2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换

§4.5简单的三角恒等变换1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)).2.二倍角公式(1)基本公式:①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形:由cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式:cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；升幂公式:cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.概念方法微思考1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形.2.怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ),将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式,再结合图象研究函数的性质.3.思考求α2的正弦、余弦、正切公式.提示 (1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ )(2)设α∈(π,2π),则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × )(3)设5π2＜θ＜3π,且|cos θ|＝15,那么sin θ2的值为155.( × )(4)在非直角三角形中有tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B tan C .(√) 题组二 教材改编2.若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.－210 B.210 C.－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角,∴sin α＝－1－cos 2α＝－35,∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.3.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案 22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ .答案 3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°,∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝3－3tan 10°tan 50°,∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.5.(tan 10°－3)sin 40°的值为 .答案 －1解析 (tan 10°－3)·sin 40° ＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·sin 40°＝2sin (10°－60°)cos 10°·sin 40°＝－2sin 50°cos 10°·sin 40°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.题组三 易错自纠6.(2019·衡水中学调研)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0,sin α＝－45,则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.－7 B.－17C.17D.7答案 B解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0,sin α＝－45, ∴cos α＝35,∴tan α＝－43. ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－431＋43＝－17. 7.(多选)下面各式中,正确的是( )A.sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D.cos π12＝cos π3－cos π4答案 ABC 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4,∴A 正确； ∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π4 ＝22sin π3－cos π4cos π3,∴B 正确； ∵cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64,∴C 正确； ∵cos π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－π4≠cos π3－cos π4,∴D 不正确.故选ABC. 8.化简:cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.9.化简:2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝ . 答案 4sin α解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α. 10.已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210,则tan 2θ＝ . 答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210, 得sin θ－cos θ＝15, 平方得2sin θcos θ＝2425, 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,可求得sin θ＋cos θ＝75, ∴sin θ＝45,cos θ＝35, ∴tan θ＝43,tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210, ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210,∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ,∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1.若sin(π－α)＝13,且π2≤α≤π,则sin 2α的值为( ) A.－429 B.－229 C.229 D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13,π2≤α≤π, 所以cos α＝－1－sin 2α＝－223, 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.2.已知sin α＝35,α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,tan(π－β)＝12,则tan(α－β)的值为( ) A.－211 B.211 C.112 D.－112答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,∴cos α＝－45,tan α＝－34, 又tan(π－β)＝12,∴tan β＝－12, ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－34＝－211. 3.计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 . 答案 12解析 sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 4.(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 . 答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1,令t ＝cos x ,则t ∈[－1,1],∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1],且开口向下, ∴当t ＝1时,f (t )有最小值－4.综上,f (x )的最小值为－4.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.公式的灵活应用命题点1 角的变换例1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45,且π4＜α＜3π4,则cos α的值为 . 答案 210解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45,且π4＜α＜3π4, ∴π2＜α＋π4＜π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ α＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫ α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210. (2)(2019·山东模拟)若cos(75°－α)＝13,则cos(30°＋2α)＝ . 答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13, ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79. 命题点2 三角函数式的变换例2 (1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝23,则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α, 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. (2)求值:1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°＝ . 答案 32解析 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10° ＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 命题点3 公式的综合应用例3 (1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 . 答案 2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. (2)若3sin x ＋cos x ＝23,则tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝ . 答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23,得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23, 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13,所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±223, 所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24, 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24. (3)若3π2＜α＜2π,则12＋1212＋12cos 2α可化简为 . 答案 －cos α2解析12＋1212×2cos 2α＝12＋12|cos α|, 因为32π＜α＜2π,所以|cos α|＝cos α.所以原式＝12＋12cos α＝cos 2α2.又因为34π＜α2＜π,所以原式＝－cos α2.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系. (2)常见的配角技巧:2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β2－α－β2,α＝α＋β2＋α－β2,α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等.跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且cos α＝17,cos(α＋β)＝－1114,则sin β＝ . 答案32解析 由已知可得sin α＝437,sin(α＋β)＝5314,∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. (2)计算:cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答)答案2解析cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝2425,0＜α＜π2,则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 . 答案 75解析 ∵sin 2α＝2425,0＜α＜π2,∴sin αcos α＝1225,sin α＞0,cos α＞0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1,∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925,∴sin α＋cos α＝75.∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75. (4)在△ABC 中,若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1,则cos C ＝ . 答案22解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1, 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1,即tan(A ＋B )＝－1,又A ＋B ∈(0,π), 所以A ＋B ＝3π4,则C ＝π4,cos C ＝22.1.已知α是第二象限角,且tan α＝－13,则sin 2α等于( )A.－31010B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角,且tan α＝－13,所以sin α＝1010,cos α＝－31010, 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎫－31010＝－35. 2.(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝15,则sin(2θ－50°)的值为( )A.－2325B.2325C.4625D.25答案 A解析 sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin 2(θ＋20°)－1＝－2325. 3.cos 15°＋sin 15 °cos 15°－sin 15°的值为( )A.33 B. 3 C.－33D.－ 3 答案 B解析 原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.4.(2020·沧州七校联考)若sin(π＋θ)＝－35,θ是第二象限角,sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255,φ是第三象限角,则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35,∴sin θ＝35,又θ是第二象限角,∴cos θ＝－45.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－255,φ为第三象限角, ∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.5.化简cos 250°－sin 220°－sin 30°sin 50°等于( ) A.12cos 10° B.－12cos 10°C.12sin 10° D.－12sin 10°答案 D解析 原式＝1＋cos 100°2－1－cos 40°2－12cos 40°＝12cos 100°＝－12sin 10°. 6.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°,b ＝22(sin 56°－cos 56°),c ＝1－tan 239°1＋tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞a ＞b D.a ＞c ＞b答案 D解析 a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127° ＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°, b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°,c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°, ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°,∴a ＞c ＞b . 7.(多选)下列四个选项中,化简正确的是( ) A.cos(－15°)＝6－24B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A 方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24,A 错误. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对于B,原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0,B 正确. 对于C,原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.对于D,原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.8.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝ .答案 －4 3解析 原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin (12°－60°)12sin 48°＝－4 3.9.设α为锐角,若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45,则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45＞0, ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2,∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 10.已知sin α＋cos β＝13,sin β－cos α＝12,则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13,sin β－cos α＝12,∴(sin α＋cos β)2＝19,(sin β－cos α)2＝14,即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19,①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得2＋2sin(α－β)＝1336,∴sin(α－β)＝－5972.11.若sin θ＝45且5π2＜θ＜3π,求cos θ2,tan θ2的值.解 ∵sin θ＝45,5π2＜θ＜3π,∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵cos θ＝2cos 2θ2－1,∴cos 2θ2＝1＋cos θ2,又∵5π4＜θ2＜3π2,∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55, tan θ2＝sinθ2cos θ2＝sin θ2cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2. 12.若sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513,cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35,且0＜α＜π4＜β＜34π,求cos(α＋β)的值. 解 因为0＜α＜π4＜β＜34π.所以34π＜34π＋α＜π,－π2＜π4－β＜0.又sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513, cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35,所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－1213,sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45, 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫34π＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝－3365.13.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A.－235 B.235 C.45 D.－45答案 D解析 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435,可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435,即32sin α＋32cos α＝435, 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435,sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 14.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35,β是第三象限角,则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝ . 答案7210解析 依题意可将已知条件变形为sin [(α－β)－α]＝－sin β＝35,sin β＝－35.又β是第三象限角,所以cos β＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.15.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝14,则sin 4θ＋cos 4θ的值为 . 答案 58解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝⎝⎛⎭⎫22cos θ－22sin θ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2θ22＋⎝⎛⎭⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 16.(2018·江苏)已知α,β为锐角,tan α＝43,cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43,tan α＝sin αcos α,所以sin α＝43cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1, 所以cos 2α＝925,因此,cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α,β为锐角,所以α＋β∈(0,π). 又因为cos(α＋β)＝－55,所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π, 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255,因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此,tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.第2课时 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1.化简:sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 22cos α解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.2.当π＜α＜2π时,化简:(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝________.答案 cos α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π＜α＜2π,∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0. ∴原式＝－cos α2cos α－cos α2＝cos α. 3.化简:sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________. 答案 12解析 方法一(从“角”入手,化复角为单角)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 方法二(从“名”入手,化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 4.化简:sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α ＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α ＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点.三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝________. 答案 －18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)sin 10°1－3tan 10°＝________. 答案 14解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110,cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45,即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010＞0,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以0＜θ＜π4,2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 根据同角三角函数基本关系式,可得cos 2θ＝35, 由两角差的正弦公式,可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35,1712π＜x ＜74π,则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝________. 答案 －2875解析 ∵17π12＜x ＜7π4, ∴5π3＜π4＋x ＜2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45, ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210,tan x ＝7. ∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875. 命题点3 给值求角例3 已知α,β为锐角,cos α＝277,sin β＝3143,则cos 2α＝________,2α－β＝________. 答案 17 π3解析 因为cos α＝277,所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又α,β为锐角,sin β＝3143, 所以sin α＝217,cos β＝1314, 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437, 所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角,所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0,所以0＜2α＜π2, 又β为锐角,所以－π2＜2α－β＜π2, 又sin(2α－β)＝32,所以2α－β＝π3.思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再根据角的范围确定角.跟踪训练 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D.1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0, 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0,又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,sin α＋cos α＞0, ∴2sin α＝3cos α,又sin 2α＋cos 2α＝1,∴cos α＝213,sin α＝313, ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝12,tan β＝－17,则2α－β的值为________. 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0, ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0,∴0＜2α＜π2, ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0,∴π2＜β＜π,－π＜2α－β＜0, ∴2α－β＝－3π4.1.计算:1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于() A.22 B.12 C.32 D.－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°) ＝sin 210°2sin 210°＝22. 2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14,则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A.－78 B.－14 C.14 D.78答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35,则sin 2x 等于( ) A.1825B.725C.－725D.－1625答案 C解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos π4cos x ＋sin π4sin x ＝22(cos x ＋sin x )＝35, 所以sin x ＋cos x ＝325,所以1＋2sin x cos x ＝1825, 即sin 2x ＝1825－1＝－725.4.(2020·福州模拟)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3D.22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C. 5.若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12,则sin 2α的值为( ) A.－78B.78C.－47D.47答案 B解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4 ＝2(cos α－sin α)＝12, 即cos α－sin α＝24,等式两边分别平方得 cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin 2α＝18,解得sin 2α＝78. 6.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且tan α＝1＋sin βcos β,则( ) A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 因为tan α＝1＋sin βcos β,所以sin αcos α＝1＋sin βcos β,即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β,所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α,即sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α,又α,β均为锐角,且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增,所以α－β＝π2－α,即2α－β＝π2,故选B. 7.(多选)函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间可以是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π－π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 答案 AB解析 f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x , 由π2＋2k π≤2x ≤2k π＋3π2,k ∈Z , 得π4＋k π≤x ≤k π＋3π4,k ∈Z , ∴函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ), ∵函数的周期是k π(k ≠0),故A 也正确.故选AB.8.(多选)下列说法不正确的是( )A.存在x 0∈R ,使得1－cos 3x 0＝log 2110B.函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期为πC.函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0 D.若角α的终边经过点(cos(－3),sin(－3)),则角α是第三象限角答案 ABC解析 在A 中,因为cos x 0∈[－1,1],所以1－cos 3x 0≥0,因为log 2110＜log 21＝0, 所以不存在x 0∈R ,使得1－cos 3x 0＝log 2110,故A 错误； 在B 中,函数y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x 的最小正周期为π2,故B 错误； 在C 中,令2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2＋k π,k ∈Z , 得x ＝－π12＋k π2,k ∈Z , 所以函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，0,k ∈Z ,故C 错误； 在D 中,因为cos(－3)＝cos 3＜0,sin(－3)＝－sin 3＜0,所以角α是第三象限角,故D 正确.9.化简:⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝___________________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.10.(2019·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3,则sin 2θ－2cos 2θ＝________.答案 －45解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3,1＋tan θ1－tan θ＝3,解得tan θ＝12, sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.已知tan α＝－13,cos β＝55,α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,求tan(α＋β)的值,并求出α＋β的值. 解 由cos β＝55,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 得sin β＝255,tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以π2＜α＋β＜3π2, 所以α＋β＝5π4. 12.已知0＜α＜π2＜β＜π,cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13,sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值. 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4·sin β＝22cos β＋22sin β＝13, 所以cos β＋sin β＝23, 所以1＋sin 2β＝29,所以sin 2β＝－79.方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0＜α＜π2＜β＜π,所以π4＜β－π4＜34π,π2＜α＋β＜3π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＞0,cos(α＋β)＜0,因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13,sin(α＋β)＝45,所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223,cos(α＋β)＝－35.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.13.(2019·福建省百校联考)若α∈(0,π),且3sin α＋2cos α＝2,则tan α2等于() A.32 B.34C.233 D.433答案 A解析 由已知得cos α＝1－32sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1,得sin 2α＋⎝⎛⎭⎫1－32sin α2＝1,整理得74sin 2α－3sin α＝0,解得sin α＝0或sin α＝437. 因为α∈(0,π),所以sin α＝437,故cos α＝1－32×437＝17. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32. 14.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17,⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314,0＜β＜α＜π2,则β＝______. 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314,又0＜β＜α＜π2,∴0＜α－β＜π2, 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314, 又cos α＝17,∴sin α＝437, 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0＜β＜π2,故β＝π3.15.已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4,β∈⎝⎛⎭⎫0，π4,且cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35,sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213,则cos(α＋β)＝________. 答案 －3365解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4,∴π4－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0, 又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45, ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213,∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝1213, 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π4,π4＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2, ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝513,∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513×35－1213×45＝－3365. 16.(2019·江苏泰州中学模拟)已知0＜α＜π2＜β＜π,且sin(α＋β)＝513,tan α2＝12. (1)求cos α的值；(2)证明:sin β＞513. (1)解 ∵tan α2＝12, ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,解得cos α＝35. (2)证明 由已知得π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝513,∴cos(α＋β)＝－1213. 由(1)可得sin α＝45, ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×45＝6365＞513.。

§4.3简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)2．二倍角公式 (1)基本公式： sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形：由cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质． 3．思考求α2的正弦、余弦、正切公式．提示 sin α2＝±1－cos α2； cos α2＝±1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(4)在非直角三角形中有tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B tan C ．( √ )题组二 教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 4．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝3－3tan 10°tan 50°，∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3. 5．(tan 10°－3)sin 40°的值为 ． 答案 －1解析 (tan 10°－3)·sin 40° ＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·sin 40°＝2sin (10°－60°)cos 10°·sin 40°＝－2sin 50°cos 10°·sin 40°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1.题组三 易错自纠6．(2020·昆明一中第二次双基检测)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3等于( )A.13B.23C.33D.63 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝33， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝1－2×13＝13.7．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝________.答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.8．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 得sin θ－cos θ＝15，平方得2sin θcos θ＝2425，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可求得sin θ＋cos θ＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.方法二 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141 D ．1答案 D解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25， ∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ．答案 12解析sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.4．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 ． 答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1. 又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．公式的灵活应用命题点1 角的变换例1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，则cos α的值为 ． 答案210解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫ α＋π4＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ α＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫ α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫ α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210.(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 －2425解析 因为α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45， 那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210， 于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1 ＝－2425.命题点2 三角函数式的变换例2 (1)(2020·四川绵阳诊断)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. (2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°＝ . 答案32解析 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 命题点3 公式的综合应用例3 (1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．答案 2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2. (2)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝ . 答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±223， 所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24. (3)若3π2<α<2π，则12＋12 12＋12cos 2α可化简为 ． 答案 －cos α2 解析 12＋12 12×2cos 2α＝12＋12|cos α|， 因为32π<α<2π，所以|cos α|＝cos α. 所以原式＝12＋12cos α＝cos 2α2. 又因为34π<α2<π，所以原式＝－cos α2. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 答案 32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. (2)计算： cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) 答案2 解析 cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2. (3)(2020·四川德阳诊断)已知sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 ． 答案 75解析 ∵sin 2α＝2425，0<α<π2， ∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin α＋cos α＝75.∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75. (4)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝ .答案 22解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于()A.89B.79 C ．－79D ．－89答案 B 解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．(2020·四川宜宾诊断)已知sin(θ＋20°)＝15，则sin(2θ－50°)的值为( ) A ．－2325B.2325C.4625D.25 答案 A解析 sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin 2(θ＋20°)－1＝－2325. 3.cos 15°＋sin 15 °cos 15°－sin 15°的值为( ) A.33B. 3 C ．－33 D ．－ 3 答案 B解析 原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.4．(2019·全国Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．5．(2020·桂林、崇左联合模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，则sin 2θ等于( ) A.13 B.310 C.35 D.45答案 C解析 由题意得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， ∴1＋tan θ1－tan θ＝2，∴tan θ＝13. 当θ在第一象限时，sin θ＝1010，cos θ＝31010， ∴sin 2θ＝2×1010×31010＝35. 当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010， ∴sin 2θ＝2×－1010×－31010＝35. 6．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. 7.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 8．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 ．答案 17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 9.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°(2cos 212°－1) ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24° ＝23sin (12°－60°)12sin 48°＝－4 3. 10．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ . 答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12， ∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14， 即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.② ①＋②得2＋2sin(α－β)＝1336， ∴sin(α－β)＝－5972. 11．若sin θ＝45且5π2<θ<3π，求cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. ∵cos θ＝2cos 2θ2－1， ∴cos 2θ2＝1＋cos θ2，又∵5π4<θ2<3π2， ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55， tan θ2＝sin θ2cos θ2＝sin θ2cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2. 12．若sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)的值． 解 因为0<α<π4<β<34π. 所以34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫34π＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－3365.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45答案 D解析 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 14．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝ . 答案 7210 解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 答案 58解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎫22cos θ－22sin θ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22 ＝116＋916＝58. 16．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan(α＋β)1＋tan 2αtan(α＋β)＝－211.。

§4.6解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．3．测量中的有关几个术语概念方法微思考1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?提示第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B. 2．在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．提示题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ． 答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.4．已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为 ． 答案2π3解析 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，C 为最大内角， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(3k )2＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.题组三 易错自纠5．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ,3sin A ＝5sin B ，则C ＝ . 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b . 又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.答案75°解析如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°， ∴A ＝180°－60°－45°＝75°.(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ．答案66解析 设AB ＝a ，∵AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，BDsin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5答案 A解析 ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若 a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．本例(1)中，若将条件变为a ＝b cos C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a ＝b cos C ，∴sin A ＝sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ，∴cos B sin C ＝0， ∵sin C >0，∴cos B ＝0. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．命题点2 三角形面积的计算例3 (2020·四川联合诊断考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )cos B ＝3cos 2B －32，且B 为锐角． (1)求B ；(2)若b ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)因为sin(A ＋C )cos B ＝3cos 2B －32， 所以2sin(A ＋C )cos B ＝3(2cos 2B －1)， 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin 2B ＝3cos 2B ， 即tan 2B ＝3，因为B 为锐角，所以2B ∈(0，π)，所以2B ＝π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知B ＝π6，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2＋c 2－3ac －1＝0，因为a 2＋c 2≥2ac ，所以ac ≤2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝c ＝6＋22时取等号， 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34(当且仅当a ＝c ＝6＋22时取等号)．故△ABC 面积的最大值是2＋34.命题点3 求解平面图形问题例4 (2020·成都外国语学校检测)如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2(b 2＋c 2)＝2a 2＋6bc ，b ＝6，E 为线段AB 上一点，BE ＝BC ，△ACE 的面积为154.求：(1)AE 的长； (2)sin ∠ACE sin ∠BCE的值． 解 (1)由2(b 2＋c 2)＝2a 2＋6bc ，可知cos A ＝64， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝104.由S △ACE ＝12×AE ×6×104＝154，∴AE ＝1.(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴sin ∠BCE ＝sin ∠BEC ＝sin ∠AEC ， ∴sin ∠ACE sin ∠BCE ＝sin ∠ACE sin ∠AEC ＝AE AC ＝16＝66.思维升华 (1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (3)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.(3)(2020·贵阳一中适应性考试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ⊥AC ，AB ＝2 3.①若∠ABC ＝30°，CD ＝3AD ，求BD 的长； ②若AC ＝2，∠ADB ＝30°，求sin ∠CAD 的值． 解 ①在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·tan ∠ABC ＝2. 在Rt △ACD 中，tan ∠CAD ＝CDAD＝3， 所以∠CAD ＝60°， 所以AD ＝AC ·cos ∠CAD ＝1. 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠BAD ＝19， 所以BD ＝19.②设∠CAD ＝θ，则∠ABD ＝60°－θ，AD ＝2cos θ， 在△ABD 中，由正弦定理得2cos θsin (60°－θ)＝23sin 30°，化简得cos θ＝32sin θ， 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin 2θ＝47，又θ为锐角，所以sin θ＝277，即sin ∠CAD ＝277.一、测量距离问题例1 (1)如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为 km.答案64解析 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32km. 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－∠CDB －∠ACD －∠ACB ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km. (2)如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为 m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△P AB≌△PQB，∴PQ＝P A.在Rt△P AB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝ (30＋303)(m)． 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°， 所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1.2．(2019·沧州七校联考)已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5.若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14 C ．1 D ．2 答案 A解析 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得S △ABC＝12bc sin A ＝12×2×12＝12. 4．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π， 所以A ＝π4.5．(2020·广西桂林、梧州、贵港、玉林、崇左、北海联合调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a 等于( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 ∵3sin A ＝2sin C ， ∴3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，则k ＝3⎝⎛⎭⎫k ＝－53舍去，从而a ＝6. 6．(2019·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2， 即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc＝－3c 22bc ＝－14， ∴b c＝6. 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝ . 答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ， 所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.8．(2019·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为 ． 答案 6 3解析 方法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×43×23×sin π3＝6 3. 方法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以S △ABC ＝12×23×6＝6 3.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.答案 150解析 在Rt △ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝AC sin 45°，解得MA ＝1003，在Rt △MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.10．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；ca的取值范围是 ． 答案 π3(2，＋∞)解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π3.又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2， 即c a>2. ∴ca的取值范围是(2，＋∞)． 11．(2019·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sinC ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.12．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求角A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<B <π，所以0<A <π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________. 答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.15．在△ABC 中，C ＝60°，且a sin A ＝2，则△ABC 面积S 的最大值为________．答案334解析 由C ＝60°及c sin C ＝a sin A＝2，可得c ＝ 3. 由余弦定理得3＝b 2＋a 2－ab ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴S ＝12ab sin C ≤12×3×32＝334，∴△ABC 的面积S 的最大值为334.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos C －c ＝2a .(1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 解 (1)∵2b cos C －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b ·a 2＋b 2－c 22ab －c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③ 由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)， ∴c ＝5.。

强化训练 函数的性质1．下列函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e x ＋e －x C ．f (x )＝x 3＋xD ．f (x )＝1x 2 答案 C解析 对于A ，函数为奇函数，但在(0，＋∞)上无单调性，所以A 不符合题意． 对于B ，由于f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以B 不符合题意． 对于C ，函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，所以C 符合题意． 对于D ，函数f (x )为偶函数，不符合题意．2．函数f (x )＝x ＋9x(x ≠0)是( ) A ．奇函数，且在(0,3)上是增函数B ．奇函数，且在(0,3)上是减函数C ．偶函数，且在(0,3)上是增函数D ．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案 B解析 因为f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋9x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋9x 为奇函数． 又f ′(x )＝1－9x 2，在(0,3)上f ′(x )<0恒成立，∴f (x)在(0,3)上是减函数．3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f (x)是偶函数可得b＝0，∴g(x)＝2ax3＋9x，∴g(x)是奇函数．4．(2020·四川攀枝花诊断)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[0,1]D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且 f (1)＝－1，所以 f (2x－1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是()A．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021)C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)答案 A解析因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x ＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)．6．(2020·四川泸州诊断性考试)已知函数f (x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则下列结论正确的是()A．f (x)的值域是(0,1) B．f (x)是奇函数C．f (x)是周期函数D．f (x)是增函数答案 C解析 由[x ]表示不超过x 的最大整数，对于A ，函数f (x )＝x －[x ]∈[0,1)，A 错误；对于B ，函数f (x )＝x －[x ]为非奇非偶的函数，B 错误；对于C ，函数f (x )＝x －[x ]是周期为1的周期函数，C 正确；对于D ，函数f (x )＝x －[x ]在区间[0,1)上为增函数，但在整个定义域内不具备单调性，D 错误．7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (3)＝3，则f (2 022)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.8．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.9．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________.答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；(2)f (2 021)＋f (－2 022)的值．解 (1)f (0)＝log 21＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(2)依题意得，当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即当x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.12．已知f (x )＝3x ＋b ax 2＋2是奇函数，且f (2)＝35. (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明；(3)求f (x )的最大值．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－3x ＋b ax 2＋2＝－3x ＋b ax 2＋2， ∴b ＝－b ，∴b ＝0.又f (2)＝35，∴64a ＋2＝35， ∴a ＝2.(2)f (x )在(－∞，－1]上为减函数．证明如下：由(1)知f (x )＝3x 2x 2＋2＝32x ＋2x， 令g (x )＝x ＋1x， 则g (x )的单调性和f (x )的单调性相反．设x 1<x 2≤－1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2.∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0， ∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )在(－∞，－1]上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数．(3)由(1)(2)结合计算可知f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x <0时，f (x )<0，且f (1)＝34>0， ∴f (x )max ＝f (1)＝34.13．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x .所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1my i ＝m 2×2＝m ，故选B. 14．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.15．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案－8解析因为定义在R上的奇函数满足f (x－4)＝－f (x)，所以f (x－4)＝f (－x)．由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f (0)＝0.由f (x－4)＝－f (x)知f (x－8)＝f (x)，所以函数的周期为8.又因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x)的大致图象如图所示，那么方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x－1)<2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f (－x)＝f (－1)＋f (x)，所以f (－x)＝f (x)，又f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以f (x－1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。

学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图： (1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．(·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．(·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图 例2 (1)函数2log 2xy =|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)(·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(·重庆改编)函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．(·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称． 2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象．又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分) (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分) f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分) (4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12分) (5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分) ∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分) 可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。

§2.9函数模型及其应用1．几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)已知a >0且a ≠1，则不存在x 0，使0x a <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．已知某物体的温度Q (单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律为Q ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，且m >0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得，m ·2t ＋21－t ≥2恒成立(t ≥0，且m >0)， 又m ·2t ＋21－t ≥22m ，∴22m ≥2，∴m ≥12.题组三 易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.6．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)． 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是()答案 B解析v＝f (h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知函数模型的实际问题例 (1)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.则当Q ＝300时，L (Q )取得最大值为2 500万元．(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________． ②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)． ②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关键点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系： Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 答案 ①120 ②80解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.命题点1 构造二次函数模型例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4,8]．命题点2 构造指数函数、对数函数模型例2 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得110112x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即110211,22m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 310211,22n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．命题点3 构造“对勾函数”模型例3 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．命题点4 构造分段函数模型例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x >400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．(1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数； (2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x ≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数， 故y <60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示.1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()答案 A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x答案 B解析 由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B.4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3 答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．6．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 B解析 设该股民购进股票的资金为a ，则交易结束后，所剩资金为a (1＋10%)n ·(1－10%)n ＝a ·(1－0.01)n ＝a ·0.99n <a .7.某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案 19解析 由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．9．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计)答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间， 因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥2 36v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号． 故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h. 11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4≤x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，a ≠0，显然v ＝ax ＋b 在[4,20]内是减函数， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52， 故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(x ∈N *) (2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5. 所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)之间存在函数关系y ＝c ⎝⎛⎭⎫12mt (c ，m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 解 (1)由题意可列方程组⎩⎨⎧ 64＝c ⎝⎛⎭⎫124m ，32＝c ⎝⎛⎭⎫128m ， 两式相除，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝128，m ＝14.(2)由题意可列不等式1411280.52t ⎛⎫⎪⎝⎭≤, 所以1412t ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤⎝⎛⎭⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．13．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14， ∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时)． 14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则01()2t a a hT T T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝－，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝16185212()h⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭－，∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴t ＝8.15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.答案 5－12解析 由题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0<x <150.依题意，单套丛书利润 P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x－30， 所以P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120. 因为0<x <150，所以150－x >0，则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20， 当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．。