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相似三角形的性质A

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D
C
P
B
A
相似三角形的性质
1、相似三角形的定义：
对应边成比例，对应角相等的三角形称为相似三角形。

2、相似三角形的基本性质
（1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应边成比例.
定理1：相似三角形对应高的比等于相似比。

定理2：相似三角形对应中线的比等于相似比。

定理3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

定理4：相似三角形周长的比等于相似比.，面积的比等于相似比的平方。

【典型例题】
1、如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=5，EC=3，BC=6，∠BAC=45 º，∠ACB=40 º。

（1）∠AED 和∠ADE 的度数（2）求DE 的长 （3）直线DE 和直线CB 有什么位置关系
2、已知△ABC ∽△DEF ，∠A=80º，∠E=70º，AB=5cm ，DE=2.5cm ，BC=8cm ，DF=5cm ，求 （1）∠B 、∠C 、∠D 、∠F （2）AC 、EF
（3）△ABC 和△DEF 的相似比
（4）若AG 、DH 分别为△ABC 和△DEF 的高，求AG ：DH
（5）若△ABC 中∠C 的内角平分线长为a ，求△DEF 中∠F 的内角平分线长 （6）求S △ABC ：S △DEF
3、如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对应的高的比为_______，对应角分线的比为____
4、两个相似三角形面积之差为9cm 2
，对应的中线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别
是 。

5、如图，AB ⊥BC,CD ⊥BC, 且△ABP ∽△PCD ，则AP 与DP 是什么关系？说明你的理由。

6、（2010山东烟台）如图，△ ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ ABC ∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是
A 、A
B 2=B
C ·B
D B 、AB 2=AC ·BD C 、AB ·AD=BD ·BC D
、AB ·AD=AD ·CD
7、（2011江苏苏州，17，3分）如图，巳知△ABC
是面积为的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于_________（结果保留根号）．
8、（2011福建厦门，16，4分）如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
9、如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=5，AC=3，要使Rt △ABC 与Rt △ACD 相似，则CD 应为（
A ．59
B ．512
C ．59或5
12
D ．无法确定
10、如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC=8cm ，AC:AB=3:5，点P 从B 点出发，沿BC 向点C 以2cm/s 的速度匀速移动，点Q 从C 点出发，沿CA 向点A 以1cm/s 的速度匀速移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发：（1）经过多少秒时，CBA CPQ ～∆∆？（2）经过多少秒时以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰好与ABC ∆相似？
11、（2010年安徽.23）如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

⑴若
1a c =，求证：kc a =；
⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明； ⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得
2=k ？请说明理由。

12、（2011•江苏徐州，27，8）如图①，在△ABC 中，AB=AC ，BC=acm ，∠B=30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2
．已知y 与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）试判断△DOE 的形状，并说明理由； （2）当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？
【模拟试题】
1、（2011•綦江县）若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为
2、如图所示，ABC ∆∽ACD ∆，若B ACD ∠=∠，3AD =，9BD =。

（1）求ABC ∆与ACD ∆的相似比；（2）若4CD =，求ABC ∆的三个边之长。

3、已知：如图所示，以线段AB 上的两点C ，D 为顶点，作等边△PCD ． (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ． (2)当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB ．
4、已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝11，DC ＝6．请问：在BC 上若存在点P ，使得△ABP 与△PCD 相似，求BP 的长及它们的面积比．
5、 (2011襄阳，25，10分)如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ． （1）求证：∠ADP ＝∠EPB ；
（2）求∠CBE 的度数； （3）当AB
AP
的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．。

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相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

三角形的相似性知识点

三角形的相似性知识点

三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。

本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。

在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。

一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。

正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。

通常用符号~表示相似关系。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。

3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。

四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。

以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。

如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。

解决这个问题可以利用相似三角形的性质。

我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。

结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。

相似三角形的性质

相似三角形的性质

相似三角形的性质相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。

在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。

一、比例性质相似三角形的首要性质是比例性质。

两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。

具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。

这一性质可以用以下比例关系表达：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。

二、边长比例的重要性质边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点：1. 任意两边之比相等在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$2. 任意一边与其他边的长度比相等对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$3. 相似三角形的边长比例唯一如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。

这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。

三、角度对应的性质除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质：1. 对应角相等在相似三角形中，对应的角是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$2. 对角相等的必要条件如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。

相似三角形的基本定义和性质

相似三角形的基本定义和性质

相似三角形的基本定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些基本定义和性质。

本文将探讨这些定义和性质，并且解释它们的意义和应用。

1. 基本定义相似三角形的基本定义是指两个三角形具有相等的对应角，并且对应边成比例。

具体而言，如果两个三角形ABC和DEF的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F，并且对应边AB与DE、BC与EF、AC与DF成比例，那么这两个三角形就是相似的。

2. 相似比例相似三角形中，对应边的比例被称为相似比例。

对于相似的三角形ABC和DEF，可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF相似比例的意义在于，它表示了相似三角形各边之间的对应关系。

通过相似比例，我们可以推断出三角形内部的长度比例关系，从而进行各种几何推理。

3. 相似三角形的性质相似三角形具有许多重要性质，这些性质使得相似三角形成为几何学中的重要概念。

（1）对应角相等：相似三角形的对应角相等。

这意味着两个相似三角形的内角度量是相等的，具有相似的形状。

（2）对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。

这意味着两个相似三角形的边长比例是相等的。

例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的2倍，那么这两个三角形就是相似的。

（3）面积比例：相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。

即，如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。

这个性质在实际问题中的应用非常广泛。

（4）高度比例：相似三角形的高度比例等于边长比例。

这意味着如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的高度比例也为k。

这个性质在解决三角形高度相关问题时非常有用。

4. 相似三角形的应用相似三角形在几何学和实际问题中有广泛的应用。

以下是一些例子：（1）测量高度：通过相似三角形的高度比例，我们可以使用已知长度来测量无法直接测量的高度。

比如，通过测量建筑物阴影的长度和光线的角度，我们可以计算出建筑物的高度。