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直角三角形(一)PPT教学课件

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1.1直角三角形的性质和判定课件(1)

1.1直角三角形的性质和判定课件(1)
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
图1-2
九龙中学 结论
由此得到：
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点精析: 判定定理的条件是 （ 两个角互余
）。
九龙中学
学以致用：
1、在△ABC中∠A=20°, ∠B=70°,则∠A+∠B= ∠C=__ 90° ，△ABC是
B
D
C
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ， ∴ B DCB. ∴ CD = BD. 故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
图1-4
∴ 点D 是斜边上的中点，即 CD 是斜边 AB 的中线.
1 从而 CD与CD 重合，且 CD AB. 2
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和 定理，可得∠A +∠B=90°.
图1-1
首页
九龙中学
结论
由此得到：
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余.
要点精析: 性质的结论是根据 （ 三角形的内角和定理
）。
性质的条件是 （ 直角三角形
）。
九龙中学
学以致用：
1、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=40° ,
九龙中学
当堂训练
5.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于 H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三 角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解 ∵ AB∥CD
∴∠BAC+∠DCA=180° ∵AH平分∠BAC，CH平分∠ACD 1 ACH 1 DCA ∴ CAH 2 BAC ， 2

直角三角形的性质课件

直角三角形的性质课件
1/2 × a × b，其中a、b为直角 边。
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件

解直角三角形PPT课件

解直角三角形PPT课件
正切函数
已知一条直角边和一个锐角，可以利用正切函数求出另一条直角边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$，则可以 利用$tan A = frac{a}{b}$求出另一条直角边$b$。
多种方法综合运用
灵活运用勾股定理、正弦、余弦、正切定理及函数，根据题目给出的不同条件，选择合适的 方法进行求解。
注意观察题目中的特殊条件，如等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，这些特殊条件 可以帮助我们更快地找到解题思路。
解直角三角形PPT课 件
目录
CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 勾股定理及其逆定理 • 三角函数定义与性质 • 解直角三角形方法与技巧 • 实际问题中解直角三角形应用举
例 • 总结回顾与拓展延伸
01
直角三角形基本概 念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角三角形各元素名称
01
02
03
直角边
直角三角形中两条与直角 相邻的边称为直角边，通 常用a和b表示。
斜边
直角三角形中直角所对的 边称为斜边，用c表示。
锐角
直角三角形中的两个锐角 分别用α和β表示。
直角三角形性质总结
勾股定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 c² = a² + b²。
勾股数及常见类型
勾股数定义
满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
常见类型
常见的勾股数有3-4-5、5-12-13、7-24-25等，还有一类特殊的勾股数，即费 马大定理中的整数解。
03
三角函数定义与性 质

解直角三角形完整版PPT课件

解直角三角形完整版PPT课件

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

勾股定理的证明—总统证明法
美国第二十任总统伽菲尔德,在 1876年利用了梯形面积公式证明勾股定
理.
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
a
1 2
a2
1 2
b2
ab，
b
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
伽菲尔德的证法在数学史上 被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观.简捷 .易懂.明了的证明，就把这 一证法称为“总统”证法 ．
在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
(二)直角三角形-边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
在Rt△BCD中，由勾股定理得
四、课堂练习
8. 如图，在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线
AD=12c=CD，BC=10cm，∴ BD=5cm. ∴ 在△ABD中,
AD2+BD2=122+52＝144+25=169,
AB2=132=169 ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, ∴AC2=AB2 ∴AB=AC
四、课堂练习
3．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的

解直角三角形ppt课件

解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。

解直角三角形的应用(19张ppt)课件


选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。

解直角三角形(优质课)课件pptx

思考题：请思考一下，除了上述提到的领域外，解直角三角形还可以应用于哪些领域？并尝试给出具体的例子。
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
06
总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
02
03
04
05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
01
02
通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度

直角三角形性质PPT课件

勾股定理是直角三角形的基本性质之一，具有广泛的应 用。
勾股定理证明方法
拼图法
通过将四个相同的直角三角形拼成一个 正方形来证明。
相似三角形法
利用相似三角形的性质来证明勾股定理 。
代数法
通过代数运算来证明勾股定理，例如使 用余弦定理推导。
面积法
利用三角形的面积公式来证明勾股定理 。
勾股定理逆定理及应用
精度检测和校准。
其他领域应用举例
01
02
03
物理学
在物理学中，直角三角形 用于描述和计算力的矢量 合成与分解、运动的位移 和速度等问题。
地理学
在地理学中，利用直角三 角形的性质可以计算地球 表面的距离、经纬度等地 理信息。
艺术领域
在绘画、摄影等艺术领域 ，直角三角形的构图原则 被广泛运用，以创造出和 谐、平衡的作品。
对应边成比例。
04
05
面积比等于相似比的平方。
相似直角三角形判定方法
如果两个直角三角形有一个锐角 相等，则这两个三角形相似。
如果两个直角三角形的两组对应 边成比例，则这两个三角形相似 。
基于角的判定
基于边的判定
如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
THANKS
角度关系
01
两锐角互余
02
锐角与斜边关系
直角三角形中，两个锐角的度数之和为90°，即∠A + ∠B = 90°。
锐角的对边长度小于斜边长度，且随着锐角度数的增大，对边长度也 增大。
特殊直角三角形性质
等腰直角三角形
当直角三角形的两条直角边长度相等时，该三角形为等腰直角三角形。此时，两 个锐角的度数均为45°。

直角三角形 第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)

再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系 吗？与同伴交流.
5
25
4
4
导引：方法一：
∵∠C＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝92＋122＝225.
∴AB＝15.
过点C 作CD⊥AB 于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
在Rt△ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝92－x 2.
在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝122－(15－x )2.
∴92－x 2＝122－(15－x )2，解得x＝5.4.
∴CD 2＝92－5.42＝51.84.
∴CD＝7.2＝36 ， 即点C 到AB 的距离为 36 .
5
5
方法二：过点C 作CD⊥AB 于点D，
则S△ABC＝
1 2Leabharlann AC·BC＝ 1 AB
2
·
CD，
∴AC·BC＝AB ·CD.又由方法一知AB＝15，
(2)如果a＞b，那么a 2＞b 2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题 设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆 命题的真假．
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
有葛藤自点A 处缠绕而上，绕5周 后其末端恰好到达点B 处．则问
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互逆命题
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆 命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对 于逆命题来说，另一个就为原命题．
原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!
互逆定理
原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那 么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原 命题(即原定理)的逆定理．
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/11
14
∴在Rt△ABlC中，∠A=30°
∴B1C1=0.5ABl=3.75cm．
B1 B C1 C
用心想一想，马到功成
一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢? 你会证明吗? 你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?
勾股定理 在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方.
证明方法: 数方格和割补图形的方法
原命题与逆命题同为真命题． (3)如果a=0，b=0，那么ab=0．
原命题是假命题，而逆命题是真命题．
总结一下吧!
1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法;
2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题， 知道原命题成立，其逆命题不一定成立;
3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆命题.
PPT教学课件
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有 怎样的关系?
勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个 定理的条件．
在前面的学习中还有类似的命题吗?
例如:
1.两直线平行，内错角相等.
& 内错角相等，两直线平行.
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边就等于斜边的一半
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边 的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°
(a+b)(a+b)=
1 (a+b)2
2
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=90°
AB=BE．
∴S△ABE= c2 ∵S梯形ACDE =S△ABE +S△ABC +S△BED
ab c abab () 22
a b c 222
C A
b
c
Ca B
B E D
勾股定理
在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方.
则 DE 2 DF 2 EF 2 (勾股定理)
D
∵A2 BA2 CB2 C
DE=AB，DF=AC
∴ BC 2 EF 2
E
F
∴BC= EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90° (全等三角形的对应角相等)
∴△ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形．
勾股定理的证明
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：
延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c
，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED
∴∠BDE=90°，ED=a
∴四边形ACDE是直角梯形
∴S梯形ACDE=
1 2
大胆尝试！ 举例说出我们已学过的互逆定理.
大胆尝试，练一练！
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0 解：(1)多边形是四边形． 原ห้องสมุดไป่ตู้题是真命题，
而逆命题是假命题． (2)同旁内角互补，两直线平行．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于 第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三 角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
逆定理的证明
已知：如图，在△ABC中，AB2 AC2 BC 2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△DEF，使∠D=90°
DE=AB， DF=AC(如图)
第一章 三角形的证明
直角三角形（一）
梦想飞扬
用心想一想，马到功成
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂
足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm
∴BC=0.5AB=5 cm ∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90° 又∵∠A+∠B=90° ∴∠BCBl=∠A=30° 在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2.5 cm．A ∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm
议一议
观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角, 那么它们相等; 如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎, 那么他一定发烧; 如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎. 三角形中相等的边所对的角相等; 三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 ?与同伴交流．