2014年人教A版选修1-1教案 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

旧知回顾 求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值 （3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中 为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当 时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得： 求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数 和 的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设 ，若()ln f x x x = ，则 （ ）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 在点（1, )处的切线与直线 平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、 求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数 可以看做函数 和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。

过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。

情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。

【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。

本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。

【教学过程】一、 问题导学：1、 依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、 总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、 自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ， 则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ， 则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。

3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习 目 标核 心 素 养1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x2思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y ＝x α的导数是什么吗？ [提示] 若y ＝x α，则y ′＝αx α－1. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．函数f (x )＝0的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A ．] 2．下列结论正确的个数为( ) ①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②g (x)＝cos x ，则g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－12； ③h (x )＝2x ，则h ′(x )＝2x ln 2； ④φ(x )＝log 5x ，则φ′(x )＝1x ln 5.A ．0B ．1C ．2D ．3D [对①，f ′(x )＝(ln 2)′＝0；对②，g ′(x )＝－sin x ，g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＝－12；对③，h ′(x )＝2x ·ln 2；对④，φ′(x )＝1x ln 5.故选D ．] 3．求下列函数的导数．(1)(2x )′＝________；(2)(log 3 x )′＝________； (3)(sin 30°)′＝________；(4)⎝⎛⎭⎫1x 4′＝________. [答案] (1)2x ln 2 (2)1x ln 3 (3)0 (4)－4x5利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝5x 3；(3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝3x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(3)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)y ′＝(log12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(5)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练]求下列函数的导数：(1)y ＝5x ；(2)y ＝－1x 5；(3)y ＝ln 3；(4)y ＝x x 3.[解] (1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5. (2)y ′＝－(x －5)′＝5x －6＝5x 6.(3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y ＝x x 3，∴y ＝x 52， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52′＝52x 52－1＝52x 32＝5x x2.利用导数公式求曲线的切线方程＝x 2的切线方程．[思路点拨] 直线PQ 的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．本例中，是否存在与直线PQ 垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．[解] 假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x 1，y 1)， 则y ′|x ＝x 1＝2x 1，令2x 1＝－1，则x 1＝－12，y 1＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )， 因为k PQ ＝1，则由f ′(a )＝1a ＝1，得a ＝1，故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．判断正误 (1)(log 3π)′＝1πln 3.( ) (2)若f (x )＝1x，则f ′(x )＝ln x ．( ) (3)因为(sin x )′＝cos x ，所以(sin π)′＝cos π＝－1. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝________. 1e [y ′＝(ln x )′＝1x ，则1x ＝k . 所以x ＝1k ，所以y ＝k ×1k＝1.所以曲线y ＝ln x 过点1k ，1，即1＝ln 1k ，所以k ＝1e.]3．曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为__________．x －y ＋1＝0 [y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝e 0＝1，故切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.。

第二课时导数的运算法则（重点）1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.（难点）2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.一知识回顾基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c(常数)，则f ′(x)＝ .(2)若f(x)＝x α(α∈Q ﹡)，则f ′(x)＝ .(3)若f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝ .(4)若f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝ .(5)若f(x)＝ax ，则f ′(x)＝ .(6)若f(x)＝ex ，则f ′(x)＝ .(7)若f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝ .(8)若f(x)＝ln x ，则f ′(x)＝ .二知识探究1. 导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[]()()()().'''±=±f x g x f x g x 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: []()()()()()().'''=+f x g x f x g x f x g x 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方，即:[]20()()()()()(()).()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦2.思考下列问题:(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数?提示:可以.由法则2:[]()'()()().C f x C f x C f x C f x '''⋅=+⋅=⋅例如,①若y=f(x)±c,则y ′=f ′(x);②若y=af(x),则y ′=af ′(x);③ ()()()2kf x k []f x f x -''=［］ (f(x)≠0). (2)应用导数的运算法则求导数的前提是什么?提示:应用导数的运算法则求导数的前提是f ′(x),g ′(x)都是存在的.3.运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f 1(x)±f 2(x)±f 3(x)±…±f n (x)]′=f ′1(x)±f ′2(x)±f ′3(x)±…±f ′n (x).(2) 积的导数公式的拓展,若y=f 1(x)f 2(x)…f n (x),则有y ′=f 1′(x)f 2(x)…f n (x)+f 1(x)f 2′(x)…f n (x)+…+f 1(x)f 2(x)…f n ′(x).三【即时训练】求下列函数的导数:1(1).=+y x x (2)tan .=y x (3)5.=x y例1 求函数y=x 3_2x+3的导数.【变式练习】求下列函数的导数:2121().y x x =-221().=-x y x528480100100 ().x x<<-日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%. (2)例2 98%.【提升总结】函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知 .它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.小结：导数的运算法则1.()''',±=±u v u v 1212()''''.±±±=±±±n n f f f f f f2.()'''.=+uv u v uv2.''3.()'-=u v u v uv v 注意:(),'''≠u v u v .u u v v ''⎛⎫≠ ⎪'⎝⎭。

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

高中数学人教A版选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
2学情分析
学生整体素质偏差,基本功底一般,没有较强的学习欲望和学习兴趣。

只能以书本知识为主要研究对象,尽可能的让学生掌握书本基础知识和基本技能,对于普通的整式函数,分式函数,简单的对数函数、幂函数、指数函数的求导运算,会用导数运算法则计算。

3重点难点
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.(重点)
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.(难点)
4教学过程
1【导入】探究点1 几种常见函数的导数
提示:根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
1.函数y=f(x)=c的导数.
2.y=f(x)=x的导数
3.y=f(x)=x2的导数
探究点2 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)=c,则=_____.
(2)若f(x)=xα(α∈Q*),则= .
(3)若f(x)=sinx,则=_____.
(4)若f(x)=cosx,则=_______.
(5)若f(x)=ax,则= .
6)若f(x)=ex,则f′(x)=____.
(7)若f(x)=logax,则f′(x)=_____(a>0,且a≠1).。

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 核心扫描1．基本初等函数的导数公式．(重点)2．能运用导数定义推导几个常用的函数的导数公式，应用公式计算有关导数．(重难点) 课前探究学习自学导引1．几个常用函数的导数⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为0，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0.若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．基本初等函数的导数公式a 提示 函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .名师点睛1．几种常用函数的导数(1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先计算ΔyΔx，并化简；然后观察当Δx 趋近于0时，Δy Δx 趋近于哪个定值；最后，ΔyΔx趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数．(2)对基本初等函数的导数公式的特别说明不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的运算练习．2．理解和记忆指数函数、对数函数的导数公式指数函数、对数函数的导数公式的记忆：公式(ln x )′＝1x ，(e x )′＝e x 很好记，但公式(log a x )′＝1x ln a，(a x )′＝a x ln a 的记忆比较难，特别是ln a 的位置易记混．应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．(1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面找(ln x )′与(log a x )′、(e x )′与(a x )′联系，二要从横的方面找(log a x )′与(a x )′的联系，并找出它们的差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′可用(ln x )′和求导法则证明来帮助理解和记忆． (log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ln a . 课堂讲练互动题型一利用导数公式求函数的导数例1：求下列函数的导数． (1)y ＝5x ； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ； 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．变式1：求下列函数的导数： (1)y ＝x 7;(2)y ＝x 10; (3)y ＝1x2.题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2：(1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． (2)已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．题后反思：相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．变式2：求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程．误区警示 未检验点是否在曲线上而致误示例：已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，求切线的方程． 错解：由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，所以k ＝f ′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程为y ＝－3x ＋32.思维突破：对于给定的点M ，要验证与曲线的位置关系，若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本题的正解进行．追本溯源：在求曲线的切线方程时，注意两个说法：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程．在点P 处的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线，点P 则不一定是切点，则应设出切点B 的坐标(x 0，f (x 0))，再求曲线在点B 处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，此时切线方程l ：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．由点P 在直线l 上，求出x 0，再代入切线方程，求 出切线.——★ 参 考 答 案 ★——：课堂讲练互动题型一利用导数公式求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x， ∴y ′＝－12x －32.变式1：解：(1)y ′＝7x 6； (2)y ′＝10x 9；(3)y ＝x －2，∴y ′＝－2x －3；题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2：解： (1)∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. (2)∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.(10分)∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.变式2：解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.误区警示 未检验点是否在曲线上而致误正解：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，所以切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，所以有2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2，故切线方程为y ＝21x ＋32.。

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、学习目标记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题. 二、例题精讲例1：求下列函数的导数(1)y ＝3x ；(2)y ＝log 3x .例2：求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程．三、巩固练习1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2C ．0D ．以上都不是2．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定3．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝sin x ，则y ′＝cos x B ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x C ．若y ＝1x ，则y ′＝1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝12x 5．f (x )＝1x 3x 2，则f ′(－1)＝( )A ．52B ．－52C ．53D ．－536．函数y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )A ．94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e 227．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________.9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________.10．求证双曲线y ＝1x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．——★ 参 考 答 案 ★——：二、例题精讲例1：解：(1)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.(2)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.例2：解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.三、巩固练习1．[答案]C[解析]∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．[答案]B[解析]∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 3．[答案]B [解析]②y ′＝133x 2；③y ′＝－2x －3，所以只有①④是正确的．4．[答案]A[解析]∵B 项中，y ′＝－sin x ；C 项中，y ′＝－1x 2；D 项中，y ′＝12x，∴选A ． 5．[答案]D[解析]∵f (x )＝x －53，∴f ′(x )＝－53x －83，∴f ′(－1)＝－53(－1)－83＝－53.6．[答案] D [解析]∵y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)．当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|－e 2|×1＝e 22，故选D ． 7．[答案] 3[解析]y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n 2n －1＝12，∴n ＝3. 8．[答案]180[解析]∵s ′＝(5t )′＝(t 15)′＝15t －45，∴质点在t ＝32时的速度为15×32－45＝15×(25)－45＝180. 9．[答案] (2,1) [解析]设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1. ∴x 0＝2，y 0＝1.10．解：设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x2，∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0. ∴S △＝12|x |·|y |＝2.∴三角形面积为定值2.。

某某省金昌市第一中学2014年高中数学 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案 新人教A 版选修1-11. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1练习1、求下列函数的导数。

(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x -2 (4)y= 2 x (5)y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则教学反思[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法那么(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四那么运算法那么．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法那么．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四那么运算法那么解决求导数问题，记住公式和法那么是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法那么.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法那么求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第52页)课标解读1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四那么运算法那么．(难点)2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点)3．能够运用导数公式和求导法那么进行求导运算．(重点) 基本初等函数的导数公式[1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？[提示] ①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？ [提示] 能．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·x α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x续表原函数导函数f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x导数的运算法那么[ 一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ [提示] 能．设两个函数f (x )，g (x )可导，那么 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)(对应学生用书第53页)用求导公式求函数的导数求以下函数的导数(1)y＝x8(2)y＝1x4(3)y＝3x(4)y＝2x(5)y＝log2x(6)y＝cos x[思路探究] (1)以上函数分别是什么类型的函数？(2)这种函数的求导公式是怎样的？[自主解答] (1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(1x4)′＝(x－4)′＝－4x－5.(3)y′＝(3x)′＝(x13)′＝13x13－1＝13x－23.(4)y′＝(2x)′＝2x ln 2.(5)y′＝(log2x)′＝1x ln 2.(6)y′＝(cos x)′＝－sin x.1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．对于形如y＝1x p ，y＝nx的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．求以下函数的导数；(1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y ＝3x 2；(4)y ＝13x2；(5)y ＝3x；(6)y ＝log 3x . [解] (1)y ′＝(10)′＝0 (2)y ′＝(x 10)′＝10x10－1＝10x 9.(3)y ′＝(x 23)′＝23x 23－1＝23x －13＝233x.(4)y ′＝(x －23)′＝－23x －23－1＝－23x －53＝－233x 5.(5)y ′＝(3x)′＝3xln 3. (6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.用求导公式和导数运算法那么求导求以下函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .[思路探究][自主解答] (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ·ln 10－3xln 3.(3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x 1－x 1＋x＝21－x， ∴y ′＝(21－x )′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x )′＝－－1＋sin x ′1＋sin x 2＝cos x 1＋sin x2.1．应用导数运算法那么求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法那么，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法那么求函数的导数的原那么：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法那么．求以下函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)． [解] (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .导数的应用在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． [思路探究] (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？[自主解答] 如下图，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ， ∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．利用导数的四那么运算法那么和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．[解] 过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，那么k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.(对应学生用书第54页)因公式记忆不准确致误求函数y ＝sin x －cos x 的导数．[错解] y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x [错因分析] (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．[防X 措施] 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四那么运算法那么，以防因记忆不牢而致误．[正解] y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法那么求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法那么更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．函数f (x )＝1x，那么f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19[解析] ∵(1x )′＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1－32＝－19.2．以下各式中正确的选项是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6[解析] ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x6，∴A 、B 、D均不正确；C 正确．[答案] C3．以下求导正确的选项是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3xln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确． [答案] B 4．求曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程．[解] y ′＝(xx －2)′＝－2x －22.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.(对应学生用书第107页)1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，假设f ′(x 0)＝2，那么x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2[解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. [答案] B2．(2013·某某高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0[解析] y ′＝e x＋x e x＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. [答案] B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，那么a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1[解析] y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.应选A. [答案] A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( ) A.1－cos x －sin x 1－cos x B.1－cos x －x sin x1－cos x 2C.1－cos x －sin x 1－cos x 2 D.1－cos x ＋x sin x1－cos x2[解析] y ′＝x ′1－cos x －x 1－cos x ′1－cos x 2＝1－cos x －x sin x1－cos x2. [答案] B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，那么导数f ′(1)的取值X 围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2][解析] f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]， ∴f ′(1)∈[2，2]．[答案] D二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，那么f ′(1)＝________.[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0.[答案] 07．(2013·X 家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，那么af ′a ＋bf ′b ＋cf ′c ＝________. [解析] ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得af ′a＋b f ′b ＋c f ′c ＝a a －b a －c ＋b b －c b －a ＋c c －a c －b ＝－a b －c －b c －a －c a －b a －b b －c c －a ＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bc a －b b －c c －a＝0. [答案] 08．(2013·某某高二检测)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[解析] ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝xn ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2.[答案] －2三、解答题9．求以下函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2； (2)y ＝1x ·cos x .[解] (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 10．函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值． [解] (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)[证明] 设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(教师用书独具)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，那么f 2 011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4.∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .[答案] Df 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，那么f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2)＝________. [解析] f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )． 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2) ＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＝－f 4(π2) ＝cos π2－sin π2＝－1.[答案] －1。

3.1.3 导数的计算一、教学目标：1.知识与技能：（1）能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数()x f y =在0x 处的导数的方法与步骤；（2）理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给8个函数的导数公式，并能求简单函数的导数。

通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数在某点处导数的计算过程以及由函数在此点处导 数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会他们之间的联系与不同，体会算 法思想在求导过程中的渗透；3. 情感态度与价值观 在求解具体函数的导函数的过程中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系。

二、教学重点.难点重点：推导几个常用函数的导数；难点：推导几个常用函数的导数。

三、学情分析、教学方法1.学情分析：从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，具有一定的想象能力和研究问题的能力．2.教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．五、自主学习导函数的定义：如果函数)(x f 在区间),(b a 上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：即：则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。

1.对于导数的理解要注意以下几点：(1)“函数在一点处的导数”是一个数值，不是一个变数。

“函数的导数”是一个函数。

注意这两个概念的区别与联系；(2)函数()x f y =在0x 处的导数)(0x f '就是导数)(x f '在点0x 处的函数值，所以求函数在一点处的导数2．几个常见函数的导数（1）基本初等函数的导数公式这些公式由于受到我们所掌握的知识的局限，很多都无法推导，所以只能靠记忆；（2）两种求导方法：①由导数定义求导；②由公式求导；导数公式表 函数 导函数 函数 导函数()为常数c c y = x y sin =()是实数a x y a =x y cos = ()1,0≠〉=a a a y xx y tan =()1,0log ≠〉=a a x y ax y cot =典型例题：例1. 试求函数()y f x x ==的导数。

1.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）一、知识自测：1、几个常用函数的导数：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=x1，则f’(x)=_______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=_______2、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a∈，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______ （5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=xe ，则f ’(x)=_______ （7）f(x)=x a log ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______ 3、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f（2）__________________])()([='⋅x g x f （3）='])()([x g x f ____________________二、典型例题：（一）利用求导公式和运算法则求导数1、345x y -=2、x x x y sin 32-=3、x e y x ln =4、x x x y 21ln -+=5、)3)(2)(1(+++=x x x y6、)11)(1(-+=xx y 7、2cos 2sin )2(2x x x y --=（二）求曲线的切线方程：1、函数4722)(23---=x x x x g 在x=2处的切线方程为_________________2、求过曲线y=cosx 上点P （21,3π）且与过这点的切线垂直的直线方程。