(同步辅导)2015高中数学《二元一次不等式(组)与平面区域》导学案 北师大版必修5

4．1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)明目标、知重点 1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．一般地，对于二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，当B 为正数时，不等式表示对应直线的上方区域，当B为负数时不等式表示直线的下方区域；对于二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0，当B 为正数时不等式表示对应直线的下方区域，当B 为负数时，不等式表示直线的上方区域．因此，对于二元一次不等式所确定的平面区域可简单的记为直线定界，系数定域．探究点一 不等式组表示平面区域的应用 例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域，并求平面区域的面积．解 先画直线x －y ＋6＝0(画成实线)，不等式x －y ＋6≥0表示直线x －y ＋6＝0上及右下方的点的集合．画直线x ＋y ＝0(画成实线)，不等式x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合．画直线x ＝3(画成实线)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域为如图所示阴影部分，因此其区域面积也就是△ABC 的面积．显然，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ，B 点的坐标为(3，－3)．由点到直线的距离公式得 |AB |＝|1×3＋(－1)×(－3)＋6|2＝122，∴S △ABC＝12×122×122＝36.故不等式组⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积等于36.反思与感悟 解本题时注意到△ABC 为等腰直角三角形，点B 到直线AC 的距离即为△ABC 的腰长|AB |，由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出． 跟踪训练1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域并求其面积．解 如图所示，其中的阴影部分便是所表示的平面区域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0， 得A (1,3)．同理得B (－1,1)，C (3，－1)． ∴|AC |＝22＋(－4)2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为 d ＝|－2＋1－5|5＝65 5.∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×655＝6.探究点二 用不等式组及平面区域表示生活中的问题例2 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表.品种 电力/kW·h煤/t 工人/人 甲 2 3 5 乙852该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解 设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 的甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x＋8y )(kW·h)．根据条件，有2x ＋8y ≤160；用煤量为(3x ＋5y )(t)，根据条件，有3x ＋5y ≤150； 用工人数为(5x ＋2y )(人)，根据条件，有5x ＋2y ≤200； 另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x ，y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．反思与感悟 求解不等式组在生活中应用的问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．跟踪训练2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解 设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.(*)在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分．例3 某市政府准备投资1 200万元兴办一所中学，经调查，班级数量以20到30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元．将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来．解 设初中x 个班，高中y 个班，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到28x ＋58y ≤1 200，班级数量是非负整数．因此，得到⎩⎪⎨⎪⎧28x ＋58y ≤1 200，x ＋y ≥20，x ＋y ≤30，x ，y ∈N ..所以，办学规模就是如图阴影部分的整数点所表示的规模． 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分)跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐个数的数学关系式．解 设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( ) A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1答案 D解析 区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )． S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.2．设点P (a 2，a )(a ∈R )，则下列判断中正确的是( ) A ．点P 在不等式x ＋2y ＋1>0表示的平面区域内 B ．点P 在不等式x ＋2y ＋1≥0表示的平面区域内 C ．点P 在不等式x ＋2y ＋1<0表示的平面区域内 D ．点P 在不等式x ＋2y ＋1≤0表示的平面区域内 答案 B解析 将P (a 2，a )代入x ＋2y ＋1可得，a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2≥0，当a ＝－1时取等号．故选B.3．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N ＋y ∈N ＋4．画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________． 答案 12解析 平面区域如图所示．S △＝12×1×1＝12.[呈重点、现规律]1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面．2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．一、基础过关1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 2．点P (a,4)到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，且在不等式3x ＋y >3表示的平面区域内，则P 点坐标为( ) A ．(1,4) B ．(－4,4) C ．(16,4) D ．(－4,4)，(16,4)答案 C解析 由题意知|a －2×4＋2|1＋(－2)2＝25，解得a ＝16或a ＝－4.又P (a,4)在不等式3x ＋y >3表示的平面区域内，∴a ＝16，∴P (16,4)．3．在坐标平面上有两个区域M 、N ，M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≤2－x 三个不等式来确定的，N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t ＋1所确定，t 的取值范围是0≤t ≤1，设M 和N 的公共面积是函数f (t )，则f (t )为( ) A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2D.12(t －2)2 答案 A解析 如图，f (t )＝12×2×1－12t 2－12(2－t －1)(1－t )＝1－12t 2－12＋t－12t 2＝12＋t －t 2. 4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18解析 由题意知，x 、y 满足的关系式为⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 [5,7)解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是5≤a <7. 6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________． 答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域． 又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.7．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．二、能力提升8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得D (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.9．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ， 作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a . 由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点， 数形结合可得12≤a ≤4.10．用平面区域表示下列不等式组．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y3x ＋4y －12<0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ＋1>0x ≤3.解 (1)不等式x ≥y ，即x －y ≥0，表示直线y ＝x 上及其下方的区域． 不等式3x ＋4y －12<0，表示直线3x ＋4y －12＝0左下方的区域．它们的公共部分就是不等式组⎩⎨⎧x ≥y 3x ＋4y －12<0表示的平面区域(如图所示的阴影部分)．(2)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，不等式x ＋y ＋1>0表示直线x ＋y ＋1＝0右上方的点的集合(不含边界)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(如图所示的阴影部分)．打印版高中数学11．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，求b 的取值范围．解 点P (1，－2)关于原点的对称点P ′(－1,2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.故满足条件的b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，32.三、探究与拓展12.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解 (1)用两点式求得直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.因为原点(0,0)在区域D 内，所以表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)将B 的坐标代入4x －3y －a ，得14－a .将C 的坐标代入4x －3y －a ，得－18－a .根据题意，得(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围为(－18,14)．。

课题
§3.4.2二元一次不等式（组）与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定 的所有整数值，再代回原不等式组，得出 的一元一次不等式组，再确定 的所有整数值，即先固定 ，再用 制约 。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
例2、利用区域求不等式组 的整数解
分析：不等式组的实数解集为三条直线 ， ， 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 ， ， ，求得区域内点横坐标范围，取出 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 的一元不等式组得出相应的 的整数值。
解：设 ， ， ， ， ， ，∴ ， ， 。于是看出区域内点的横坐标在 内，取 ＝1，2，3，当 ＝1时，代入原不等式组有 ⇒ ，得 ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域（导学案）使用说明：1.课前认真预习课本，完成本学案；2.课上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评；3.课下复习整理.★学习目标了解二元一次不等式的几何意义，会根据二元一次不等式去画它所表示的平面区域.能用平面区域表示二元一次不等式组，能把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示.一、问题引入某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件,按每天工作8小时计算. 该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产y x ,件,（1）用不等式组表示问题中的限制条件：（2）你能画出所列不等式组所表示的平面区域吗？二、课前预习、自主探究1. 二元一次不等式（组）的概念（1） 含有_________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式。

由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组。

（2） 满足______________________________________构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

2. 二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线___________________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_______以表示区域不包括边界。

不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成__________.3. 二元一次不等式表示平面区域的确定（1） 直线0Ax By C ++=同一侧的所有点把它的坐标(),x y 代入Ax By C ++，所得的符号都__________.（2） 在直线0Ax By C ++=的一侧取某个特殊点()00,x y 作为测试点（当0C ≠时，常取()0,0；当0C =，常取()1,0或()0,1），由_____________的符号可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域.三、例题与练习：例：在平面直角坐标系中画出下列不等式（组）表示的平面区域.（要求尺规作图）（1）4312x y -≤ ; （2）1x ≥ ;（3）x y 2>; （4）102x y y -+≥⎧⎨≥-⎩.练习:1、不等式062>+-y x 表示的区域在直线062=+-y x 的（）（A ）右上方 （B ）右下方 （C ）左上方 （D ）左下方2、不等式0623≤-+y x 表示的平面区域是（ ）3、不等式组⎩⎨⎧<+-≥+-02063y x y x 表示的平面区域是（ ）。

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计【知识与能力目标】了解二元一次不等式（组）的相关概念，会用“特殊点法”画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

【过程与方法目标】通过类比，找到探究的途径；在探究过程中，善于发现，及时总结，进一步熟悉从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。

【情感态度价值观目标】在小组合作探究活动中，积极投入，培养合作意识，增强学习数学的信心，感悟探求新知的常用思想。

【教学重点】用“特殊点法”画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

【教学难点】“特殊点法”画二元一次不等式（组）表示的平面区域的探究。

（一）、前提测评1、在直角坐标系中，画直线1=-+yx的一般步骤是：（1）列表；x0 1y 1 0（2）描点；（3）连线。

2、观察图形，这条直线把平面直角坐标系中的点分成了哪几个部分？◆教学目标◆教学重难点◆教学过程xy12345–112345–1o答：分成了右上方、左下方、直线上三个部分。

3、（1）含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；（2）由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组；（3）满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合。

探究：不等式>++CByAx的解集如何表示？方法导引：类比一元一次不等式（组）的解集的表示方法：一元一次不等式（组）的解集用数轴上的区间表示。

1、数轴上的点与实数一一对应，某数a右侧的数总比a大，左侧的数总比a小.2、由此，不等式 x>a 的解集在数轴上表示为：不等式x a≤的解集在数轴上表示为：其中虚心点表示不包括a ，实心点表示包括a 。

x4-33、不等式组的解集在数轴上表示为3040xx+>⎧⎨-<⎩a xx类比迁移：1、有序数对（x,y）与__平面坐标上的点一一对应，故二元一次不等式（组）的解集可以看成直角坐标平面内的点构成的集合（区域）。