平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》反思 1、在本堂教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。

数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了

公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。在例题的选择上即达

到应用公式的目的，同时也渗透数形结合思想，把本堂课的教学目标贯彻到

底。 2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理，密度适中。知识回顾部

分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，并在黑

板上板书，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。 3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如

问题1：对于上述向量i,j，则i2,j2,i.j分别等于什幺？这样的问法我觉的还太

繁琐，我想是否可以改为计算i2,j2,i.j,这样是否更直接一点。 4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归

纳总结。如公式推导后学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该

要引导学生分析公式特征及应用的注意点。 5、在板演时，对于学生的错误解法在旁边要做个记号，以示警示，(4)例

2的设计很好，但在数据上的设置还需改进，这样能起到更好的考察效果

第六节 平面向量数量积的坐标

 学习目标：

1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两

个向量数量积的运算．

2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂

直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．

3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、

垂直等问题．

 重点、难点：

重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直

的条件．

难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．

 学习过程：

(一) 课前预习检查

1.设单位向量ji

,分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同，O为坐标原点，若向量,23jiOA

则向量OA的坐标是 ，若向量)2,1(a，

则向量a可用ji

,表示为 .

2. 已知,1ji

,ji

,23jia,jib

ba .

3. A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，

y2),_____,AB______,BA．.______AB

4. (1) ______;ba

(2) _____;______;aaa

(3) .______cos______;ba

5. 向量的数量积满足哪些运算律？

(二） 提出问题，揭示课题

我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么

怎样用ba和的坐标来表示ba呢？

(三） 新课探究

1. 平面向量数量积的坐标表示

问题1：如图，i

是x轴方向上的单位向量,j

是y轴方向上的单位向量,

请计算下列式子：

(1) ____,ii

(2) ____,jj

(3) ____,ji

(4) .____jj

问题2：如何推导ba的坐标公式.

已知非零向量),(),,(2211yxbyxa

§6平面向量数量积的坐标表示

【课程标准】：

掌握数量积的坐标表达式，会求两个向量夹角的余弦值及应用

一、教材分析：

向量是数学中最重要的概念之一；向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”；数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。

二、学情分析：

知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等；

方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；

思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维；

能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱.

三、三维目标：

⒈知识目标：

(1)掌握数量积和模的坐标；

(2)掌握两向量垂直的等价条件及其夹角公式坐标表示．

⒉能力目标：

(1)领悟数形结合的思想方法；

(2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力．

⒊情感目标：通过平面平面向量数量积的坐标表示，进一步加

深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养

学生的运算能力，加深学生对数学学习的习惯．

四、教学的重点、难点：

重点：平面向量数量积坐标表示．

难点：平面向量数量积坐标表示的应用．

五、教学方法：

运用“导学探究式” 教学方法；本节课实行，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、以学生为主体，以教师为主导的新课改教学理念.

第二十六教时

教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移

目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：

一、复习：设向量a = (x1,y1)，b = (x2,y2)，

1．数量积的坐标表示：a•b = x1x2 + y1y2

2．关于距离公式

3．

二、 例题：

1．已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。

解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴322yx…①

又：∵a∥b ∴1•y  2•x = 0 …②

解之：556553yx 或556553yx

即：a = (556,553) 或a = (556,553)

2．设p = (2,7)，q = (x,3)，求x的取值范围使得：

①p与q的夹角为钝角 ②p与q的夹角为锐角。

解：①p与q的夹角为钝角 p•q<02x21<0221x即x(∞,221)

②p与q的夹角为锐角 p•q>02x21>0221x即x(221,+∞)

3．求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B(b1,0)，D(d1,d2)，

则AB= (b1,0), AD= (d1,d2) 于是AC=AB+AD= (b1,0) + (d1,d2) = (b1+d1,d2)

BD=ADAB= (d1 b1,d2)

∵AC•BD= (b1+d1)(d1 b1) + d2d2 = (d12 + d22) b12

= |AD|2  b12 = |AB|2  b12 = b12  b12 = 01

∴ACBD

4．如图：ABCD是正方形，M是BC的中点，

将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，

若正方形面积为64，求△AEM的面积。

解：如图，建立直角坐标系，