解直角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【重点难点】
1.直角三角形的解法．
2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3.实际问题转化成数学模型. 知识概览图
解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元
素的过程
三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)
两锐角关系：两锐角互余 边角关系：三角函数
30°角所对的直角边等于斜边的一
半
两边一角：由勾
股定理求另一边，再求角
一边一角：由三
角函数求另两边，再求角 新课导引
【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m 的梯子．
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少?这时人
解直角三角形 直角三角形的有关性质
解直角三角形的基本类型及方法
是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数)
【问题探究】对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝BC
AB
，得BC＝AB²sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈6³0.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢?
教材精华
知识点1 解直角三角形的概念
如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c
＝5，如何求∠B，a，b呢?
由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°．
由sin A＝a
c
，得a＝c²sin A＝5²sin 50°≈5³0.7660＝3.83．
由cos A＝b
c
，得b＝c²cos A＝5²cos 50°≈5³0.6428＝3.214．上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
拓展直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素．
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边角之间的关系：sin A＝a
c ，cos A＝b
c
，tan A＝a
b
，sin B＝b
c
，cos
B＝a
c ，tan B＝b
a
.
(4)直角三角形中的有关定理．
①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． ②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°．
④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项．如图28－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥
AB ，垂足为D ，则CD 2＝AD ²DB ．同理AC 2＝AD ²AB ，CB 2＝BD ²BA ．
⑤面积公式：如图28－31所示，S △ABC ＝1
2
CA ²CB ＝12
AB ²CD ．
拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：∠A ＝90°－∠B ，∠B ＝90°－∠A ．(2)三边之间的常用变形：a
，b
c
边角之间的常用变形：a ＝c ²sin A ，b ＝c ²cos A ，
a ＝
b ﹒tan A ，a ＝
c ²cos B ，b ＝c ²sin B ，b ＝a ²tan B .
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：
图 形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边，一直角边(如
c ，
d )
(1)b
(2)由sin A ＝a
c
，求∠A (3)∠B ＝90°－∠A 两直角边(如a ，b ) (1)c
(2)由tan A ＝a b
，求∠A
(3)∠B ＝90°－∠A 一边一角
斜边，一锐角(如
c ，∠A )
(1)∠B ＝90°－∠A
(2)由sin A ＝a b
，求a ＝c ²sin A (3)由cos A ＝a
c ，求b ＝c ²cos
