北师大版数学必修四：《周期现象与角的概念的推广》导学案(含解析)

1周期现象、角的概念的推广时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)①A＝B＝C；②A⊆C；③C⊆A；④A∩C＝B.A．0 B．2C．3 D．4答案：A解析：由题可知B⊆A，B⊆C，因为－30°∈C，－30°∉A,370°∈A,370°∉C，所以①②③均不正确．对于④，－350°∈A∩C，但－350°∉B，所以④错误．故选A.2．与1303°角的终边相同的角是()A．763° B．493°C．－137° D．－47°答案：C解析：因为1303°＝4×360°－137°，所以与1303°角的终边相同的角是－137°.3．如果角α的终边上有一个点P(0，－3)，那么α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．是第三或第四象限角D．不是任何象限角答案：D解析：因为点P落在y轴的非正半轴上，即α的终边落在y轴的非正半轴上，因此α不是任何象限角．4．角α与β的终边关于y轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)答案：D解析：因为α、β关于y轴对称，由象限角可知α＝360°·k＋180°－β.所以α＋β＝360°·k ＋180°(k∈Z)．5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案：C解析：∵角2α的终边在x轴上方，∴k·360°<2α<k·360°＋180°(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)．∴当k为奇数时，α是第三象限角；当k为偶数时，α是第一象限角．6．探索规律：根据图中箭头指向的规律，判断从2019到2019再到2019，箭头的指向是()答案：B解析：由图易得周期为4，由2019＝503×4＋2，知箭头的指向如选项B中的图所示．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．答案：－960°解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°. 8.与－496°终边相同的角是________；它们是第________象限的角；它们中最小正角是________；最大负角是________．答案：k ·360°－496°(k ∈Z )；三；224°；－136°.解析：－496°＝－360°－136°＝－720°＋224°.9．终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为________，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为________．答案：{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }解析：根据终边在第一象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }，而终边在第三象限角平分线上的角的集合为{x |x ＝k ·360°＋225°，k ∈Z }，可知终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }，同理可得，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？解：由题图可知：(1)单摆的振动是周期现象．(2)其振动周期是0.8 s.(3)单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.11．已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？ 解：∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°<α3<90°＋k ·120°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°<α3<90°＋n ·360°(n ∈Z )， ∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α3<210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°<α3<330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第四象限角． ∴α3是第一或第三或第四象限角． 12．如图所示．(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题图，可知终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．。

三角函数1.2角的概念的推广自主学习一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

二、自学引导角的定义：______________________________________________。

角的分类：________、_________、__________ 。

象限角的定义：____________________________________。

所有与角α终边相同的角的表示方法：___________________。

知识点一象限角例1.判断下列各角是第几象限角.(1)—60°；(2)585°；(3)—950°12’．变式迁移1与—496°终边相同的角是________，它是第________ 象限的角，它们中最小正角是________，最大负角是________。

知识点二终边相同的角例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.变式迁移2若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是________；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α是第二象限角，则180°—α是第________象限角。

课堂小结通过本节学要知道角的分类有正角、负角、零角。

以及象限角的定义是一个角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，还要重点掌握住终边相同的角的表示方法，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。

§1 周期现象2 角的概念的推广知识梳理1.周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现，这种现象被称为周期现象.2.任意角（1）角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。

(2）在平面内，一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角,称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角，即任意角.（3)角的记法用一个希腊字母;用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”）。

(4）角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角(1）定义：将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么就把角放在了平面直角坐标系中。

如果角的终边（除原点外)在第几象限，则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角)。

（2）表示方法第一象限角的集合：{α｜k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}；第二象限角的集合：｛α｜k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z｝；第三象限角的集合:{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合：｛α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°,k∈Z｝;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合：｛α|α=k·360°+180°,k∈Z｝；终边落在x轴上的角的集合:｛α｜α=k·180°,k∈Z｝；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合:｛α|α=k·360°+90°，k∈Z}；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°，k∈Z};终边落在y轴上的角的集合：{α｜α=k·180°+90°，k∈Z｝；终边落在坐标轴上的角的集合：{α｜α=k·90°，k∈Z｝；象限角与轴线角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式，如：终边落在y轴的非正半轴上的角的集合也可表示为{x|x=k·360°—90°，k∈Z}。

周期现象及角的的概念的推广 日期：
学习目标：根据自然界的生活现象感受周期现象的存在,了解周期性对现实生活的影响; 了解角的分类及其标准,掌握象限角的概念及终边相同角的表示方法；
重点难点：角的分类、象限角的判断、与角α终边相同角的表示
学习过程：
一、自学课本，解决课内思考交流及课后练习；
二、交流探究：
1、请用函数观点阐述周期性的特点；
2、初中学过的锐角、直角、钝角的概念及角的概念；
3、正角、负角、零角的定义；数学中的正角、负角与现实生活中的正转、反转有何不同？
4、定义象限角的前提及象限角的定义各是什么？
轴线角：若一个角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角
5、写出所有与角α终边相同的角的表示方法。

三、学以致用：
1、在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：
（1）150- （2）650 （3）99015'-
2、若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。

3、已知角α与240终边相同，判断2
α是第几象限的角．
请在此题基础上规纳出角α与角n
α（*n N ∈且2n ≥）所在象限间的关系。

4、在直角坐标系中，分别写出终边在坐标轴、四个象限的角平分线上的角的集合（用0360︒︒的角表示）
四、概括升华：
五、温故知新：习题1-2。

§2 角的概念的推广（1课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

课时作业1周期现象角的概念的推广|根底稳固|(25分钟,60分)一、选择题(每题5分,共25分)1．观察 "ABCDABCDAB…〞,寻找规律,那么第20个字母是()A．A B．BC．C D．D解析：周期是4,20＝5×4 ,所以第20个字母是D.答案：D2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240° ,应选D.答案：D3．假设角的顶点在原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,给出以下四个命题：①0°角是第|一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：0°角是轴线角而不是象限角,①不正确；②显然正确；终边相同的角有无限多个,并且相差360°的整数倍,所以③正确；－30°角是第四象限角,故④正确．答案：C4．假设α为锐角,那么以下各角中一定为第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：∵0°<α<90° ,∴270°<360°－α<360° ,应选C.答案：C5．假设角α与角β的终边关于y轴对称,那么必有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)解析：α与β的终边关于y轴对称,那么α与180°－β终边相同,故α＝180°－β＋360°·k ,即α＋β＝(2k＋1)·180° ,k∈Z.答案：D二、填空题(每题5分,共15分)6．假设角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称,且0°<α<360° ,那么角α的值为________．解析：如图,设75°角的终边为射线OA ,射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB ,那么以射线OB为终边的一个角为－75°,所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75° ,k∈Z}．又0°<α<360° ,令k＝1 ,得α＝285°.答案：285°7．角α与2α的终边相同,且α∈[0° ,360°) ,那么角α＝________.解析：由条件知,2α＝α＋k·360° ,所以α＝k·360°(k∈Z) ,因为α∈[0° ,360°) ,所以α＝0°.答案：08．如图,终边在阴影局部内的角的集合为________．解析：先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,那么得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360° ,k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360° ,k∈Z}三、解答题(每题10分,共20分)9．判断以下现象是否为周期现象．(1)钟表的秒针的运动；(2)地球的自转；(3)物理学中的单摆运动；(4)连续地抛掷一枚硬币,面值朝上记为0 ,面值朝下记为1,0和1的出现．解析：(1)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每一分钟总是重复前一分钟的动作,因此它是周期现象．(2)地球的自转为每24小时转一圈,并且每24小时总是重复前一个24小时的动作,因此地球的自转是周期现象．(3)物理学中单摆的运动,完成一个来回之后,以后的运动都是有规律地重复这一动作,因此它是周期现象．(4)在抛掷硬币的过程中,0和1的出现虽然可能重复,但没有规律(数学中称之为随机现象) ,因此它不是周期现象．10．如下图,分别写出适合以下条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z} ,终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360° ,k∈Z} ,那么终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360° ,k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180° ,n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180° ,n∈Z} ,那么终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180° ,n∈Z}．|能力提升|(20分钟,40分)11．假设角α与65°角的终边相同,角β与－115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是()A．α＋β＝－50°B．α－β＝180°C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)解析：由题意可知,α＝k1·360°＋65°(k1∈Z) ,β＝k2·360°－115°(k2∈Z) ,所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180° ,记k＝k1－k2∈Z ,故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．答案：D12．如下图,终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z} ,终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z} ,于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360° ,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360° ,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180° ,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180° ,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180° ,n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n·180° ,n∈Z}13．α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ ,使θ与α的终边相同,且－720°≤θ<0°.解析：(1)因为－1 910°÷360°＝－6余250° ,所以－1 910°＝－6×360°＋250°.(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z) ,因为－720°≤θ<0° ,所以－720°≤250°＋k·360°<0° ,即－9736≤k<－25 36,因为k∈Z ,所以k＝－1或－2.即250°＋(－1)·360°＝－110° ,250°＋(－2)·360°＝－470°.14．α是第四象限角,那么2α ,α2各是第几象限角?解析：由题意知k·360°＋270°<α<k·360°＋360°(k∈Z) ,因此2k·360°＋540°<2α<2k·360°＋720°(k∈Z) ,即(2k＋1)360°＋180°<2α<(2k＋1)360°＋360°(k∈Z) ,故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．又k·180°＋135°<α2<k·180°＋180°(k∈Z) ,当k为偶数时,令k＝2n(n∈Z) ,那么n·360°＋135°<α2<n·360°＋180°(n∈Z) ,此时,α2是第二象限角；当k为奇数时,令k＝2n＋1(n∈Z) ,那么n·360°＋315°<α2<n·360°＋360°(n∈Z) ,此时,α2是第四象限角．。

§1周期现象§2角的概念的推广1．了解现实生活中的周期现象．2.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同角的含义及表示．(难点)4．会用集合表示象限角．(易错点)[基础·初探]教材整理1 周期现象阅读教材P3～P4“例3”以上部分，完成下列问题．1．以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某同学每天上学的时间是周期现象．( )(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象．( )(3)潮汐现象是周期现象．( )【解析】(1)由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期现象．(2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的，并且经过一定时间，月球又回到原来的位置，因此，是周期现象．(3)每一昼夜潮水会涨落两次，是周期现象．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 角的概念阅读教材P6～P7“例1”以上部分，完成下列问题．1．角的有关概念2．角的概念的推广(1)前提条件①角的顶点与原点重合．②角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)结论角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)各象限角的表示第一象限：S＝{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限：S＝{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S＝{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S＝{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．(4)终边相同的角及其表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}．如图1－2－1所示：图1－2－1注意以下几点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的内角必为第一、二象限角．( )(2)第三象限角一定比钝角大．( )(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．( )【解析】(1)当三角形的一个内角为90°时，就不是第一、二象限角．(2)第三象限角为负角时比钝角小．(3)据终边相同角的含义知，终边不同的角一定不相等．【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型](1)A．“春去春又回”B．钟表的分针每小时转一圈C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．【自主解答】(1)由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.【答案】 D(2)因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．[再练一题]1．如图1－2－2所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．图1－2－2【解】观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．。

角的概念推广 学案本节课我们学习正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.讲解范例：例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ '︒14363⑶。

课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？).课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求:A,B,C,D9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°10.写出终边落在第一象限角的角集合:写出终边落在第二象限角的角集合:写出终边落在第三象限角的角集合:写出终边落在第四象限角的角集合:11.试写出终边落在X轴正半轴的所有角的集合:。

§1周期现象§2角的概念的推广[学习目标] 1.通过实际情境，感知周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2.理解正角、负角、零角与象限角的概念.3.掌握终边相同角的表示方法．[知识链接]1．用精简的文字语言概括出周期现象的关键特征是什么？答间隔相同，重复出现．2．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了0.5小时，又如何校准？答可将分针顺分针方向旋转30°；可将分针逆时针方向旋转180°.3．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角．[预习导引]1．周期现象若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象．2．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A、B、C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．要点一周期现象的判定例1下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？A B C D E F G12345671312111098141516171819252423222120………………………………解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.规律方法对周期现象的判断，首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．跟踪演练12015年5月1日是星期五，问2015年10月1日是星期几？解按照公历记法，2015年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2015年10月2日，故2015年10月1日是星期四．要点二任意角概念的辨析例2在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．答案①②④解析①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练2设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B答案D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}要点三例3在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练3给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点四终边相同的角的应用例4在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k ·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k ·360°<－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°<720°， 得－9 670°≤k ·360°<－9 310°， 解得k ＝－26， 故所求的角为β＝670°.规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪演练4 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1 910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 D2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．今天是星期一，7天后的那一天是星期________，120天后的那一天是星期________．(注今天是第一天)答案一二解析用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环出现的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识(1)一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案D2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在()A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处答案B3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知{α|0°＜α＜360°}，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.答案60°6．下列说法中，正确的是________．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；打印版 高中数学 当k＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角． 方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。

§2 角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教法: 类比探究交流法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

《角的概念的推广》——教学设计
教学目标设计：
知识与技能
1理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义
2掌握所有与α角终边相同的角的表示方法
3体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
过程与方法
1借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。

2在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。

情感、态度与价值观
1通过本节的学习，让学生意识到数学数学的兴趣。

2体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物
3通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。

教学重点研判：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法
教学难点体会：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示
教学思想方法：本节教学方法采用任务驱动法、情景导入法、问题探究法、教师引导下的讨论法，通过课前预习展示、实例教具展示、观看视频等方式，在教师的带领下，学生轻松地接受新知识，真正做到了让学生成为课堂的主体。

教学过程设计：。

§1周期现象问题导学1．对周期现象的理解活动与探究1周期现象是普遍存在的，不仅在自然界中存在,在数学界中也存在着形形色色的周期现象．请验证自然数的乘方的末位数字是否重复出现,是否是周期现象？迁移与应用1．钟表的秒针每分钟转一圈，它的运行是周期现象吗?2．连续掷一枚骰子,可能出现点数为1，2,3,4,5，6，这些数字是否会周期性地重复出现?周期现象的判断：分析一种现象是否为周期现象，关键是分析这种现象是否是在相同间隔内重复出现的．对于具体的数学问题可采用列举验证的方法进行分析．2．周期现象在实际中的应用活动与探究2有些恒星的亮度是会变化的,其中有一种称为造父变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间变化的图像．据此回答：此星亮度的变化周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是几等星?迁移与应用今天是星期一，50天后的那一天是星期几？周期现象的应用:(1)找周期，即分析周期现象的间隔，找出什么时候会重复出现．（2）算结果，关键是分析出周期现象是怎样重复的，所算问题是处在一个周期内的什么位置．当堂检测1．判断下列现象是否为周期现象．（1)寒来暑往；（2）路口红绿灯变换;（3）手表的时针转动．2．今天是星期一,那么7k(k∈N＋）天后的那一天是星期几?从明天算起，第7k天是星期几?100天后的那一天是星期几？3．如图是一个单摆的振动图像，根据图像,回答下面问题:（1）单摆的振动是周期现象吗?（2)若是周期现象,其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？答案:课前预习导学【预习导引】周期现象周期现象周期性预习交流提示：物理学中的波，单摆；地理学中的日夜更替；气象学中的四季交替变化等．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解:21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32,26＝64，27＝128，28＝256，……；31＝3，32＝9，33＝27,34＝81，35＝243，36＝729,37＝2 187，38＝6 561，……．由上面的验证可知,自然数经过5次乘方之后，其末位数字会重复出现,是周期现象．迁移与应用1．是．2．不会．活动与探究2 解：此造父变星亮度的变化周期约为5.5天，最亮时是3。

北师大版数学必修四《周期现象与角的概念的推广》导学案（含解第1课时周期现象与角的概念的推广1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象,使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象.2.观察实例,理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.今天是星期一,7天后是星期几21天后是星期几86天后是星期几问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等.问题2:什么是角角有哪些元素怎样区分不同旋转方向所成的角平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开始时的射线叫作角的边,旋转终止时的射线叫作角的边,射线的端点叫作角的顶点.为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作,按顺时针方向旋转所形成的角叫作,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作.问题3:什么是象限角各象限角怎么表示轴线角怎么表示当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与某轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是.第一象限角的集合为;第二象限角的集合为;第三象限角的集合为;第四象限角的集合为.终边落在某轴上,角的集合为{某|某=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{某|某=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合为.问题4:终边相同的角一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和.(1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与某轴的重合.(2)对于终边相同的角应注意以下两点:①k是;②α是.(3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成.(k∈Z)(4)终边相同的角相等,但相等的角的终边相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的倍.(5)一般地,终边相同的角的表达形式.1.经过一个小时,手表上的时针旋转了().A.30°B.-30°C.15°D.-15°2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有().A.1个B.2个C.3个D.4个3.角-950°12'的终边(除端点外)在第象限.360°≤β<720°的元素β写出来.周期现象的简单应用如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期().A.二B.三C.四D.五终边相同的角在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断下列各角是第几象限角.(1)825°17';(2)-1046°.根据已知角的范围求等分角的范围若α是第一象限角,则可能是第几象限角游乐场中的摩天轮有10个座舱,每个座舱最多乘4人,每30min转一圈,请估算16h内最多有多少人乘坐.(1)写出与25°角终边相同的角的集合;(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1080°已知角α∈(0°,360°),且6α与240°角的终边相同,求α的所有可能取值.1.下列哪个不是周期现象().A.挂在弹簧下方作上下振动的小球B.钟表秒针的运动C.每七天出现一个星期一D.抛一枚骰子,向上的数字是奇数2.在直角坐标系中,终边在∠某Oy及其对顶角的平分线上的角的集合为.3.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.360°≤β<720°的元素β写出来.如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AO某=45°,点P从A 点出发,按逆时针方向等速地沿单位圆旋转.已知P在1内转过的角度为θ(0°考题变式(我来改编):第一章解三角形第1课时周期现象与角的概念的推广知识体系梳理问题2:始终正角负角零角问题3:第几象限角{某|k·360°问题4:{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角的整数倍(1)非负半轴(2)①任意整数②任意角(3)k·360°+(-30°)(4)不一定一定整数(5)不唯一基础学习交流1.B因为手表一圈所成的角度是360°,表盘上有十二个刻度,故相邻两个刻度之间是=30°,又规定顺时针方向的角为负角,故旋转了-30°.2.B月亮东升西落、昼夜变化是周期现象,气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.3.二∵-950°12'=-3某360°+129°48',∴129°48'的角的终边和-950°12'的角的终边相同,它是第二象限角.4.解:S={β|β=70°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<270°有:70°-1某360°=-290°,70°+0某360°=70°,70°+1某360°=430°.的元素重点难点探究探究一:【解析】因为每周有七天,从星期一到星期日,周而复始,故这是一个周期现象,周期为7.今天是星期一,明天是星期二,因此从明天算起,第7k(k∈N+)天是星期一,由于100=7某14+2,因此第100天是星期三.【答案】B【小结】星期的往复是周期现象,计算时关键看经历了几个周期,且是一个周期后的第几天.探究二:【解析】(1)825°17'=2某360°+105°17',因为105°17'是第二象限角,且105°17'与825°17'角是终边相同的角,故825°17'是第二象限角.(2)-1046°=-3某360°+34°,因为34°是第一象限角,且34°与-1046°角是终边相同的角,故-1046°是第一象限角.【小结】终边相同的角所在的象限是相同的,故在判断各角是第几象限角时,先应用终边相同的角的公式将角表示为k·360°+α(k∈Z),α∈[0°,360°),再判断.探究三:【解析】(法一)∵α是角,∴k·360°第一象限当k=3n时,有n·360°<(法二)如图,将平面坐标系的各个象限都三等分,从某轴正半轴逆时针方向依次沿每个区域循环标上数字1,2,3,4,则数字1所在的区域就是角所在的区域,所以可能是第一、二、三象限角.【小结】将k分为3n,3n+1,3n+2三种情况分别判断之.思维拓展应用应用一:每一周期最多乘坐4某10=40(人),16h共有32个周期,因而16h内最多有40某32=1280(人)乘坐.应用二:(1)与25°角终边相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°,k∈Z}.(2)在A中适合-1080°故A中满足不等式-1080°所以α=k·60°+40°(k∈Z),又因为α∈(0°,360°),所以0°所以对应的角α的所有可能取值为40°,100°,160°,220°,280°,340°.基础智能检测1.DA、B、C所述都是周期现象,而D中“向上的数字是奇数”不是周期现象.2.答案.3.302.5将时钟拨慢了5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的是正角.这时,分针转过的角度是终边落在∠某Oy平分线上的角的集合为,终边落在其对顶角的平分线上的角的集合为{α|α=45°+180°+k·360°,k∈Z},并在一起得=30°;时针转过的角度是=2.5°.的元素4.解:S={β|β=-75°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<720°有:-75°+0某360°=-75°,-75°+1某360°=285°,-75°+2某360°=645°.全新视角拓展由题意有14θ+45°=k·360°+45°(k∈Z),∴θ=(k∈Z).又180°<2θ+45°<270°,即67.5°故所求的θ值为θ=或θ=.思维导图构建逆时针顺时针没有作任何。

§1周期现象§2角的概念的推广观察下列实例：(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次．(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．上述两种现象，具有怎样的属性？【提示】周而复始，重复出现．1．每间隔一段时间会重复出现，这种现象称为周期现象.2.要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．将射线OA 绕着点O 旋转到OB 位置，有几种旋转方向？【提示】 有顺时针和逆时针两种旋转方向．1．角的有关概念2．角的概念的推广把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内．1．前提条件(1)角的顶点与原点重合．(2)角的始边与x轴的非负半轴重合．2．结论：角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？【提示】相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}.水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？【思路探究】由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈．【自主解答】因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？【解】设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟.。

学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4 解 终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }．因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }． 跟踪训练4 解 终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝33x (x <0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 故终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }． 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推行导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的普遍存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的 特征.2.通过实例理解角的概念的推行的必要性，理解任意角的概念，能按照角的终边 旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方式，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1. 潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2. 角能够看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形 成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_____________________ ____________________________为正角；__________________________________ ____为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3. 在直角坐标系中讨论角时，使角的极点与_____重合，角的始边与________ 重合. 角的终边在第几象限，就把那个角叫作________________________.若是终边在座标轴上，就以为那个角不属于任何象限，称那个角为坐标轴上的角.4. 终边相同的角有________个，相等的角终边必然__________，但终边相同的 角不必然__________.5. 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合=S ____________________________________.6. 与490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最小的角是________，它们是第______象限角.【合作探讨】1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1） 120-； （2） 640； （3）'8950 -.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出来.（1） 60； （2） 225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于 90的角是锐角D. 0到90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】 1. 角的推行；2. 象限角的概念；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在座标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. 276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是礼拜二，从今天算起，27天后的那一天是礼拜_____，第50天是礼拜 _______.。