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6-3 参数的区间估计

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又根据第五章定理三知
X S/ n
~ t ( n 1),
X 则 P t / 2 ( n 1) t / 2 ( n 1) 1 , S/ n
S S 即 PX t / 2 ( n 1) X t / 2 ( n 1) 1 , n n
( 2) 对于给定的置信度1 , 定 出两个常数a , b, 使 P{a Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) b} 1 .
( 3) 若能从 a Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) b 得到等价的 不等式 , 其中 ( X 1 , X 2 ,, X n ),
例1
设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自正态总体 N ( , 2 )
的样本, 其中 2 为已知, 为未知, 求 的置信水平 为 1 的置信区间.
解 因为 X 是 的无偏估计,
X 且U ~ N (0,1), / n X ~ N (0,1)是不依赖于任何未知参数的, / n

即 的置信度为90% 的置信区间为
( 498.17, 507.67 ).
( 2) 当 0.05 时,
1

2
0.975,
查表得
z / 2 z0.025 1.96,
附表2-2
同理可得 的置信度为 95% 的置信区间为
(497.26, 508.58).
从此例可以看出 , 当置信度 1 较大时, 置信区间也较大 ; 当置信度 1 较小时, 置信区间也较小.
另外定义中的表达式 P { ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 还可以描述为 :
若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间( , ),
每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值,
2 1 n 2 2 2 2 [ ] n , n 1 i 1 n
2 4 S 2 2 于是 E ( L ) E n [t / 2 ( n 1)] 4 4 2 2 [t / 2 ( n 1)] E ( S ) [t / 2 ( n 1)]2 2 . n n
( X 1 , X 2 ,, X n ) 都是统计量, 那么 ( , ) 就
是 的一个置信度为1 的置信区间.
样本容量 n 固定 , 置信水平 1 增大 , 置信区 间长度增大, 可信程度增大, 区间估计精度降低. 置信水平 1 固定 , 样本容量 n 增大 , 置信区 间长度减小, 可信程度不变, 区间估计精度提高.
P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 ,
则称随机区间( , )是 的置信度为 1 的置信区 间, 和 分别称为置信度为 1 的双侧置信区间 的置信下限和置信上限, 1 为置信度.
1 n 2 2 E X i nX n 1 i 1
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1
1 n 2 2 [ D( X i ) E ( X i ) ] n[ D( X ) E ( X )] n 1 i 1
因为 S 2 是 2 的无偏估计,
根据第五章第二节定理二知
( n 1) S 2
2
~ 2 ( n 1),
2 ( n 1) S 2 2 则 P 1 / 2 ( n 1) / 2 ( n 1) 1 , 2
这样的置信区间常写成 X z / 2 . n
其置信区间的长度为 2

n
z / 2 .
注意 : 置信水平为 1 的置信区间是不唯一的 .
如果在例2中取 n 16, 1, 0.05,
查表可得 z / 2 z0.025 1.96,
例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布, 且标准差为 10, 试求糖包的平均质量 的 1
置信区间 (分别取 0.10 和 0.05).
解
当 2未知时,
的置信度为1 的置信区间为
S t / 2 ( n 1) , X n 2S 置信区间长度 L t / 2 ( n 1), n
2 4 S L2 [t / 2 ( n 1)]2 , n n 1 2 2 又 E( S ) E ( Xi X ) n 1 i 1
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间( , )是随机的.
因此定义中下表达式 P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 的本质是 :
随机区间( , ) 以 1 的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以 1 的概率落入随机区间 ( , ).
6.2022 2.1315 即 (500.4, 507.1). 503.75 16
就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
若依此区间内任一值作 为 的近似值,
6.2022 其误差不大于 2.1315 2 6.61 (克). 16 这个误差的可信度为95%.
于是得 的置信度为1 的置信区间
S t / 2 ( n 1) . X n
例2 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重 量(克)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
第三节
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
区间估计
一、区间估计的基本概念
二、典型例题
三、小结
一、区间估计的基本概念
1. 置信区间的定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 含有一个未知参 数 , 对于给定值 (0 1), 若由样本X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量
( X 1 , X 2 ,, X n )和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占100(1 )%, 不包含的约占100 %.
例如 若 0.01, 反复抽样 1000 次, 则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为10个.
2. 求置信区间的一般步骤(共3步)
(1) 寻求一个样本 X 1 , X 2 ,, X n 的函数 : Z Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) 其中仅包含待估参数 , 并且 Z 的分布已知 且不依赖于任何未知参数 (包括 ).
解
10, n 12,

0.95,
附表2-1
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10 时, 1
查表得 z / 2
2 z0.05 1.645,
x x

z / 2 502.92 10 1.645 498.17, n 12 z / 2 502.92 10 1.645 507.67, n 12
s 12.35 于是 t / 2 ( n 1) 2.201 7.85, n 12
得的置信度为95%的置信区间 (495.07, 510.77).
例4 设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自正态总体 N ( , 2 )
的样本, 其中 2 和 为未知参数, 设随机变量 L 是 关于 的置信度为1 的置信区间的长度, 求 E ( L2 ).
( 2) 为未知,
2
S t / 2 ( n 1) . 的置信度为1 的置信区间 X n 推导过程如下:
由于区间 X z / 2 中含有未知参数 , 不能 n 直接使用此区间,
但因为 S 2 是 2 的无偏估计, 可用 S S 2 替换 ,
2
设给定置信水平为1 , 并设 X 1 , X 2 ,, X n 为 总体 N ( , 2 )的样本, X , S 2 分别是样本均值和样 本方差.
1. 均值 的置信区间
(1) 2为已知, 由上节例2可知:
X z 的一个置信水平为 1 的置信区间 / 2 . n
2. 方差 2 的置信区间
根据实际需要, 只介绍 未知的情况. 方差 2 的置信度为 1 的置信区间
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 ( n 1) , 2 ( n 1) . /2 1 / 2
推导过程如下:
1 得一个置信水平为0.95的置信区间 X 1.96 . 16
由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20, 则置信区间为 (5.20 0.49), 即 (4.71, 5.69).
在例1中如果给定 0.05,
X 则又有 P z0.04 z0.01 0.95, / n
由标准正态分布的上 分位点的定义知
X P z / 2 1 , / n 即 PX z / 2 X z / 2 1 , n n
于是得 的一个置信水平为 1 的置信区间
X z , X z /2 / 2 . n n

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《应用统计学》第6章：置信区间估计

《应用统计学》第6章：置信区间估计

求解正态总体均值 的置信区间。
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
应用数理统计——参数估计

应用数理统计——参数估计


这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α
参数的区间估计

参数的区间估计

参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量，通常用符号表示。

以样本均值为例，我们通常用$\bar{x}$表示样本均值，用$\mu$表示总体均值，$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。

2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数，因为样本数据毕竟是有限的，所以估计值与真实值之间必然存在误差。

为了消除这种误差，我们采用确定一个区间的方法，即“置信区间”。

置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围，其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平（置信度）落在这个区间内。

①确定信赖水平（置信度）$1-\alpha$，$\alpha$称为显著性水平。

②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。

③根据置信度$1-\alpha$，查找$t$分布表或正态分布表，得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。

④根据样本容量和总体方差是否已知，确定区间估计公式。

⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。

下面具体介绍区间估计的步骤：A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布，其中正态分布是最为常用的一种分布。

B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度，当样本容量越大，置信区间的长度就越短。

一般观测数据越多，则样本容量越大。

C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率，一般取$95\%$或$99\%$。

D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$，即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知，用样本标准差$s$代替，$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布，$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布；当总体未知且样本容量$n$较小（$n<30$），$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。

统计学区间估计详细讲解

统计学区间估计详细讲解

100
2
x求解。若 x已知，则
x

即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。