第六章第三节 区间估计

1 §6.3 区间估计

一、概念

定义6.3.1 设总体X含有未知参数，对于给定的数)10(，若由样本,,(21XX),nX可确定两个统计量),,(ˆˆ2111nXXX和),,(ˆˆ2122nXXX，使得

1}ˆˆ{21P

则称)ˆ,ˆ(21为参数的置信度为1的置信区间，1称为置信度（置信水平），显著性水平，1ˆ和2ˆ分别称为置信下限和置信上限。

例6.3.1 巳知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,(2N，现测量五炉铁水，其平均含碳量为364.4x，试求铁水平均含碳量的置信度为95.0的置信区间。

解 由于样本均值X是总体均值的一个点估计，由

~(0,1)XUNn

2{||}1PUU，

即 2{||}1XPUn。

图6,3.1

由于不等式2XUn与不等式22XUXUnn是等价 2 的，

因此 22{}1pXUXUnn，

由定义6.3.1，我们得到了的置信度为1的置信区间为

22,XUXUnn。

将95.01，20.0251.96UU，5n代入，得

20.1084.3641.964.2695XUn，

20.1084.3641.964.4595XUn。

所以，的一个置信度为95.0置信区间为)459.4,269.4(。

由此例，我们可以归纳出求未知参数的置信区间的一般方法：

（1） 构造一个随机变量),,,,(21nXXXTT，它只含待估参数，而不含其它未知参数，并且T的分布巳知且与无关。

（2） 对给定的置信度1，由T的分布找出二个数值21,tt，使得

1}{21tTtP。

（3） 将不等式2211),,,,(tXXXTtn转化为等价的不等式形式

),,,(ˆ),,,(ˆ212211nnXXXXXX，

则有

1)},,,(ˆ),,,(ˆ{212211nnXXXXXXP，

由定义6.3.1，则)ˆ,ˆ(21就是的置信度为1的置信区间。

二、正态总体数学期望的区间估计 3 （1） 单个正态总体数学期望的区间估计

设总体),(~2NX，),,,(21nXXX为取自总体X的一个样本，2,SX分别为样本均值和样本方差。

（i）2巳知，求的置信区间

由例6.3.1，取仅含有待估参数的随机变量XUn，)1,0(~NU，于是对给定的置信度1，的置信度为1的置信区间为

22,XUXUnn

例6.3.2 从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（单位：cm）2 .14, 2 .10, 2 .13,

2 .15 ,

2 .13 ,2 .12 ,2 .13 ,2 .10 ,2 .15 ,2 .12 ,2 .14 ,2 .10 ,2 .13 ,2 .11 ,2 .14 ,2 .11。设钉长服从正态分布),(2N，巳知01.0cm，试求的置信度为0.90的置信区间。

解 因为)01.0,(~2NX，所以方差2巳知，求数学期望的置信区间。2.125X，01.0，16n，1.0。查标准正态分布表，得05.02uu=645.1，由式（6.2.2），有

置信上限为 0.050.012.1251.6452.12116XUn，

置信下限为0.050.012.1251.6452.12916XUn，

因此，的置信区间为)129.2,121.2(。

（ii）2未知，求的置信区间 4 由于和2均未知，XUn含有两个未知参数，因此式（6.3.1）含有未知参数2而求不出的置信区间。由于样本方差2S是总体方差2的无偏估计量，很自然想到用2S代替2。考虑随机变量XTSn，它只含一个未知参数，由

~(1)XTtnSn，

对给定的置信度1，查t分布表，得到)1(212nttt，

则有（见图6.3.2）

2{||(1)}1XPtnSn。

由不等式变形，得 图6.3.2

1)}1()1({22ntnSXntnSXp，

于是，的置信度为1的置信区间为

)1(),1(22ntnSXntnSX，

（6.3.3）

例6.3.3 在例6.2.2中，若2未知，试求的置信度为0.90的置信区间。

解 因为2未知，故只用t分布。此时，125.2x，01713.0s，16n， 5 1.0。查t分布表，得7531.1)15()1(05.02tnt，由式（6.2.3），有

置信上限为： 0.050.01713(15)2.1251.75312.11816SXtn，

置信下限为：0.050.01713(15)2.1251.75312.13316SXtn。

因此，的置信区间为)133.2,118.2(。

(2) 两个正态总体数学期望差的区间估计

设总体),(~211NX，1,,,21nXXX为来自总体X的一个容量为1n的样本，X、

21S分别为样本均值和样本方差；总体),(~222NY，2,,,21nYYY为来自总体Y的一个容量为2n的样本，Y，22S分别为样本均值和样本方差。

(i) 若2221,巳知，求21的置信区间

由第五章式(5.2.22)可知，)1,0(~)(22212121NnnYXU，且它只含未知参数21，不含其它未知参数。与单个正态总体中2巳知，求的置信区间类似，对给定的置信度1，容易得到21的置信度为1的置信区间为

22221222221212,XYuXYunnnn，

（6.3.4）

(ii) 若2221且未知，求21的置信区间 6 取随机变量212111)(nnSYXTw，其中222112212(1)(1)2wnSnSSnn，由第五章式(5.2.23)，有)2(~21nntT，与单个正态总体中2未知，求的置信区间类似，对给定的置信度1，容易得到21的置信度为1的置信区间为

12122212121111(2),(2)wwXYStnnXYStnnnnnn ，

（6.3.5）

例6.3.4 为了比较两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取甲型子弹10发进行试验，得枪口速度的均值507X/ms，标准差11.04S米/秒；乙型子弹15发，得枪口速度498Y/ms，标准差21.17S/ms 。设两总体服从正态分布，并且方差相等，求两总体均值差21的置信度为0.95的置信区间。

解 这是一个在两个正态总体方差未知且相等的情况下，求两总体均值差的置信区间问题。本题中，101n，152n，507X，11.04S，498Y，21.17S，计算

wS，得

2222112212(1)(1)91.04141.171.121223wnSnSSnn

4082.01511011121nn

查t分布表，得0687.2)23()2(025.0212tnnt，由（6.2.5）式，得置信限 7 为

0.0251211(23)5074981.1210.40822.06878.053wXYStnn，

0.0251211(23)5074981.1210.40822.06879.947wXYStnn，

于是，21的置信度为0.95的置信区间为)947.9,053.8(。

若21的置信下限大于零，在实际中我们就认为21；若21的置信限大于零，在实际中我们就认为21；若21,实际中我们认为两种类型子弹的速度没有显著性的差别。在本例中，21的置信区间不包含零，因而认为甲型子弹的速度大于乙型子弹的速度。

三、正态总体方差的区间估计

(1) 单个正态总体方差的区间估计

现考虑未知，2的区间估计问题。由第五章可知，随机变量

)1(~)1(2222nSn，

它只含一个未知参数，并且上式右端的分布与参数2无关。故由置信度1，有（见图6.2.3）

1)}1()1()1({2222221nSnnP ，

即

1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP，

所以2的置信度为1的置信区间为 图6.3.3 8

)1()1()1()1(22122222nSnnSn

由上述推导，我们还容易得到的置信度为1的置信区间为

)1(1)1(122122nnSnnS 。

例6.3.5 从一批钢索中抽取10根，测得其折断力（单位：公斤）为

578 572 570 568 572 570 570 596 584 572

若折断力),(~2NX，试求方差2、均方差的置信度为0.95 的置信区间。

解 10n，275.73S，05.0，查2分布表，有023.19)9(2025.0，700.2)9(2975.0，由式（6.2.6），2的置信限为