下载文档原格式
排列组合题解题思维方法排列组合题解题思维方法随着数学考试越来越接近，不少同学开始重点练习数学中的排列组合题目。
然而，面对这些比较抽象的题目，许多同学们都显得有些束手无策。
本文将介绍解决排列组合题目的思维方法，帮助大家深入理解和掌握排列组合知识。
一、排列组合基础概念1. 排列排列是指从$n$个不同元素中取出$r$（$r\leq n$）个不同元素进行排列的方式数，记作$A_n^r$，公式如下：$$A_n^r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$$2. 组合组合是指从$n$个不同元素中取出$r$（$r\leq n$）个不同元素进行组合的方式数，记作$C_n^r$，公式如下：$$C_n^r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$$二、解题思路1. 首先，要明确题目的含义。
排列组合题目在日常生活中并不多见，因此需要认真看题，理解题目的意思。
通常，排列组合题目的意思就是从一堆元素中选取一定数量的元素进行排序或组合，然后求解不同可能的结果数。
2. 紧接着，确定解题的方式。
对于排列组合题目，有一些比较典型的解法，如公式法、画图法、分类讨论法、化归法等。
需要根据题目的特点，选择合适的解题方式。
3. 确定解题的步骤。
排列组合题目通常有多个步骤，需要依次进行，一步步得出最终结果。
所以，需要仔细分析题目，确定整个解题过程中的每个步骤，防止出错。
4. 结合实际问题进行思考。
很多排列组合问题都是有实际意义的，例如隔板法、分配法、抽屉原理等。
通过把抽象的排列组合问题转化为实际问题，可以帮助我们更好地理解问题本质，从而提高解决问题的能力。
三、典型例题1. 从$n$个元素中取出$r$个元素，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的定义，从$n$个元素中取出$r$个元素进行排列的方式数为$A_n^r$。
2. 从$n$个元素中取出$r$个元素，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的定义，从$n$个元素中取出$r$个元素进行组合的方式数为$C_n^r$。
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
解决排列、组合问题的几种思想刘星红排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，解答排列、组合问题，首先要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些策略和技巧，恰当地运用数学思想，可以使一些看似复杂的问题迎刃而解。
本文就解决排列、组合问题的常见思想简单归纳如下。
一. 主元思想主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑，抓住主要矛盾，从而达到解决问题的目的。
例1. 某单位安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙2人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有多少种？解析：确定特殊对象，找出主元，优先考虑主元。
可优先安排甲乙2人有A 52种安排法，再安排其他5人，有A 55种安排法，这样共有A A 52552400=（种）安排法。
二. 分类思想分类思想，就是当问题中的元素较多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，从而避免遗漏和重复，使问题顺利得到解决。
例2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给行政区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？解析：因区域2和4、3和5不相邻，故分两类： （1）当2和4同色，3和5同色时，着色方法有A 43种；（2）当2和4、3和5其中之一同色时，着色方法有C C A 214133种。
这样着色方法共有A C C A 4321413372+=（种）。
例3. 某学校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？ 解：由题意知，甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，丙去，则不同的选派方案有C A 5244240·（种）=； （2）甲不去乙去，丙不去，则不同的选派方案有C A 5344240·（种）=；（3）甲、乙都不去，则丙不去，此时不同的选派方案有A 54120=（种）。
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。
例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
（2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。
（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。
二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。
例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。
（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。
三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。
例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。
（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。
四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。
例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。
（2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
（3）集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足下列条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。
（4）从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。
例5（1）用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。
（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
摆列组合解题技巧概括总结教课内容1. 分类计数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n类方法，在第 1类方法中有m1 种不一样的方法，在第 2类方法中有m2 种不一样的方法，⋯，在第n类方法中有m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有：N m m L m1 2 n种不一样的方法．2. 分步计数原理〔乘法原理〕达成一件事，需要分红n 个步骤，做第 1 步有m1 种不一样的方法，做第 2 步有m2 种不一样的方法，⋯，做第n 步有m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有：N m m L m1 2 n种不一样的方法．3. 分类计数原理分步计数原理差别分类计数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成这件事。
分步计数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个阶段，不可以达成整个事件．解决摆列组合综合性问题的一般过程以下 :1.仔细审题弄清要做什么事2. 如何做才能达成所要做的事 , 即采纳分步仍是分类, 或是分步与分类同时进行 , 确立分多少步及多少类。
3. 确立每一步或每一类是摆列问题( 有序 )仍是组合 ( 无序 )问题, 元素总数是多少及拿出多少个元素.4. 解决摆列组合综合性问题，常常类与步交错，所以一定掌握一些常用的解题策略一. 特别元素和特别地点优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 能够构成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 因为末位和首位有特别要求 ,应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 .先排末位共有 13C而后排首位共有 1 4C最后排其余地点共有 3A4由分步计数原理得 1 1 3C4C3 A4 2881 C4 A 3 14 C3练习题:7 种不一样的花种在排成一列的花盆里 , 假定两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 此中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不一样的排法 .解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其它元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题基本类型及解题⽅法排列组合问题的基本模型及解题⽅法导语：解决排列组合问题要讲究策略，⾸先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(⽆序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利⽤两个基本原则进⾏“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满⾜两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独⽴，互不⼲扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以⽤顺⼝溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，⽤准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先⾏；⼀题多解，检验真伪。
注意以下⼏点：1、解排列组合应⽤题的⼀般步骤为：①什么事：明确要完成的是⼀件什么事（审题）；②怎么做：分步还是分类，有序还是⽆序。
2、解排列组合问题的思路（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
3、基本模型及解题⽅法：(⼀)、元素相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例1、6名同学排成⼀排，其中甲，⼄两⼈必须排在⼀起的不同排法有（ C ）种。
A 、720B 、360C 、240D 、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某⼏个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作⼀个“⼤”元素。
（2）、全不相邻问题插空法例2、要排⼀张有6个歌唱节⽬和4个舞蹈节⽬的演出节⽬单，任何两个舞蹈节⽬不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节⽬排好，其中不同的排法有6！，这6个节⽬的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节⽬有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节⽬不得相邻的排法为4676A A 种例3、⾼三（⼀）班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，则不同排法的种数是A 、1800B 、3600C 、4320D 、5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插⼊，故叫插空法。
一．运用两个基本原理例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
二．特殊元素（位置）的“优先安排法”：特殊优先，一般在后例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个例2．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三．相邻问题用捆绑法：例5 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？例6．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．例7．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？例8．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？例9． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？四．不相邻问题用“插空法”：例10．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。
这样的八位数共有( )个．例11．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？例12．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？例13．5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？例14．马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？五．顺序固定用“除法”：例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
