高中数学课件-湖南大学

三 知识引入
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，······表示集合，用小写的拉丁 字母a，b，c······表示集合中的元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A记作
；如果a
不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A记作
.
常用数集的记法：
非负整数集(自然数集)：_____ N
集合的包含关系
[学习目标] 1．明确子集，真子集，两集合相等的概念； 2．会用符号表示两个集合之间的关系； 3．能根据两集合之间的关系求解参数的范围； 4．知道全集，补集的概念，会求集合的补集．
[知识链接] 1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，
则它们的大小关系是 a＝b 。
2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1 时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
I. 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合 中是确定的.
II. 互异性：集合中的元素是不重复出现的. III. 无序性：集合中的元素排列是没有顺序的.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集
合是相等的.
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
四 知识创新
通过上面的分析，我们可以知道：例1至例4、例7所列举的元素组 成的集合元素个数是有限的；而例5、例6、例8所列举的元素组成 的集合元素个数是无限的.
我们把含有有限个个数的集合叫做有限集，用card来表示有限集中 元素的个数.含有无限个个数的集合叫做无限集.

湘教版高一数学必修第一册全册 完整课件目录
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2 函数的概念和性质 阅读与思考 数学实验 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.2.6 分段函数 1.2.8 二次函数的图像和性质——对称性 小结与复习 问题探索 2.1 指数函数 阅读与思考 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.4 函数与方程 2.4.2 计算函数零点的二分法 2.5 函数模型及其应用 2.5.2 形形色色的函数模型
第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2.1 对应、映射和函数 1.2.2 表示函数的方法 1.2.3 从图像看函数的性质 1.2.5 函数的定义域和值域 1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值 数学实验 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 阅读与思考 2.1.1 指数概念的推广 2.2.1 对数的概念和运算律 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.3.2 幂函数的图像和性质 2.4.1 方程的根与函数的零点 数学实验 2.5.1 几种函数增长快慢的比较
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1.2.2 表示函数的方法
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数学实验
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1.2 函数的概念和性质
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1.2.1 对应、完整版】
阅读与思考

x [ a , b ] x [ a , b ]
( 1 )若 M m
m f ( x ) M x [ a , b ]
f ( x ) m x [ a , b ]
故 ( a , b ) , 均有 f ( ) 0 .


( 2 ) 若 m M ( 即 M m )
( a , b ) , 使得 f ( ) 0 .
y
y f( x )
A
B
O
a

b x
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证
f ( x ) C ([ a , b ])
f( x )必在 [ a ,b ]上取到它的最大
最小值至少各一次.
令 M max f ( x ) ,m min f ( x )
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
导数与差商
y
y f( x ) 可微
点 P 处切线的斜率： k f ( x0 )
P
B
相等！
割线 AB 的斜率： f ( x2 ) f ( x1 ) k x2 x1
A
O x1
x0
x2
x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置： 在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点
可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如 何 证 明 ？
y f( x )
P
a
O

b
x
证
设 f( x ) 在区间 I内有定义 , 且在 x 处

三角函数应用题解答流程大致是： 审读题意 设角建立三角函数 分析 三角函数性质 解决实际问题. 其中根 据实际问题的背景材料，建立三角函数 关系，是解决问题的关键.
作业讲评
《学海导航》讲评
布置作业
1、《学海导航》阶段练习三； 2、《学海导航》单元测试卷6 用
三角函数模型的简单应
第二课时
课前练习
某市的纬度是北纬 21°34′，小王想在某住 宅小区买房，该小区的楼 高7层，每层3米，楼与楼 15 15 之间相距15米，要使所买 6 楼房在一年四季正午的太 21 阳不被前面的楼房遮挡， 最低应该选择第几层的房？ 三楼
课堂小结

例 3 设f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，其中h(x) ≠ 0。证明： h(x) | (f (x)-g(x))
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
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20
多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
( f ( x ) g ( x ) m ) ( f ( x ) a ( g ) ( x x ) , )
② (f( x ) g ( x ) ) (f( x ) ) ( g ( x ))
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16
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
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7
多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？
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23
多项式
§4 最大公因式
§4 最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
定义1：对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x] ， 使得

x1
x2 4
x3 9 x
x
01
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<, .a nx mil 记则
n
定理2. 若{xn}收敛, 则{xn}有界.
证:
a–1
(
a a+1 M
)
x
设xna (n), 由定义, 对=1, 存在自然数N,
当n>N时, 有|xna|<1, 故 |xn||xna|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x1|, |x2|,…, |xN|, 1+|a|} 则对n=1, 2, …,有|xn|M
3 4 n 1 2, , , , 2 3 n
1 1 (1) n 1, , ,, , 2 3 n
(1) n 1 (1) n 1 , 3. xn , 0,1,0,1,, 2 2
4. {n 2 }, 1,4,9,, n 2 ,
1 看数列1. xn 1 n
a2 . 2 2 n n( n a n)
a2
a2 a2 要使 | xn a | < , 只须 , 即n 即可. n
a2 取正整数 N , 则当 n > N 时, 有
n a 1 n
2 2
故
n
lim
n2 a 2 1. n
2, …. 则称数列xn有界, 否则, 称xn无界.
几何意义: 由于 |xn|MMxnM xn[M, M]. 故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个
对称区间[M, M]内. 看图
xn
(
M
0
)
M
x
例1. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.

两角差公式
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanxtany)/(1+tanxtany)
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理
在任意三角形中，各边长与对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC
详细描述
1. 定义概率概念：概率是描述事件发生可能性的数学量，通常表示为0到 1之间的实数。
2. 列举实例：例如，抛硬币正面朝上的概率是0.5，而反面朝上的概率也 是0.5。
概率的基本概念与计算方法
3. 掌握概率计算方法
1. 直接计算法：当事件只有两个可能结果（如生或死），且这两个事件是等可能的 ，此时可以直接计算概率。
三角函数的图像
包括正弦函数、余弦函数 和正切函数，它们的图像 分别为正弦曲线、余弦曲 线和正切曲线。
函数的应用
函数在实际生活中的应用
例如，描述物体的运动规律、预测经济走势等。
利用函数解决数学问题
例如，求解方程、最大值、最小值等问题。
03
三角函数与解三角形
三角函数的定义与性质
定义
根据三角形的边长求角，或已知角求 边长
集。
逻辑推理与证明
01
02
03
04
命题
一个陈述句或断言句称为一个 命题，如果它的真假是可以确
定的。
定理
经过严格证明为正确的命题称 为定理。
证明
用已知的命题来证明一个新命 题的过程称为证明。
反证法
通过假设与已知矛盾的命题来 证明原命题的正确性，称为反
证法。
02
函数与图像
函数的概念与性质

以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．

解 ∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
1＋x＜1－x，
∴1＋x＞0，
解之得－1＜x＜0.
1－x＞0，
∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.
1.函数y＝ln x的单调递增区间是( B )
2
同理当 x∈[0,1)时，y＝ log 1 (1－x2)是增函数.
2
故函数 y＝ log 1 (1－x2)的单调增区间为[0,1)，
2
且函数的最小值 ymin＝ log 1 (1－02)＝0.
2
规律方法 1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树 立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域. 2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证； (2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的 单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性.
课堂小结 1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是 对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一 般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解. 2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的 原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题 中的应用.
(3)log30.2，log40.2； 解 方法一 因为0＞log0.23＞log0.24， 所以log10.23＜log10.24，即 log30.2＜log40.2. 方法二 如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)log3π，logπ3. 解 因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3， 所以log3π＞log33＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

又因为两条曲线在点P处有相同的切线，
所以f′(2)＝g′(2)，
专题归纳
而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8， 由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b， 所以8＝4b，即b＝2代入②得到c＝－8. 综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8. 点评 有三个未知数，要列三个方程来求，由点P是两曲线 的公共点可列出两个方程，由两条曲线在点P处有相同的切 线得到两函数在点P处的导数相等再列一个方程，联立三个 方程就可以求出a，b，c的值．
专题归纳
【例3】 设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取 值范围；
(3)当a＝
2 3
时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相
异的实根，求实数b的取值范围．
a≥0， 则平面区域b≥0，
f2a＋b＜1，
所围成的面积是多少？
专题归纳
解 由导函数图象，可知函数f(x)在[－2,0]上是减函数，在 (0，＋∞)上是增函数． 当－2≤2a＋b≤0时，不等式f(2a＋b)＜1可化为f(2a＋b)＜ f(－2)，进而得2a＋b＞－2，所以－2＜2a＋b≤0，
专题归纳
【例一2个】公点共P点(2，,0)且是两函条数曲f(线x)＝在x点3＋P处ax有与相g(同x)的＝切bx线2＋，c求的a图，象b的， c的值．
解 因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象 的一个公共点，
所以23＋2a＝0
①
4b＋c＝0
②
由①得a＝－4.
所以f(x)＝x3－4x.

点评 从方法上判断一个命题为真命题需要严格推证，判定 一命题为假命题，只需举出一反例即可，解决这类题目的难点是 相关知识点的掌握．
2．判断下列命题的真假： (1)形如 a＋ 6b 的数都是无理数； (2)正项等差数列的公差大于 0； (3)当 m>14时，方程 mx2－x＋1＝0 无实根； (4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除．
2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假判断 (1)原命题为真，它的逆命题可以为 真 ，也可以为 假 ． (2)原命题为真，它的否命题可以为 真 ，也可以为 假 ． (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真 ． (4)互为逆否的两个命题是 等价 命题，它们同真同假，同一个命题的逆 命题和 否命题 是一对互为逆否的命题，所以它们 同真同假 ．
自主探究
1．能否把一些科学猜想，如“人类可以在月球上居住”看作命题？ 提示 科学猜想是根据大量的实验数据，进行科学推理后得出的，虽然目前 还不能确定这种语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总是能 够确定它的真与假．因而，这种猜想也是命题． 2．怎样判断命题的真假？ 提示 看命题是否正确，要看它是否与客观事实相符合．
(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出它的其他三种命题，应先把它 改写成“若p，则q”的形式，以便分清原命题的条件和结论，否则写出的命 题有可能面目全非．
(3)当一个命题有前提条件而要写出它的其他三种命题时，必须保留前提条件， 也就是前提条件始终不动．
(4)对于有多个并列条件组成的命题，在写出它的其他三种命题时，应把其中 一个(或几个)作为前提条件．
2．如何写出一个命题的其他三种命题
(1)对于是“若p，则q”形式的命题，要写出它的逆命题、否命题、逆否命题， 一般可以：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；② 否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；③交换原命题的 条件和结论，并且同时否定条件和结论，所得的命题是原命题的逆否命题．

求y f (x)单调区间.
h
13
例3 确定下列函数的单调区间： （1）f (x) x2 1 ；
（2）f(x)log1(2x25x3)；
（3）f(x)|lg(x21)| .
h
14
规律总结
确定函数的单调区间的方法有： (1)定义法 (2)导数法 (3)利用复合函数的单调性求解 (4)利用单调性的性质求解 (5)利用函数的图像求解
h
3
第五讲 函数的单调性与最值
h
4
知识回顾
1.增函数与减函数：
对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值x1，x2，若当x1＜x2 时，都有
（1）f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)在区 间D上是增函数.
（2）f(x1)＞f(x2)，则称函数f(x)在区 间D上是减函数.
h
5
2.单调性与单调区间：
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或 减函数，则称函数f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数f(x) 的单调区间.
3.复合函数的单调性：
若函数f(x)和g(x)的单调性相同，则
f[g(x)]为增函数；若函数f(x)和g(x)的
单调性相反，则f[g(x)h ]为减函数.
（1） f(x1)f(x2) 0f(x)在区间D上
x1x2
是增函数；
（2） f(x1)f(x2) 0f(x)在区间D上
x1 x2
是减函数；
h
8
7.若函数f(x)在区间A，B上都是增函数，则 f(x)在区间A∪B上不一定是增函数，对减函 数也如此.
h
9
8.设函数yf(x)的定义域为I，如果存在
实数M满足：对任意的xI,都有f(x)M； 存在x0I,使得f(x0)M,那么，称M是函数 yf(x)的最大值.

3、设f ( x)是定义在R上的奇函数 且f ( x 2) f ( x), 又当 1 x 1时， f ( x) x ，
3
(1)证明：直线x 1是函数f ( x)图像的 一条对称轴； (2)当x [1,5]时，求f ( x)的解析式.
第七讲
指数与指数函数
知识回顾
例4、P27变式3
课后练习
作业手册：第七课时
ax 1 2、对于函数f ( x) (其中a为实数，x 1) x 1 给出下列命题,其中正确的有_______. (1)当a 1时，f ( x)在定义域上为单调函数； (2) f ( x)的图像关于点(1, a)对称； (3)对任意a R, f ( x)都不是奇函数； (4)当a 1时，f ( x)为偶函数； (5)当a 2时，对于满足条件的2 x1 x2的 所有x1 , x2总有f ( x1 ) f ( x2 ) 3( x2 x1 )
若a<0，则a的n次方根不存在.
当n是奇数时 a a ; 当n是偶数时 a | a |
n n
n
n
4.分数指数幂的意义：
a a (a＞0，m，n∈N，且n＞1). 5.有理指数幂的运算性质：
n m
m n
a a a
r s
r s rs
r s
(a ) a ;
r
;
其中r，s∈Q
6.指数函数的概念： 形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数.
第六讲 函数的奇偶性与周 期性习题讲评
1.（2009·山东卷）已知定义在R上的函 数f(x)满足： log 2 (1 x), x 0 ，则f(2009) f ( x) f ( x 1) f ( x 2), x 0 的值为 （ ） A.－1 B. 0 C.1 D. 2

则f (3)＝________.
1x 2
题型五、映射
例9 已知集合A＝{1，2，3，k}， B＝{4，7，a4，a2＋3a}，其中a，k为正 整数.设x∈A，y∈B，对应法则f：x→y ＝3x＋1是从A到B的映射，求a，k的值.
例10（1）设集合A＝{－1，0，1}，
B＝{2，3，4，5，6}，映射f：A→B满足：
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
f
（2）已知
(1)
.
f (12x) 1x2x2
，则
2
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）已知函数f(x)满足：对任意实数a， b都有 f( a b ) f( a ) f( b ) a b ， 1 且 f(－2)＝－2，则f(1)＝ .
例8、已知定义域为{x|x∈R，且x≠1，
x≠0}的函数f(x)，满足 f( 1 )1f(x)1
A、 y [ x ] B、 y [ x 3 ]
10
10
C、 y [x 4] D、 y [x 5]
10
10
例 3、 已 知 定 义 域 在 R上 的 函 数 f(x)满 足
fx23fx,当 x[0,2]时 ， f(x)x22x
求 当 x[4,2]时 ， f(x)的 解 析 式 .
题型二、求函数的定义域 例4、P18例2
第四讲 函数的概念及表示
知识回顾
1．函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任 意一个数x，在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，则称f：A→B为从集合 A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)， x∈A.
2.函数的定义域和值域： 定义域：自变量的取值范围. 值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}.