高中数学必修五同步练习题库：不等关系与不等式(填空题：一般)

人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测同步测试共 24 题一、选择题1、若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（﹣1，3）和（1，1），若0＜c＜1，则实数a的取值范围是（）A.[2，3]B.[1，3]C.（1，2）D.（1，3）5、设0＜x＜，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A. B.C.a2＜b2D.|a|＞|b|7、若a、b为实数，则a＞b＞0是a2＞b2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件8、设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C.|a|＞﹣bD.9、设，若x＞1，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.c＜b＜a10、已知偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣3），f（﹣1），f（2）的大小关系是（）A.f（2）＞f（﹣3）＞f（﹣1）B.f（﹣1）＞f（2）＞f（﹣3）C.f（﹣3）＞f（﹣1）＞f（2）D.f（﹣3）＞f（2）＞f（﹣1）11、比较a，b，c的大小，其中a=0.22， b=20.2， c=log0.22（）A.b＞c＞aB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.b＞a＞c12、设a=log54，b=（log53）2， c=log45则（）A.a＜c＜bB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.b＜a＜c13、设，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a14、以下四个数中的最大者是（）A.（ln2）2B.ln（ln2）C.lnD.ln215、设函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（）A.f（a+1）=f（2）B.f（a+1）＞f（2）C.f（a+1）＜f（2）D.不能确定16、设偶函数f（x）=log a|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系是（）A.f（b﹣2）=f（a+1）B.f（b﹣2）＞f（a+1）C.f（b﹣2）＜f（a+1）D.不能确定17、设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（）A.a＜b＜c＜dB.c＜d＜a＜bC.c＜b＜d＜aD.b＜d＜c＜a18、若a＞b，则下列不等式正确的是（）A. B.a3＞b3C.a2＞b2D.a＞|b|二、填空题19、设方程2lnx=7﹣2x的解为x0，则关于x的不等式x﹣2＜x0的最大整数解为________．20、已知﹣1＜a，b，c＜1，比较ab+bc+ca与﹣1的大小关系为________．（填“＜”或“=”或“＞”）．21、已知f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=2x，则f（2），f（3），g（0）的大小关系为________．22、如图，已知函数y=a x， y=b x， y=c x， y=d x的图象分别是曲线C1， C2， C3， C4，则a，b，c，d的大小关系用“＜”连接为________．23、y=log a x ， y=log b x ， y=log c x ， y=log d x（a、b、c、d＞0且均不为1）的图象如图则a、b、c、d大小关系是________．三、解答题24、、设0＜a＜1，，(1)求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；(2)解关于x的不等式：f（a x）+f（﹣2）＞f（2）+f（﹣a x）参考答案一、选择题1、【答案】A【解析】解答：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜ ”或“0＞b＞ ”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜ ”或“b＞ ”．“a＜ ”或“b＞ ”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的充分而不必要条件．故选A．分析：因为“0＜ab＜1”⇒“a＜ ”或“b＞ ”．“a＜ ”或“b＞ ”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的充分而不必要条件．2、【答案】B【解析】【解答】∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．3、【答案】A【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选A．【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论并分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．4、【答案】C【解析】解答：由题意：得b=﹣1，∴a+c=2．又0＜c＜1，∴0＜2﹣a＜1，∴1＜a＜2．故选C分析：由图象过两点建立a、b、c的关系式，得到关于a的不等式，解此不等式即可．5、【答案】B【解析】解答：因为0＜x＜，所以0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx ，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的必要而不充分条件故选B．分析：xsin2x＜1，xsinx＜1是不一定成立的．不等关系0＜sinx＜1的运用，是解决本题的重点．【解析】解答：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选A．分析：根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．7、【答案】A【解析】【解答】若a＞0，b＞0，∵a2＞b2，∴a2﹣b2＞0，∴a＞b或a＜﹣b，∴a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，∴a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件，故选A．【分析】当a，b＞0时，由题意解出a2＞b2为a＞b或a＜﹣b，然后再判断命题的关系；8、【答案】D【解析】解答：∵a＜b＜0，∴，A正确，﹣a＞﹣b＞0，，B正确，|a|＞|b|=﹣b，C正确；，故D不正确．故选D．分析：利用不等式的基本性质可逐个判断.9、【答案】C【解析】解答：0＜，∴c＜a＜b故选C．分析：根据x＞1，可判定a与1的大小，b与1的大小，以及c与零的大小，从而判定a，b，c的大小关系．10、【答案】D【解析】【解答】∵函数f（x）在区间（0，+∞）是单调增函数又∵函数f（x）是偶函数∴函数f（x）的图象关于y轴对称即函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数∴直线x=0是函数的对称轴且左减右增，即自变量x离直线x=0距离越远函数值越大，故选D．【分析】由偶函数的性质可知，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，结合图象便可知答案选D．【解析】【解答】根据对数函数的性质可知c=loɡ0.22＜0根据指数函数的性质可知0＜0.22＜1，20.2＞1∴b＞a＞c故选D【分析】将loɡ0.22看作函数y=loɡ0.2x当x=2时所对应的函数值小于零，将a=0.22看作函数y=0.2x当x=2时所对应的函数值小于1，将b=20.2看作函数y=2x当x=0.2时所对应的函数值大于1．12、【答案】D【解析】【解答】∵a=loɡ54＜loɡ55=1，b=（loɡ53）2＜（loɡ55）2， c=loɡ45＞loɡ44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．【分析】因为a=loɡ54＜loɡ55=1，b=（loɡ53）2＜（loɡ55）2， c=loɡ45＞loɡ44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．13、【答案】A【解析】解答：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln ＜lne=1c= ＜loɡ31=0∴a＞b＞c故选A．分析：根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．14、【答案】D【解析】解答：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln = ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．分析：根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．15、【答案】B【解析】解答：由f（x）=且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1．∴1＜a+1＜2．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∴f（a+1）＞f（2）．答案：B分析：本题是个偶函数，其在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，根据复合函数的单调性可以判断出，外层函数是个减和，所以a∈（0，1），即a+1＜2由单调性可知，f（a+1）＞f（2）16、【答案】C【解析】【解答】偶函数f（x）=loɡa|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，故 b=0，a＞1．故 f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），故a+1＞2，f（a+1）＞f（2）．综上，f（b﹣2）＜f（a+1），故选C．【分析】由条件可得 b=0，a＞1，故 f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），故a+1＞2，由函数的单调性求出f（a+1）＞f（2），由此求得结论．【解析】解答：∵e＜x＜10∴lnx＞1，lɡx＜1∴a=ln（lnx）＞0，b=lɡ（lɡx）＜0，c=ln（lɡx）＜0，d=lɡ（lnx）＞0，令x=e2，则a=ln2，d=lɡ2显然a＞d令x= ，则b=lɡ =﹣lɡ2，c=ln =﹣ln2，显然b＞c所以c＜b＜d＜a故选C．分析：先根据x的范围判定a、b、c、d的符号，然后令x=e2，可比较a与d的大小关系，令x=10，可比较b与c的大小关系，从而得到a、b、c、d的大小关系18、【答案】B【解析】解答：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．a2=1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．分析：用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．二、填空题19、【答案】【第1空】4【解析】【解答】∵方程2Inx=7﹣2x的解为x0，∴x0为函数函数y=2Inx﹣7+2x的零点由函数y=2Inx在其定义域为单调递增，y=7﹣2x在其定义域为单调递减，故函数函数y=2Inx﹣7+2x至多有一个零点由f（2）=2In2﹣7+2×2＜0f（3）=2In3﹣7+2×3＞0故x0∈（2，3），则x﹣2＜x0可化为x＜x0+2则满足条件的最大整数解为4故答案：4【分析】由方程2Inx=7﹣2x的解为x0，我们易得函数y=2Inx﹣7+2x的零点为x0，根据函数零点的判定定理，我们可得x0∈（2，3），根据不等式的性质我们易求出等式x﹣2＜x0的最大整数解．20、【答案】【第1空】＞【解析】【解答】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，由函数的性质可得：f（x）是单调函数，因为f（1）=（1+b）（1+c）＞0，f（﹣1）=（﹣1+b）（﹣1+c）=（1﹣b）（1﹣c）＞0，所以﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，所以f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，即ab+bc+ca＞﹣1．故答案为：＞．【分析】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，并且f（x）是单调函数，结合条件可得f（1）＞0，f（﹣1）＞0，进而得到﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，则有f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，进而得到答案．21、【答案】【第1空】f（3）＞f（2）＞g（0）【解析】【解答】∵f（x）是R上的奇函数，ɡ（x）是R上的偶函数，且满足f（x）﹣ɡ（x）=2x，①∴f（﹣x）﹣ɡ（﹣x）=2﹣x，即﹣f（x）﹣ɡ（x）=2﹣x，即f（x）+ɡ（x）=﹣2﹣x，②由①②知f（x）= ，ɡ（x）=﹣故有f（2）= ，f（3）= ，ɡ（0）=﹣1，故有f（3）＞f（2）＞ɡ（0）故答案为：f（3）＞f（2）＞ɡ（0）【分析】本题中两个函数一个是奇函数，一个是偶函数，且知道两个函数的差，要比较f（2），f（3），ɡ（0）的大小，需要先根据函数的奇偶性求出两个函数的解析式，求出三个函数值，即可比较大小．22、【答案】【第1空】b＜a＜d＜c【解析】【解答】作一条直线x=1，它与图象从上到下的交点的纵坐标分别为：c，d，a，b．∴c＞d＞a＞b．即b＜a＜d＜c．故答案为：b＜a＜d＜c．【分析】欲比较指数函数中底数的大小，可作一条直线x=1，它与各个指数函数的交点的纵坐标恰在此时好是底数，通过观察交点的上下位置即可解决问题．23、【答案】【第1空】c＜d＜a＜b【解析】【解答】如图作直线y=1，其与四个函数图象的交点坐标分别是（a，1），（b，1），（c，1），（d，1），由图知四大小关系为以c＜d＜a＜b故应填c＜d＜a＜b【分析】作直线y=1，其与四个函数图象的交点坐标分别是（a，1），（b，1），（c，1），（d，1），由图象即可得出a、b、c、d大小关系．三、解答题24、 【答案】(1) 解：令t=log a x， 则x =a t ， ∴ ，∴f （x ）= ），x ∈R ．∵f （﹣x ）=f （x ），∴奇函数．∵0＜a ＜1，∴函数为增函数(2) ∵f （a x ）﹣f （2）＞f （2）﹣f （a x ）∴f （a x ）＞f （2），a x ＞2，∵0＜a ＜1，∴x ＜log a 2【解析】【分析】（1）令t=lo ɡa x ， 则x=a t ， ∴，从而可得函数f （x ）的表达式；（2）问题等价于f （a x ）＞f （2），从而a x ＞2，由于0＜a ＜1，∴x ＜lo ɡa 2；2。

不等关系与不等式（填空题：容易）1、比较大小：则从小到大的顺序为2、若，则的取值范围是3、若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．4、若关于的不等式的解集为，则__________．5、若关于的不等式的解集为，则__________．6、若，，且，则下列关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的序号是．7、已知，则的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．8、求证：+>2+．9、给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）10、不等式的解集是11、设，那么的大小关系是________.12、给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）13、若，则下列不等式，对任意满足条件的恒成立的是．（写出所有正确命题的编号）①；②；③；④；⑤14、已知实数的范围是（用区间表示）_____________.15、不等式的解集是 .16、给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若正整数m和n满足m＜n，则；④若x＞0，且x≠1，则.其中所有真命题的序号是 .17、已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，则lg的取值范围是________．18、给出下列条件：①1<a<b；②0<a<b<1；③0<a<1<b.其中，能使log b<log a<log a b成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)19、[2014·扬州期末]若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．20、设a>b>0,m=-,n=,则m,n的关系是.21、若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .22、已知a=2，b=，则a，b大小关系是a b．23、在中，且．．所对边分别为，若，则实数的取值范围为24、给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，是非零实数，且，则；④若，则，其中正确的命题是 .25、a、b、c、d均为实数，使不等式和都成立的一组值（a，b，c，d）是．（只要写出适合条件的一组值即可）26、观察以下不等式；；；；由此猜测第n个不等式为________________.27、已知为实数，则不等式取等号的充要条件为；28、用“”将从小到大排列是 .29、研究问题：“已知关于的不等式的解集为(1，2)，解关于的不等式”，有如下解法：解：由令，则所以不等式的解集为参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式的解集为 .30、已知关于x的不等式组的整数解6个，则a的取值范围是____________.31、将方程的正根从小到大地依次排列为，给出以下不等式：①；②；③；④；其中，正确的判断是．（请写出正确的序号）32、若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对实数x，y都成立，则实数a范围是A．a≥0B．a≥1C．a≥2D．a≥333、若，则a,b,c的大小关系是．34、已知，则不等式的解集是。

不等关系与不等式（选择题：一般）1、已知函数，若对任意，存在使得，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．2、已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a 的取值范围是A． B． C． D．3、如果，，在不等式①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④4、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个5、若，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．6、设，，，则a, b, c的大小顺序是（）A． B． C． D．7、设是非零实数，若，则一定有（）A． B．C． D．8、已知，则与的大小关系是（）A． B．C． D．无法确定9、，，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10、若实数且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．11、设，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．12、若下列不等式成立的是( )A． B． C． D．13、甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购粮用去元钱，乙每次购买的，谁的购粮方式更合算（）A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定14、设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．15、已知，，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．16、若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．17、设，，若，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．18、如果满足且，那么下列选项中不一定成立的是（）A． B． C． D．19、若，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20、若，则下列结论不正确的是（）．A． B． C． D．21、对于任意实数以下四个命题：；；；.其中正确的个数是A． B． C． D．22、若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．23、对于实数，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件24、已知，，，那么下列命题中正确的是（）．A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若且，则25、下列命题正确的是（）A．若，则 B．若则C． D．若且，则的最小值为4.26、下列说法正确的是 ()A．，且，则 B．若，则C．，且，则 D．，且，则27、《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（）A． B．C． D．28、已知，且，若，则一定有（）A． B． C． D．29、已知，且满足：，，则的取值范围是（）A． B． C． D．30、已知.( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则31、记则A,B,C的大小关系是（）A． B． C． D．32、下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则33、下列结论正确的是（）A．若，则ac2>bc2 B．若，则C．若，则 D．若，则34、若实数，且满足，则的大小关系是（）A． B． C． D．35、下列不等式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（）A．②④ B．①② C．②③ D．①②④36、高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）楼A． B． C． D．37、若，，则下列不等式恒成立的是( )A． B． C． D．38、若，，则下列不等式恒成立的是( )A． B． C． D．39、对于任意实数，下列结论：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则.正确的结论为( )A．②④ B．③ C．②③ D．①40、若a＞b＞0，0＜c＜d，则一定有()A． B． C． D．41、若，设，则大小为 ( )A． B． C． D．42、若，，则一定有（）A． B． C． D．43、设，则的大小顺序是 ( )A． B． C． D．44、已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．45、已知，，则下列各式正确的是( )A． B． C． D．46、已知正实数满足，则下列不等式不正确的是（）A． B． C． D．47、已知正实数满足，则下列不等式不正确的是（）A． B． C． D．48、若，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．49、若，，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．50、若，则下列结论中，正确的是( )①②③④A．①② B．③④ C．①④ D．②③51、已知，，下列结论成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则（，）52、若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A． B．C． D．53、对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．54、已知，，且，则 ( )A． B． C． D．55、如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A．< B．ab<b2 C．－ab<－a2 D．－<－56、设，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．57、下列结论正确的是（）A．若，则ac2>bc2 B．若，则C．若，则 D．若，则58、设，，则下列不等式成立的是A． B． C． D．59、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是() A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－60、下列命题正确的是A．若 B．若，则有C．若 D．若61、若a<b<c，则下列结论中正确的是()A．a|c|<b|c| B．ab<ac C．a－c<b－c D． >>62、设，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．63、把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A．如果，，那么 B．如果，那么C．如果，，那么 D．如果，，那么64、设集合则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件65、若a<b<c，则下列结论中正确的是()A．a|c|<b|c| B．ab<ac C．a－c<b－c D． >>66、给出下列命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④67、已知三角形的三边长分别为，有以下四个命题：（1）以为边长的三角形一定存在；（2）以为边长的三角形一定存在；（3）以为边长的三角形一定存在；（4）以为边长的三角形一定存在；其中错误命题的个数为A．0 B．1 C．2 D．368、若,下列不等式成立的是（）A． B． C． D．69、若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（）A． B．C． D．70、设，，则下列不等式成立的是A． B． C． D．参考答案1、B2、A3、B4、D5、D6、C7、C8、B9、B10、B11、C12、C13、A14、C15、D16、C17、B18、C19、C20、D21、B22、B23、B24、C25、D26、D27、D28、D29、B30、B31、B32、D33、D34、B35、C36、B37、D38、D39、B40、D41、B42、D43、C44、D45、D46、D47、D48、B49、B50、A51、B52、B53、C54、A55、D56、B57、D58、D59、C60、B61、C62、D63、D64、C65、C66、C67、B68、A69、B70、D【解析】1、，因此有解，所以，选B.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.2、不等式为 (*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.3、用排除法，，可令，此时，不成立，②错误，排除，，故选B.4、试题分析：由可知，假设代入不等式中验证可得均正确考点：不等式性质5、试题分析：令，可排除A，B，C三个选项，故选D.考点：不等式的性质.6、试题分析：因为，所以，而，，所以，故应选．考点：指数及其指数函数的性质．7、试题分析：因为是非零实数，，所以，所以，所以，故选C.考点：不等式的性质.8、试题分析：，∵，∴，∴，，故选B.考点：不等式比较大小.9、当，则，则，故错误；当时，必有，则可得，故正确；令，则，满足，但，故错误；令，则，但，故错误，故选B.10、根据不等式的性质知，时，恒有，故选B．11、因为是减函数，所以，又是上的增函数，故，综上，故选C.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12、，即，故选项不正确；，即，故选项不正确；，即，故选项正确；，即，故选项不正确，故选C.13、设第一次采购时粮食价格为每千克元，第二次采购时粮食价格为每千克元，则甲的平均价格为，乙的平均价格为，，所以乙的狗粮方式更合算.选A.14、由于，取，不能推出，又取，推不出，而，，又是非零实数，则，则.选C.15、A构造函数，因为，故函数是减函数，，根据单调性得知，故选项不对。

课时训练15不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是()A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.(∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有.答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a <1b,又c<0,∴c a >c b,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a>1,则1+a<1+1a,∴log a (1+a )>log a (1+1a ),故④正确. 二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a 2+2>2a ;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+b 2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案:D解析:①a 2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a 2+2>2a ,正确;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a 2+b 2≥2(a-b-1),正确; ③a 2+b 2-ab=(a -12b)2+34b 2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D . 5.若A=a 2+3ab ,B=4ab-b 2,则A ,B 的大小关系是 ( )A.A ≤BB.A ≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 . 答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×Sv1+v 22=4Sv 1+v 2. ∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v1v 2−4Sv 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x+a 与y y+b的大小关系. 解:因为x x+a −y y+b=bx -ay(x+a )(y+b ),又1a >1b 且a>0,b>0,所以b>a>0. 又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0. 又x+a>0,y+b>0, 所以bx -ay (x+a )(y+b )>0,即xx+a>yy+b. 三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 . 答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.① ∵3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1xy 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围: (1)2a+b ;(2)a-b ;(3)a b.解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8. (2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3. 又1<a<2,所以-3<a-b<-1. (3)因为3<b<4,所以14<1b <13. 又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0. 求证:√ad 3<√bc 3.思路分析:解答本题可先比较a d 与b c的大小,进而判断√a d3<√b c3. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d.又a>b>0,∴-a d >-b c>0.∴√-a d 3>√-b c 3,即-√a d 3>-√b c 3.两边同乘以-1,得√a d3<√b c3.(建议用时:30分钟)1.若a ,b ∈R ,且a>b ,则( )A.a 2>b 2B.b a<1 C.lg(a-b )>0 D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b ,无法保证a 2>b 2,ba <1和lg(a-b )>0,∴排除A 与B,C,故选D .2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B.ab<b 2 C.-ab<-a 2 D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C 错误,故D 正确. 3.若a>b>c ,则下列不等式成立的是( ) A.1a -c >1b -c B.1a -c <1b -c C.ac>bc D.ac<bc答案:B解析:∵a>b>c ,∴a-c>b-c>0.∴1a -c <1b -c .故选B.4.下列结论正确的是()A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac >bcC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是()A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为.答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-bb <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是.答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p -m >0,p -n <0或{p -m <0,p -n >0.又m<n ,∴m<p<n. 同理m<q<n ,又p<q ,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算? 解:设两次价格分别为a 元、b 元,则甲的平均价格为m=a+b2元, 乙的平均价格为n=2 0001 000a +1 000b=2aba+b ,∴m-n=a+b 2−2ab a+b=(a -b )22(a+b )>0. ∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2), 解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1). 又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5, 所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403, 所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20, 即-1≤f (3)≤20.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x ＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0， 所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>-C.b a ->-D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45; (2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,y x ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((ba b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-b a b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即b a b a ba b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A.ba 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.b a 11<B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d ∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x ＜a;③x≥a;④0≤x ＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m ＜8.答案:-4≤m ＜8 7.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb ＜0，lg2b ＜0.又∵a ＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c ＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222v u us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u ＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。

1.2 不等关系与不等式1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ； 如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b>0⇔a____b ； a －b ＝0⇔a____b ； a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b ⇔b____a(对称性)； (2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)； (3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ； (5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ； (7)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒a n ____b n ； (8)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒na____n b.一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a|c|>b|c| 2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a>a b 2D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a<b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b<ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b 4．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a>0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a>0 6．若a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab>ac B ．ac>bc C ．a|b|>c|b| D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 10．设n>1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a>b>0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．12．设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b>0⇔a>b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立； 对于C ，∵a<b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab ＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a －b≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x2＋x 2＝－－2＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数， ∴A>B.11．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b ＝＋2－b 2－－2＋b 22＋b 2＋＝－＋2－2＋b22＋b 2＋＝－＋2＋b 2∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴－＋2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝＋2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．13．A [特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.] 14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。

不等关系与不等式A 组基础稳固1．已知c<d，a>b>0，以下不等式中必建立的一个是()A．a＋c>b＋d B ．a－c>b－da bC．ad<bc D. c>d分析：∵ c<d，∴－ c>－ d.又∵ a>b>0，∴ a－ c>b－d.应选B.答案： B2．以下说法正确的个数为()①若 a>| b|，则 a2>b2；②若 a>b， c>d，则 a－ c>b－d；③若 a>b， c>d，则 ac>bd；④若c ca>b>0，c<0，则a>b.A．1 B ．2C．3 D ．4分析：①∵ a>| b|≥0，∴ a2>b2建立，∴①正确；②取＝2，＝ 1，＝3，d ＝－ 2，则 2－3<1－ ( －2) ，故②错误；ab c③取 a＝4，b＝1， c＝－1， d＝－2，则 4×( －1)<1 ×( － 2) ，故③错误；1 1c c④∵ a>b>0，∴0<a<b且 c<0，∴a>b，∴④正确．答案： B223．若x≠2且y≠－ 1，则M＝x＋y－ 4x＋2y的值与－ 5 的大小关系是()C．M＝－ 5 D ．不可以确立分析： M－(－5)＝ x2＋ y2－4x＋2y＋5＝( x－2)2＋( y＋1)2，∵ x≠2且 y≠－1，∴( x－2)2＋( y＋1) 2>0，∴M>－ 5. 应选 A.答案： A4．设a>b>1，c<0，给出以下三个结论：c cc c①a>b；②a <b；③ log b( a－c)>log a( b－c) ．此中全部的正确结论的序号是()A．① B ．①②C．②③ D ．①②③1 1 c c c c c分析：由 a>b>1，c<0得a<b，a>b；幂函数 y＝x( c<0)是减函数，因此a<b；由于 a－ c>b－ c ，因此 log b ( a － c )>loga (a － c )>log a (b －c ) ，①②③均正确，选D.答案： D5．若 <<，则1 ＋ 1 的值为 ()a b cc － b a － cA ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数1 1 a － c ＋ c － ba － b.分析：c － b ＋ a － c＝c － ba － c＝c － ba － c∵ a <b <c ，∴ c － b >0，a － c <0， a － b <0，a －b∴>0.c － ba － c答案： A6．若 a >1，且 ＝ log a ( 2 ＋1) ， ＝ log a ( － 1) ， ＝ log a (2 a ) ，则 ， ， p 的大小关系为m a n a p m n()A ．n >m >pB ． m >p >nC ．m >n >pD ． p >m >n分析：∵ a >1，∴ a 2＋ 1>2a, 2a >a － 1.已知 m ＝ log a ( a 2＋ 1) ， n ＝log a ( a － 1) ， p ＝ log a (2 a ) ，∴m 、 n 、 p 的大小关系为 m >p >n .答案： B1 17．若 1<a <b ，则有以下结论：①log a b >log b a ；② |log a b ＋ log b a |>2 ；③ (log b a ) 2<1；④ |log a b | ＋ |log b a |>|log a b ＋ log b a |.此中，正确的结论是 ________( 填序号 ) ．1 1分析：用特别值法．由 1<a <b ，知 0<b <a <1.令 a 1 ， 11 ＝ ＝ ，则 log a ＝ 2， log b＝ .2 b4 b a2可判断①②③均正确，④不正确． 答案：①②③a8．已知 12<a <60,15< b <36，则 a － b 的取值范围为 ________， b 的取值范围为 ________．1a分析：由 b 的范围， 可求－ b 的范围， b 的范围， 再由不等式性质，可求 a － b 的范围， b 的－ 36<－b <－ 15， 1 1 1 1 a36< < ， 范围．由 15< <36?－－由b 15<b 12<a <60? 15<b <36? ? 3b24<a b <45.12<a <60<4.∴ －， a的取值范围分别为( － 24,45) ，1， 4 .a bb3答案： ( － 24,45)1， 4343349．(1) 设 m ≠n ， x ＝ m －mn ， y ＝ n m － n ，比较 x 与 y 的大小；(2) 已知 a >0 且 a ≠1， P ＝ log a ( a 3＋ 1) ， Q ＝ log a ( a 2＋ 1) ，比较 P 与 Q 的大小．解： (1) x － ＝ (4－ 3 ) － (3－ 4)＝3(－ )－ 3( － ) ＝ ( － )(3－3)＝( － ) 2(2y m mn n m nm m nn m n m n m nm n m＋ mn ＋n 2) ．∵m ≠ n ，∴ ( m － n ) 2>0.又∵2＋2＝ m ＋ n 2 ＋ 3n 2＋n >0，m mn242 22，∴( m － n ) ( m ＋ mn ＋ n )>0 ∴x － y >0，∴ x >y .(2) － ＝ log a (3＋ 1) － log a ( 2＋ 1) a 3＋ 1aa＝loga 2 .P Qa ＋ 1当 a >1 时， a 3 ＋1>a 2＋ 1，a 3＋1a 3＋ 1∴2>1，∴ log a 2>0；a ＋ 1a ＋ 1当 0<a <1 时， a 3＋ 1<a 2＋ 1，a 3＋1a 3＋ 1∴ a 2＋ 1<1，∴ log a a 2＋ 1>0.综上可知，当 a >0 且 a ≠1时， P － Q >0，即 P >Q .bb c10．已知 a >b >c >0，求证： a － b >a － c >a － c .b b b b －cbcb － c证明：由于 a － b － a － c ＝ a － ba － c ，a － c － a － c ＝ a － c . 又 a >b >c >0，则 a － c >0，a －b >0， b －c >0，因此b b －cb －c b b bca －b a － c>0， a － c >0，即 a － b － a － c >0， a － c － a －c >0，所b bc 以>> .a －b a －c a －cB 组 能力提高11．若 d >0，d ≠1， m ， n ∈ N * ，则 1＋ d m ＋n 与 d m ＋ d n 的大小关系是 ()A ．1＋ d m ＋ n >d m ＋ d nB ． 1＋ d m ＋n <d m ＋ d nC ．1＋ d m ＋n ≥ d m ＋ d n D ．不可以确立m ＋ n m n m n mm n分析： 1＋ d － ( d ＋d ) ＝ (1 － d ) ＋ d ( d － 1) ＝(1 － d )(1 －d ) ．∵ ， ∈N *, 1－ m 与 1－ n 同号，∴ (1 － m )(1 － n )>0.m ndddd答案： A2x 2x 312．设 x ， y 为实数，知足3≤xy ≤8,4 ≤ y ≤9，则 y 4的最大值是 ________．x 2x 4分析：由 4≤ y ≤9，得 16≤ y 2≤81.21 1 1x 3又∵ 3≤ xy ≤8，∴ 8≤xy 2≤ 3，∴ 2≤ y 4≤27.x 3又∵ x ＝ 3，y ＝ 1 知足条件，这时 y 4＝27.x 3∴ y 4的最大值是 27.答案： 2713．设 f ( x ) ＝ (4 a － 3) x ＋ b － 2a ， x ∈，若 f (0) ≤2， f (1) ≤2，求 a ＋b 的取值范围．解：∵ f (0) ＝ b － 2a ，f (1) ＝ b ＋2a － 3，且 f (0) ≤2， f (1) ≤2，f1 － f 0 ＋ 3f1 ＋ f 0 ＋ 3 3f1 ＋ f0＋917∴a ＝， b ＝2 ? a ＋ b ＝4≤ .4417∴a ＋ b 的取值范围是 －∞， 4 .11 114． (1) 设 x ≥1， y ≥1，证明： x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ；(2) 设 1<a ≤b ≤ c ，证明： log a b ＋ log b c ＋ log c a ≤log b a ＋log c b ＋ log a c .证明： (1) ∵x ≥1， y ≥1，11 12∴x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ? xy ( x ＋ y ) ＋1≤ y ＋x ＋ ( xy ) .将上式中的右式减左式，得－＝－＝( xy ＋ 1)( xy － 1) － ( x ＋ y )( xy － 1) ＝ ( xy － 1)( xy － x－ y ＋ 1) ＝ ( xy －1)( x － 1)( y － 1) ．∵ x ≥ 1， y ≥1，∴ ( xy － 1)( x － 1)( y －1) ≥0，逆推可得所要证明的不等式建立．(2) 设 log a b ＝ x ， log b c ＝ y ，由对数的换底公式得11 1log c a ＝ xy ， log b a ＝ x ， log c b ＝ y ， log a c ＝ xy .11 1于是，所要证明的不等式即为x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ，此中 x ＝ log a b ≥1， y ＝ log b c ≥1.故由 (1) 可知所要证明的不等式建立．。

贵州省人教新课标高中数学必修5 第三章不等式 3.1不等关系与不等式同步测试姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）下面结论正确的是（）A . 若a>b，则有B . 若a>b，则有C . 若a>b，则有D . 若a>b，则有2. （2分）(2017·山东模拟) 定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f （x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A . R＞Q＞PB . R＞P＞QC . P＞R＞QD . Q＞P＞R3. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知，则下列结论错误的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·重庆期中) 如果 ,那么下列不等式成立的是（）A .B .C .D .5. （2分）若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）若，且，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山东) 已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2 ，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . p∧￢qC . ￢p∧qD . ￢p∧￢q8. （2分）已知a= ，b= ，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . b＞c＞aC . a＞b＞cD . c＞b＞a9. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 实数满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·宁阳期中) 已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A . ＞0B . sinx﹣siny＞0C . （）x﹣（）y＜0D . lnx+lny＞011. （2分） (2019高一下·慈利期中) 若下列不等式正确的是（）A .B .C .D .12. （2分） a＜b＜0，下列不等式中成立的是（）A . 1B . |a|＞﹣bC .D . b2＞a213. （2分）当0＜x＜3时，则下列大小关系正确的是（）A . ＜＜B . ＜＜C . ＜＜D . ＜＜14. （2分）(2017·宁化模拟) 已知实数a，b满足（）a＜（） b ，则（）A . a ＞bB . log2a＞log2bC . ＜D . sina＞sinb15. （2分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）=f（x+1）=f（1﹣x）成立，且f（x）在[﹣1，0]上单调递增，设a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞c＞aD . c＞b＞a二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是________17. （1分）已知，则a，b，c的大小关系是________18. （1分）已知12＜a＜60，15＜b＜36，则a﹣b及的取值范围分别是________19. （1分）设a＞0，b＞0，M= ，N= + ，则M与N的大小关系是________．20. （1分）已知函数y=x2+4x+c则f（1），f（2），c三者之间的大小关系为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4},求+的最大值．22. （5分） (2015高三上·大庆期末) 已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（1）求实数a，b的值；（2）求 + 的最大值．23. （5分） (2017高三下·深圳月考) 已知．（1）当，解不等式；（2）对任意恒成立，求的取值范围．24. （5分）(2017·河北模拟) 已知，．（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．25. （5分）设，其中p、n∈N+ ．（1）当p=2时，试比较an与bn的大小；（2）当p=n时，求证：an≥bn对∀n∈N+恒成立．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、。

第三章 不等式3.1 不等关系与不等式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20 000元，设木工请x 人，瓦工请y 人，则x ，y 应满足的关系式是 A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200【答案】D【解析】根据题意，可知500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D ． 2．已知a ∈R 且20a a +<，则a ，2a ，a -，2a -的大小关系是 A ．22a a a a >>->- B ．22a a a a ->>-> C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>-【答案】B3．已知(0,),[0,],22αβππ∈∈则23βα-的取值范围是 A ．(0，56π) B ．(5,66π-π) C ．(0，π)D ．(,6π-π)【答案】D【解析】因为0＜α2＜π，0,03663ββππ≤≤-≤-≤，所以263απ-<-<πβ．故选D ． 4．若2(3)1f x x x =-+，2(2)1g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为 A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化【答案】A【解析】因为2231,()(21)f x x x g x x x =-+=+-，所以()22()()221110f x g x x x x -=-+=-+≥>，所以()()f x g x >，故选A ． 5．对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中正确的有 ①若22ac bc >，则a b >；②若a b >，c d >，则a c b d +>+； ③若a b >，c d >，则ac bd >； ④若a b >，则11a b>． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】C【解析】易知①②正确，若2,1,1,2a b c d ac bd ===-=-⇒=，③错误；若2,0a b ==，则1b无意义，④错误．综上正确的只有①②，故选C ． 6．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是 A ．如果a b =，0c ≠，那么a b c c= B ．如果a b =，那么22a b =C ．如果a b =，c d =，那么a d b c +=+D ．如果a b =，c d =，那么a d b c -=-【答案】D7．设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是 A ．0b a -> B ．330a b +< C ．0b a +>D ．220a b -<【答案】C【解析】令1a =、0b =，满足,a b ∈R ，且||0a b ->，可得：1b a -=-，不满足0b a ->，故A 错误；331a b +=，不满足330a b +<，故B 错误；1b a +=，满足0b a +>，故C 正确；221a b -=，不满足220a b -<，故D 错误．故选C ．8．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 A ．1334a -<<B ．131344a -<< C ．33a -<<D ．1334a -<<【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．已知－1＜a ＜1，则11a+与1－a 的大小关系为________________． 【答案】111a a≥-+【解析】易得1＋a ＞0，1－a ＞0，且211111a a a +=--，因为－1＜a ＜1，所以201a ≤<， 所以2011a <-≤，故2111a ≥-，所以111a a≥-+． 10．今年夏天，我国遭受特大洪灾，为帮助灾区的小李同学解决开学费用问题，小李所在班级的同学（小李除外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则上述问题中的不等关系可表示为________________．【答案】*129610101151x y x y x y x -=⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪∈⎩N【解析】由题意可得*12(1)8410(1)11(1)40x y x yx y x --=⎧⎪-<⎪⎨-->⎪⎪∈⎩N ，即*129610101151x y x y x y x -=⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪∈⎩N．11．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________________．【答案】(0，6)【解析】首先把(c －a )(a －b )写成(a －c )(b －a )，而0＜a －c ＜3，0＜b －a ＜2，所以0＜(a －c )(b －a )＜6，即0＜(c －a )(a －b )＜6．12．已知c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中，一定成立的是________________（填序号）．①ab ac >； ②0()c b a ->； ③22cb ab <； ④0()ac a c -<． 【答案】①②④④因为c b a <<，0a >，0c <，所以0a c ->，0()ac a c -<一定成立． 故填①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（1）已知x ＞y ＞z ＞0，求证：zx zy x y --＞； （2）已知－3＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜－1，求证：－16＜(a －b )c 2＜0． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．14．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称且1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．【答案】14[,9]3． 【解析】设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．由题意，得()()124fa c fa c =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得()()()()2134123f f a f f c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以()()()()()()()4128251393231.33f f f f f a c f f --=+=-+=因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，所以－10≤－5f (1)≤－5，24≤8f (2)≤32， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以()()825114933f f -≤≤，即()14393f ≤≤．15．解关于x 的不等式2221|log ()||log ()|(02a a ax a x a -<>且1)a ≠． 【答案】见解析．16．已知12-＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11a +，D ＝11a-，试判断A ，B ，C ，D 的大小关系． 【答案】C ＞A ＞B ＞D ． 【解析】102a -<<，取13a =-，则10833,,,.9924A B C D ==== 猜想C ＞A ＞B ＞D ．即说明B －D ＞0，A －B ＞0，C －A ＞0即可．3222115(1)()11124a a a a B D =a a .a a a -----==⋅-----［］又102a -<<，1110,1,22a a ∴->-<-<-211()142a ∴<-<，故215()0,24a --< 215()0124a a a ∴⋅-->-［］，B D ∴>．2221120,A B a a a -=+-+=>∴A ＞B ． 22113(1)()1124a C A a a a a --=-+=⋅++++［］，21310,0,()024a a a +>->++>，213()0,,124a a C A a -∴⋅++>∴>+［］综上可得，C ＞A ＞B ＞D ．。

专题 不等关系与不等式1．【宿州市十三所重点中学2017—2018学年度第二学期期中质量检测】完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是（ ） A ．45200x y +≤ B ．45200x y +<C ．54200x y +≤D ．54200x y +<【答案】A 【解析】由题意，可得40050020000x y +≤，化简得45200x y +≤，故正确答案为A. 2．【湖北省四校2018-2019学年高一下学期期中】下列命题中，正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若 a b >，c d >，则ac bd >D ．若a b <，则a b <【答案】D 【解析】对于A ，取3,1,2a c b =-=-=-，则3,2,ac bc ac bc ==>，但a b <，故A 错； 对于B ，取3,1,5,0a b c d ==-==，则,a b c d >>， 但2,1a c b d -=--=-，a c b d -<-，故B 错； 对于C ，取3,1,0,2a b c d ==-==-，则,a b c d >>， 但0,2ac bd ==，ac bd <，故C 错； 对于D ，因为0a b ≤<，故()()22ab<即a b <，故D 正确；综上，选D .3．【河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试】若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的； 选项C:当0c =时，a c b c >不成立，故本选项是错误的； 选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.4．已知0a b >>，给出下列不等式：①22a b >；②a b a b ->-；③3322a b a b +>.其中一定成立的为（ ） A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．②③【答案】A 【解析】由0a b >>，可得22a b >（也可由2y x =在第一象限单增得出），①正确； ∵0a b >>，∴a b >，∴()()()222220a ba bab b ba b ---=-=->，∴a b a b ->-，②正确；采用赋值法，若3a =，2b =，则3335a b +=，2236a b =，3322a b a b +<，③错误 选项①②正确 故选：A5．【四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开学考试】已知下列四个条件：①0b a >>；②0a b >>；③0a b >>；④0a b >>，能推出11a b<成立的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①中，因为0b a >>，所以110b a >>，因此①能推出11a b<成立； ②中，因为0a b >>，所以0ab >，所以a b ab ab >，所以11b a >，因此②能推出11a b<成立； ③中，因为0a b >>，所以110a b >>，所以③不能推出11a b<成立；④中，因为0a b >>，所以a b ab ab >，所以④能推出11a b<成立； 故选C.6．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥【答案】D 【解析】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立；对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 故选：D.7．设0a b <<，且1a b +=，则12，a ，2a ，22a b +四个数中最小的数是（ ） A ．12B ．aC ．2aD ．22a b +【答案】B 【解析】因为 0a b <<，且1a b +=，所以102a <<，2a a <， 又由1b a =-，得()22221a b a a a a +-=+--=()()22312110a a a a -+=-->，所以22a a b +>， 所以在12，a ，2a ，22a b +四个数中，a 最小. 故选：B.8．若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是A ．11b b a a +>+B ．11a b b a ->- C ．11a b b a+>+D ．22a b aa b b+>+ 【答案】C【解析】令a =2,b =1，满足0a b >>，选项A 中的不等式即：1223>，不成立； 选项D 中的不等式即：524>，不成立；令a =12,b =14，满足0a b >>，选项B 中的不等式即：133124->-，不成立；对于选项C ，由于0a b >>，故11b a >，由不等式的性质可得：11a b b a+>+，不等式成立.综上可得：不等式中一定成立的是11a b b a+>+.故选C .9．已知a 、b 、R c ∈，那么下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a bc c >，则a b > C ．若33a b >，则11a b> D ．若22a b >，0ab >，则11a b< 【答案】B 【解析】A.若=0c ,不成立，错误B.因为c 在分母位置，即0c ≠，22a bc c>两边同乘2c ，得到a b >，正确 C.2,1a b == ,不成立，错误 D. 2,1a b =-=-，不成立，错误 故选B10．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ） A ．[]4,10- B ．[]3,6-C ．[]2,14-D ．[]2,10-【答案】D 【解析】设()()()()42a b x a b y a b x y a x y b -=++-=++-，42x y x y +=⎧∴⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，()()423a b a b a b ∴-=++-，14a b ≤+≤Q ，12a b -≤-≤，()336a b ∴-≤-≤，由不等式的性质可得()()2310a b a b -≤++-≤，即24210a b -≤-≤， 因此，42a b -的取值范围是[]2,10-，故选D.11．已知实数a b c ，，满足2643b c a a +=-+，244c b a a -=-+，则 a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c <≤ B ．b c a ≤< C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A 【解析】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-≥所以c b ≥，2()22b c c b a +--=+，即2222b a =+，所以21b a =+，∴213024b a a ⎛⎫-=-+> ⎪⎝⎭，∴b a >即c b a ≥>， 故答案选A ．12．【辽宁省辽河油田第二高级中学高二上学期数学单元测试】设直角三角形两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则44a b +和44c h +的大小关系是 ( ) A ．4444a b c h +<+ B ．4444a b c h +>+ C ．4444a b c h +=+ D ．不能确定【答案】A 【解析】由三角形的面积计算公式可得1122ab ch =，即ab ch = 由勾股定理可得222a b c += 即()()()()2244442222442242a b c h a b c h c c c h h +-+=+-+=-++()42220h c h =-+<4444a b c h ∴+<+故选A13．已知c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中，一定成立的是________（填序号）.①ab ac >；②()0c b a ->；③22cb ab <；④()0ac a c -<.【答案】①②④ 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <.对于①，因为0a >，c b <，所以ac ab <，即ab ac >一定成立； 对于②，因为b a <，所以0b a -<，所以()0c b a ->一定成立； 对于③，当0b =时，22cb ab =，故22cb ab <不一定成立；对于④，因为c b a <<，0a >，0c <，所以0a c ->，()0ac a c -<一定成立. 故一定成立的是①②④. 故填：①②④.14．若R a ∈，若2346b c a a +=-+，2245b a a =-+，则b 与c 的大小关系是______． 【答案】b c ≥ 【解析】因为2245b a a =-+，2346b c a a +=-+所以()()()()2222224534620b c b b c a a a a a -=-+=-+--+=-≥所以b c ≥15．设1a b >>，0c <，给出下列四个结论： ①c c a b>； ②ac bc <；③()()a b c b a c ->-； ④a b c c>. 正确的结论有______.（写出所有正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】①1a b >>Q ，0c <，()0c b a c c a b ab-∴-=>，c c a b ∴>，故正确； ②0c ->Q ，()()a c b c ∴⋅->⋅-，ac bc ∴->-，ac bc ∴<，故正确；③1a b >>Q ，()()()0a b c b a c ab ac ab bc c a b ∴---=--+=-->，()()a b c b a c ∴->-，故正确； ④10c <Q，0a b >>，a bc c∴<，故错误. 故答案为①②③. 16．已知2b a b <<-，则ab的取值范围为_______. 【答案】()1,2- 【解析】因为2b a b <<-，所以2b b <-， 所以0b <，10b<. 将不等式2b a b <<-,同乘以1b, 则2b a b b b b -<<，即12ab-<<. 故答案为:()1,2-.17．【陕西省黄陵中学2016-2017学年高二下学期期末】若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b ma m++, a nb n++按由小到大的顺序排列为_______. 【答案】b b m a n aa a mb n b++<<<++ 【解析】b a −b ma m++==()() b a m a a m -+∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()b a ma a m -+<0∴b b m a a m+<+ b m a m ++−a n b n++=()()()()()() b a b a b a m n a m b n +-+-+++∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()()()()()b a b a b a m n a m b n +-+-+++<0∴b m a m ++−a n b n ++<0 ∴b m a na mb n ++<++ a n b n ++−a b =()()b a n b b n -+ ∵a >b >0，n >0，∴a nb n ++−ab <0 ∴a n ab n b+<+ 综上可知，b b m a n aa a mb n b ++<<<++ 故答案为：b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 18．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg(xy)≤2,3≤lg xy ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．【答案】[6,10] 【解析】设a=lgx,b=lgy,则lg(xy)=a+b, lg =a -b,lg(x 4y 2)=4a+2b, 设4a+2b=m(a+b)+n(a -b), ∴解得∴lg(x 4y 2)=3lg(xy)+lg ,∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lg ≤4,∴6≤lg(x 4y 2)≤10.19．试比较下列各组式子的大小： （1）1x x +-与1x x --，其中1x >；（2）322x y -与222xy x y -，其中0x y >>.【答案】（1）11x x x x +-<--（2）332222x y xy x y ->-【解析】（1）由题意，可得111x x x x+-=++，111x x x x --=+-，因为110x x x x ++>+->， 所以11x x x x +-<--.（2）由()()()()33223223222222222x yxyx y x xy x y y x x y y x y ---=-+-=-+-()()222x y x y =-+=()()()2x y x y x y -++，∵0x y >>，∴0x y ->，0x y +>，20x y +>， ∴()()3322220x yxyx y --->，即332222x y xy x y ->-.20．已知0a >，0b >，试比较+a b 与a b b a+的大小； 【答案】a ba b b a++…（当且仅当a b =时取等号） 【解析】 方法一：由题意()()()a b a b a b a a b b a b b a a b ba ab ab--+--⎛⎫+-+==⎪⋅⎝⎭()()2a ba bab+-=，因为0a >，0b >，所以0a b +>，()20a b-≥，0ab >，所以()()20a ba bab+-≥，当且仅当a b =时等号成立，所以a b a b b a+≤+（当且仅当a b =时取等号）. 方法二：由()()()()a b a b a b aba ab b a b ab ba ab ab ab a bab a b +++-++-===+++()2a babab-+==()211a b ab-+…，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba b b a++…（当且仅当a b =时取等号）. 21．下面的问题与著名的柯西不等式有关，请你比较()()2222a b cd ++与()2ac bd +的大小，并猜测更一般的结论（不必证明）． 【答案】()()()22222a bcd ac bd ++≥+ 猜测()()()222222212121122n n n n aa ab b b a b a b a b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+【解析】()()()22222ab c d ac bd ++-+()222222222222=2a c a d b c b d a c b d acbd +++-++22222a d b c acbd =+-()2=0ad bc -≥所以()()()22222a bcd ac bd ++≥+，猜测()()()222222212121122nn n n a a a b b b a b a b a b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+22．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？ 【答案】采光条件变好了 【解析】设窗户面积为n ，地板面积为m ，则110≤nm＜1.设增加的窗户面积和地板面积均为t，由nm＜1.得m＞n.∴mt＞nt.∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)．∴n tm t++＞nm，即采光条件变好了．。

第三章 不等式3.1 不等关系与不等式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20 000元，设木工请x 人，瓦工请y 人，则x ，y 应满足的关系式是 A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤2002．已知a ∈R 且20a a +<，则a ，2a ，a -，2a -的大小关系是 A ．22a a a a >>->- B ．22a a a a ->>-> C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>-3．已知(0,),[0,],22αβππ∈∈则23βα-的取值范围是 A ．(0，56π) B ．(5,66π-π) C ．(0，π)D ．(,6π-π)4．若2(3)1f x x x =-+，2(2)1g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为 A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化5．对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中正确的有 ①若22ac bc >，则a b >；②若a b >，c d >，则a c b d +>+； ③若a b >，c d >，则ac bd >； ④若a b >，则11a b>． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个6．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是 A ．如果a b =，0c ≠，那么a b c c= B ．如果a b =，那么22a b =C ．如果a b =，c d =，那么a d b c +=+D ．如果a b =，c d =，那么a d b c -=-7．设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是 A ．0b a -> B ．330a b +< C ．0b a +>D ．220a b -<8．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 A ．1334a -<<B ．131344a -<< C ．33a -<<D ．1334a -<<二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．已知－1＜a ＜1，则11a+与1－a 的大小关系为________________． 10．今年夏天，我国遭受特大洪灾，为帮助灾区的小李同学解决开学费用问题，小李所在班级的同学（小李除外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则上述问题中的不等关系可表示为________________．11．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________________．12．已知c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中，一定成立的是________________（填序号）．①ab ac >； ②0()c b a ->； ③22cb ab <； ④0()ac a c -<．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（1）已知x ＞y ＞z ＞0，求证：zx zy x y --＞；（2）已知－3＜a＜b＜1，－2＜c＜－1，求证：－16＜(a－b)c2＜0．14．若二次函数f(x)的图象关于y轴对称且1≤f(1)≤2，3≤f(2)≤4，求f(3)的取值范围．15．解关于x 的不等式2221|log ()||log ()|(02a a ax a x a -<>且1)a ≠．16．已知12-＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11a +，D ＝11a-，试判断A ，B ，C ，D 的大小关系．。

3.1不等关系与不等式一、选择题1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋1b>b＋1a B．a－1b>b－1a C.ba>b＋1a＋1D.2a＋ba＋2b>ab2．下列命题中，真命题有()①若a>b>0，则1a2<1b2；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a>b，e>f，则f－ac<e－bc；④若a>b，则1a< 1 b.A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知0<x<y<a<1，则有()A．log a(xy)<0 B．0<log a(xy)<1 C．1<log a(xy)<2 D．log a(xy)>2 4．已知a>b，则下列不等式一定成立的是()A．lg a>lg b B．a2>b2 C. 1a<1b D．2a>2b5．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是() A．(－1,3) B．(－3,6) C．(－3,3) D．(1,4)6．已知三个不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③ca－db>0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．以下四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.其中使1a<1b成立的充分条件是________．8．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3则(a－b)·c的取值范围是________．10．给出以下四个命题：①a>b⇒a n>b n(n∈N*)；②a>|b|⇒a n>b n (n∈N*)；③a<b<0⇒1a>1b；④a<b<0⇒1a－b>1a，其中真命题的序号是________．三、解答题11．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．12．已知a、b、c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N且n>2时，比较c n与a n ＋b n的大小．13．有三个实数m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．参考答案：1.解析：由已知a >b >0及不等式的基本性质易得a ＋1b >b ＋1a ，故选A.答案：A2. 解析：①②为真命题，故选B.答案：B3. 解析：由0<x <y <a <1，得xy <a 2，∴log a (xy )>log a a 2＝2，故选D.答案：D4. 解析：只有指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以D 正确，而A 、C 显然不是对于一切实数都成立的，B 的等价条件是|a |>|b |，显然也错误，故选D. 答案：D5. 解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0.又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.故选C.答案：C6. 解析：若①②成立，则1ab (bc －ad )>0，∴c a －d b >0，故③成立；若①③成立，则ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －d b >0，∴bc －ad >0，故②成立； 若②③成立，即bc －ad >0， bc －ad ab >0，∴ab >0，故①成立．故正确命题的个数为3，应选D.答案：D7. 解析：在①中：a <0，b >0，则1a <1b ；在②中：b <a <0，则1b >1a ；在④中：0<b <a ，则1b >1a ；在③中：当b ＝－2，a ＝1时，1a <1b 不成立．答案：①②④8. 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)>0⇒⎩⎨⎧b >0，a ＋b >0.∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立．答案：必要但不充分9. 解析：∵－1＜a ＜b ＜1，∴－2＜a －b ＜0∴2＞－(a －b )＞0当－2＜c ＜0时，2＞－c ＞0，∴4＞(－c )[－(a －b )]＞0，即4＞c ·(a －b )＞0； 当c ＝0时，(a －b )·c ＝0当0＜c ＜3时，0＜c ·[－(a －b )]＜6∴－6＜(a －b )·c ＜0 综上得：当－2＜c ＜3时，－6＜(a －b )·c ＜4.答案：－6＜(a －b )·c ＜410. 解析：①中取a ＝－1，b ＝－2，n ＝2，不成立；②a >|b |，得a >0，∴a n >b n成立；③a <b <0，得1a >1b 成立；④a <b <0，得a －b <0，且a －b >a ，故1a －b <1a，④不成立．答案：②③11. 解：解法一：(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)．关于x 的二次三项式x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)的判别式为Δ＝(2m －1)2－4(2m 2＋1)＝－4m 2－4m －3.二次三项式－4m 2－4m －3的判别式为Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0， ∴Δ<0恒成立．∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )>0，即x 2－x ＋1>－2m 2－2mx . 解法二：∵(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －122＋2m 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －122＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2m －122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋34－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122＋12≥12>0， ∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .12. 分析：考虑比较的是幂的形式，作差不可行，作商处理．解：∵a 、b 、c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1∴0<a c <1,0<b c <1 ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1∴a n ＋b n <c n 评析：作商法比较大小，作商——变形——判断商与1的关系．13. 解：不妨设P ＝a 2(m －b )＋m 2b ，Q ＝b 2(m －a )＋m 2a .由题意知Q ＜P ，即Q －P ＜0.∴b 2(m －a )＋m 2a －a 2(m －b )－m 2b ＜0，(a －b )m 2＋(b 2－a 2)m ＋ab (a －b )＜0.∴(a －b )(m －a )(m －b )＜0.(*)若a ＜m ＜b 成立，则a ＜b ，这时不等式(*)的解为m ＞b 或m ＜a ，矛盾． 故a ＜m ＜b 不可能成立．。

《不等关系与不等式》同步测试1．已知a >b ，c >d ，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad >bcB ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d2．已知a ＜b ，那么下列式子中，错误的是( )A ．4a ＜4bB ．－4a ＜－4bC ．a ＋4＜b ＋4D ．a －4＜b －4 3．若2＜x ＜6,1＜y ＜3，则x ＋y ∈________.4．已知a ＞b ，ac ＜bc ，则有( )A ．c ＞0B ．c ＜0C ．c ＝0D ．以上均有可能 5．下列命题正确的是( )A ．若a 2＞b 2，则a ＞bB ．若1a ＞1b ，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b6．设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a ＞0B ．a 3＋b 3＜0 C ．b ＋a ＜0D ．a 2－b 2＞0 7．若b ＜0，a ＋b ＞0，则a －b 的值( )A ．大于零B ．大于或等于零C ．小于零D ．小于或等于零 8．若x ＞y ，m ＞n ，则下列不等式正确的是( )A ．x －m ＞y －nB ．xm ＞ym C.x y ＞y mD ．m －y ＞n －x 9．若x 、y 、z 互不相等且x ＋y ＋z ＝0，则下列说法不正确的为( )A ．必有两数之和为正数B ．必有两数之和为负数C ．必有两数之积为正数D ．必有两数之积为负数10．若a ＞b ＞0，则1a n ________1b n (n ∈N ，n ≥2)．(填“＞”或“＜”) 答案：＜11．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________.解析：∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1，∴y ＜－y ＜x .答案：y ＜－y ＜x12．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围为__________． 解析：∵－π2≤α＜β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2. 答案：(－π2，π2) 13．已知a ＞b ＞0，证明：1a 2＜1b 2. 证明：∵a ＞b ＞0，∴a 2＞b 2＞0⇒a 2b 2＞0⇒1a 2b 2＞0⇒a 2·1a 2b 2＞b 2·1a 2b 2⇒1b 2＞1a 2⇒1a 2＜1b 2. 14．已知c ＞a ＞b ＞0，求证：ac －a ＞b c －a .证明：∵c ＞a ，∴c －a ＞0，又∵a ＞b ，∴ac －a ＞b c －a .15．已知2＜m ＜4,3＜n ＜5，求下列各式的取值范围：(1)m ＋2n ；(2)m －n ；(3)mn ；(4)m n.解：(1)∵3＜n ＜5，∴6＜2n ＜10.又∵2＜m ＜4，∴8＜m ＋2n ＜14.(2)∵3＜n ＜5，∴－5＜－n ＜－3，又∵2＜m ＜4.∴－3＜m －n ＜1.(3)∵2＜m ＜4,3＜n ＜5，∴6＜mn ＜20.(4)∵3＜n ＜5，∴15＜1n ＜13， 由2＜m ＜4，可得25＜m n ＜43. 16．已知－3＜a ＜b ＜1.－2＜c ＜－1.求证：－16＜(a －b )c 2＜0.证明：∵－3＜a ＜b ＜1，∴－4＜a －b ＜0，∴0＜－(a －b )＜4.又－2＜c ＜－1，∴1＜c 2＜4.∴0＜－(a －b )c 2＜16.∴－16＜(a －b )c 2＜0.《不等关系与不等式》应用题同步测试【基础练习】1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为。

不等关系与不等式【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系. 2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒< ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。

要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅ (3) 可乘方性：*0,0n na b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。

3.1 不等关系与不等式（数学人教实验A 版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是（）A.a 2<b 2B.ab 2<a 2bC.21ab <21a bD.b a <a b2.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a 2<b 2中，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.43.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1bB.a 2>b 2C.21a c +>21bc + D.a |c |>b |c | 4.如果c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中不一定成立的是（）A.ab >acB.c （b-a ）>0C.cb 2<ab 2D.ac （a-c ）<0二、填空题(每小题5分，共10分)5．若1＜α＜3，-4＜β＜2，则α-|β|的取值范围是. 6．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc-ad >0，则c a -db>0； ②若ab >0，c a -db>0，则bc-ad >0； ③若bc-ad >0，c a -db>0，则ab >0. 其中正确命题的个数是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知f （x ）=ax 2+b ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.8.（15分）已知实数a ，b ，c 满足222643,44,44,+=-+-=-+-=-+b c a a c b a a c b a a。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《不等关系与不等式的性质》一、选择题1.下列命题正确的是( )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x ＜2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x ＞y”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x≥a”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y≥a”2.若A=a 2＋3ab ，B=4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A ＜B 或A ＞BD ．A ＞B3.已知0<a<1，x=log a ＋log a ，y=log a 5，z=log a －log a ，则( )2312213A ．x>y>z B ．z>y>x C ．z>x>y D ．y>x>z4.若a>b>1，0<c<1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ．log a c<log b c5.设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c ＜b c ；③log b (a －c)＞log a (b －c)．c a c b其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③6.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断二、填空题7.给出下列命题：①a>b ⇒ac 2>bc 2；②a>|b|⇒a 2>b 2；③a>b ⇒a 3>b 3；④|a|>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是________．8.某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满，则题目中所包含的不等关系为________．9.已知－1＜a ＜1，则与1－a 的大小关系为________．1a ＋110.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z=2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．三、解答题11. (1)已知x≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小；(2)若－1＜a ＜b ＜0，试比较，，a 2，b 2的大小．1a 1b12.设f(x)=1＋log x 3，g(x)=2log x 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．13.已知a ＞0，b ＞0，且m ，n ∈N *，1≤m ≤n ，比较a n ＋b n 与a n －m b m ＋a m b n －m 的大小．答案解析1.答案为：C ；解析：对于A ，x 应满足x≤2 000，故A 错； 对于B ，x ，y 应满足x ＜y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y≤a，故D 错误．2.答案为：B ；解析：因为A －B=a 2＋3ab －(4ab －b 2)=(a －)2＋b 2≥0，所以A≥B.b 2343.答案为：D ；解析：由题意得x=log a ，y=log a ，z=log a ，而0<a<1，657所以函数y=log a x 在(0，＋∞)上单调递减，所以y>x>z.4.答案为：C ；解析：用特殊值法，令a=3，b=2，c=得3>2，选项A 错误，3×2>2×3，选项B 错1212 12 12 12误，3log 2<2log 3，选项C 正确，log 3>log 2，选项D 错误，故选C.121212125.答案为：D ；解析：由a ＞b ＞1，得0＜＜，又c ＜0，所以＞，①正确；1a 1b c a c b幂函数y=x c (c ＜0)在(0，＋∞)上是减函数，所以a c ＜b c ，②正确；因为a －c ＞b －c ＞0，所以log b (a －c)＞log a (a －c)＞log a (b －c)，③正确．故①②③正确．6.答案为：B ；解析：设路程为s ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1=＋，乙用时t 2=，12s v112s v22s v1＋v2t 1－t 2=＋－=s =·s=s 2v1s 2v22s v1＋v2(v1＋v22v1v2－2v1＋v2)（v1＋v2）2－4v1v22v1v2（v1＋v2）（v1－v2）2·s 2v1v2（v1＋v2）>0，所以甲用时多．7.答案为：②③；解析：①当c 2=0时不成立．②一定成立．③当a>b 时，a 3－b 3=(a －b)(b 2＋ab ＋b 2)=(a －b)·>0成立．[(a ＋b 2)2 ＋34b2]④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8.答案为：；{30（x －1）＜21330x ＞213)解析：设租车x 辆，根据题意得：{30（x －1）＜213，30x ＞213.)9.答案为：≥1－a ；1a ＋1解析：因为－1＜a ＜1，所以1＋a ＞0，1－a ＞0，即=，因为0＜1－a 2≤1.所以≥1，所以≥1－a.11＋a 1－a 11－a211－a21a ＋110.答案为：[3，8]；解析：因为z=－(x ＋y)＋(x －y)，所以3≤－(x ＋y)＋(x －y)≤8，12521252所以z 的取值范围是[3，8]．11.解：(1)3x 3－(3x 2－x ＋1)=(3x 3－3x 2)＋(x －1)=3x 2(x －1)＋(x －1)=(x －1)(3x 2＋1)．因为x≤1，所以x －1≤0，又3x 2＋1＞0，所以(x －1)(3x 2＋1)≤0，所以3x 3≤3x 2－x ＋1.(2)因为－1＜a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，所以a 2＞b 2＞0.因为a ＜b ＜0，所以a·＜b·＜0，即0＞＞，1ab 1ab 1a 1b所以a 2＞b 2＞＞.1a 1b12.解：f(x)－g(x)=1＋log x 3－2log x 2=log x ，3x 4(1)当或即1<x<时，log x <0，{0<x <1，3x 4>1){x >1，0<3x 4<1，)433x 4所以f(x)<g(x)；(2)当=1，即x=时，log x =0，即f(x)=g(x)；3x 4433x 4(3)当或，{0<x <1，0<3x 4<1){x >1，3x 4>1)即0<x<1，或x>时，log x >0，即f(x)>g(x)．433x 4综上所述，当1<x<时，f(x)<g(x)；当x=时，f(x)=g(x)；4343当0<x<1，或x>时，f(x)>g(x)．4313.解：a n ＋b n －(a n －m b m ＋a m b n －m )=a n －m (a m －b m )＋b n －m (b m －a m )=(a m －b m )(a n －m －b n －m )．因为a＞0，b＞0，m，n∈N*，1≤m≤n，当a=b＞0时，a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)=0；当a＞b＞0时，a m＞b m，a n－m≥b n－m)，所以a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)≥0；当b＞a＞0时，a m＜b m，a n－m≤b n－m，所以a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)≥0.综上所述，a n＋b n≥a n－m b m＋a m b n－m.。

不等关系与不等式〔填空题：一般〕-<11、不等式工的解集为3、实数V* \ ,那么的取值范围是 ., n+1 Tl+3 2 d n 学西1yj m t4、假设不等式 对于大于'的一切自然数花都成立,那么自然数 小的最大值为 ..,,/〔x 〕 = |jr+6|-2|l-jcl L Syi ,xl + 7? k - ,, A ,,5、函数J, । ।1卜1 J k- 恒成立,那么实数m 的取值范围为._一h _一肛—"< a _ # < 1■6、角盘邛满足‘;,0<也+ 〞「那么〞T 的取值范围是J Y j * -L ii *- J. — 1 21 + U 为实数,假设 • 3 ,那么一〞的最大值8、""R ,设 '十£ .十亡门十石,那么,与1的大小关系是q+ 1 QT----- - ---- > —9、给出以下命题：①d.都是正数,且3+1 "那么鬼 ；……/〔工〕曰.『?幼 H R.f 〔 lx 〕 >0 nt </l 2〕 ②,「是'—的导函数,假设 ‘' ',那么/、」」L J 一定成立; ③命题**使得*.-丘+1?.〞的否认是真命题； ④工至［且*主］是'；一J 32〞的充要条件；2、 不等式n-jfJf 1—Jf —3C的解集是7、设二〔用不等号连接〕[—至⑤假设实数上,下七卜川,那么满足/ + /之1的概率为 4 ,其中正确的命题的序号是〔把你认为正确的序号都填上〕10、设a = "b="-有,c一后一近,那么a, b, c的大小关系为abb4厘口 +岸11、假设那么不产,口十加,3十件按由小到大的顺序排列为.3, ,小〔二+ 6 l<a<b<2}12、设集合心中的最大元素与最小元素分别为M,m,那么M-m的值为.13、设巨"是两个向量,那么1"可‘"口'L是瓦八0 〞的条件.14、设汽W是两个向量,那么信+劭 > 自一而,,是a 0〞的条件./I x] 0 </〔ll < 2 -1 < /〔-11 <1 7/一为…15、函数- , ' , 八-,那么一号.的取值范围是16、设qb.,假设近.时,恒有0士--1+6+旌住=1〕[那么括=.17、"LD,令口=-2 , b=航,u = 2二那么"力"之间的大小关系为 .18、a, b€ R,有以下命题：C G > —①假设a> b,匚,那么ac>b^ ;②假设口方,那么a^ b;③假设a>b,那么a?2>b?2.那么正确命题的序号为 .19、设〞括Q,5="+近,那么〞的大小关系为一.20、假设 a=log 20.7, b=0.72,c=20,3,那么 a,b,c 的大小用 “<表示为： 21、〔 2021?陕西〕设a, b, m, nC R,且a 2+b 2=5, ma+nb=5,那么〕坨巳十目'的最小值为 22、〔2021秋?钦州校级期末〕 a, b 是实数,那么〔a 4+b 4〕 〔 a 2+b 2〕与〔a 3+b 3〕 2的大小关系为23、将口二W 匚二°-9…比拟大小,大小关系为24、不等式U 」 ,UQ 的解集为 .<011 疗丁------------------4 -------- ----------26、设口匚,片七入,且仃一 3 J ~c 口一匚恒成立,那么〞的最大值是jc+2d > 428、不等式组』一卜<’的解集是.,那么"〃的值等于2-K -l,x<0FGA ； 1“…心x*. x > 0r f (-1)29、函数—,贝Ujr — T* ^<030、不等式'+1 的解集为25、 不等式的解集为In x ,口1 〕 一 〔一丫27、设LU'q 工,那么工,I D- a工.的大小关系是 ______________________〔用“〈连接〕,假设/⑸<1 ,那么实数式的取值范围是1<1<0假设已^ ,那么以下不等式①a -b<ab-② .(填写正确序号)| 口|>|&|；③〞由；④门b 中,正确的不等式34、实数外,满足等式匕乌三“"匕3用〞,给出以下五个关系式:① 口＞方＞1；② b,BAl ；③口 c 力 vl ；,⑤ Q = b其中可能关系式是35、以下四个命题:①在4".中,内角A,B,C 的对边分别为口也匚,且〉加乂二口S5E③方程Mnx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;④“U 且八油> V -羽那么人"其中正确的命题序号为 ...媪 w(L3) 1WG, 石 A ,+ g 36、实数 ‘ L那么0的取值范围是 .37、设外3己(口；1)且口 士九那么门 +占、2白氏2后最片+*这四个数中最大的是38、设 a e R,假设 x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2—ax —1)AQ 那么 a=.39、当 -时,Al 三*一恒成立,那么M的最大值是 ;40、函数/〔主〕在区间〔QF 上是减函数,那么/住.+工〞与“？的大小关系是31、x-4不等式工十子 < 0的解集为33、三个正数阻满足让5+"施,加%至岫:&-2C,那么 口的最小值是32、 ②设"力是两个非零向量且那么存在实数N 使得b=jq ；41、假设存在实数.使得卜一目一比-1|工3成立,那么实数s的取值范围是 .42、关于x的不等式ax2—2ax—2a+3>0的解集为R,那么实数a的取值范围为 .43、不等式Y ―〔X+ 21 >/+ 2〕' 一久一的解集为 .+1 r > 044、函数L工*°,那么满足不等式"A.3的x的取值范围是.h45、三个正数“6= C满足曰三3一.±2口,*'Q +匚上25,那么Q的取值范围是.46、假设一"加三工,那么I"%的取值范围是.I =10以4/一今-2〕\2-x〕/47、函数" 后展'在L ' ,恒为正,那么实数"的范围是一, -j?+2父+L1/〔X〕=\48、函数.-- 那么满足" ' ’的实数…的取值范围是—.口一+ 占>049、关于"的不等式, 0的解集是〔L+H〕,那么关于工的不等式A* 的解集是—.fix) ={ i50、设函数,那么使得丁(刈成立的〞的取值范围是.51、归糖水中含有白目糖(?“> °),假设再添加噤咨糖,那么糖水更甜了.请你运用所学过的不等式有关知识,表示糖水的浓度的变化现象用不等式表示为52、设a>0且awl函数f(x) = a1g(x2-2"3)有最大值,那么不等式log a(x2—5x + 7)>0的解集为 .x-153、集合A = {x|,+l<0}, B = {x||x-b|<a}.假设“广1〞是“An W的充分条件,那么实数b的取值范围是54、设上,假设关于x的不等式X—1 在上恒成立,那么木的最小值为------------------1 1 —< -55、不等式苴2的解集是.“、儿…「〜'x 一/—龙三［L+七),(加)+时(工)<0卜一…56、设函数…,对任意, 恒成立,那么实数用的取值范围是---------- -57、假设实数工,满足'一"1 , J'"且"4户.4.4> ,那么2"一>"〞的取值范围是门丫1"小| /㈤二彳八5之三58、假设函数"''为偶函数,当工一口时, ,那么不等式二的解集为.59、在实数集R中,我们定义的大小关系冬〞为全体实数排了一个序〞类似的,我们在平面向量集D=\aa = (Jc,y')f x^R t ytR\二,,, ,一…।)上也可以定义一个称序〞的关系,记为旦〞定义如下：对于任意两个向外 > 七〞或毛=-/且为>於〞按上述定义的关系〞,给出如下四个命题:①假设「一丁一丁：当且仅当③假设%」的,那么对于任意白'D/L -④对于任意向量0.6=(010),甑口弓那么其中真命题的序号为xz"- 41z60、孙—二00 <— < - -j；~~ 2,且上2 ,那么,七十3「的最大值是61、a>b,a-口>b-0同时成立,那么ab应满足的条件是62、设实数x, y满足3^xy2< 8,4之W9,那么JT的最大值是63、a>b>0,给出以下四个不等式：① a2>b2；②2a>2旷1；③石二名?8—耳；④a3+b3> 2a2 b .其中一定成立的不等式序号为2JC—v-2> 0x-2u-b2<064、实数x,y满足x+ T -13 <Q ,z:=xu,, =,…,〞,那么"的最大值为= kg声二士=豆壮160. 卜2 i ,把d ,按从小到大的顺序用三〞连接起来:「左=皿/W = In + 2" _ /(x~ - 4) < 2皿…皿其/士代当函数"一 L ,假设" ,那么实数的取值范围95假设 加一1(m10)对一切x>4值成立,那么实数 m 的取值范围是假设 施(m10)对一切x>4值成立,那么实数 m 的取值范围是F -I<0假设关于工的不等式工对任意的正实数三恒成立,那么实数69、 假设关于工的不等式7日<0对任意的正实数工恒成立,那么实数的取值范围是68、 70、的取值范围是参考答案10、I ： 」「 ：；1、 2、 (-5田 Ug+oo) 3、 (-248) 4、 20 5、 6、 (F 』2g 7、 8、 5 >19、①③⑤13、充分必要14、充分必要16、18、③21、(a 4+b 4) (a 2+b 2) > (a 3+b 3) 212、20、av b< c17、c>b >a 22、26、z ln x.2 lux InT3(—V < —之一" 27、 x X M28、 132、①④1833、34、②④⑤.31、(l iH T )k AK等；装(ror vl Q+ x +r ♦H )rL l t寸 riq.*Nm 1 ET +II,~ _ —■'tJi 1 2CDCO, z coco co <y> co1 < £J <—47、(-x=0JU[2-Mo) 48、(-3=2)49、50、51、52、(2,3)53、(-2,2)54、(—w, 0) u (2j 4-c®) 55、56、59、①②③60、61、ab>0 或ab<-162、2763、①②③64、169 T65、a <c <b66、67、【解析】-<1 --1<0-<11、试题分析：由于x ,即工 ,工 ,即乩LU 〉.解得x>1或x<0,所以不等式工 的解集为 ,■' ' ' 考点：分式不等式的解法((x - l)(x- 6)(Jt + S)>0 小一#一3 (口 —5)步.?-5〈工El 熟>6不等式的解集为T ,i] U 3 +电.【点睛】解分式不等式首先要移项,使不等式的一边为0,再通分,根据分式不等式的同解原理把分式不等式转化为一元二次(或高次)不等式,一般化为一元高次不等式时,解一元高次不等式采用数轴标根法去解,在数轴上标根、穿线,注意 奇穿偶切〞,利用数形结合思想,根据不等式的要求写出解集B. 反 施3当T V 〞0时/叫2%；当.〈 q V i 时与W (端和占的取值范围是(-2刎।f 加)=专+专+击+…+* "曲+1)=专4*+W-2+焉+熹 4、令 , ,△ fbt +1)—fXifi = -- -- F ---- --- -- = -.----------- ,2/丁何是单调递增的,故当丸=2时,f ㈤取最f(2) = - + ; = - >小值,由题思可得69、 y ⑺纲之o I ©(用I * 0：解得W 21 ,故e 的最大值为式,故答案为加8—葡1=|r+ 6 -2 |1 - = 〔3x+ 4T < x<l武-S+x.x<-65、,当贯之1时,,㈤*7 ；当-6时,/〔制<7 ；当』MT5时,『㈤工T4；.•・函数'㈤的最大值为7,又〔工〕< 之或+】时工更出恒成立,.一取+ 1'：, m>3故答案为：,一点睛：不等式的恒成立常规处理方法转化为函数的最值问题.绝对值函数的最值转化为分段函数的最值问题6、结合题意可知：-'----,且：,利用不等式的性质可知：~一§的取值范围是〔一42通.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,屡次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想,通过〜次性〞不等关系的运算求得待求整体的范围,是防止错误的有效途径.7、令- -那么- -- -二A = 9『一24］』-l］！30n『_型^工±£也^〕画“55/产+『的最大值5点睛：求函数最值时,要注意判别式法是一个行之有效的方法〔根本不等式推导的根源,是函数与方程思想的表达〔将函数最值先转化为方程有解,再根据方程有解转化为解对应不等式,是消元法的应用〔多元参数消元是主要思路,注意验证等号取得的条件,否那么会出现错误^_ S =■.、,-亡 ~ll r、I8、由于'' ,所以小关系是S>1,故答案为S>1b fj+c 白十万+c 匕+b + c----- ;----- =1叮~",,’与1的大9、①门力都是正数, "16,ab + b>ab + a,那么口qb正确；②假设是,㈤是常数函数,那么,⑴"/I"不成立,③命题蓟eM使得x:-2x+l<0 〞是假命题,那么它的的否认是真命题；④且JW1 =迎+jW2,,,反之不成立,那么让1且是互〞的充分不必要条件;⑤假设实数上,〕々卜川,那么满足/ + /之1的概率为 4 』正确. 正确的命题序号为①③⑤.10、b= "一6<?=否一短=乏<V^+W0〔近+臣><〔布*何、9 + 2旧<9 + 2口§=14<18,成立,故?二；又二------- - - - - - - -二；综上知,:二"11、解答：b i + w9-加-a>b>0 , m>0, n>0 ,[b -a]m<0b b + m-M-----------J+阻口 +也〔b + M 〔占一口〕十〔b一口〕〔用十———〔口+酬〕3+k〕一 -a>b>0 , m>0, n>0 ,〔h十一口| 十〔占一口川演十的〕5用心+6<0- —— <0b 4m a-^-n----- ? ---- n +加 方十也 …巴3-小.- a>b>0 , n>0,--- <0b i + m D +并 a 一U VV -综上可知,-- ^ • b i + m D + K a一U ------ V ------ V -故答案为：-- ^ ・点睛：比拟大小的方法：作差法〔作商法〕,中间量〔比方a-b > a —b <=> a +b '｝衣一方『0 4G -6 jO 0 a-1 > 013、由1T 114、由 ：^ , 一r0 < a +1 < 2a _1 <—i1 + t < 115、解：由函数的解析式可知：la -£〕€结合不等式的性质可得：16、试题分析：验证发现,主二】时,代入不等式,有==七=0 .当工二°时,°三>壬】,所以一1三.三° .0或1〕,函数的单调性,数形结合等方法所以是充分必要条件.所以是充分必要条件.金= 力目口〃i)"+b=o =d-犷一口八W=1：/一6龙门外,.:2 4、小入1r V / (0)= a < 0. f fl) =1 一口>0 4十次 > 门HL士在二递减,在L /递增,J t / '八,,由于X2U时恒有*-+©•+$之0,结合‘⑴"+6 = 0知,1为函数/㈤的极小值,也是最小值点,故有f (l) = l + c? = 0:i2 = -Li =1=£?5 = —1 ■考点：函数导数与不等式.【思路点晴】此题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题,由于所给的不等式较为特殊,可借助赋值法得到相关的方程直接求解,此题解法关键是观察出不等式右边为零时,自变量的值,及极值确实定, 将问题灵活转化是解题的关键 .在求函数一阶导数后无法画出导函数的图象,可求其二阶导数,利用二阶导数的图象来画一阶导数的图象,进而得出原函数的单调区间、极值和最值 ^a e (0,. 1) 0=Q < b<A:c = 2" >2' =In o考点：实数的大小比拟18、①同向不等式不具有可乘性,如：->1-1 >--=那么故错误.②假设曰5 ,那么a弋脑错误,如：2-327.③假设a> b,那么a?2>b?2,根据不等式的性质可知正确故正确命题序号为③.考点：不等式的性质.〞 .洋二--踊1--2如=7-痂1.-.^ >b:z：.a>b19、•,考点：不等式的性质.a -log L0.7 < 0= d = 0一垠e(0:l)T c = 2V' > 1 < e20、试题分析:考点：比拟大小21、试题分析：根据柯西不等式( a 2+b 2) ( c 2+d 2) > (ac+bd) 2当且仅当ad=bc 取等号,问题即可解决.解：由柯西不等式得, (ma+nb) 2< (m 2+n 2) ( a 2+b 2)・ a 2+b 2=5, ma+nb=5 ,( m 2+n 2) >5Jm%,的最小值为JG 故答案为：！ ■ 考点：根本不等式.22、试题分析：根据柯西不等式,有( a 4+b 4) ( a 2+b 2) > (a 2?a+t 2?b) 2= (a 3+b 3)2.即可证实结论. 【解答】证实：根据柯西不等式,有( a 4+b 4)(a 2+b 2)> (a 2?a+B?b)2= (a 3+b 3)2.「.( a 4+b 4) ( a 2+b 2) > (a 3+b 3) 2. 故答案为：(a 4+b 4) (a 2+b 2) >(a 3+b 3) 2 考点：一元二次不等式的解法.।।i - <x<l24、试题分析：由于0<03<1,二%+5,,整理得亚.一4上+1工0 ,解得3(1 A因此解集为13考点：1、指数函数的图象和性质；2、一元二次不等式的解法.考点：分式不等式解法26、试题分析：由于""二,所以门一八0冉-匚>0』一仁hO ,所以1 1 1 〔 1 1 b n 1 U …吁占〕〞 4 ------ H -------------------- - --- F ------- । I 〔7 - i i -K 〔6 - c] I = ------2 H ---------- h 2 — a-b b-c1b-c 〕~ ------------ J口一 a-b b-cj a-23、试题分析：利用指数函数和对数函数的性质可知 小关系为故答案为nb考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.a = In O S <>1: 0< c - 0 三 < 125、试题分析：不等式转化为 〔3工-4〕〔工一 1] <0--< 1,所以③1口『In x 21n ,一,ln ,(2一切n ,0 (上芋 Inx Jf 2j.考点：利用导数研究函数的单调性、作差比拟大小.xH- 2a > 4 /. x > 4 — 2R lx —b <5 < ~~~ 二 4 一 2口 c h c + ~28、试题分析：二二/.4 — 2a= o =2: = —1a + Z? = 1考点：一元二次不等式解法a <0.式口 ＜1 ,所以最后一1:夜＜1考点：分段函数求值,解不等式(x-2)(x«n<O/..l<x<2(T2),解柒力考点：分式不等式解法工7 w 031、试题分析：,+ 3等价变形为24"*+杂°且＜+3多° ,所以解集为 考点：分式不等式的解法Q ——i Ji = -232、试题分析：取满足条件的两个特殊值,令 一 ：一 •代入4个不等式中依次检验只有①④成立 考点：不等式性质即口一3 b 一c 的最小值为已一亡,故口一£考点：根本不等式./ 3 = ]__L =27、试题分析：令/3=万一近式1c 2),那么一天 〞,••函数片〃顼＜工口为增函数,, 〃工)＞/(1) = 1＞0,..冗＞]口工＞0… In x . 」n 0 <——<1(——>'立 ..工In x29、试题分析：一14° ,所以‘T 二1- 1 < 1 -1 < a<0 Mwl,解得‘’“,或L ,解得30、试题分析：原不等式转化为1 仁 । 主 1133、试题分析：由门工".?初得'一4一,由妙色口g +. 5-2c Y 3.j1 1 ,. 4 _, 111=—— =x-^y y = 4^-k=w ,j=w令 之,即’22 ,所以当 口 〕时,考点：1.二元不等式表示的平面区域；2.线性规划问题;34、设侬逆=1""=工,那么昨3F = \当『＜0时,在®+叼上为减函数,那么b f 1 ；当下:0时,E "工在9+x 〕上为增函数,那么5 ＞厘＞1 ；当『=0时,那么〞d = 1 ；应选②④⑤.考点：哥函数的单调性.35、试题分析：①根据题意,在 山£8C 中,由正弦定理可得：siuBsinJ,sinacosB ,由于^ ^B=~ F°＜上＜兄,所以中口11 ° ,所以smi =0055所以 4所以,正确；②非零向量 小总满足：口3 =同昧睦6 = a b7 - 111 1,所以1c g &三二1 ,所以短」白,那么存在实数N 使得由二/q ,正确；③画出■F,¥二邕口,和1'二注的图像,得到一个交点,所以正确；④原式变形为：^ + 3口＞y+ 3方,设〃小l-力,那么转化为证实：・,那么----一一',Q ,所以 ,⑴在苴上单调递增,所以‘㈤“㈤得证,正确.综上正确的命题序号为：①②③④ 考点：1.正弦定理；2.平面向量；3.数形结合思想E 有最小值 1S■工十T -1-0,那么冗】满足‘I -】'*",平面区域如以下图:4〈工48 1 r 4武丁＜24 :424]36、依题意可得b,又1 ＜口口,所以 b .故答案为.37、试题分析：由于队“入°」〕且"='根据根本不等式/十白匕.,又北〕疝,有/十好＞2膈又由于所以白+白＞4工+/,所以曰+石最大.考点：根本不等式和不等式的性质 .cc 5m 八-人V T = 〔a - 11 X- 1 1,二工11改一1 目H MI',NO K 叫4 划2j1 I ◎•• 一1 I …38、试题分析：令' - 「- ,即几2 ,而』-,苒上都经过定点一,它们的图像如下图：当直线绕点〔0±T〕旋转时,只有当直线与二次函数都交于工轴时,才满足Ji：〞,而由1 1 1 1¥="-1民-1 即1,°〕M〔「⑼ y 二寸-ax-1 0=＜-I〕-^〔―T＞-1 “1一11 i〕x」得白—1 ,把口-1代入力-X m,得口—1 方—1 ,整理r J- a ——_ A得2〔r—3a二0,即口二°或工；当门三0时图像如以下图所示：在虚线的右边不满足NJ?-U ,所以口三°舍去.考点：不等式与数形结合39、 1 =x在---上为减函数, 3 ；由于史3上恒成立,所以 3 ;即乂的最大值是考点：不等式恒成立问题40、试题分析：由于工+1 =6+岁立之i "且J 8在区间e,〕上是减函数,f(x2+x+l) <考点：函数的单调性应用41、试题分析：由于I 1 1- ■ 小卜1,由题意得：一 . . - 」-所以答案应填：• ■ •.考点：含绝对值的不等式.42、试题分析：当a=0时,不等式成立；当a>0时,判别式△ <.不等式也成立.当a>0 时,,综上..考点：一元二次不等式的解法43、试题分析：原不等式等价于±y +e今-设八工〕三主、工,那么"工〕在衣上单调增.所以,原不等式等价于. - - ,,-EWET〞-e即心4 [x| x < > 21所以原不等式的解集为：^考点：解不等式.44、试题分析：〞主〕在9+M〕上单调递增.所以小.或解之得-1<X<T+W考点：函数的性质与不等式45、试题分析：三个正数日也亡,满足占少+?“屋.工".£左,.•. 白白b c b-<1——<2-口门口,即0口口,不等式的两边同时相加得11 2b<b 1 [*>2a a J a3"3.匕2一/ "l以以,即l口2 ,即302故答案为：3 2考点：不等式的性质46、试题分析：由一1三"'刍2得,一4三一2^^ 一,所以一［三1一二中三3考点：不等式的根本性质;47、试题分析：注意到口>°户=1 ,所以函数产也〔.YH2〕在2-,〕恒为正0 <a <1：0―-农+25问之+工〕显然不可能；或「. 1 : l<a<4 4日: 1 金ip尸4 ZT ',」「一、|22-2^ + 2>r 2- —>0»1 </1 >1〔[2：+〕l<a<-,故应填入:考点：不等式的恒成立.x> 0 48、试题分析:考点：不等式的解法x> 0 r x <0【工"熊"或40, XO或n249、试题分析：由⑪-b <0得心:.由于不等式取的解集是〔L+均,所以"0 ,所以必r+占x-1b x+->0 ax................... -变为工-20--<02 ,所以-1VKM250、试题分析：当工时,在工2 , .•.工L L L2+1 ,x'1 ；当*三1时,.< - 12 2 ,,上七’ ,.•. 1£工£8 ,综上,使得/(')’工成立的x的取值范围是,工8 .故答案为：x<Z考点：分段函数不等式及其解法.【方法点晴】此题考查不等式的解法,在分段函数中结合指数函数不等式与募函数不等式,考查学生的计算水平,属于根底题.利用分段函数,结合,(小2分为两段当时,根据单调性,解指数函数不等式,取交集；当工占1时,解备函数不等式,取交集,综合取上述两者的并集,即可求出使得成立的X的取值范围.a口一加51、试题分析：添加前糖水的浓度为白,添加后糖水的浓度为小+用,由于糖水更甜,可知浓度变大,那么a©+明0 < —<---------- < 1有b 5+初.考点：不等关系.52、•.•函数y=lg(x2—2x + 3)有最小值,f(x) = a 1g8一2二3)有最大值,,0<a<1.,由log a(x2—5x +7)>0 ,得0<x2-5x+7<1,解得2<x<3.,不等式log a(x2—5x+7)>0 的解集为(2,3).x-153、A={x|、T1<0}={x| —1<x<1} , B={x||x -b|<a} = {x|b -a<x<b + a},由于广1 是An 眸的充分条件,所以一1Wb—1<1 或一1<b+1wi,即一2<b<2.t 4,,——>5-k54、原不等式变为,-V JC> 1 JC—1 > 0—li + --------------- W Ayjlc工-1二4辰,即(收)、4#-520二?我+欧现-1)之1 ,即得盘上1所以k 的最小值为1 故答案为1 考点：恒成立问题.55、试题分析：当x> 0时,去分母得：x>2,所以原不等式的解集为：〔2, +°°〕； 当x<0时,去分母得:x<2,所以原不等式的解集为：〔-8, 0〕,综上,原不等式的解集为：〔-8,0〕 U 〔 2, +8〕.故答案为：〔-8,0〕 U 〔2, +8〕考点：分类讨论的数学思想；分式不等式的解法.Im- 1 1 八2k 丁八 Im' 1 1R —7 亡y >.一X —7 £. n-1—r > 一彳 加X 时,〞十1大,而广,所以疗T ,不成立,舍去,当mV .时,"」厂,而4<1 r / ,所以厘7 ,二附>L ,制<4 考点：不等式恒成立问题5=2>K = 2,,〔曰二二万七157、试题分析：由题意可令：12,那么有：愣+界=明.+犷,化简得:, J ,八• 1〔ffl ——〕* +〔用一一〕* =_2 2 2,又由所求可化简得：M 2蕨一炉 〔加一汽〕〔次一-J1" 一削力〕 〔时2+置X 况+汹一阴制〕 , 明一出 , % 门一十——= ------- =- ------ - ----------- =- ----- - --------- =- ------ L-〔in 十力二 ------ 一O 十加十2m n mntnnmnwinmn1五 I 期=-4 ——cosof '1机.n — — 4—Sina,可令：-22,代入化简得：考点：1.不等式的性质；2.三角换元3函数的性质56、试题分析：由于“〕 工,所以不等式/ 〔心〕+哂工〕仁°可化为* -———皿一一 <0,当观察特点可设:,那么原式为:,此函数单调减,即可求出:2度〔茄 CL 4已色仪〕+ 4 -Jl 〔sin a. + cos 〔Z 〕-F 2 sin as cos a +1〔Z4 COS〕?58、试题分析：当王工.时,6 - -f (x) = /1 -x)="-当工时,由于八刃是偶函数,那么一工＞0, ^ ' ' J<>-1?此时有---1-.u ,曜 /(x)-7[-111综上所述,不等式工的解集为। ■＜ .考点：1.函数的奇偶性；2.指数不等式59、试题分析：①由于3=(10)五=(°D 心(0；0)由定义或二=a" 5,所以I 二^二故①为真命题； ②设呵=1再4%=(与J3)由白1- %,得:为工巧,或凝二孙入＞臼 由4 -心得々 ＞ 石,或々=04＞启,以下分四种情况讨论: 第一：假设内、巴斗’否那么n ＞三 ,所以％一% 第二：假设占二三六二通那么n ＞毛,所以用一生 第三：假设E?三产二毛那么口二三,所以用一生第四：假设可二三.二毛那么¥1 ＞ FD ""所以,』二三且Ji ?启所以药一生 所以②是真命题 ③设色二兄打)必二@4). 口=(也冲)严+白二|七+ *电+计)色+ 口=(应+肛约+叫3得：无＞ 巧,,或,毛二三且1＞3",所以$_也-圣-冏或甬一次二三斗网且 所以是真命题.… _ a = (0,1)-^ - (l.Olzin =i I 0.2)日心』口 ZJ 二 0.0 = 10.01, a Z 白- a 0 口& =2④设 一 J 1 L — L 显然满足 - - - - L ,但 1= , ,所以门一 4£0的,所以命题是假命题. 综上答案应填①②③.考点：1、新定义；2、不等式的性质；3、向量的概念与运算.A V 1、_ n 0 < — < -0 <- < —,x> 2.60、试题分析：由于工=W 2 ,所以 工2 而2,于是有一工,解得由巧xz1 2 3- 4yz ,：-4,乂/一4> 式/ 一4) 、叵第三量选择为数1,即：考点：比拟大小.66、试题分析：由于函数八"〕=也工+ =在定义域上单调递增,且/〔1〕=Lnl + 2 = 2故jF f V,那一4〕?二得TJ V『〔l〕所以0cr-4<i ,解得实数工的取值范围为〔-亚勺UU在〕.考点：函数的单调性,解不等式.1 1 1 1--<—r, X <——X >—y67、试题分析：当承时,耀/ 当般口时, 加或k .由于不等式对一切xA4恒成立,1^1 ।1 ,1——< -- 4 > —731 < —所以明职不能满足,因此秋且叶,所以2 .此题恒成立问题,从解不等式出发,利用解集形式得出不等关系.f/+l6V x++16 (? -4)2+8x22,g/(〃 T尸E考点：根本不等式求最值2 1 (口一5)[由占+1)61、((a- - )-(b--)= 02+1由a>b 知"b>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab>0 或ab<-1.尸]、1__！,「I' ,三J_ ■1—:—I X —62、根据不等式的根本性质求解 .'¥,2e [16,81],埠'兄,丁=L 23一€ [2,27] , 丁的最大值是27.63、由于a>b>0? a2>b2,故①正确；a>b>0?a>b— 1? 2a>2b 1,故②正确；由于a>b>0?ab>b2> 0?而>b>0,而(小i)2-(― ―a)2=a-b-a-b + 2 痴=2(而-b)>0,所以③正确；因为当a=3, b=2 时,a3 4+b3=35<2a2b = 36,故④不正确.64、试题分析：由“-丁〞土口,工-"+2 一0 ,两式相减得工+ " 4,二"期的最大值,那么2必须同号,且都大于o,由x+y-im三0得,工两边平方得,16"汇+ 2不咛三%,所以考点：不等式恒成立.1 1 1 1———.了吃一r, x <——x > —68、试题分析：当灰下〞时,埴肝当流<口时, 加或 R .由于不等式对一切x>4恒成立,x<—L- 4 > 731 <—i所以刑所不能满足,因此加<°且",所以2.此题恒成立问题,从解不等式出发,利用解集形式得出不等关系.考点：不等式恒成立.2a2a69、试题分析：解法-：由主.得田也由不等式②⑷晦工口得公物或-皿侬所以—=2a.a=/5一v = —1g —“解法二：图像法¥"仃一即与一左的图像不能同时在工轴上方或下方,所以它们与=2Q, Q= ^0^.走轴的交点必然重合,所以“此题难点在于将原不等式对正实数x恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集 ^考点：解不等式,不等式恒成立 .了力 7 c—> O,jr >0(or-2C)lg: —<0 70、试题分析：解法一：由 上 得出 由不等式 , 卫=2G (2 = ^15-v = —1g — 注 解法二：图像法.¥・s-20与 2q 的图像不能同时在 = 2Q 3 a —工轴的交点必然重合,所以 “此题难点在于将原不等式对正实数 克恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集 考点：解不等式,不等式恒成立 .169个‘工―T 4考点：不等式的性质,根本不等式.65、试题分析：多个数比拟大小,一般先进行分类.由于"°力>°了,所以“最小,只需比拟凯大小 即可.匕<是两种不同形式,一个是对数值,另一个是三角函数值,比拟它们大小需借助第三量进行传递, 0<i ^― 3 a 支轴上方或下方,所以它们与。

3.1 不等关系一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知a b >，则下列不等式：①22a b >；②1a ＞1b ；③1a b >-1a；④22a b >；⑤lg()a b ->0中，你认为正确的有 （填序号）．2.若1a 1b<<0，则下列不等式：①a b ab +<；②a >b ；③a b <；④22a b <中，正确的个数是 .3.若,,R a b c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 （填序号）． ①11a b <；②22a b >；③21a c >+21b c +；④a c b c >. 4.如果c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中不一定成立的是 . ①ab ac >；②()0c b a ->；③22cb ab <；④()0ac a c -<.5.已知00a b c d >><<，，则b a c-与a b d -的大小关系是 . 6.已知a b c d ，，，均为实数，有下列命题：①若00ab bc ad >->，，则c a -0d b >；②若0ab >，c a -0d b >，则0bc ad ->；③若0bc ad ->，c a -0d b>，则0ab >.其中正确命题的个数是 .二、解答题(共70分)7.（10分）已知2()f x ax b =+，若1(1)2f ≤≤，2≤(2)3f ≤，求(3)f 的取值范围.8.(15分)已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>.9.(15分)（1）设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知,,a b c ∈{正实数}，且222a b c +=，当n ∈N ，2n >时，比较n c 与n n a b +的大小．10.(15分)已知010101a b c <<<<<<，，.求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能都大于14.11.（15分）现有,,,A B C D 四个盛满水的长方体容器，,A B 的底面积均为2a ，高分别为,,,a b C D 的底面积均为2b ,高分别为,a b a b ≠（）.现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个,盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有,有几种方案？参考答案1.④解析：①若01a b ==-，，则有22a b <，所以①错误． ②若21a b ==，，则有1 1 a b <，所以②错误． ③若10a b ==，，则有11 a b a-＝，所以③错误． ④因为指数函数2x y =在定义域上是增函数，所以④正确． ⑤因为a b >，所以0a b ->，但lg()0a b ->不一定成立，所以⑤错误．2.2 解析：∵110a b<<，∴0b a <<，∴0a b ab b a +<<>，，∴22a b <，故①④正确.3.③解析：∵210a b c >+>，，∴ 2211a b c c >++.故填③.4.③解析：∵c a <且0ac <，∴0c a <<.但b 的符号不确定，∴ 当0b =时，220cb ab ==，∴22cb ab <不一定成立.故填③. 5.b a ac b d<--解析：∵00a b c d >>->->，，∴0a c b d ->->，∴ 110a c b d <<--.∵0a b >>，∴ b a a c b d<--. 6.3 解析：由0bc ad ->,得bc ad >.又0ab >，∴ bc ad ab ab >，即c d a b >，∴ 0c d a b ->，故①正确.由0ab >，0c d a b ->，得0c d ab a b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即0bc ad ->，故②正确. 由0cd a b ->，得0bc ad ab->.∵0bc ad ->，∴0ab >，故③正确. 7.解法一：整体代换.令(3)9()(4)(4)()f a b m a b n a b m n a m n b =+=+++=+++，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38,3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即58(3)()(4)33f a b a b =-+++. 因为12243a b a b ≤+≤≤+≤，，所以192(3)3f ≤≤，即(3)f 的取值范围是1923⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 解法二:巧妙换元.令4a b x a b y +=+=，，则3y x a -=，43x y b -=，12x ≤≤，23y ≤≤. 因为85(3)93y x f a b -=+=，68519y x ≤-≤， 所以19233f ≤≤（），即(3)f 的取值范围是1923⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 解法三：增元换元.令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,345.3t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩因为01t ≤≤，01s ≤≤，且5814(3)93t s f a b -+=+=， 所以192(3)3f ≤≤，即(3)f 的取值范围是1923⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 8．证明：∵2()0b c -≥，∴22 20b c bc +-≥，即222b c bc +≥. 又0a >，∴22()2a b c abc +≥.同理2222()2()2b c a abc c a b abc +≥+≥，.∵,,a b c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这在论证中极易被忽略的）.故222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>.9.解：（1）2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()]x y x y x y =-+-+2()xy x y =--.∵0x y <<，∴00xy x y >-<，，∴2()0xy x y -->， ∴2222()()()()x y x y x y x y +->-+.（2）∵,,a b c ∈{正实数}，∴0n n n a b c >，，， n nn n n a b a b c c c +⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝. ∵222a b c +=，∴221 a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝. ∴0 10 1a b c c <<<<，.∵2n n ∈>，N ， ∴22n n a a b b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ∴2221 n n n n n a b a b a b c c c c ++⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝. ∴n n n c a b >+.10.证明：假设1(1)4a b ->,1(1)4b c ->,1(1)4c a ->.将20≥，展开，得(1)122a b -+. 同理(1)122b c -+>，(1)122c a -+>. ∴ (1)(1)(1)32222a b b c c a -+-+-+++>，即3322>，矛盾. ∴ 原结论成立.11.解：（1）若先取,A B ，后者只能取,C D .因为3223222()()()()()()a a b ab b a a b b a b a b a b +-+=+-+=+-， 显然2()0a b +>，而,a b 的大小不定，所以2()()a b a b +-正负不确定， 所以这种取法没有必胜的把握.（2）若先取,A C ，后者只能取,B D ，因为3223222222()()()()()()a b a ba b a a b b a b a b a b +-+=+-+=+-， 显然220a b +>，而,a b 的大小不定，所以22()()a b a b +-正负不确定， 所以这种取法没有必胜的把握.（3）若先取,A D，后者只能取,B C，因为3322222 +-+=+-+-+=+-，a b a b ab a b a ab b ab a b a b a b()()()()()()()又00，，，所以2≠>>a b a ba b a b+->，即3322()()0+>+，a b a b ab故先取,A D是唯一必胜的方案．。