高等数学课程学习指导(部分

x 0
12
例6.求函数 f ( x)
(1 x) sin x x ( x 1)
2
的间断点 , 并
判别间断点的类型 . (1 x) sin x 解: f ( x) x ( x 1)( x 1)
所以 f (x) 有间断点 x 1, 0 , 1
(1 x) sin x 1 x = –1 为第一类 lim sin 1, 可去间断点 x 1 x ( x 1)( x 1) 2
初等函数
有限次运算且用 一个式子表示
分段函数 非初等函数 级数表示的函数 …………
4
(4) 常用的等式与不等式
n(n 1) 1、 k 2 k 1 n n(n 1)(2n 1) 2 2、 k 6 k 1
n
x1 x2 xn n 3、 x1 x2 xn n
3. 求极限的基本技巧 , e n , n ! , n n n 时 ln n , n (1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用. 速度一个比一个快 . (2) 注意利用已知极限的结果 . 例如, 当 0 时 ln n n en n! lim lim n lim lim n 0 n n n e n n ! n n ln x x ex lim lim x lim x 0 19 x x x e x x
tan x sin x 例4. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim x 1 x2 2 x3
24
x 0
(4) 注意用求极限的特殊方法
如, 利用导数定义 ,微分中值定理 , 泰勒公式等 求极限 . 3. 判断极限不存在的主要方法 (P22, 6) (1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ; (2) 利用数列极限与函数极限的关系 ; (3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.

高等数学学习指导(西北工业大学高等数学教研室编)
演讲人
202X-11-11
ONE
01
第一章 一元函数的极限与连续
第一章 一元函数的极限与连续
第二节 极限
02
第一节 函数
01
第三节 函数的连续性
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
05
按章模拟考试
06
ONE
02
第二章 导数与微分
01
06
03
02
按章模拟考试
感谢聆听
04
05
第二章 导数与微分
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确的理解您传达的思想。
单击此处添加标题
ONE
03
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用

第二节 微分中值定理
02
本章知识脉络
05
第一节 利用洛必达法则求极限
ONE
08
第八章 多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数微分法第二节 多元函数微分的应用第三节 综合问题本章知识脉络按章模拟考试
ONE
09
第九章 重积分
第九章 重积分
第二节 三重积分
02
第一节 二重积分
01
第三节 重积分的应用
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
01
第四节 综合问题
04
第三节 函数性态研究
03
按章模拟考试
06
ONE
04
第四章 不定积分
第四章 不定积分

了解常见无穷级数的性质与求和方法，
如几何级数与幂级数。
3
级数应用
探索级数在实际问题中的应用，如泰勒 级数展开与函数逼近。
常微分方程
一阶常微分方程
研究一阶常微分方程的解法与存在唯一性，探索微 分方程在实际问题中的应用。
二阶常系数齐次线性微分方程
学习二阶常系数齐次线性微分方程的解法，包括特 征方程与特解构造。
微积分学基本定理
不定积分 定积分 牛顿-莱布尼茨公式
计算函数的不定积分，包括常用的积分表达式。
介绍定积分的概念与性质，以及计算定积分的方 法。
理解牛顿-莱布尼茨公式的意义与应用，掌握计算 不定积分与定积分的关系。
无穷级数
1
级数收敛性
学习级数的概念与收敛性判定方法，如
常见级数
2
比较判别法与根值判别法。
《高等数学》第四版课件 -学习指导与习题解析
这份课件旨在通过学习指导与习题解析帮助读者理解和掌握《高等数学》第 四版的重要内容。从数学分析基础到线性变换，让我们一起探索数学的奥妙！
数学分析基础
1
实数与函数
介绍实数与函数的概念，探索数轴与集合等基础知识。
2
极限
学习Epsilon-Delta定义与极限的计算方法与性质。
2 基与维数
了解线性空间的基与维数， 及其在矩阵和向量空间中的 应用。
3 线性变换
研究线性变换的定义与性质，包括线性变换的判断与矩阵表示。
矩阵与行列式
矩阵运算
掌握矩阵的加法、乘法及其性质，了解矩阵的转置 与对角化。
行列式
学习行列式的计算方法，如拉普拉斯展开和性质运 算。
向量分析与曲面积分
1
向量的概念与运算

如何学好高等数学高等数学是大学新生普遍反映较难的一门课程。

大学数学与高中相比逻辑性强，较抽象。

再加上合堂较大，进度较快，老师很难个别辅导，很多大学生在开始接触高等数学课时常常会感觉有些茫然。

针对这一点，谈一下我的看法。

学好高等数学必须做好以下六步，这六个步骤是学好高等数学的重要环节。

一．听课，要注于专心认真听课，这是个不言而喻的道理。

所以就不多谈了，这里只谈谈记笔记的事。

要学好高等数学，一定要学会记笔记。

记笔记会使听课更专注，也能帮你有效地进行课外的复习巩固。

有些同学不会记笔记，只要是老师所讲，言无轻重、话无巨细，统统照记不误，耳、眼、手忙得不亦乐乎，累得还哪里顾得上同步思考，如果是这个样子，倒还不如不记。

课堂笔记没必要追求齐全、讲究系统。

只要有选择、有重点地记就可以了，特别要记那些有概括性和技巧性的解题方法，常见的、典型的例题。

并且要注意解题方法的积累，特别证明题，因为证明题较抽象，常常感觉无从下手。

但是课后复习时，一定要对笔记进行适当的整理补充，这就是一本好笔记。

如果能再加上自己的心得体会与点评，那就是笔记的极品了。

如果预习得好，那么对哪些该记、哪些可不记，也会更有的放矢。

二．复习，要做到精心在整个学习的过程中，复习是最重要的环节，有专家研究过所谓的“知识遗忘规律”有近快远慢的现象。

学得越快越多，忘得也越快越多。

所以刚学的东西，一下课就要及时复习，这叫“巩固记忆”；期中考试再复习，这叫“加深记忆”；期末考试系统地总复习，这叫“强化记忆”。

由于我们在复习的同时，或在复习的基础上，还在不间断地学习着新的知识，所以反复的滚动复习所起的效果就是知识的积累。

如果你在任何时刻的复习都能够做得如此的精心，那么两年以后的考研复习时，就只要在你的“记忆库”中进行轻松的搜索、回顾就可以了。

古代孔圣人曰“学而时习之，不亦说乎！”现代世俗人谓“曲不离口，越唱越灵；拳不离手，越打越精”。

三．作业，要肯下苦心作业是复习的一个组成部分，不做作业的复习是虚空复习，不复习而做的作业是低效作业。

高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。

高等数学的学习方法高等数学的学习方法一引言学生的学习，是学校教学活动的有机组成部分，是学生在教师指导下的一种自主性活动，“教”和“学”从两个相对的方面共同阐释和说明“人的自身发展”的实现途径，两者是互相包含，互为前提的，只有“教”和“学”的统一互动，才能体现学习的本质，学生的学习和发展最终要由自己独立完成，这是不能由他人替代的。

一、初等数学与高等数学学习方法的现状高中与大学阶段的学习方式有较大的区别，在高中阶段，老师在每次课堂上讲授的内容少，例题多，学生练习及时，基本上在课堂上就可以把概念理解透彻，在课后只需巩固或提高，而且在课后，教师还会有充足的时间为学生辅导，在一定的时期内还会有单元检测或阶段考试等，这就无形中助长了学生被动学习的习惯，学生围着老师转，而大学阶段，数学教学内容多、速度快，在课堂上学生练习的机会少，关键靠学生在课后对知识进行巩固吸收，即使在课余，师生交流的机会也少，各种复习巩固环节也要靠学生自主完成，虽然数学教学改革从未间断，但多数只强调“教”的改革，而忽视“学”的改革，在这种应试教育思想的影响下，学生的学习表现为只重视知识的获得或学习的结果(考试分数)，而轻视能力的培养或学习过程和方法的掌握，考上理想的大学成为学习的出发点，也是学习的最终目标，因此，容易Ⅲ现高分低能现象，上述高中生不良的学习方式和学习倾向必然带入高校，如果高校低年级时不注意学生学习方法的正确指导及学习习惯的正确培养，会直接影响高校教育目标的实现和教育资源的极大浪费。

二、初等数学与高等数学学习方法顺利衔接的措施教学过程是师生双边活动的过程，教师的教和学生相互适应才能取得预期的教学效果，从理论上说，学生要调整自己的学习方法以适应不同风格教师的教学，反之，教师也必须采取不同的教学策略适应学生的个别差异，然而，在教学实践中，教师往往只要求学生对教师的适应，而忽视教师对学生的适应，学生学不好，责任不在教师而在学生，教师很少调整自己的教学以适应学生，现代教学理论强调，要确立学生在教学活动中的主体地位，主张把“教”建立在“学”的基础上，在改进教学方法的同时，通过多种途径对学生的学习方法进行有效的指导和培养，“教会学生学习”已成为当今世界教育的重要口号。

《高等数学》课程标准第一部分课程概述一、课程性质和作用高等数学是高职高专各专业重要的基础课程，其教学内容与后继专业课教学内容有着紧密的联系，它影响到学生后继专业课程的学习，影响到学生专业素质的提高。

它具有综合性高、逻辑性强和应用性广等特点，对于理解专业知识、培养思维能力有着十分重要的意义，是学生全面发展和终身发展的基础。

通过本课程的教学，首先让学生掌握高等数学的基本理论、技巧和思想方法，为后设专业课程提供必要的数学基础知识和科学的思想方法。

其次，逐步培养了学生具有一定的抽象概括问题能力，一定的逻辑推理能力，比较熟练的运算能力，综合分析并解决实际问题的能力等。

最后还充分调动学生已有的数学知识为专业目标服务，培养学生运用数学知识分析处理实际专业问题的数学应用能力和综合素质，以满足后继专业课程对数学知识需要，培养出能够满足工作需要的，具有良好综合素质的应用型人才。

二、课程基本理念高等数学作为高职高专各专业公共基础课，在课程设计中，我们对照教育部最新制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》，致力于实现高职高专院校的培养目标，着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。

课程内容不仅反映出专业的需要、数学学科的特征，同时符合学生的认知规律；不仅包括数学的结论，而且包括数学结论的形成过程和数学思想方法。

同时，课程设计努力满足学生对未来的学习、工作和生活的需要，使学生通过本课程的学习，在抽象思维、推理能力、应用意识、情感、态度与价值观等诸多方面均有大的发展。

三、课程标准设计思路及依据（一）教学内容《标准》安排了《一元函数微积分》的基本内容。

课程内容的学习，强调学生的数学学习活动，发展学生的应用意识。

（二）目标根据教育部制定的《高职高专教育高等数学课程基本要求》和《高职高专教育人才培养目标及规格》，《标准》明确了高等数学课程的总目标，其子目标从知识、能力、情感等三个方面作出了进一步阐述。

（三）实施建议《标准》针对教学、评价、教材编写、教案编写、课程资源的利用与开发提出了建议，以保证《标准》的顺利实施。

《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。

通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。

2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。

五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。

2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。

3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。

六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。

第九章 习题答案习题9-11.证明：设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点且互相平分.由图可知，=+=+=+=， 因此//, 且→→=DC AB ， 所以四边形ABCD 为平行四边形.2. 证明：若点O 与点M 重合，显然成立.若M 与O 不重合，如图，则 BM OM OM +=+=; 即 =OM 2)(21,OB OA OM OB OA BM OB AM OA +=+=+++. 3.23； 4.①2=→a prj u ， ②0=→a prj u ， ③2-=→a prj u . 5.①6， ②23， ③1， ④36.习题9-21. 六；)2,1,1()2,1,1(；-.2. {}5,3,1. 3. 213a m b l =+=+92,cos ,cos m n a a a a αβγ-===的方向余弦cos 23,cos ,cos l b b bαβγ===b 的方向余弦cosa b =当m=2,l=3,n=5时,4.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=→31,2,3c .5.6=k .6.4,1=-=n m .7.31cos ,31cos ,31cos ,3====→γβαa . 8.起点坐标为97cos ,94cos ,94cos ),0,3,2(=-==-γβα. 9.⑴17-； ⑵2-； ⑶{}6,0,2； ⑷{}8,14,5--.习题9-31. 02651615=-++z y x .2.1443=-++zy x . 3. 1059. 4. 6112.5. 032=-+z x .6. 20y -=.7.3π. 8. 042=--z x . 9. 043=+-z y .习题9-41. (1) 方程为41133413x y z +-==-；（2）3132235z y x =-=--. 2.112243-=+=--z y x . 3. 531124-=+=-z y x . 4. 2π. 5. 0. 6.① 1,2==b a ； ② )2,0,4(. 7.316221x y z -+-==-. 8.(1,2,2)习题9-51.球面方程为14)4()3()1(222=++-++z y x . 2.球面方程为222141()(3)(2)24x y z -+-++=.3.在平面解析几何中：422=+y x 表示圆.x y 22=表示抛物线.12+=x y 表示直线.122=-y x 表示双曲线.在空间解析几何中：422=+y x表示母线平行于Z 轴的圆柱面.x y 22=表示母线平行于Z 轴的抛物柱面.12+=x y 表示一次柱面. 122=-y x 双曲柱面.4.（1）是xoy 面上的圆222=+y x 绕x 轴（或y 轴）旋转而成的（2）是xoy 面上的双曲线14322=-y x 绕y 轴旋转而成的 （3）是yoz 面上的抛物z y 232=线绕z 轴旋转而成的 5.（1）116302=+z xy （2）12)2)(5(++=z x y 6.解： 从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去x ，得到交线关于yoz 面的投影柱面方程为4)1(222=+++z y z ，于是交线在yoz 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+++04)1(222x z y z从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去z ，得到交线关于xoy 面的投影柱面方程为4)1(222=-++x y x ，于是交线在xoy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-++04)1(222z x y x7.（1）椭球面（2）单叶双曲面（3）椭圆抛物面（4）双曲抛物面8.方程149222-=-+z y x 与平面0=x 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222x z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧==-01422x y z ，它是yoz 面上的双曲线.方程149222-=-+z y x 与平面1-=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1149222z z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧-==+104922z y x ，它是点()1,0,0-.方程149222-=-+z y x 与平面0=y 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222y z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-01922y z x 它是xoz 面上的双曲线 方程149222-=-+z y x 与平面2=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+2149222z z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==+214922z y x 它是2=z 面上的椭圆复习题九一. 1.)1,3,1(--, )1,3,1(-, )1,3,1(； 2.{}1,3,4, {}8,6,6, 9-, {}3,13,9--；3{}3,3,1--,19；4.133cos ,cos ;,arccos 2434παβγαβγπ===-===-, ； 5.0=a , 0a b ⨯=； 6.{}1,3,2； 7.{}1,2,3-； 8.{}1,2,2-； 9.①交叉二次项xy ，yz ，zx 的系数为0； ②平方项2x ,2y ,2z 的系数相等，且不等于0.10.三个变量.含有其中两个变量的平方和且系数相等.11.只含有两个变量（其母线平行于方程不含的那个变量的同名坐标轴） 12.单叶双曲面(旋转双曲面). 13.双曲抛物面. 14.双叶双曲面. 15.椭圆抛物面. 16.椭球面. 二.1.B ； 2.C ； 3.C ； 4.A. 三.1.（1）326-=m ,（2）32=m ； 2.)3,1,5(--； 3.35； 4.解：所求平面经过x 轴和点P )1,3,4(-，所以, 其法向量既垂直于又垂直于， 而OP ={}1,3,4-，{}0,0,1=，故所求平面的法向量可取为{}{}0,0,11,3,4⨯-=n所求平面方程为0)1(3)3()4(0=-+++-⋅z y x ， 即03=+z y 5.解：所求直线的方向向量可取{}5,2,3-=，所以所求直线的方程为582332-=-+=-z y x 6.球心为)2,2,1(-，半径4=R第十章 习题答案习题10-11.（１）必须,0122≥--y x 定义域为{}1),(22≤+y x y x ；(２){}0,0),(>->+y x y x y x ； （３）{}R y x y x ∈,),((； (４){}x y y x >),( （５）必须11≤≤-xy且0≠x , 当0>x 时，x y x ≤≤-即⎩⎨⎧≤-≥x y x y ；当0<x 时，x y x ≥≥-即⎩⎨⎧-≤≥xy xy .２．（１）61-（２）２ ３.证明：当点Ｐ),(y x 沿x 轴趋于（０，０）时，1lim00==→→xx y y x 当点Ｐ),(y x 沿y 轴趋于（０，０）时，1lim00-=-=→→y y x y x ，因此yx yx y x +-→→00lim 不存在．４.（１）由于在yx xz 22+=中，022=+y x 时无定义，即在点（０，０）是间断点.（２）由于在xy x y z 2222-+=中，022=-x y 时无定义，即在抛物线x y 22=上函数间断.习题10-2１.（１）yx x y z y y x z 2,1-=∂∂+=∂∂； （２）)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂；（３）()232223222,()yxxyyzy x y xz+-=∂∂+=∂∂；（４）[cos()sin 2()],[cos()sin 2()]z zy xy xy x xy xy x y∂∂=-=-∂∂； （５）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∂∂=∂∂y x y x e yy z e xx z 1121121,1； （６）x x zy z u x x z y u x xz y x u z yz y z y ln ,ln 1,2-=∂∂=∂∂=∂∂. ２.解：1,2542=∂∂=∂∂===z y x xz x x z ，设所求角为α，则有4,1παα==tg .３.（１）()()222222,2,,)ln(y x xy z y x y x x z y x x y z y x x y x x z +-=∂∂++=∂∂+=∂∂+++=∂∂ ()22y x yy x z +=∂∂∂； （２）),2(2cos 8),2(2sin ),2(2sin 222y x xz y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂+=∂∂ )2(2cos 4),2(2cos 2222y x y x zy x y z +=∂∂∂+=∂∂；（３）()(),2,2,,22222222222222y x xyy z y x xy x z y x x y z y x y x z +-=∂∂+=∂∂+=∂∂+-=∂∂()222222yx y x y x z +--=∂∂∂； （４）,)1(,ln ,,ln 2222221---=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂x x x x y x x yz y y x z xy y z y y x z)1ln (1+=∂∂∂-y x y yx zx .习题10-3１.（１）,,2222y x y yz yx x xz +=∂∂+=∂∂dy yx y dx yx x dy yzdx x z dz 2222+++=∂∂+∂∂=；（２）dy e x dx e xy dz e x y z e x y x z x yx y x y x y1,1,22+-==∂∂-=∂∂；（３）22)]ln(1[3,)]ln(1[3xy y y z xy x x z +=∂∂+=∂∂， dy xy ydx xy x dz 22)]ln(1[3)]ln(1[3+++=；（４）()()dy y x x dx y x y dz y x x y z y x y x z 22222222)()(,,-+--=-=∂∂--=∂∂； （５）xdy x dx yx dz x x y z yx x z y y y y ln ,ln ,11+==∂∂=∂∂--； （６）)ln()(,)(,)(xy xy zu xy y z y u xy x z x u z z z =∂∂=∂∂=∂∂， dz xy xy dy xy yzdx xy x z du z z z )ln()()()(++=. ２.解：32,31,12,1221212222=∂∂=∂∂++=∂∂++=∂∂====y x y x yz xz y x y y z y x x x z ， dy dx dz3231)2,1(+=.３.解：ydy x dx xy dz y x yz x y x z 222222,2,2+==∂∂=∂∂. 因此 2,10.02,0.010.16x y dx dy dz==-==-=，而16241604.0)()(2222=-∆+∆+=∆y x y y x x z４.解：设函数yx y x f =),(，则x x y x f yx y x f y y y x ln )),(,),(1='='-.取04.0,08.0,4,100-=∆=∆==y x y x ， 由于0)4,1(,4)4,1(,1)4,1(='='=y x f f f32.1)04.0(008.041)4,1()4,1()4,1(08.196.3=-⨯+⨯+=∆'+∆'+≈y f x f f y x习题10-4１. 22223)(y x y x y x v v z x u u z x z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，22223)(y x xy x y v v z y u u z y z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ２. )23(3)23ln(2222y x y x y x y x x v v z x u u z x z -+-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， )23(2)23ln(22232y x y x y x y x y v v z y u u z y z ----=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 3.332sin 22sin 6cos t t t t e t t e dtdz---=. ４.2)(1)1(x x xe x e dx dz ++=. ５.212f ye f x xuxy '+'=∂∂， 212f xe f y y u xy '+'-=∂∂.习题10-51. 解：设163),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,2,6='='='，于是6)3,2,1(,4)3,2,1(,6)3,2,1(=--'-=--'-=--'z y x F F F 切平面方程：0)3(6)2(4)1(6=-++-+-z y x ，即016323=+-+z y x ，法线方程：634261-=-+=-+z y x 2. 切平面方程：0624=--+z y x ；法线方程：142142--=-=-z y x . 3. 解：令12),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,4,2='='='.故法向量 =n {}z y x 2,4,2,又n 与{}2,1,11-=n平行， 从而t z y x ==-=221412，即 t z ty t x =-==,4,2 又),4,2(),,(t tt z y x -=在曲面上，从而有184222=++t t t ，得118±=t ，故切点为)118,11841,11821(±±切平面方程：0)118(2)11841)(1()11821(1=+±-+⋅z y x 即为02222=-+-z y x 和02222=++-z y x . 4. 证明：在曲面上任取一点),,(0000z y x P ，现求过点0P 的曲面的切平面方程 令a z y x z y x F -++=),,(， 00000000000021),,(,21),,(,21),,(z z y x F y z y x F x z y x F z y x ='='=',切平面方程0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ，此切面在坐标轴上的截距分别为：000,,az ay ax ，其和为：a z y x a =++)(000.习题10-6１. （１）解：令⎩⎨⎧=--='=-='.024),(,024),(y y x f x y x f yx ，解得2,2-==y x ，驻点为)2,2(-,因为 02)2,2(,0)2,2(,02)2,2(<-=-''=-''<-=-''yy xy xxf f f 从而042<-=''''-''yy xx xyf f f ，故得极大值8)2,2(=-f （２）方法同上.极小值0)1,1(=-f（３）方法同上.极小值2)1,21(e f -=- ２.解：设有盖长方体水箱的长.宽.高分别为z y x ,,，则xyz =2，又表面积yz xz xy S 222++=，即xy xy S 442++= 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='.042,04222yx S x y S y x 得驻点)2,2(33. 由题意知，水箱表面积的最小值存在，而函数S 在Ｄ内只有唯一的驻点),2,2(33 因此当332,2==y x 时，S 最小.复习题 十１.（１）充分；（２）充分；（３）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤-0,11),(y y xy x ； （４）{}0,1,4),(22222≠+<+≥y x y x y x y x ，4ln 3ln 2-；（５）2222)(2,2,1y x yy x y y x +-++ ２.（１）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂+=∂∂-xy xy xy xy y z xy y x z y y 1)1ln()1(,)1(12 （２）2222,y x xy z y x y x z +=∂∂+-=∂∂ （３）)(2sin ),(2sin y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂ （４）2,=∂∂-=∂∂-yz e x z x ３.)(cos 2sin )(cos )sin()cos()cos()sin(22y x x y x y x y x y x y x f y +=++-++-='，0)4,(='ππy f . ４.22121,1f y xf x z f y f y z y x '-'='+'=，dy f yx f x dx f y f y dz )()1(22121'-'+'+'=５.)(2),(2222222z y x f y yuz y x f x x u ++'=∂∂++'=∂∂， 左=='-'=∂∂-∂∂=022f xy f xy yux x u y右， 故)(222z y x f u ++=满足0=∂∂-∂∂yux x u y.６.（１）23242(3(3dz z z dx z dy t dt t x dt y dt t t∂∂∂=+⋅+⋅=-+-∂∂∂；（２）32sin 2222()11cos 6x y t t dz d e e t t dt dt t t--⎡⎤=-=--⎣⎦. ７.（１）y z x z y z z x z x z )(,2+=∂∂+=∂∂； （２）xzy z y z xz y z x z 32,322--=∂∂-=∂∂. ８.令⎩⎨⎧=++-==+-=.062,092y x z y x z yx 得驻点)7,8(--，又02)7,8(>=--xx z ，02)7,8(,1)7,8(>=---=--yy xy z z ，032<-=-AC B ，且Ａ＞０．故在)7,8(--有极小值47)7,8(-=--f第十一章 习题答案习题11-11．()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23； 2 ．()812≤++≤⎰⎰Dd y x σ； ３．（１）332R π； （２）．π3.习题11-2１．（１）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰==xx yyDdx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f 211),(),(),(（２）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=x xyyxDdx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f 220222110),(),(),(),((３).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------+==42444222),(),(),(),(22yyx x yyDdx y x f dy dx y x f dydy y x f dx dxdy y x f２．（１）．⎰⎰⎰⎰=x x yy dx y x f dydy y x f dx 2110),(),(（２）．22242222(,)(,)(,)yxyy xdxf x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰３．（１）．3128；（２）．376；（３）．414a ；(４)．2ln π；（５）．π2-；（６）π241.４．（１）．65；（2）．π3245.复习题 十一一．选择题：１．B ；２．C ；３．D ；４．C.二．填空题：１．π8；２．43；３．)1(-e π；４．⎰⎰100),(ydx y x f dy .三．１.⎰⎰⎰⎰--=-=-yDy dx y x dy dxdy y x 331233)2()2(；２．⎰⎰⎰⎰==+θπθsin 202022932dr r d dxdy y x D； ３．⎰⎰⎰⎰-=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛212402)41(23πθθπrdr d tg d dxdy x y D ；４．⎰⎰-=⋅=-120)21(2e rdr e d v r πθπ.第十二章 习题答案习题１2－１１.（１）121-=n u n ； （２）12+-=n n u n ； （３）()11211n n n a u n +-=--； （４）()n xu nn26422⋅⋅=. ２．（１） 级数发散；（２） 级数收敛； ３．（１）发散；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散.习题１2－21. (1) 发散； (2) 发散； (3) 发散； (4) 收敛； (5) 收敛.2. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 发散.3. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 发散.4. (1) 收敛； (2) 收敛.5. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 收敛.6. (1) 绝对收敛； (2) 绝对收敛； (3) 条件收敛； (4) 条件收敛.习题１2－31. (1) 收敛区间为()+∞∞-,；(2) 收敛区间为()3,3-；(3) 原幂级数即属仅在0=x 处收敛.2. (1)2)1(1x -； （2）ln(1)x + (3) 3)1(2x - ； (4) (1)ln(1)x x x --+.习题１2－41. (1)+-++-+-=+n n x x x x x26422)1(111，收敛区间为()1,1-； (2) n n n n na x a a x a x a 11)1(ln )1ln(ln )ln(-∞=-+=++=+∑，收敛区间为()a a ,-； (3) ∑∞==12!)2(n nxn x e，收敛区间为()+∞∞-,；(4) ∑∞=----=1121)3()!12(1)1(3sin n n n x n x ，收敛区间为()+∞∞-,. 2. ∑∞=----=111)3(31)1(1n n nn x x , 收敛区间为(0,6). 3.（1）∑∞=--=-+=11221212)12(1211ln3ln n n n ，222)12(31-+<n n n R . 当前6项时，09858.13ln ≈，00003.06<R .（2）∑∞=︒-==02)90()!2()1(90cos2cos n nn n ππ, 当前2项时, 9994.02cos ≈︒, 0006.02<R .习题１2－51. (1))5cos 513cos 31cos 121(22)(22 +++-=x x x x f ππ)3sin 312sin 21(sin -+-+x x x , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π.(2) )5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . (3) 221(1)()112c o s n n f x n x nπ∞=-=+-∑,)(+∞<<-∞x(4) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=∑∞=12sin cos 24)1(4122)(n nnx n nx n sh x f ππ, )(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π.2. 若展为正弦级数,先将函数作奇延拓为)(,)(ππ≤≤-=x x x f .,s i n 2)1()(1x n nx f n ∑+-=)(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π. 若展为余弦级数,先将函数作偶延拓为⎩⎨⎧≤≤<≤--=.0,;0,)(ππx x x x x f)5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . 3. ∑∞=+-=11sin )1(21)(n n nx nx f , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π. ∑∞=-==--118)2(12)1(21n n f n ππ.复习题 十二1. (1). 0lim ,1=≥∞→+n n n n u u u ； (2). 必要； (3). 收敛； (4) 发散.2. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 发散.3. (1) [1,1)-； (2) [)3,3-.4. (1) ∑∞===0ln !)(ln n n n ax xx n a ea ,)(+∞<<-∞x ；(2)()()()[]-+-+=+=+⋅⋅⋅⋅66423144212212221)(1a x a x ax a x a a x a , )(+∞<<-∞x .5. 同习题12-5的第三题.第十三章 习题答案习题 13-11． 计算下列行列式： （1）)6(2342)5(13)7(221)7()6()5(433427632153-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅+-⋅-⋅-+⋅⋅=--- 73-= （２）adf fe d c b a=0（３）00cos cos cos 0cos cos cos 0=---γβγαβα； （４）a f c h b g fgh abc cfgf b hgh a2222---+=. 2． 解下列线性方程组：（１）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x 解为.7943346354,7243344635====y x （２）⎩⎨⎧=++-=-+0340632121I I I I 解为.11341133163,11214113431621-=---==--=I I （３）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+0042032321321321x x x x x x x x x 因为0111412321≠--=D 所以 1x ＝2x ＝3x ＝０.（４）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302z y x z y x z y x.43,2847,2813.2143112312,47241513102,13234521110,28231523112====-==--==---==---=z y x D D D D z y x 从而因为3．2,5,8λ=时原方程组有非零解。

高等数学学习方法指导（精选5篇）高等数学不比以往初中、高中的数学来得简单，下面是美丽的小编帮家人们整理的高等数学学习方法指导（精选5篇）。

高等数学学习方法篇一课本对于数学来说，是很重要的。

我们做的试题，有很多都是课本例题或其“变种”只要花上一点点时间把课本好好看看，要拿下这些题便易如反掌；反之，要是对一些基本的概念、定理都含混不清，不但基础题会失分，难题更不可能做得好。

数学的逻辑性、分析性极强，可以说是一种纯理性的科学，要求思维清晰明了，因而基础知识十分重要，尤其是对于数学不是特别好的同学来说。

以下是我个人觉得在数学学习过程中非常必要的几点：1、按部就班。

数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。

所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

2、强调理解。

概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。

我的经验是，每新学一个定理，便尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。

3、基本训练。

学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。

4、标出重点。

平常看题看课本的时候，碰到有好的解题方法或重点内容，可以用鲜艳的彩笔划出来，以便以后复习时能一目了然。

较后想谈谈数学这一科目的应试技巧。

概括说来，就是先易后难。

我们常常有这样的体会，头脑清醒的时候，本来一些较难的题也会轻易做出来；相反，头脑混沌的时候，一些简单的题也会浪费很多时间。

考试时，遇到拦路虎是不可避免的，停下来有两种可能，一是费了九牛二虎之力终于做出来，但由于耗费了大量时间，接下来或者不够时间做完题目，或者担心时间不够，内心焦急，一时连简单的题也做不出来了；二是还是没有做出来，结果不仅浪费了时间，而且连后面的题也没做完。

而先易后难，则是愈做愈有信心，头脑始终保持清醒的状态，或者较后把难题做出，或者至少保证了会做的题不丢分。

462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

篇一：高数的学习方法献给在高数种迷茫的兄弟姐妹们，学习高等数学要有一种精神，用大数学家华罗庚的话来说，就是要有“学思契而不舍”的精神。

由于高等数学自身的特点，不可能老师一教，学生就全部领会掌握。

一些内容如函数的连续与间断，积分的换元法，分步积分法等一时很难掌握，这需要每个同学反复琢磨，反复思考，反复训练，契而不舍。

通过正反例子比较，从中悟出一些道理，才能从不懂到一知半解到基本掌握。

这里仅结合一般学习方法，介绍一点学习高等数学的做法，供同学们参考。

第一，“学思习”是学习高等数学大的模式。

所谓学，包括学和问两方面，即向教师，向同学，向自己学和问。

惟有在学中问和问中学，才能消化数学的概念，理论。

方法。

所谓思，就是将所学内容，经过思考加工去粗取精，抓本质和精华。

华罗庚“抓住要点”使“书本变薄”的这种勤于思考，善于思考，从厚到薄的学习数学的方法，值得我们借鉴。

所谓习，就高等数学而言，就是做练习。

这一点数学有自身的特点，练习一般分为两类，一是基础训练练习，经常附在每章每节之后。

这类问题相对来说比较简单，无大难度，但很重要，是打基础部分。

知识面广些不局限于本章本节，在解决的方法上要用到多种数学工具。

数学的练习是消化巩固知识极重要的一个环节，舍此达不到目的。

第二，狠抓基础，循序渐进。

任何学科，基础内容常常是最重要的部分，它关系到学习的成败与否。

高等数学本身就是数学和其他学科的基础，而高等数学又有一些重要的基础内容，它关系的全局。

以微积分部分为例，极限贯穿着整个微积分，函数的连续性及性质贯穿着后面一系列定理结论，初等函求导法及积分法关系到今后个学科。

因此，一开始就要下狠功夫，牢牢掌握这些基础内容。

在学习高等数学时要一步一个脚印，扎扎实实地学和练，成功的大门一定会向你开放。

第三，归类小结，从厚到薄。

记忆总的原则是抓纲，在用中记。

归类小结是一个重要方法。

高等数学归类方法可按内容和方法两部分小结，以代表性问题为例辅以说明。

第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。

《高等数学》教学大纲一、课程基本信息二、课程内容及基本要求本课程的内容按教学的要求不同，分为两个层次，文中属较高要求的，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用，其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握” 一词表述.在教学要求上低于前者的，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或 “了解”表述.（一）函数、极限、连续 基本内容函数:函数的定义.显函数与隐函数.函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性.反函数及其图形.基本初等函数.复合函数.初等函数.双曲函数与反双曲函数.极限：数列极限的ε—N 定义.数列收敛的条件[必要条件——有界性；充分条件——单调有界（叙述）]；函数极限的ε—X 定义.函数极限的ε—δ的定义.函数的左右极限.不等式取极限.无穷小与无穷大的定义.无穷小与函数极限的关系.极限的四则运算.两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim .无穷小的比较.等价无穷小. 函数的连续性：函数连续的定义.间断点.连续函数的和、差、积、商的连续性.连续函数的反函数的连续性.基本初等函数和初等函数的连续性.闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理等的叙述.基本要求1、理解函数的概念.2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3、理解反函数和复合函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形.5、能列出简单实际问题中的函数关系.6、了解极限的ε—N 、ε—δ定义（对于给出ε求N 或δ不作过高要求），并在学习过程中逐步加深对极限思想的理解.7、掌握极限四则运算法则.8、掌握两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限.9、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.10、理解函数在一点连续的概念（含左连续与右连续），会判断间断点的类型.11、了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续性，知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值，最小值定理），并会应用这些性质.（二）、一元函数的微分学基本内容导数与微分：导数的定义.导数的几何意义.平面曲线的切线与法线.函数的可导性与连续性之间的关系.函数的和、差、积、商的导数.复合函数的导数.反函数的导数.基本初等函数的导数公式.初等函数的求导问题.高阶导数.隐函数的导数.对数求导法.由参数方程所给定的函数的导数.微分的定义. 微分的几何意义.微分的运算法则.微分形式的不变性，微分在近似计算及误差估计中的应用.中值定理与导数的应用：罗尔（Rolle）定理.拉格朗日（Lagrange）定理.柯西定理.罗必达（L’Hospital）法则.带有拉格朗日余项的泰勒（Taylor）公式.函数增减性的判定法.拐点及其求法.水平垂直渐近线.函数图形的描绘举例.弧微分.曲率的定义及其计算公式.曲率圆与曲率半径、曲率中心.基本要求1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系.2、掌握导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）以及导数的基本公式.了解高阶导数概念，能熟练地求初等函数和分段函数的一阶、二阶导数. 会求简单函数的n阶导数，会求反函数的导数..3、会求隐函数和参数式所确定的函数一阶、二阶导数，会求幂指函数的导数.4、理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理，会用拉格朗日定理.5、理解函数极值概念.掌握利用导数求函数的极值、判断函数的增减性与函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法.能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）.会解较简单的最大值和最小值的应用问题.6、掌握用罗必塔（L′Hospital ）法则求未式极限的方法.7、知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径.（三）、一元函数的积分学 基本内容不定积分：原函数与不定积分的定义.不定积分的性质.基本积分公式.换元积分法.分部积分法.有理函数的有理式及简单的无理函数的积分举例.积分表的用法.定积分及其应用：定积分的定义.定积分存在定理的叙述.定积分的性质.定积分的中值定理.定积分作为变上限的函数及其求导定理.牛顿（Newton ）——莱布尼兹（Leibniz ）公式.定积分的换元法与分部积分法.两种广义积分的定义.定积分在几何学中应用（面积、弧长、旋转体体积、已知平行截面面积求体积等）.定积分在物理学中的应用举例.基本要求1、理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念以及它们的性质.2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单的有理函数的积分.3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿（Newton ）——莱布尼兹（Leibniz ）公式.4、了解广义积分的概念.并会计算广义积分.5、熟练掌握用定积分来表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长和功等等）的方法.（四）、常微分方程 基本内容微分方程的一般概念：微分方程的定义.阶.解.通解.初始条件.特解.一阶微分方程：变量可分离的方程.线性方程.用变量置换法解一阶方程举例.全微分方程.可降阶的高阶微分方程： ()()x f y n =. ()y x f y '='',. ()y y f y '='',.线性微分方程：线性微分方程的解的结构.二阶常系数齐次线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程.基本要求1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念.2、掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法.3、会解齐次方程和贝努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程.4、会用降阶法解下列微分方程：y(n)=F（x），y″=F（x，y′）和y=F（y，y′）5、理解线性微分方程解的性质及解的结构.6、掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性方程的解法.7、掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系统非齐次线性方程的解法.8、会用微分方程解决一些简单的几何和物理问题.（五）、向量代数与空间解析几何基本内容向量代数：向量概念.向量的加减法.向量与数量的乘法.投影定理.空间直角坐标系.向量的分解与向量的坐标.向量的模.单位向量.方向余弦与方向数.向径.两点间的距离.向量的数量积.两向量的夹角.两向量平行与垂直的条件.混合积.平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式）.直线的方程（参数式、对称式、一般式）.夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线）.平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）.曲面与空间曲线：曲面方程的概念.球面方程.旋转曲面（包括圆锥面）.母线平行于坐标的柱面方程.空间曲线作为两曲面的交线.空间曲线的参数方程.螺旋线.空间曲线在坐标面上的投影.二次曲面：椭球面、抛物面、双曲面.基本要求1、理解空间直角坐标系.理解向量的概念.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）.掌握两个向量垂直、平行的条件.3、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算.4、掌握平面的方程和直线的方程及其求法.5、会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面，直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6、会求点到直线以及点到平面的距离.7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的议程及图形.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面.8、知道空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.（六）、多元函数的微分学基本内容多元函数：多元函数的定义.点函数的概念.区域.二元函数的几何表示.二元函数的极限与连续性.有界闭域上连续函数性质的叙述.偏导数与全微分：偏导数的定义.二元函数偏导数的几何意义.高阶偏导数.混合偏导数可以交换求导次序的条件.全微分的定义.全微分存在的充分条件.全微分在近似计算中的应用.多元复合函数的求导法则.全导数.隐函数的求导公式.方向导数.梯度.偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面.曲面的切平面与法线.多元函数的极值及其求法.最大值、最小值问题.条件极值.拉格朗日乘数法.基本要求1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2、了解二元函数的极限、连续性等要领及有界闭域上连续函数的性质.3、理解偏导数、全微分等概念，会求全微分，了解全微分存在必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4、了解方向导数与梯度的概念，掌握它们的计算方法.5、掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法.6、会求隐函数的偏导数.7、了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法.8、理解多元函数极值的概念，会求函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值.会求解一些较简单的二元最大值最小值应用问题.（七）、多元函数的积分学基本内容二重积分：二重积分的定义.二重积分存在定理的叙述.二重积分的性质.二重积分的计算法（包括极坐标）.二重积分在几何学中的应用（立体体积、曲面面积）.二重积分在物理学中的应用举例.三重积分：三重积分的定义及其性质.三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.三重积分的应用举例.曲线积分：曲线积分（对弧长及对坐标）的定义.曲线积分的性质.曲线积分的计算法.曲线积分的应用举例.曲面积分：曲面积分（对面积及对坐标）的定义.曲面积分的性质.曲面积分的计算法.曲面积分的应用举例.各类积分的联系：平面曲线积分与二重积分的联系——格林（Green）公式.曲面积分与三重积分的联系——高斯（Gauss）公式.空间曲线积分与曲面积分的联系——斯托克斯（Stokes）公式（不证）.平面曲线积分与路径无关的条件.二元函数的全微分求积.散度.旋度.基本要求:1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质.2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）.3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及曲线积分的关系.4、掌握两类曲线积分的计算方法.5、掌握（Green）公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.会求全微分的原函数.6、了解两类曲面积分的概念性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯分式计算曲面积分.7、了解散度、旋度的概念.8、会用重积分、曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）.（八）、无穷级数基本内容:常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义.无穷级数的基本性质.级数收敛的必要条件.柯西审敛原理.几何级数.调和级数.P级数.正项级数的比较审敛法和比值审敛法.交错级数.莱布尼兹定理.绝对收敛和条件收敛.幂级数：幂级数概念.阿贝尔（Abel）定理.幂级数的收敛半径与收敛区间.幂级数的四则运算、和的连续性、逐项积分.泰勒级数.函数展开为幂级数的唯一性.函数（e x、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式.幂级数在近似计算中的应用举例.欧拉（Euler）公式. 函数项级数：函数项级数的一般概念.一致收敛及一致收敛级数的基本性质.基本要求1、理解常数项级数收敛、发散以及和收敛级数的概念.掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2、掌握几何级数和P级数的收敛与发散的条件.3、掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法.4、掌握交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差.5、了解级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7、理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径收敛区间及收敛域的求法.8、幂级数在其收敛区间内的一些基本性质和函数的连续性，逐项微分和逐项积分，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数.9、知道函数展开为泰勒级数的充要条件.10、掌握e x、sinx、cosx、ln(l+x)和（l+x）m的麦克劳林（Maclaurin）展式，并能利用这些展开式将一些简单函数间接展成幂级数.11、会用幂级数进行一些近似计算.三、实践环节及基本要求：1、将数学建模思想渗透到高等数学教学中四、学时分配表：五、课程教学的有关说明可对下述有关情况做出说明：1．本课程自学内容及学时课本中打“*”的部分全为自学内容，供有兴趣的学生选用。

《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。

在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。

一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。

二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。

2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。

3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。

在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。

4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。

5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。

(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。

第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。

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