最值问题的常用解法

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

对一道求最值题的五种解法题目：已知， ,，求的最大值。

解法一：基本不等式法转化为关于的不等关系，通过解不等式进而求出分析：借助基本不等式可将条件中的的取值范围。

解：∵∴∵∴当且仅当时，等号成立∴∴∴当且仅当时，等号成立由可得或，当时，取最大值 .∴评注：基本不等式是高中求最值的基本方法之一，能够灵活的将与联系起来，是求解最值问题最优选择。

解法二：解三角形法分析：将题中所给条件放在三角形ABC中，利用余弦定理求出角C,然后利用正弦定理将边化为角，进而将问题转化为三角函数求最值问题。

解：在中，，，分别是内角A、B、C的对边，不妨设，则即在中，由余弦定理及可得∵∴∴ ,∴在中，由正弦定理可得即∴,∴∵∴∴∴∴当，即时，取最大值 .评注:本解法将所给条件巧妙的放在三角形中，利用正余弦定理，实现边角互化，将问题转化为三角函数求最值问题。

解法三：三角换元法分析：通过变形已知条件，根据变形的结构特征，引进三角代换，利用三角函数知识解决此题。

解：由可得设则∴∵∴即最大值为 .∴评注:通过变形，构造平方和关系，引入三角代换，利用三角函数知识解决问题。

解法四：判别式法分析：通过代数换元法，将问题转化为关于的一元二次方程有解来处理。

解：设，则，代入将可得整理可得∵关于的一元二次方程有解，∴即，解得，∴，∴的最大值为，即的最大值为.评注:通过换元法将问题转化成关于的一元二次方程，利用判别式△求解。

解法五：齐次消元法分析：由可知分子分母具有齐次结构，分子分母同除以，令，则，问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。

解：设 ,则，设，则当时.当时，有∴，即，解得且∴的最大值为∴的最大值为∴的最大值为.评注：通过对的等价转化，将问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。

这道题可以使用多种求最值方法求解，关键在于能够根据题目特点做适当变形，巧妙地和所学知识及相应解题方法结合起来。

化难为易，找到解决问题的途径，需要平时学习中勤于思考，多加积累。

初中最值问题的常用解法及模型
一、初中最值问题的常用解法及模型
1、图形法
图形法是通过绘制图形来解决一些最值问题，常用在局部最值和极值的求解中。

通常可以利用函数图像上的特点来求解极值，如凸函数的图像是一个凹函数图像，而凹函数的图像是一个凸函数图像，拐点和极小值点的坐标位置有特殊的关系等，通过这些特点我们可以分析出对应的最大值和最小值的坐标位置。

例如：求函数y=2x^2-3x+1在区间[-2,2]上的最值
解：
令2x^2-3x+1=0，得x=-1，得函数在该x的点处取得极值。

因此，在[-2,2]上函数的最大值为y=-2，最小值为y=4.
2、求导法
求导法是通过求导求解最值问题的方法，常用于求函数的最大值或最小值。

通过对函数求导，找到函数的导数为0的极值点，从而判断函数在该点的极值情况。

例如：求函数y=-2x^2-4x+3的极值
解：令y'=0，得-2x^2-4x+3=0，解得x=1/2，此时函数y取得极值，即y=-2(1/2)^2-4(1/2)+3=-5/4。

3、比较法
比较法是通过比较函数值的大小，或者比较函数一次导数的正负来求解问题的方法。

该方法常用于求比较复杂的最值问题，如求分段
函数的最大值。

例如：求函数y=6x-x^2在[-1,2]上的最小值
解：由函数y在[-1,2]上的一次导数关系可知，当x=-1时，y'=5>0，x=2时，y'=-2<0，可知该函数在[-1,2]上的最小值取决于在x=-1和x=2处函数的值，故有y=-1时的最小值为y=-7。

最值问题的常用解法及模型引言最值问题是数学中常见的问题之一，它要求在给定的一组数据中找出最大值或最小值。

在实际生活和工作中，最值问题有很多应用场景，比如找出一组数据中的最高分、最低温度、最大利润等。

本文将介绍最值问题的常用解法及模型，旨在为读者提供一些解决最值问题的思路和方法。

一、暴力法暴力法是最值问题的最简单直接的解法，也是最容易理解的方法之一。

暴力法的思路非常简单，就是遍历给定的一组数据，比较每个数据与当前最值的大小关系，更新最值的数值。

具体步骤如下： 1. 初始化最值变量，最大值设为负无穷大，最小值设为正无穷大。

2. 遍历给定的一组数据，对每个数据进行比较。

3. 如果当前数据大于最大值，则更新最大值。

4. 如果当前数据小于最小值，则更新最小值。

5. 遍历完所有数据后，最大值和最小值即为所求。

二、排序法排序法是解决最值问题的另一种常用方法，它的思路是先对给定的一组数据进行排序，然后直接取出排序后的第一个或最后一个元素作为最值。

具体步骤如下： 1. 对给定的一组数据进行排序，可以使用快速排序、归并排序等常见的排序算法。

2. 如果要找最大值，直接取排序后的最后一个元素作为最值；如果要找最小值，直接取排序后的第一个元素作为最值。

三、分治法分治法是解决最值问题的一种高效的方法，它通过将问题划分成小规模的子问题，并从子问题中找出最值，最后将子问题的最值合并得到整体的最值。

具体步骤如下：1. 将给定的一组数据划分成多个小规模的子问题。

2. 对每个子问题递归地应用分治法，求出子问题的最值。

3. 将子问题的最值合并，得到整体的最值。

四、动态规划法动态规划法是解决最值问题的一种常见方法，它通过定义状态和状态转移方程来逐步求解最值。

具体步骤如下： 1. 定义状态，通常用一个数组来表示状态，数组的元素表示子问题的最值。

2. 设置初始值，确定初始状态的值。

3. 定义状态转移方程，利用已知的子问题的最值推导出当前问题的最值。

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。

最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。

在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。

二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。

给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。

通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。

2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。

关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。

3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。

通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。

三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。

通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。

2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。

通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。

3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。

通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。

四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。

通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。

初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。

下面将逐一介绍这些常用解法。

一、暴力法：暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。

具体步骤如下：1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。

2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。

二、排序法：排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。

具体步骤如下：1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。

2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。

3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。

三、差分法：差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。

具体步骤如下：1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。

2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。

3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。

4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。

5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。

6.时间复杂度为O(n)。

四、前缀和法：前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。

具体步骤如下：1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。

2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。

3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。

4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。

5.时间复杂度为O(n)。

最值问题的常用解法及模型最值问题是指在一定条件下，找出某一组数据中的最大值或最小值。

这类问题在实际生活中经常出现，比如求最大收益、最小成本、最短路程等。

常用解法：1.暴力枚举法暴力枚举法是指对于所有可能的情况都进行尝试，然后找出其中符合条件的最大值或最小值。

虽然该方法在理论上是可行的，但是在实际情况下往往需要耗费大量时间和计算资源。

2.贪心算法贪心算法是指每次选择当前状态下的最优解，然后再基于该解进一步进行优化。

该方法通常适用于具有单调性或者局部最优解等特点的问题。

3.动态规划动态规划是指将原问题拆分成若干个子问题，并将其逐步求解，直到得到原问题的解。

该方法通常适用于具有重叠子问题和无后效性等特点的问题。

4.分治算法分治算法是指将原问题拆分成若干个相互独立的子问题，并对每个子问题进行求解，然后将各个子问题的结果合并起来得到原问题的解。

该方法通常适用于具有可重复性和可并行性等特点的问题。

模型：1.最大子序列和问题最大子序列和问题是指在一个数列中找到一个连续的子序列，使得该子序列的元素之和最大。

该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。

2.最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带权无向图中找到一棵包含所有顶点且权值之和最小的生成树。

该问题可以采用Prim算法或Kruskal算法进行求解。

3.背包问题背包问题是指在一定容量下，选择若干个物品放入背包中，使得这些物品的价值之和最大。

该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。

4.矩阵链乘法矩阵链乘法是指给定若干个矩阵，将它们相乘得到一个结果矩阵，使得计算过程中所需的乘法次数最少。

该问题可以采用动态规划进行求解。

总结：最值问题是一类重要的数学计算问题，在实际生活中具有广泛应用。

针对不同类型的最值问题，我们可以采用不同的解决方法和模型进行求解。

通过深入理解这些方法和模型，并灵活运用它们，我们可以更加高效地解决各种实际问题。

求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。

以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。

这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。

2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。

这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。

3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。

这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。

4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。

动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。

这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。

5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。

贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。

6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。

这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。

根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。

初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法有以下几种：
1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。

例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。

2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。

通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。

3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。

通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。

4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。

利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。

总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。