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相似三角形的性质

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相似三角形的性质

重点和难点：重点是对性质定理的理解和应用。难点是对于比例线段、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识的综合运用。

一、知识点回顾

1、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。

（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。

二、例题：

例1、如图，在Rt△ABC内有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ。

解： 设PQ=xcm，则PK=6－x。

∵GF=9-6=3cm

Rt△FGK

∽ Rt△KPQ

∴PQPKGKGF 即：xx663

∴x=4cm 即：正方形的边长为4cm

例2、如图，在△ABC中，EF∥BC，且EF=32BC=2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长。

解：∵EF∥BC

∴△AEF

∽ △ABC

∴BCEFABCAEF周长周长（相似三角形的周长之比等于相似比）

∴△ABC的周长为15cm

∴梯形BCFE的周长=△ABC的周长－△AEF周长+2EF=9cm

例3、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DE∥FG∥BC。

求DE：FG：BC。

解：∵DE∥FG

∴△ADE

∽ △AFG

∴2FGDESSAFGADE（相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。 ABCFDKGQPABCDES3S1S2ABCDEFG

∵S1=S2

∴212FGDE 即：21FGDE

同理31BCDE

∴DE：FG：BC=1：2：3

例4、如图，矩形FGHN内接于△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积。

解：∵NH∥BC

∴△ANH ∽ △ABC

又∵AD⊥BC，NH∥FG

∴AE⊥NH

∴BCNHADAE（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比）

设NF=x，则NH=2x，AE=AD－ED=8－x

∴24288xx

∴x=4.8

∴S矩形FGHN=NF×NH=46.08

答：矩形的面积为46.08cm2

三、训练题：

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为SAEFD：SBCFE=（ ）

A、3：4 B、4：5 C：5：7 D、7：9

2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（ ）

A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：6

3、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（ ）

A、1：2 B、1：4 C、2：2 D、2：2

4、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ） ABCFGHNDE

A、1：2：3 B、2：3：4 C、1：3：5

D、3：5：7

5、如图，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是（ ）

A、AB2=AD×AC B、BD2=AD×DC C、AB2=AC2－BC2 D、AB2=AC×DC

6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN为正方形，且顶点在△ABC各边上，BC=60cm，AD=40cm，则正方形边长为（ ）

A、12cm B、16cm C、20cm D、24cm

7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。

8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。

9、在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，DE∥AC，AB：DB=2：1，F为AC上任一点，△DEF面积为22，则S△ABC=_________________。

10、如图，DE是△ABC的中位线，FH是梯形BCDE的中位线。DE：AE：AD=4：5：6。试比较△AFH的周长与梯形BCDE的周长的大小。

11、如图，D、E分别是AB、AC上的点，53ABAEACAD，△ABC的角平分线AH交DE于点F，过点F作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。

12、点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。

ABCDEFHABCDEHFGKABCMED

四、解答：

1、C 2、C 3、D 4、C 5、D 6、D

7、8，10cm 8、54cm 9、82 10、SBCDE=23，SAFH=22.5 11、12cm

12、证明：∵MC是Rt△ABC的斜边上的中线

∴CM=MB

∴∠B=∠MCB

又∵EM⊥AB，得∠E=90°－∠B

而∠MCD=90°－∠MCB=90°－∠B

∴∠E=∠MCD

又∵∠CMD=∠EMC

∴△EMC

∽ △CMD

∴MDMCMCME

∴MC2=ME×MD

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相似三角形的性质

相似三角形的性质

相似三角形的性质

一、引言

相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。

二、相似三角形的定义

1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）

2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）

那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。

三、相似三角形的性质

1.对应角相等

相似三角形的一个基本性质是对应角相等。这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例 相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3.对应高的比相等

相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。

4.对应中线的比相等

相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。

5.对应角平分线的比相等

相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。

6.面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。

相似三角形的性质 2

相似三角形的性质 2

1 相似三角形的性质

基础闯关全练

1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是( )

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16

2. (2014重庆模拟)已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=8,则△DEF中EF边上的中线DN=________.

3. 两个相似三角形的相似比为2∶5,已知其中一个三角形的一条中线的长为10,那么另一个三角形对应的中线的长是________.

4. 已知:△ABC∽△A'B'C',AB=4 cm,A'B'=10 cm,AE是△ABC的一条高,AE=4.8

cm.求△A'B'C'中对应高线A'E'的长.

5. (2013山东泰安中考)如图27-2-2-1,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.

(1)求证:AC2=AB·AD;

(2)求证:CE∥AD;

(3)若AD=4,AB=6,求的值.

图27-2-2-1

6. 若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )

A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶ 2 7. 如果两个相似三角形对应高之比是9∶16,那么它们的周长之比是( )

A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9

8. (2015四川自贡富顺一模)两个相似三角形对应中线的比为2∶3,周长的和是20,则这两个三角形的周长分别为( )

A.8和12 B.9和11 C.7和13 D.6和14

9. (2015四川广安月考)已知△ABC的三边长分别为4,3,6,与它相似的△DEF的最小边长为12,则△DEF的周长为( )

A.39 B.26 C.52 D.13

10. 两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9,则较大三角形的周长为________.

《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案

古浪县裴家营职业中学 哈玉梅

教学目标

知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．

过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力．

情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识．

教学重点

相似三角形性质定理的理解与运用．

教学难点

探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．

教学过程

一、温故知新

1、相似三角形的判断方法：

2、相似三角形的基本性质：

问题：三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等,如果两个三角形相似，那么这些几何量之间有什么关系呢？

引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系．

二、学习新知：

问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？

探究1：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？

探究2：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应中线、对应角平分线的比各是多少?

图1

结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．

推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．

探究3：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比．

思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′．

21212ABCABCBCADSBCADkkkSBCADBCAD

结论：相似三角形面积比等于相似比的平方．

相似三角形的性质(经典全面)

相似三角形的性质(经典全面)

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一、相似的有关概念

1．相似形

具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．

2．相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．

3．相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、相似三角形的概念

1．相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

如图，ABC△与ABC△相似，记作ABCABC△∽△，符号∽读作“相似于”．

A'B'C'CBA

2．相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

三、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等

如图，ABC△与ABC△相似，则有AABBCC，，．

A'B'C'CBA

2．相似三角形的对应边成比例

如图，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）． 相似三角形的性质及判定

Page 2 of 26 A'B'C'CBA

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图1，ABC△与ABC△相似，AM是ABC△中BC边上的中线，AM是ABC△中BC边上的中线，则有ABBCACAMkABBCACAM（k为相似比）．

M'MA'B'C'CBA 图1

如图2，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．

H'HABCC'B'A' 图2

如图3，ABC△与ABC△相似，AD是ABC△中BAC的角平分线，AD是ABC△中BAC的角平分线，则有ABBCACADkABBCACAD（k为相似比）．