。
衢州学院化学与材料工程学院
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•
衍射方向理论小结
(a) 体心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
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Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40
1,1,0 (44.68,100.0)
b（cosβ2-cosα2）= Kλ 也可写成 a · （ S－S0）＝ Hλ b· （ S－S0）＝ Kλ
• 这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才是衍射方向。
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• 三维劳厄方程——考虑三维晶体的衍射方向 劳厄方程 • 只有同时满 足三个方程 的方向上才 会出现衍射 a（cosβ1-cosα1）= Hλ b（cosβ2-cosα2）= Kλ c（cosβ3-cosα3）= Lλ 也可写成 a · （S －S0）= Hλ b· （S －S0）= Kλ c· （S －S0）= Lλ • 三个方向直线 点阵的衍射圆 锥交成衍射线 S ，衍射方向 由衍射指标 hkl表征。
任选两相邻面，反射线光程差
δ＝ML+LN＝ 2dsinӨ 干涉一致加强的条件为： δ＝nλ 即 2dsinӨ ＝nλ （布拉格方程）
式中：n-任意正整数，称反射级数。
布拉格方程 的导出
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布拉格方程（ 2dsinӨ=nλ）的讨论
① 选择反射 • 衍射线的方向恰好是原子面 对入射线的反射，类似可见光镜 面反射的入射及反射束、反射 面法线均处于同一平面的特点。• 故借用镜面反射几何描述 X 射线 的衍射。
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•
衍射方向理论小结
X射线衍射的几何原理
c (S S0 ) L
a ( S S 0 ) H b ( S S 0 ) K c ( S S 0 ) L
----劳厄方程 （确定衍射方向的基本公式）
a (S S0 ) H 转换成标量形式
a (S S0 ) aS cos aS0 cos0
对布拉格方程 2d sin n 的讨论：
由于晶体原子面对X射线的衍射线方向恰好 相当于原子面对入射线的反射方向，在衍射 学中将“衍射”与“反射”作为同义词混合 使用。但X射线在晶体中的衍射与镜面对可 见光的反射有实质差别。
原子面对X射线的反射并不是任意的，只有 当λ、 θ和d三者之间满足布拉格方程时才能 发生反射，所以将X射线的这种反射称为选 择反射。
衍射花样和晶体结构的关系
----衍射线方向和晶体结构之间的关系
2d sin
d＝L2 2 d a2
2
4a 2
( H 2 K 2 L2 )
2d sin
d＝λ/2sinθ 正方晶系
1 H 2 K 2 L2 2 2 2 d a c
S0 S 1
a(cos cos0 ) H
a(cos cos 0 ) H b(cos cos 0 ) K c(cos cos 0 ) L
-----劳厄方程的标量形式
3.2.3 爱瓦尔德(Ewald)图解
（倒易空间中衍射条件的图解法） r*1 S1/ r*1 S1/
2dhklsinθ＝nλ
dHKL=dhkl/n
2dHKLsinθ＝λ
----------简化的布拉格方程
产生衍射的极限条件
2dsinθ＝λ
x射线衍射工作原理
x射线衍射工作原理X射线衍射是一种广泛应用于材料结构分析和晶体学研究的技术。
其工作原理基于X射线穿过晶体后的散射现象。
X射线通过晶体时，会与晶体内的原子发生作用，导致X射线的散射方向和强度发生改变。
通过测量和分析散射X射线的特性，我们可以得到关于晶体的结构信息。
X射线衍射的工作原理可以用布拉格定律来解释。
根据布拉格定律，当入射X射线的波长和晶体的晶格常数满足特定条件时，散射的X射线波面会叠加形成衍射图样。
这些衍射图样呈现出明亮的衍射斑点，每个斑点对应着晶体中特定的晶面。
为了进行X射线衍射实验，首先需要一台X射线发生器。
X射线发生器会产生高能的X射线束，该束通过使用称为X射线管的装置产生。
X射线管由阴极和阳极组成，当阴极发射电子时，经过加速和碰撞作用，产生X射线。
产生的X射线束通过调节的光学元件来聚焦，并进一步通过样品。
样品是一个晶体，在X射线束的作用下，产生散射。
散射的X射线被称为衍射光，其角度和强度可以通过衍射图样来确定。
接下来，衍射光会被收集并聚焦到一个光学探测器上，比如一个镜子或一个光电二极管。
探测器会记录下衍射光的特性，并通过电信号转换为可见的图像或者其他数据。
最后，通过分析衍射图样和探测器记录的数据，我们可以推断出晶体的结构信息，比如晶胞参数、晶面排列等。
这些结构信息对于研究材料性质和开发新材料具有重要意义。
总之，X射线衍射通过测量和分析散射的X射线来研究晶体结构。
它的工作原理基于X射线的穿透和散射现象，通过衍射图样和探测器记录的数据可以获得晶体的结构信息。
这种技术在材料科学和晶体学研究中发挥着重要作用。
X射线衍射的基本原理
X射线衍射的基本原理
X射线由高能电子束轰击金属靶产生，通过一个几何配置合适的装置，在样品上产生干涉，再通过检测器测量出样品的衍射图样。
这些衍射数据
可以通过逆向算法来重建晶体结构。
X射线与晶体的相互作用可以分为两个方面：电子的散射和光的吸收。
X射线衍射的实质是由于X射线与晶体中的电子相互作用而引起的波动现象。
具体来说，X射线通过晶体时，一部分X射线会被晶体中的原子核和
电子所散射，这就是散射现象。
当入射X射线的波长与晶体的晶格常数相
当或者接近时，这些散射波的相长干涉效应就会导致衍射。
在进行X射线衍射实验时，通常使用单晶或多晶样品。
对于单晶样品，其晶格排列非常规则，因此可以在特定的衍射角度下观察到清晰的衍射斑点。
多晶样品则由许多晶粒组成，由于晶粒的排列并不规则，因此观察到
的衍射斑点会呈现出连续的圆环状分布。
通过测量衍射斑点的位置和强度，可以确定晶体中的原子排列和间距。
这是因为每个晶体平面的散射干涉波的波程差会决定衍射斑的位置，而每
个晶体平面上的原子分布会决定衍射斑的强度。
因此，通过解析衍射图样，可以得到晶体的结构信息。
总之，X射线衍射是一种重要的材料表征技术，它基于X射线与晶体
的相互作用来研究晶体结构和材料的晶体学性质。
通过测量衍射斑点的位
置和强度，可以获得样品的晶体结构信息，进而深入了解材料的物理和化
学性质。
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二、X射线衍射理论：
在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系 ➢ 衍射线束的方向：由晶胞的形状和大小决定 ➢ 衍射线束的强度：由晶胞中原子的位置和种类决定 ➢ 衍射线束的形状、大小：由晶体的形状和大小决定
三、衍射线束的四种表示形式：
➢布拉格定律 ➢衍射矢量方程 ➢厄瓦尔德图解 ➢劳埃方程
即衍射方向与晶体结构关系的四种表示形式
三、布拉格方程的讨论
1、选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之 间的干涉结果。由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入 射线的反射。
一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，
而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当、、d三 者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
种反射称为选择反射。
3,1,0
20
(65.03,14.9)
2,2,0
(116.40,16.6)
(98.96,9.3) 10
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90120
Intensity (%)
1,1,0 100
90
80
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
70
60
50
§3.1布拉格定律
一、干涉加强与布拉格实验
A AM M (n2 n 或 1 ) 22 或 2 2 n,干 (2n 涉 1 );,干 加强 涉 ; 相消
X射线沿NaCl晶体（001）方向平行入射，将晶体绕O 轴转动角度Ɵ，同时转动计数管2Ɵ：
实验结构： 当Ɵ=300、640时，计数管有脉冲产生。
2,1,1
2,0,2
2,2,01,0,3
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
0,0,2 0,2,0 2,0,0
1,1,2 1,2,12,1,1
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
50
55
O N - M r S A - r S 0 r ( S S 0 )
相差为：
2 2S S0r2S S0•(m anbpc)
当 2S S0•(m anbpc)2N （ ， N 为整数
或S S0•(manbpc)N， 干涉加强
60
65
70
75
80
85
90
95
100
(e) 面心立方：gFe
a=b=c=0.360nm
2,0,0 (50.67,44.6)
2,2,0 (74.49,21.4)
3,1,1
(90.41,22.7) 2,2,2
(95.67,6.6)
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
0,3,11,3,0
40
2,1,1
30
20
2,0,0
10
0
2,2,0
3,1,0
2,2,2
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
35 Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
2、产生衍射的极限条件
根据布拉格方程，sin 不能大于1，
因此： nsin1，n即 2d
2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测的衍射角 下，产生衍射的条件为<2d，这也就是说，能够被晶体衍 射的电磁波的波长必须小于参加反射的晶面中最大面间距 的二倍，否则不能产生衍射现象。
3、干涉面和干涉指数
cL22）
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形
状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种和位置。
Intensity (%)
1,1,0
(44.68,100.0) 100
90 80
(a) 体心立方 aFe
70
a=b=c=0.2866 nm
60
50
40
2,1,1
30
2,0,0
(82.35,28.1)
第三章 X射线衍射的几何原理（I）
§3.0 序言 §3.1布拉格定律 §3.2衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 §3.3 劳埃方程组
§3.0 序言
一、产生衍射线的原因：
X射线
晶体
衍射现象
电子散射
周期性散射中 心发出的相干 散射波相互干 涉
电磁波
干涉作用
不同衍射花样
测定晶体结构
研究与结构相 关的一系列问 题
105
110
105
110
3,0,13,1,0 115
120
3,03,1,0 115
120
4,0,0 (117.71,3.8)
115
120
图3- X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
§3.2衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
一、任意两个阵点相干散射的示意图及简单推导方法
取O为坐标原点，A点的位置矢量r=ma+nb+pc，S0和S 分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间的光 程差为:
面指数称为干涉指数。
4、衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的
方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，
可得： 立方晶系：
si2n2 (H2K2L2）
4a2
正方晶系：
si2n42(H2a2K2 cL22）
斜方晶系：
si2n42(H a22
K2 b2
35
1,0,1
1,1,0
40
45
0,1,1 1,0,1
1,1,0
40
45
Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
35
1,1,1 (43.51,100.0)
40
45
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
0,0,2
2,0,0
1,1,2
二、布拉格定律的推证 1、一层原子面上散射X射线的干涉：
当 K Q PR a(cosco)sn,方向衍
当 , 0,X射线衍射满足反射律。
2、相邻原子面的散射X射线的干涉：
干涉加强的条件(布拉格方程)：
λ：入射线波长；d: 晶面间距；
2d
Sin
Ɵ：掠入射角、布拉格角或半衍射角；
2Ɵ：衍射角： n: 为整数，称反射级数。
将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：
2dhklSi n
n
,令dHKLdnhkl
则有2d： HKSL in
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并 不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引
入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的