合肥市第五十中学2019年秋九年级上期中数学试卷含答案

九年级数学期中测试(试卷总分150分 测试时间120分钟)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A B C D 2.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x+= B ． 20ax bx c ++= C ．(1)(2)0x x --=D ．222322(1)x x x +=+-3．如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于（ ） A ．50° B ．80° C ．90° D ．100°4．如图1，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转48°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=18°，则∠AOB ′的度数是（ ）A ．24°B ．30°C ．38°D ．48°5．如图2，在方格纸中，△ABC 经过变换得到△DEF ，正确的变换是（ ） A ．把△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°，再向下平移2格图1 图图2 图OCBAB．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°6.关于方程285(2)95x-=的两根，则下列叙述正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0 D．两根都大于27. 已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则( ) A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18.已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线22=-+与x轴有两个不y x x d同的交点，则点P（）．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．无法确定9.在同一坐标系中一次函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．10.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）11.平面直角坐标系中，点A（-3,5）关于原点对称点的坐标为_______12 已知一个多边形的每一个内角都等于144°，则这个多边形的边数是_______13. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.14.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是______15. 已知函数2-2-3y x x =，当-1x a ≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围是 . 16.如图，⊙O 的直径AB 长为10，弦AC 的长为6，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，则CD 长为 ．17.如图，等边三角形OAB 的边长为2，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过O 、P 两点的抛物线和过A ，P 两点的抛物线的顶点分别在OB ，AB 上，则这两个二次函数的最大值之和等于 ．18.二次函数y=x 2的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点），则第2018个菱形的周长= ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解方程（10分）（1）22)52()2(+=-x x （2） x x 7322=+ (用配方法解)20.（9分） 已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出△ABC 向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；（2）画出△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并直接写出C 2点的坐标． （3）请求出（2）中△ABC 旋转过程中 所扫过的面积为_______21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 21＋x 22＝|x 1|＋|x 2|＋2x 1x 2，求m 的值．22.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，二次函数223y x bx c =++的图象经过B 、C 两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时，x 的取值范围．23. （8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线． （1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO 与AM 交于N 点，求ON 的长．24. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=D 是斜边AB 上一动点（点D 与点A 、B 不重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接AE ，DE ． （1）求△ADE 的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE 的长度．25. （10分） 如图，AB 是⊙O 的直径，弧ED=弧BD ，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C. （1）若OA =CD =22，求阴影部分的面积； （2）求证：DE =DM.26．（10分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x 元，每个月的销售量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）设每月的销售利润为W ，请直接写出W 与x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？27．（10分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为_ （2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是______．28．（13分）如图1，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （－4，0），B （1，0），C （0，3），点P 在抛物线y=ax 2+bx+c 上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值；（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．图1图2备用图九年级数学期中考试参考答案一、选择题：1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.A9.C 10.A 二、填空题：11.（3，-5） 12. 10 13. 5 14. 4315. a ≥116. 717. ． 18. 8072三、解答题： 19.（5+5）（1）-1 , -7 (2)12,3 20. 解：（本题9分）（1）（1+2分）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；由图可知，点C 1点的坐标为（1，﹣2）；（2）（1+2分）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，其中C 2（﹣1，1）． (3) （3分）5522π+ 21. 解：（本题8分）(1)Δ＝8m －16＞0，得m ＞2.（3分）(2)x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5.∵m ＞2，∴x 1＋x 2＞0，x 1·x 2＞0，∴x 1＞0，x 2＞0.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝|x 1|＋|x 2|＋2x 1x 2，∴4(m ＋1)2－2(m 2＋5)＝2(m ＋1)＋2(m2＋5)，即6m －18＝0，解得m ＝3.（5分）22. （本题8分）解：（1）由题意得B （2，−2），C （0，−2） 代入223y x bx c =++得 82232b c c ⎧++=-⎪⎨⎪=-⎩，解得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式为224233y x x =--；（4分）（2）令y=0，得2242033x x --=，解得x 1=−1，x 2=3， 结合图象可知：当x <−1或x >3时，y >0． （8分）23. （本题8分） 解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC =AD ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线，∴∠DAM =∠F AD ，∴∠BAM =（∠CAD +∠F AD ）=90°， ∴AB ⊥AM ，∴AM 是⊙O 的切线；（4分） （2）∵AC =AD ，∠D =60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴CD =AD =2，∴CG =DG =1，∴OC =OA =，∵∠3=∠4=30°，∴ON =2OA =．（4分）24．（本小题10分）解：（1）证明△ACE ≌△BCD （过程略） ∴AE =BD过点C 作CF ⊥AB 于点F在Rt △CDF 中，DF当CD ⊥AB 时，CD 最短，等于3，此时DE=∴△ADE 的周长的最小值是6+ （5分）（2）点D 在CF 的右侧，AE =BD=点D 在CF 的左侧，AE =BD（5分） 25. （本题10分）（1）解：连接OD∵CD 是⊙O 切线∴OD ⊥CD ∵OA =CD =22 OA =OD ∴OD =CD =22∴△OCD 为等腰直角三角形 ∠DOC =∠C =45°ABCDEFS阴影=S△OCD-S扇OBDx#k#b#1π-=4（5分）（2）方法一证明：连接AD.∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵ED=BD∴ED=BD ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM=BD∴DE=DM.方法二证明：连接BE.∵AB是⊙O直径∴∠AEB=90°∴∠MEB=90°∴∠DEM+∠BED=90°∠M+∠MBE=90°又∵ED=BD∴∠DBE=∠BED∴∠DEM=∠M∴DE=DM. （5分）26．解：（本题10分）（2分）（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．则，（2）（4分）由利润=（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），（3）（4分）当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400，⌒⌒⌒⌒()36022452222212⨯-⨯⨯=π当x=80有最大值，最大值为7200，当80＜x＜140时，w=﹣3x2+540x﹣16800，当x=90时，有最大值，最大值为7500，故售价定为90元．利润最大为7500元．27．（本题10分）（1）（1+2分） ①1， ②2±； （2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（－2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，－2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-） （4分） （3）712d ≤≤……………（3分） 注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（本小题满分13分） （1）一般式：239344y x x =--+ 、交点式3(4)(1)4y x x =-+- 都可以…………4分 （2） ∵MC 平分∠ PMO ∴∠PMC =∠CMO ∵PN ∥OC ∴∠PMC =∠MCO ∴∠CMO =∠MCO ∴OM =OC …………6分 直线AC 的解析式334y x =+ 点M 的坐标为（t ，334t +） …………7分在Rt △MNO 中，t 2+（334t +）2=32，解这个方程得 t= 7225- …9分（3）两种情况，图2第一种情况以CE 为边，此时CD =DP ，求出t =73-，PD =3512，菱形的面积24536…11分第二种情况以CE 为对角线，点P 与点D 关于y 轴对称，P （t ，239344t t --+），则点D 的坐标（—t ，239344t t --+）代入解析式y =334x +，t =－2，菱形的面积6. …13分备用图图1。

新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷及答案一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）如图，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若y＝（m﹣2）x+3x﹣2是二次函数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．不能确定3．（3分）方程x2﹣2x﹣4＝0和方程x2﹣4x+2＝0中所有的实数根之和是（）A．2B．4C．6D．84．（3分）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．（3分）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，系列结论：（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）方程a （x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝0，x2＝6．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为．8．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）两点都在二次函数y＝（x+1）2+m 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．9．（3分）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB ＝度．10．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．12．（3分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为度时，△AOD是等腰三角形？三、（本大题共5小题，每小题12分，共30分）13．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；（2）2x2+5x﹣3＝014．（8分）随着港珠澳大桥的顺利开通，预计大陆赴港澳旅游的人数将会从2018年的100万人增至2020年的144万人，求2018年至2020年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率．15．（10分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面水位AB宽20米时，此时水面距桥面4米，当水面宽度为10米时就达到警戒线CD，若洪水到来时水位以每小时0.2米的速度上升，问从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）16．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）如图（1），在抛物线y＝ax2+bx+c找一点D，使点D与点C关于抛物线对称轴对称．（2）如图（2），点D为抛物线上的另一点，且CD∥AB，请画出抛物线的对称轴．17．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE 交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．四．（本大题共3小题，每小题10分，共24分）18．（10分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．19．（8分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？20．（10分）如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值；（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且不同的两点M（k+1，5），N（3﹣k，5）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．22．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．2018-2019学年江西省赣州市南康区五校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D不是中心对称图形．故选：D．2．【解答】解：由题意，得m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故选：A．3．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程x2﹣2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，两根之和为2；∵方程x2﹣4x+2＝0的根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴方程x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，两根之和为4．∵2+4＝6，∴两方程所有的实数根之和是6．故选：C．4．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位可得y＝（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y＝（x﹣2）2+3，故选：B．5．【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB＝80°∴∠E＝∠AOB＝40°∴∠ACB＝180°﹣∠E＝140°．故选：B．6．【解答】解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，故（1）正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故（2）错误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∴﹣4a＝a+c，∴c＝﹣5a，∴5a+3c＝5a﹣15a＝﹣10a，∵抛物线的开口向下∴a＜0，∴﹣10a＞0，∴5a+3c＞0；故（3）正确；∵方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝5，∴方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝0，x2＝6，故（4）正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018故答案为：20188．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+m，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，函数有最小值，顶点坐标为（﹣1，m），∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）两点都在二次函数y＝（x+1）2+m的图象上，﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1﹣（﹣1）＝0，1﹣（﹣1）＝2，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．9．【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案为：70．10．【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠ACB＝∠AOB，而∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB＝新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝， 设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝， ∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S △BFO ＝2，则k ＝﹣4．故选：B ．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt △ABC 中，sin A ＝，则∠A 等于 30 °．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt △ABC 中，sin A ＝，∴∠A ＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB ＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，∴S＝MF•MN＝×1×＝，△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x﹣3）2﹣49＝0（2）5x2+2x﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x﹣3）2＝49，x﹣3＝±7，所以x1＝10，x2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x＝所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和△ABC 的顶点均为格点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（ ﹣1 ， 0 ），点C ′的坐标为 （ 1 ， 2 ），周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝ 1：2 ．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标． 解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（﹣1，0），点C ′的坐标为 （1，2）， 周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE ＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP ＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．＝5，∵S△FCD∴S＝20．△ABC又∵S＝×BC×AM，BC＝10，△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sin A＝，sin B＝，∴sin A+sin B＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB＝；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．新九年级（上）数学期中考试题(答案)(1)一、选择题1.已知∠A=40°,则它的余角为( )A.40°B.50°C.130°D.140°答案 B2.如图，四个立体图形中,从左面看,所看到的图形为长方形的( )A.①③B.①④C.②③D.③④答案 B。

九年级（上）期中数学试卷一．选择题（每题4分，满分40分）1．抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝22．若，则的值为（）A．B．C．D．3．若反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m 的图象上，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜﹣2C．m＞2或m＜﹣2D．﹣2＜m＜24．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小6．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（）A．AP2+BP2＝AB2B．BP2＝AP•ABC．AP2＝AB•BP D．AB2＝AP•PB7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+2与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（）△OBCA．﹣3B．1C．2D．39．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（）A．m≤2或m≥3B．m≤3或m≥4C．2＜m＜3D．3＜m＜410．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（满分20分，每小题5分）11．已知，那么m ：n ＝ ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面下降2.5m ，水面宽度增加 m ．13．如图，点A 在双曲线y ＝（x ＞0）上，点B 在双曲线y ＝（x ＞0）上，且AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，点C 在x 轴上，则△ABC 的面积为 ．14．已知抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是 ． 三．解答题15．（8分）已知抛物线y ＝a （x ﹣3）2+2经过点（1，﹣2）． （1）求a 的值．（2）若点A （m ，y 1），（n ，y 2）（m ＜n ＜3）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 16．（8分）如图，二次函数y ＝（x ﹣3）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A （1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．四．解答题17．（8分）如图，已知梯形ABCD中，EF∥AD∥BC，点E、F分别在腰AB、DC上，AE ＝3，EB＝5．（1）求的值；（2）当AD＝4，BC＝12时，求EF的长．18．（8分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长．五．解答题19．（10分）请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离公式解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．20．（10分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．六．解答题21．（12分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，这种彩电每台降价100x（x为整数且0＜x＜9）元，每天可以多销售出3x台．（1）降价后每台彩电的利润是元，每天销售彩电台，设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为多少时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是多少？七．解答题22．（12分）小芳从家骑自行车去学校，所需时间y（min）与骑车速度x（m/min）之间的反比例函数关系如图．（1）小芳家与学校之间的距离是多少？（2）写出y与x的函数表达式；（3）若小芳7点20分从家出发，预计到校时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？八．解答题23．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．故选：B．2．解：因为，所以b＝，把b＝代入则＝，故选：B．3．解：∵反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝的图象上，∴解方程组得x2﹣mx+2＝0，∵y＝的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，∴△＝m2﹣8＞0，∴m＞2或m＜﹣2，故选：C．4．解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．故选：A．5．解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；B、图象位于第二、四象限，故B正确；C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；故选：D．6．解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，∴AP2＝AB•BP．故选：C．7．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．8．解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，过B作BD⊥y轴于D，∵S＝1，△OBC∴BD＝1，∵tan∠BOC＝，∴＝，∴OD＝3，∴点B的坐标为（1，3），∵反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，∴k2＝1×3＝3．故选：D．9．解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：16a+4b+3＝4，∴16a+4b＝1，∴4a+b＝，∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，∴∴，∴||≤1，∴或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m2（2a+b）+3＝m2（2a+﹣4a）+3＝m﹣4a＝m，a＝，∴或，∴m≤3或m≥4．故选：B．10．解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s＝，当2＜x≤3，s＝1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．解：设n＝3k，2m﹣n＝k，则m＝2k，∴m ：n ＝2k ：3k ＝2：3．12．解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y ＝ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a ＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y ＝﹣0.5x 2+2， 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y ＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y ＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y ＝﹣2代入抛物线解析式得出： ﹣2.5＝﹣0.5x 2+2，解得：x ＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米， 故答案为：2．13．解：作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，延长BA 交y 轴于点D ，如图， ∵AB ∥x 轴，∴S 矩形AEOD ＝1，S 矩形BFOD ＝4， ∴S 矩形AEFB ＝4﹣1＝3， ∴S △F AB ＝1.5， ∴S △ABC ＝S △F AB ＝1.5． 故答案为1.5．14．解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1（a≠0），∴顶点为（﹣2，1），过点A（m，3），B（n，3）两点，∴a＞0，∴对称轴为直线x＝﹣2，线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，∴a＝﹣1；（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，∴y1＜y2．16．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP ＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3或）（7，12）．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．解：（1）∵EF∥AD∥BC，∴，∵AE＝3，EB＝5，∴＝；（2）连接AC，∵EF∥AD∥BC，∴，∴＝，∴EG＝，同理可得：＝，∵，∴＝，∴＝，∴GF＝，∴EF＝EG+GF＝7．18．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，BF＝BE，∴BE+BE＝7.5，∴BE＝5．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．解：解由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（，），线段AB的长度＝4（2分）∵点P（x0，y0）是反比例函数图象上一点，∴y0＝∴PF1＝＝＝||，PF2＝＝＝||，（3分）∴d＝|PF1﹣PF2|＝|||﹣|||，当x0＞0时，d＝4；当x0＜0时，d＝4．（3分）因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．（2分）由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2分）20．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2）设二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．∵该图象过A（1，0）∴0＝a（1﹣3）2﹣2，解得a＝．∴表达式为y＝（x﹣3）2﹣2（2）如图所示：由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4＝6，∴x3+x4+x5＞11．当直线过y＝（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为y＝﹣（x﹣3）2+2∴令（x﹣3）2+2＝﹣2时，解得x＝3+2或x＝3﹣2（舍去）∴x3+x4+x5＜9+2．综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．解：（1）由题意得：每台彩电的利润是（3900﹣100x﹣3000）元，即（900﹣100x）元，每天销售（6+3x）台，则y＝（900﹣100x）（6+3x）＝﹣300x2+2100x+5400故答案为：（900﹣100x），（6+3x）；y与x之间的函数关系式为：y＝﹣300x2+2100x+5400．（2）y＝﹣300x2+2100x+5400．＝﹣300（x﹣3.5）2+9075当x＝3或x＝4时，y＝9000．最大值当x＝3时，彩电销售单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15＝54000元，当x＝4时，彩电销售单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18＝63000元，∴为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为3500元时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是9000元．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．解：（1）小芳家与学校之间的距离是：10×140＝1400（m）；（2）设y＝，当x＝140时，y＝10，解得：k＝1400，故y与x的函数表达式为：y＝；（3）当y＝8时，x＝175，∵k＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小，∴小芳的骑车速度至少为175m/min．八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）23．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2+m﹣3），点D（m，m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，∵PD∥AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣2±（舍去正值），即m2+m﹣3＝1﹣，故点P（﹣2﹣，﹣1﹣），②当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：点P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；综上，点P（﹣2﹣，﹣1﹣）或（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．。

合肥市2019版九年级上学期期中数学试题（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 将抛物线C：y=x2-2mx向右平移5个单位后得到抛物线C′，若抛物线C与C′关于直线x=-1对称，则m 的值为（）A．B．7C．D．2 . 下列各式计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．﹣3a+2a＝﹣aC．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b D．a3﹣a2＝a3 . 在中，，，，则的值为A．B．C．D．4 . 如果中，,，那么的度数是（）A．B．C．D．5 . 抛物线y=（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．开口向上；直线x=﹣3；（﹣3，5）B．开口向上；直线x=3；（3，5）C．开口向下；直线x=3；（﹣3，﹣5）D．开口向下；直线x=﹣3；（3，﹣5）6 . 如图，是的直径，、为上的点，为圆外一点，、均与圆相切，设，，则与满足的关系式为（）D．以上都不对A．B．C．7 . 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形、下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8 . 反比例函数的图象两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（）A．B．C．D．9 . -3的相反数是（）C．3D．A．-3B．10 . 如图所示几何体的主视图为（）A．B．C．D．二、填空题11 . 一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的，则这条弦所对的圆周角为____．12 . 若关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是_____________________________．13 . 计算：＝_____．14 . 函数y=中，自变量x的取值范围是_____．15 . 分解因式2x2－8的结果是_________；16 . 已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于________度，扇形的面积是________．（结果保留π）17 . 从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为_____18 . 在学习平方根的知识后，小明问同桌：“在2,3,4,5四个数中，任意选取一个数，恰好小于的概率19 . 如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为_____．20 . 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是__．三、解答题21 . 甲，乙两人两次同时在同一家超市购买糖果，两次购买糖果的价格分别是每千克a元和b元（），甲每次购买10千克糖果，乙每次花10元钱购买糖果．（1）甲两次购买糖果共付款______元，乙两次共购买______千克糖果（用含a，b的代数式表示）；（2）请你判断甲，乙两人的购买方式哪一种购买的平均价格更低？请说明理由．22 . 如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DA．（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．23 . 已知顶点为P的抛物线C1的解析式是y＝a（x﹣3）2（a≠0），且经过点（0，1）．（1）求a的值；（2）如图将抛物线C1向下平移h（h＞0）个单位得到抛物线C2，过点K（0，m2）（m＞0）作直线l平行于x 轴，与两抛物线从左到右分别相交于A、B、C、D四点，且A、C两点关于y轴对称．①点G在抛物线C1上，当m为何值时，四边形APCG是平行四边形？②若抛物线C1的对称轴与直线l交于点E，与抛物线C2交于点F，试探究：在K点运动过程中，的值是否会改变？若会，请说明理由；若不会，请求出这个值．24 . 如图，四边形中，．动点从点出发，以的速度向点移动，设移动的时间为秒．（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．25 . 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题。

2021-2022学年安徽省合肥五十中新校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为()A. −2B. 2C. ±2D. 02.抛物线y=−3(x+1)2−2经过平移得到抛物线y=−3x2，平移方法是()A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位3.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为()A. 3B. −3C. 32D. −324.大自然巧夺天工，一片小心树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是()A. 4√5−4B. 12−4√5C. 12+4√5D. 4√5+4(k1⋅k2≠5.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x0)的图象如图所示，若y1>y2，则x的取值范围是()A. −2<x<0或x>1B. −2<x<1C. x<−2或x>1D. x<−2或0<x<16.二次函数y=a(x−2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：abc<0；c+2a<0；9a−3b+c=0；a−b≥m(am+b)(m为实数)，其中错误结论的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图l1//l2//l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是()A. ABBC =DEEFB. ABBO =DEEOC. OBOC =OEOFD. ADCF =AOAC9.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=2x(x>0)的图象上从左向右运动，PA//y轴，交函数y=−6x(x>0)的图象于点A，AB//x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积()A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 等于定值16D. 等于定值2410.如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2，点E为AB的中点，点F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、BD相交于点M、N，则MN 的长为()A. 25√2 B. 920√2 C. 34√2 D. 45√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.在比例尺为1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为______km．12.已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项是______．13.小红对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112x2+23x+53，由此可知小红此次实心球训练的成绩为______米．14.已知：y+zx =x+zy=x+yz=k，则k=______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，a+b+c=12，试判断△ABC的形状，并说明理由．16.已知抛物线y=−x2+bx+c过点(0,−3)和(2,1)．(1)试确定抛物线的解析式；(2)求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标；(3)画出函数图象、写出当y>0的x的取值范围．17.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．(1)写出图中的三对相似三角形(注意：不添加辅助线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．18.如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k的图象x 交于A(2,m)、B(−1,−4)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积；>0．(3)根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b−kx19.为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？20.如图，抛物线y=x2−bx+3与x轴相交于点A，B，且过点C(4,3)．(1)求b的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)将该抛物线向左平移，记平移后抛物线的顶点为P′，当四边形AP′PB为平行四边形时，求平移后抛物线的解析式．21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE//BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？22.某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w 万元．(毛利润=销售额−生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；(2)求w与x之间的函数关系式；(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，求今年可获得最大毛利润．x−2与x、y轴分别交于点A、C.抛物线的图象经过A、C和点B(1,0)．23.直线y=12(1)求抛物线的解析式和顶点G的坐标；(2)在直线y=−1上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义、绝对值的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题关键．根据形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数，可得答案．【解答】解：由y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，得|m|=2且m+2≠0．则m=±2且m≠−2，∴m=2．故选B．2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=−3(x+1)2−2的顶点坐标为(−1,−2)，平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选：D．由抛物线y=−3(x+1)2−2得到顶点坐标为(−1,−2)，而平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，根据顶点坐标的变化寻找平移方法．本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．3.【答案】A【解析】解：由图象可得，二次函数y=ax2+bx的最小值是y=−3，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，即一元二次方程ax2+bx=−m有实数根，也就是y=ax2+bx与y=−m有交点，∴−m≥−3，解得：m≤3，∴m的最大值是3，故选：A．根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx+ m=0有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．4.【答案】D【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴AP=√5−12AB，∴AB=√5−1=√5−1×8=4√5+4(cm)，故选：D．根据黄金分割的定义得到AP=√5−12AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=√5−12AB．5.【答案】D【解析】解：如图所示：若y1>y2，则x的取值范围是：x<−2或0<x<1．故选：D．直接利用两函数图象的交点横坐标得出y1>y2时，x的取值范围．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确利用函数图象分析是解题关键．6.【答案】D【解析】解：A、由一次函数y=cx+a的图象可得：a<0，c<0，此时二次函数y= a(x−2)2+c的图象应该开口向下，故A错误；B、由一次函数y=cx+a的图象可得：a<0，c>0，此时二次函数y=a(x−2)2+c 的图象应该开口向下，故B错误；C、由一次函数y=cx+a的图象可得：a>0，c<0，此时二次函数y=a(x−2)2+c 的图象应该开口向下，与y轴的交点在负半轴上，故C错误；D、由一次函数y=cx+a的图象可得：a>0，c>0，此时抛物线y=a(x−2)2+c的图象应该开口向上，与y轴的交点在正半轴上，故D正确；故选：D．可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7.【答案】A【解析】解：由抛物线可知：a>0，c<0，<0，对称轴x=−b2a∴b>0，∴abc<0；=−1，由对称轴可知：−b2a∴b=2a，∵x=1时，y=a+b+c=0，∴c+3a=0，∴c+2a=−3a+2a=−a<0；(1,0)关于x=−1的对称点为(−3,0)，∴x=−3时，y=9a−3b+c=0；当x=−1时，y的最小值为a−b+c，∴x=m时，y=am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a−b+c，即a−b≤m(am+b)；∴错误的为a−b≥m(am+b)，有1个．故选：A．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，故本选项错误；B、∵l1//l2//l3，∴ABBO =DEEO，故本选项错误；C、∵l1//l2//l3，∴OBOC =OEOF，故本选项错误；D、∵l1//l2//l3，∴ADCF =AOOC，故本选项正确；故选：D．9.【答案】C【解析】解：由题意可知S△POC=12×2=1，S矩形ACOD=6，∵S△POC=12OC⋅PC，S矩形ACOD=OC⋅AC，∴S△POCS矩形ACOD =12OC⋅PCOC⋅AC=16，∴PCAC =13，∴PCPA =14，∵AB//x轴，∴△POC∽△PBA，∴S△POCS△PBA =(PCPA)2=116，∴S△PAB=16S△POC=16，∴△PAB的面积等于定值16．故选：C．根据反比例函数k的几何意义得出S△POC=12×2=1，S矩形ACOD=6，即可得出PCAC=13，从而得出PCPA =14，通过证得△POC∽△PBA，得出S△POCS△PBA =(PCPA)2=116，即可得出S△PAB=16S△POC=16．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，证得PCPA =14是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，过点F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2，∵BF=2FC，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF=√FH2+AH2=2√2，∵OH//AE，∴HOAE =DHAD=13，∴OF=FH−OH=2−13=53，∵AE//FO，∴△AME∽△FMO，∴AMFM =AEFO=35，∴AM=38AF=3√24，∵AD//BF，∴△AND∽△FNB，∴ANFN =ADBF=32，∴AN=35AF=6√25，∴MN=AN−AM=6√25−3√24=9√220，故选：B．过点F作FH⊥AD于H，交ED于O，得FH=AB=2，由勾股定理得AF=2√2，根据平行线分线段成比例得OH=13AE=13，由相似三角形的性质得AMFM=AEFO=35，求得AM，再根据相似三角形的性质求得AN=35 AF，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，准确作出辅助线求出AN与AM的长是解题的关键．11.【答案】15【解析】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，故答案为15．由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．12.【答案】4【解析】解：设线段a，b的比例中项为c，∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，∴c2=ab=2×8，即c2=16，∴c=4(负数舍去)．故答案为：4．设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，c2=ab，代入数据可直接求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．13.【答案】10【解析】解：当y=0时，y=−112x2+23x+53=0，解得：x1=−2(舍去)，x2=10，∴小红此次实心球训练的成绩为10米．故答案为：10．根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．14.【答案】2或−1【解析】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；当x+y+z=0时，即x+y=−z，则k=−1，故填2或−1．能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．此题由于没有条件的限制，一定要分情况计算．要熟悉比例的等比性质，注意等比性质的条件的限制．15.【答案】解：△ABC是直角三角形，理由是：设a+43=b+32=c+84=k，则a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，∵a+b+c=12，∴3k−4+2k−3+4k−8=12，∴k=3，∴a=5，b=3，c=4，∴b 2+c 2=32+42=25=a 2，∴△ABC 是直角三角形．【解析】设a+43=b+32=c+84=k ，表示a 、b 、c 的长，代入a +b +c =12中，计算k 的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理．16.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 过点(0,−3)和(2,1)，∴{c =−3−4+2b +c =1， 解得 {b =4c =−3， 抛物线的解析式为y =−x 2+4x −3；(2)令y =0，得−x 2+4x −3=0，即 x 2−4x +3=0，∴x 1=1，x 2=3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)、(3,0)，∵抛物线的解析式为y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1，∴顶点坐标为：(2,1)；(3)列表：画图：由图象可知，当y >0时，1<x <3．【解析】(1)把(0,−3)和(2,1)代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；(2)把y =0代入解析式，求出x 的值，即可得出抛物线与x 轴的交点坐标，把抛物线解析式改写成顶点式即可；(3)根据函数解析式，列表，描点，画图，根据图象即可求出当y >0时x 的取值范围． 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x 轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，解决问题的关键是熟练应用二次函数的性质．17.【答案】解：(1)△EAF∽△EBC ，△CDF∽△EBC ，△CDF∽△EAF ．(2)选△EAF∽△EBC ，理由如下：在ABCD 中AD//BC ，∴∠EAF =∠B ．又∵∠E =∠E ，∴△EAF∽△EBC ．【解析】(1)证明△EAF∽△EBC ，△CDF∽△EBC ，△CDF∽△EAF 即可；(2)根据平行线定理可求得∠EAF =∠B ，进而可以求证△EAF∽△EBC 即可解题．本题考查了相似三角形的证明，平行线同位角相等的性质，本题中求证△EAF∽△EBC 是解题的关键．18.【答案】解：(1)把(−1,−4)代入y =k x 中得−4=k −1，解得k =4，∴反比例函数解析式为y =4x ，把(2,m)代入y =4x 中得m =42=2，∴点A 坐标为(2,2)把(−1,−4)，(2,2)代入y =ax +b 得{−4=−a +b 2=2a +b， 解得{a =2b =−2， ∴一次函数解析式为y =2x −2．(2)设直线AB 与y 轴交于点C ，把x=0代入y=2x−2得y=−2，∴OC=2．∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×OC⋅|x B|+12×OC⋅x A=12×2×1+12×2×2=3．(3)由ax+b−kx >0得ax+b>kx，∵直线与双曲线交点为A(2,2)、B(−1,−4)，∴−1<x<0或x>2时ax+b>kx．【解析】(1)把点B坐标代入反比例函数求解析式，然后求出点A坐标，再将A，B坐标代入一次函数解析式求解．(2)设直线AB与y轴交于点C，由S△AOB=S△BOC+S△AOC求解．(3)由ax+b−kx >0得ax+b>kx，再根据图象交点横坐标求解．本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及函数与不等式的关系．19.【答案】解：(1)当0≤x≤15时，设y=ax(a≠0)；当x≥15时，设y=kx(k≠0)．将(15,20)代入y=ax，20=15a，解得：a=43，∴y=43x(0≤x≤15)．将(15,20)代入y=kx，20=k15，解得：k=300，∴y=300x(x≥15)．(2)当y=43x=8时，x=6；当y=300x=8时，x=37.5．37.5−6=31.5(分钟)．答：有效消毒时间是31.5分钟．【解析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一次函数(反比例)函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；(2)将y=8代入两函数关系式求出x值．(1)根据函数图象找出点的坐标，再根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的关系式；(2)将y=8分别代入两函数关系式中求出x值，二者做差即可得出结论．20.【答案】解：(1)当x=4，y=3，代入y=x2−bx+3，解得：b=4，∴y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴b的值为4，和该抛物线顶点P的坐标为：(2,−1)；(2)当y=0时，x2−4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，∴AB=2，∵四边形AP′PB为平行四边形，∴P′P=AB=2，∴P′的坐标是(0,−1)，∴抛物线的解析式是：y=x2−1．【解析】(1)根据抛物线y=x2−bx+3过点C(4,3)，代入求出b的值即可，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)首先求出AB的长，再根据四边形AP′PB为平行四边形，得出P′P=AB=2，进而得出P′的坐标，求出解析式即可．此题主要考查了二次函数的综合应用，根据图象上点的坐标性质以及平行四边形的性质得出是解题关键．21.【答案】解：(1)∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC．∴ADAB =AEAC．又∵AD =8−2x ，AB =8，AE =y ，AC =6，∴8−2x 8=y 6． ∴y =−32x +6．自变量x 的取值范围为0≤x ≤4．(2)S =12BD ⋅AE =12⋅2x ⋅y =−32x 2+6x(3)S =−32x 2+6x =−32x 2+6x +9−9 =−32(x −2)2+6．∴当x =2时，S 有最大值，且最大值为6．【解析】(1)由平行线得△ABC∽△ADE ，根据相似形的性质得关系式；(2)S =12⋅BD ⋅AE ； (3)运用函数性质求解．此题为代数和几何的综合题，考查学生综合运用知识的能力．22.【答案】解：(1)图①可得函数经过点(100,1000)，设抛物线的解析式为y =ax 2(a ≠0)，将点(100,1000)代入得：1000=10000a ，解得：a =110，故y 与x 之间的关系式为y =110x 2，图②可得：函数经过点(0,30)、(100,20)，设z =kx +b ，则{100k +b =20b =30， 解得：{k =−110b =30， 故z 与x 之间的关系式为z =−110x +30；(2)w =zx −y第21页，共23页 =−110x 2+30x −110x 2=−15x 2+30x ， ∴w 与x 之间的函数关系式为w =−15x 2+30x ；(3)令y =360，得110x 2=360，解得：x =±60(负值舍去)，由图象可知，当0<y ≤360时，0<x ≤60，w =−15x 2+30x =−15(x 2−150x) =−15(x −75)2+1125，∵−15<0，∴当x ≤75时，w 随x 的增大而增大，∵0<x ≤60，∴当x =60时，w 有最大值，最大值为−15(60−75)2+1125=1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【解析】(1)利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；(2)根据(1)的表达式及毛利润=销售额−生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式；(3)首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．23.【答案】解：(1)在直线解析式y =12x −2中，令x =0，得y =−2；令y =0，得x =4， ∴A(4,0)，C(0,−2)．设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵点A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)在抛物线上，则{16a +4b +c =0a +b +c =0c =−2，解得{a =−12b =52c =−2，∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+52x −2；第22页，共23页 抛物线的对称轴为x =52，当x =52时，y =−12x 2+52x −2=98，故点G(52,98)；(2)在直线y =−1上存在点P ，使得使得△PBG 的周长最小，作点B 关于直线y =−1的对称点H(1,−2)，连接GH 交直线y =−1于点P ，在点P 为所求点，理由：△PBG 的周长=BG +BP +PG =BG +PH +PG =GH +GB 为最小， 由点BG 的坐标得，直线BG 的表达式为y =2512x −4912，当y =1=2512x −4912，解得x =3725，故点P 的坐标为(3725,−1)；(3)设点D 坐标为(x,y)，则y =−12x 2+52x −2，在Rt △AOC 中，OA =4，OC =2，由勾股定理得：AC =2√5．连接CD 、AD ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FD 交FD 的延长线于点G ， 则FD =x ，DG =4−x ，OF =AG =y ，FC =y +2．S △ACD =S 梯形AGFC −S △CDF −S △ADG =12(AG +FC)⋅FG −12FC ⋅FD −12DG ⋅AG =12(y +y +2)×4−12(y +2)⋅x −12(4−x)⋅y =2y −x +4，将y =−12x 2+52x −2代入得：S △ACD =2y −x +4=−x 2+4x =−(x −2)2+4，∴当x=2时，△ACD的面积最大，最大值为4．当x=2时，y=1，∴D(2,1)．∵S△ACD=12AC⋅DE，AC=2√5，∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为：41 2AC=12×2√5=4√55．∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2,1)，最大距离为4√55．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)作点B关于直线y=−1的对称点H(1,−2)，连接GH交直线y=−1于点P，在点P为所求点，进而求解；(3)由S△ACD=S梯形AGFC −S△CDF−S△ADG=12(AG+FC)⋅FG−12FC⋅FD−12DG⋅AG，即可求解．本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最值、图形面积计算等知识点，难度不大．第(2)问有多种解法，同学们可以从不同角度尝试与探究．第23页，共23页。

安徽省合肥市第五十中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A．1:3B．1:49．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数的取值范围为（）A．m>2B．32 m>10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB 于E，若CE＝2DE，则BC∶AC二、填空题13．如图，在Rt ABC ∆AC ，BC 上，有两个顶点在斜边14．已知k 为任意实数，随着动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是三、解答题15．已知某抛物线过点()2,0A ，对称轴为4x =，顶点在直线1y x =-上，求此抛物线的解析式．16．如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB AC 、上，12∠=∠，若4,2,3BC AF CF ===，求EF 的长．18．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为点”．例如()1,1-，()2022,2022-都是此时乙与球网的水平距离．23．如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．(1)若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；(2)找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;(3)若3OF =，2EF =，求DE 的长度．参考答案：y x=+与x轴，∵直线1y x=+，得∴将y=0代入1∴A（1-，0），B（0，∴OA=1，OB=1，；4)（3）设P（x，x，所以S△PBO=SABCO四边形ABCD 为矩形，234∴∠=∠=∠，DE BE = ，12∴∠=∠，13∠∠∴=，又BE 平分DBC ∠，16∴∠=∠，36∴∠=∠，又3∠ 与5∠互余，6∴∠与5∠互余，。

2021-2022学年安徽省合肥五十中东校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4B．y＝﹣2（x+4）2﹣2C．y＝﹣2x2+4D．y＝﹣2x2+42．把二次函数y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（）A．y＝（x+2）2﹣7B．y＝（x﹣2）2+7C．y＝（x﹣2）2﹣7D．y＝（x+2）2+1 3．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上B．当x＝2时，y有最小值是3C．对称轴是x＝2D．顶点坐标是（﹣2，3）4．下列四组线段中，成比例线段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cmC．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m5．对于函数y＝（k＜0），下列说法错误的是（）A．它的图象分布在二、四象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小6．在比例尺为1：2000000的地图上，相距5cm的两地，它们的实际距离为（）A．10km B．100km C．500km D．1000km7．若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y28．已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A．B．C．D．10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＜﹣C．﹣＜m＜0D．0＜m＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为．12．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x ＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为．13．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为．14．已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．16．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的长．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为，抛物线的顶点坐标为，可求这条抛物线的解析式为．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为，解决了这个问题．六、（本题满分12分）21．如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．（3）C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为．七、（本题满分12分）22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．八、（本题满分14分）23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4B．y＝﹣2（x+4）2﹣2C．y＝﹣2x2+4D．y＝﹣2x2+4【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减解答．解：将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为y＝﹣2（x+4）2﹣3+1，即y＝﹣2（x+4）2﹣2．故选：B．2．把二次函数y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（）A．y＝（x+2）2﹣7B．y＝（x﹣2）2+7C．y＝（x﹣2）2﹣7D．y＝（x+2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解．解：y＝x2+4x﹣3＝x2+4x+4﹣7＝（x+2）2﹣7，故选：A．3．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上B．当x＝2时，y有最小值是3C．对称轴是x＝2D．顶点坐标是（﹣2，3）【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．解：由y＝﹣（x+2）2+3得，开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），当x＝﹣2时，y有最大值是3，故选项A、B、C错误，选项D正确；故选：D．4．下列四组线段中，成比例线段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cmC．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m【分析】如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．解：A、1×0.6≠2×3，故选项不符合题意；B、2×0.18≠4×9，故选项不符合题意；C、1×＝，故选项符合题意；D、1×4≠2×3，故选项不符合题意．故选：C．5．对于函数y＝（k＜0），下列说法错误的是（）A．它的图象分布在二、四象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小【分析】根据反比例函y＝的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可．解：A、它的图象分布在二、四象限，说法正确，不符合题意；B、它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；C、当x＞0时，y的值随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；D、当x＜0时，y的值随x的增大而减大，说法错误，符合题意；故选：D．6．在比例尺为1：2000000的地图上，相距5cm的两地，它们的实际距离为（）A．10km B．100km C．500km D．1000km【分析】根据图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把cm换算成km即可．解：5÷＝10000000（cm），10000000cm＝100km．故选：B．7．若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．解：∵反比例函数y＝中k＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵﹣3＜﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，∵3＞0，∴点C（3，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选：B．8．已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出m＜0、n＞0、a＞0，由此即可得出＜0，﹣n＜0，即可得出一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．解：∵二次函数开口向下，∴m＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，n＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴a＞0，∴＜0，﹣n＜0，∴一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限．故选：B．9．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵，∴＝，∴＝．故选：C．10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＜﹣C．﹣＜m＜0D．0＜m＜【分析】设y＝mx2﹣2x﹣2，函数值恒为负，则抛物线开口向下，且抛物线与x轴没有交点，得出关于m的不等式组，求解即可得出m的取值范围．解：设y＝mx2﹣2x﹣2，∵函数值恒为负，∴，解得：m＜，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为0＜y≤3．【分析】求得x＝2时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到y的取值范围．解：∵反比例函数中，k＝6＞0，∴图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，∵当x＝2时，y＝3，∴当x≥2时，0＜y≤3．故答案：0＜y≤3．12．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x ＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为﹣1．【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到•|3|+•|k|＝2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．解：连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB＝S△OCB，而S△OCB＝•|3|+•|k|，∴•|3|+•|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为．【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，则＝，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，∵EH∥CD，∴＝，∵BE＝3EC，∴＝＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴＝，∵EH∥AD，∴＝＝．故答案为．14．已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是直线x＝a；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为2或﹣6.5．【分析】把函数解析式化成顶点式即可求得对称轴，然后利用分类讨论的数学方法可以求得a的值．解：∵y＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴该二次函数的对称轴是直线x＝a，∵当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，∴当a＞4时，x＝4取得最小值，则﹣12＝（4﹣a）2﹣a2，解得，a＝3.5（舍去），当﹣1≤a≤4时，x＝a取得最小值，则﹣12＝（a﹣a）2﹣a2，解得，a＝2，当a＜﹣1时，x＝﹣1取得最小值，则﹣12＝（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a＝﹣6.5，故答案为：直线x＝a，2或﹣6.5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．【分析】分①当x+y+z≠0时，利用等比性质解答，②当x+y+z＝0时，用一个字母表示出另两个字母的和，然后求解即可．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵＝＝＝k，∴k＝＝2，②当x+y+z＝0时，x+y＝﹣z，z+x＝﹣y，y+z＝﹣x，所以，k＝﹣1，综上所述，k＝2或﹣1．16．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值．【分析】（1）由x＝﹣求得对称轴；（2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值；解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，∵最小值是7，∴3a﹣2＝7，解得：a＝3．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；（2）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．则S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．（2）由题意可知，，解得6≤x≤13．由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195m2．18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．解：∵FE∥CD，∴＝，即＝，解得，AC＝，∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AB＝．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC 于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．【解答】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．∴△DMG∽△DBM，同法可证：△EMF∽△EAM．20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（12，0），抛物线的顶点坐标为（6，8），可求这条抛物线的解析式为y＝﹣x2+．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y＝﹣x2．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米，解决了这个问题．【分析】方法一：根据已知条件得到B（12，0），顶点（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入解方程即可得到结论；方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（6，﹣8）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求y＝﹣2时x的值从而求出水面宽．解：方法一：A（0，0），B（12，0），顶点（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣6）2+8＝﹣x2+，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+．故答案为：（12，0）；（6，8）y＝﹣x2+x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2，解得：x＝±3，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米．故答案为：y＝﹣x2；6米．六、（本题满分12分）21．如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．（3）C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为（1，﹣1）．【分析】（1）由一次函数y＝x﹣2求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标；（2）根据图象即可求得；（3）设C（x，x﹣2）（x＞0），则D（x，），求得CD＝﹣x+2，由三角形面积公式可得S△BCD＝x•（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，所以当x＝1时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（1，﹣1）．解：（1）把A（3，a）代入y＝x﹣2可得，a＝1，即A（3，1），∴1＝，解得m＝3，∴反比例函数表达式为y＝，解，得或，∴B（﹣1，﹣3）；（2）由图象可得，当x﹣2＞时，﹣1＜x＜0或x＞3；（3）设C（x，x﹣2）（x＞0），则D（x，），∴CD＝﹣x+2，∴S△BCD＝x•（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．七、（本题满分12分）22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．【分析】（1）y2＝2x与y3＝﹣2x+4联立，组成方程组，解方程组即可求得；（2）根据待定系数法即可求得；（3）根据二次函数的性质，结合A、B的坐标即可求得．解：（1）解得，∴A（1，2）；（2）在直线y3＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，代入B（0，4）得，4＝a+2，解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2（x﹣1）2+2＝2x2﹣4x+4；（3）∵抛物线与直线y3＝﹣2x+4的交点为A（1，2），B（0，4），∴当y1＞y3时x的取值范围是x＜0或x＞1．八、（本题满分14分）23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的取值范围．【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y ＝﹣x+55．（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/kg）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝﹣＞34.5，求得a即可．解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得，∴y与x的关系式为：y＝﹣x+55．（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m，∴W＝，整理得，W＝，当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大，∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400，当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝﹣（x﹣32）2+4410，∵﹣＜0，∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410，综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元．（3）依题意，得，W＝（y+a﹣18）•m＝﹣x2+（160+5a）x+1850+50a，∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，∴对称轴x＝﹣＝﹣≥34.5，得a≥2.5，故a的取值范围为a≥2.5．。

人教版2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（）A．B．C．D．2．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列运算正确的是（）A．2x2•x3=2x5 B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x74．由中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4300000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．43×108B．4.3×109C．4.3×108D．4.3×10105．下列命题中，真命题是（）A．圆周角等于圆心角的一半B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．过弦的中点的直线必经过圆心6．如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+1 C．y=x2+1 D．y=（x+1）2﹣1 7．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．B．C．1OOcos20°D．100sin20°8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE =1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．9．如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，共30分）11．计算：﹣= ．12．函数y=的自变量x的取值范围是．13．分解因式：3a2﹣6ab+3b2= ．14．将二次函数y=x2+6x+3化成顶点式y=a（x﹣h）2+k的形式．15．双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m= ．16．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC= ．17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD= ．19．菱形ABCD中∠A=60°，点E在直线BD上，直线AE交直线CD于F，CD=3DE，AF=6，则AE= ．20．如图，正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上，顶点B在GC的延长线上，连接EG、BE，∠EGC的平分线GH过点D交BE于H，连接HF交EG于M，则的值为．三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）21．先化简，再求代数式﹣2的值，其中x=3sin45°+2cos60°．22．图1，图2均为正方形网络，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）在图1中，画一个边长为整数的矩形，面积等于24，周长等于22．（2）在图2中，画一个有一个角是钝角的等腰三角形，且面积等于10．23．为推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如图两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生的人数；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋约多少双？24．如图，△ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，连接OA，（1）求证：AE平分∠DAO；（2）若AB=6，AC=8，求OE的长．25．冬季将至，服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题，现由甲、乙两个加工厂生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服？（2）若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？26．已知，如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB上的一点，MN⊥AC 于N，△AMN绕点A旋转得到△APQ，延长BC至点D，使CD=BC，延长PQ至点E，使QE=PQ，连接ED．BP．（1）求证：DE=BP；（2）如图2，连接PD，取PD中点F，连接CQ，FQ，若tan∠ABC=，则QC= QF．（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AM，AQ∥ED，CQ=12，求PD的长．27．已知：y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4．点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA交y轴于点Q，（1）求a的值．（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=QH，求点P的坐标及KE的长．2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正数和负数；绝对值．【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C ．2．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个、第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．故选C．3．下列运算正确的是（）A．2x2•x3=2x5 B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x7【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法，利用排除法求解．【解答】解：A、2x2•x3=2x5，故本选项正确；B、应为（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故本选项错误；C、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、应为（x3）4=x12，故本选项错误．故选：A．4．由中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4300000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．43×108B．4.3×109C．4.3×108D．4.3×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4300 000 000=4.3×109，故选：B．5．下列命题中，真命题是（）A．圆周角等于圆心角的一半B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．过弦的中点的直线必经过圆心【考点】命题与定理．【分析】利用圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故错误，为假命题；B、等弧所对的圆周角相等，正确，为真命题；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，为假命题；D、过先的中点且垂直于弦的直线必经过圆心，故错误，为假命题，故选B．6．如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+1 C．y=x2+1 D．y=（x+1）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2+2的顶点坐标为（0，2），根据点平移的规律得到点（0，2）平移后得到对应点的坐标为（﹣1，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2+2的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）先向下平移1个单位，再向左平移1个单位得到对应点的坐标为（﹣1，1），所以所得新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1．故选B．7．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．B．C．1OOcos20°D．100sin20°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据正弦的定义进行解答即可．【解答】解：∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=100sin20°，故选：D．8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE =1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明BE ：EC=1：3，进而证明BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S △BDE ：S △CDE =1：3， ∴BE ：EC=1：3； ∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ，∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．9．如图，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB 一定是（ ）A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．梯形【考点】垂径定理；菱形的判定．【分析】先根据垂径定理得出AD=BD，AC=BC，再根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BCD，故可得出OA=BC，即OA=OB=BC=AC，由此即可得出结论．【解答】解：∵弦AB垂直平分半径OC，∴AD=BD，AC=BC，OD=CD，∵在△AOD与△BCD中，，∴△AOD≌△BCD，∴OA=BC，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形．故选C．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．二、填空题（每题3分，共30分）11．计算：﹣= ﹣3．【考点】二次根式的加减法．【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．【解答】解：﹣=3﹣3×2=﹣3．故答案为：﹣3．12．函数y=的自变量x的取值范围是x≥3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣3≥0且x﹣2≠0，解得x≥3且x≠2，所以，x≥3．故答案为：x≥3．13．分解因式：3a2﹣6ab+3b2= 3（a﹣b）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3a2﹣6ab+3b2=3（a2﹣2ab+b2）=3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．14．将二次函数y=x2+6x+3化成顶点式y=a（x﹣h）2+k的形式y=（x+3）2﹣6 ．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6．故答案为：y=（x+3）2﹣6．15．双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m= ﹣2 ．【考点】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案为﹣2．16．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC= ．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；解直角三角形．【分析】首先根据圆周角定理，判断出∠OBC=∠ODC；然后根据CD是⊙A 的直径，判断出∠COD=90°，在Rt△COD中，用OD的长度除以CD的长度，求出∠ODC的余弦值为多少，进而判断出∠OBC的余弦值为多少即可．【解答】解：如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠OBC=∠ODC，∵CD是⊙A的直径，∴∠COD=90°，∴cos∠ODC===，∴cos∠OBC=，故答案为：．17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4 ．【考点】位似变换．【分析】由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF的面积之比．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=．【考点】旋转的性质．【分析】设CD=x，由B′C′∥AB，可推得∠BAD=∠B′，由旋转的性质得：∠B=∠B′，于是得到∠BAD=∠B，AC=AC′=3，AD=BD=4﹣x，在直角△ADC中，由勾股定理可求得结论．【解答】解：设CD=x，∵B′C′∥AB，∴∠BAD=∠B′，由旋转的性质得：∠B=∠B′，AC=AC′=3，∴∠BAD=∠B，∴AD=BD=4﹣x，∴（4﹣x）2=x2+32，解得：x=．故答案为：．19．菱形ABCD中∠A=60°，点E在直线BD上，直线AE交直线CD于F，CD=3DE，AF=6，则AE= 4或8 ．【考点】菱形的性质．【分析】有两种情形，画出图形，先证明△ABD、△BDC都是等边三角形，再根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：①如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，DC∥AB，∵∠DAB=60°，∴∠DCB=∠DAB=60°，∴△ABD，△BDC都是等边三角形，∴DC=DB，∵CD=3DE，∴DB=3ED，∵DF∥AB，∴==，∵AF=6，∴AE=4．②如图2中，由①可知BD=3DE，∵DF∥AB，∴==，∵AF=6，∴AE=8．故答案为4或820．如图，正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上，顶点B在GC的延长线上，连接EG、BE，∠EGC的平分线GH过点D交BE于H，连接HF交EG于M，则的值为+1 ．【考点】正方形的性质．【分析】取EG中点O，连接OH，先证明△BCE≌△DCG推出HG⊥BE，再证明△BGH≌△EGH，推出OH是三角形中位线，设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，利用△DHN∽△DGC，得=，求出a、b之间的关系，最后由△EFM∽△OMH，得==，推出==即可解决问题．【解答】解：取EG中点O，连接OH∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH，∴BH=EH，∵EH=HB，EO=OG，∴HO∥BG，HO=BG=EF，设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴=，即=，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a=（﹣1+）b，或a=（﹣1﹣）b（舍去），则=﹣1，∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴==，∴=，=，∴====，∴=+1．故答案为．三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）21．先化简，再求代数式﹣2的值，其中x=3sin45°+2cos60°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先对括号内的式子进行通分相减，把除法转化为乘法，然后计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入计算即可．【解答】解：原式=÷﹣2=•﹣2=x+1﹣2=x﹣1．当x=3sin45°+2cos60°=时，原式=．22．图1，图2均为正方形网络，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）在图1中，画一个边长为整数的矩形，面积等于24，周长等于22．（2）在图2中，画一个有一个角是钝角的等腰三角形，且面积等于10．【考点】勾股定理．【分析】（1）根据长方形的面积、周长公式，画一个长和宽为8和3的长方形即可；（2）根据勾股定理确定出三角形的腰长，再由钝角三角形的性质画出图形即可．【解答】解：（1）设该长方形的长为a，宽为b，则a+b=11，ab=24，显然a、b是关于x的一元二次方程x2﹣11x+28=0的两根，解方程x2﹣11x+28=0得到x1=8，x2=3，即a=8，b=3，所以该矩形的长为8，宽为3，如图1所示的矩形ABCD．（2）如图2所示，AC==5，BC=5，S△ABC=×4×5=10．23．为推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如图两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生的人数；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋约多少双？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40；（2）40﹣12﹣10﹣8﹣4=6（人）补全条形统计图如下：（3）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，则计划购买200双运动鞋，有200×30%=60双为35号．24．如图，△ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，连接OA，（1）求证：AE平分∠DAO；（2）若AB=6，AC=8，求OE的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】（1）连接OA，由BC是⊙O的直径，AD⊥BC，易得∠C=∠OAE=∠B，又由F是弧BC中点，可得∠BAF=∠CAF，继而证得AE平分∠DAO；（2）首先连接OF，易得OF∥AD，即可得DE：OE=AD：OF，然后由勾股定理求得AD，BD的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠B=90°，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠BAD=∠OAC，∵F是弧BC中点，∴∠BAF=∠CAF，∴∠DAE=∠OAE，即AE平分∠DAO；（2）解：连接OF，∵∠BOF=2∠BAF=∠BAC=90°，∴OF⊥BC，∵AD⊥BC，∴OF∥AD，∴DE：OE=AD：OF，∵AB=6，AC=8，∴BC==10，∴AD==，∴BD==，∴OD=OB﹣BD=5﹣=，∴DE：OE=：5=24：25，∴OE=×=．25．冬季将至，服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题，现由甲、乙两个加工厂生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服？（2）若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）先设乙工厂每天可加工生产x件，则甲工厂每天可加工生产1.5件，根据加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天，列出方程，求出x 的值，再进行检验即可求出答案；（2）设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）设乙工厂每天可加工生产x件，则甲工厂每天可加工生产1.5x 件，根据题意可得：=+4，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的根，也符合题意，则1.5x=60，答：甲工厂每天可加工生产60件，乙工厂每天可加工生产40件；（2）设甲工厂加工生产y天，根据题意得：3y+2.4×≤60，解得：y≥10．答：至少应安排甲工厂加工生产10天．26．已知，如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB上的一点，MN⊥AC 于N，△AMN绕点A旋转得到△APQ，延长BC至点D，使CD=BC，延长PQ至点E，使QE=PQ，连接ED．BP．（1）求证：DE=BP；（2）如图2，连接PD，取PD中点F，连接CQ，FQ，若tan∠ABC=，则QC= QF．（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AM，AQ∥ED，CQ=12，求PD的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）作辅助线，构建两个全等三角形：△ADE和△ABP，根据垂直平分线性质定理得出：AB=AD，AP=AE和夹角相等，两三角形全等，则DE=BP；（2）证明△ACQ∽△ABP得，再利用已知的tan∠ABC=得出AC与AB的比，利用中位线QF与DE的关系得出最后结论；（3）作辅助线，构建直角三角形，设△AMN的两直角边分别为3a和4a，表示出AB、AD、DG、AQ的长，利用已知的CQ=12和（2）中的结论QC=QF，求出QF的长，在直角△AGD和直角△PDE运用勾股定理列等式求出PD的长．【解答】解：（1）如图1，连接AE、AD，∵AC⊥BD，AQ⊥PE，BC=BD，PQ=QE，∴AB=AD，AP=AE，∴∠BAC=∠PAQ，∠BAC=∠CAD，∠PAQ=∠EAQ，∴∠BAD=∠PAE，∴∠MAP=∠EAD，∴△ABP≌△ADE，∴BP=ED；（2）如图2，∵∠BAC=∠PAQ，∴∠BAC﹣∠PAN=∠PAQ﹣∠PAN，∴∠BAP=∠CAQ，∵△PAQ≌△MAN，∴，∵MN∥BC，∴，∴，∴△ACQ∽△ABP，∴，∵tan∠ABC=，∴设AC=3k，BC=4k，则AB=5k，∴，∵ED=PB=2QF，∴，∴QC=；故答案为：．（3）如图3，过D作QF的垂线，交QF的延长线于G，则∠QGD=90°，∵PQ=QE，PF=FD，∴FQ∥DE，ED=2FQ，∵AQ∥DE，∴A、Q、F在同一条直线上，且∠EQG=∠E=90°，∴四边形QGDE是矩形，由MN∥BC得∠AMN=∠ABC，∴tan∠AMN=tan∠ABC=，设AN=3a，MN=4a，则AM=5a，AD=AB=4a，∵CQ=12，∴QF=12×=10，ED=20，∵△PQF≌△DGF，∴FG=FQ=10，DG=PQ=NM=4a，∵AQ=AN=3a，在Rt△AGD中，AD2=AG2+DG2，（4a）2=（4a）2+（20+3a）2，11a2﹣24a﹣80=0（a﹣4）（11a+20）=0a 1=4，a2=﹣（舍去）在Rt△PED中，PD====4．27．已知：y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4．点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA交y轴于点Q，（1）求a的值．（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=QH，求点P的坐标及KE的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据三角形面积公式求出点D坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a．（2）如图1中，设点P（m，﹣m2+2m），求出直线PA，HQ的解析式，得到点Q坐标（0，﹣2），根据tan∠QDE=tan∠PAO=，列出方程即可解决问题．（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N，由△OQH∽△FAH，以及在RT △OQH中利用勾股定理，想办法求出点F、点K坐标即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣4ax=0，x=0或4．∴•OA•DE=4，∴DE=2，∴点D坐标（2，2）代入y=ax2﹣4ax，2=4a﹣8a，∴a=﹣．（2）如图1中，由（1）可知抛物线y=﹣x2+2x，设点P（m，﹣m2+2m），设直线PA为y=kx+b，把P（m，﹣m2+2m），A（4，0）代入得，解得，∴直线PA为y=﹣mx+2m，∵直线QH⊥PA，设直线HQ为y=x+b′，把H（m，0）代入得，b′=﹣2，∴OQ=2，∴tan∠QDE=tan∠PAO=，∴4﹣m=2（﹣m2+2m）m1=1，m2=4（舍）∴HE=1．（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N．∵∠HFA=∠HOQ，∠OHQ=∠FHA，∴△OQH∽△FAH，∴AF：OQ=AH：QH=：2，∴AF=，设HQ=x，则AH=x，在RT△OHQ中，22+（4﹣x）2=x，解得x=（或2舍弃不合题意），∴AH=，OH=，FH=，∵•FH•FA=•AH•FN，∴××=××FN，∴FN=1，HN==，∵点F坐标（1，1），点Q（0，﹣2）又∵K、Q关于点F对称，∴点K坐标（2，4），∵点E坐标（2，0）∴KE=4．。

合肥市 2019 版九年级上学期期中数学试题（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题1 . 下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ）A．两个直角三角形 C．两个矩形B．两个正三角形 D．两个梯形2 . 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-，其结果是（ ）A．B．2aC．2bD．3 . 如图所示，在▱ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足．若∠A＝125°，则∠BCE 等于（ ）A．55°B．35°C．30°D．25°4 . 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件 150 元降至 96 元，求平均每次降价的百分率．设平均每次 降价的百分率为 x，根据题意可列方程（ ）A．150（1﹣x）×2＝96 C．150（x﹣1）×2＝96B．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣x2）＝965 . 已知一个三角形三边的长度之比为 3:5:7，其中最长边是 21cm，则此三角形的最短边是（ ）A．15cmB．12cmC．9cmD．8cm6 . 要使有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示为（ ）第1页共5页A．（A）B．（B）7 . 关于 的一元二次方程C．（C）D．（D）的两个实数根的平方和为 12，则 的值为（ ）A．B．C．或D．或8 . 由等积式能得到比例式（ ）A．B．C．D．9 . 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A．x 2 + =0B．ax2+bx +c = 010 . 下列说法正确的是（ ） A．直径是弦，弦是直径 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径二、填空题11 . 如图，在中，点 分别在C．D．B．半圆是轴对称图形 D．直径的长度是半径的 2 倍上，且．若，，，则的长为___．12 . 若把分式的 x、y 同时扩大 10 倍，则分式的值___（填变大，变小，不变）13 . 在中，直线点 交 于点 ，交 于点 ，那么能推出的条件是（ ）．A．，B．，第2页共5页C．，D．，14 . 如果地图上 A，B 两处的图距是 4cm，表示这两地实际的距离是 20km，那么实际距离 500km 的两地在地图上的图距是cm．15 . 当 x________时，二次根式有意义．16 . 已知 α，β 是方程 x2+2006x+1=0 的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为_______。

合肥五十中学天鹅湖教育集团2018~2019学年度第一学期九年级期中模拟卷班级：姓名：得分：一．选择题A．(3，4) B．(﹣3，4) C．(3，﹣4) D．(2，4)2．已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是(※)A．xy＝32B．3x＝2yC．xy＝23D．2x＝3y3．下列4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是(※)A．B．C．D．4．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为(※)A．y＝5(x﹣2)2＋1 B．y＝5(x＋2)2＋1 C．y＝5(x﹣2)2﹣1 D．y＝5(x＋2)2﹣1 5．如图所示，点P是□ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是※)A．AFAD＝PEBCB．DFAF＝BEPFC．ADDF＝ABPFD．PFCDPEBC6．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5 的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x﹣5＝0 的一个近似根是(※)A．1 B ．1.1 C ．1.2 D．1.37．反比例函数y＝kx(k≠0)与二次函数y＝x2＋kx－k的大致图象是(※)A．B．C．D．8．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(※)A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm9．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC 的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是(※)A ．B ．C ．D ．10．如图，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)，B (4，2)，C (4，4)．若反比例函数y =kx 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是(※) A ．1≤k ≤4 B ．2≤k ≤8 C ．2≤k ≤16 D ．8≤k ≤16二．填空题11．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点(﹣3，0)，(1，0)，则该抛物线的对称轴为 ．12．若ab ＝cd ＝2,则a c b d --＝13．飞机着陆后滑行的距离s (单位：米)与滑行的时间t (单位：秒)之间的函数关系式为s ＝60t ﹣1.5t 2．飞机着陆后滑行秒才能停下来．14．如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ．若AD ＝2，则MN ＝．三．解答题15．已知抛物线y ＝12x 2＋x －52．(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴；(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A ，B ，求线段AB 的长．16. 古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图(图1中∠BAC 为锐角，图2 中∠BAC 为直角，图3 中∠BAC 为钝角)．在△ABC 的边 BC 上取 B '，C '两点，使∠AB 'B ＝∠AC 'C ＝∠BAC ，则 △ABC ∽△B 'BA ∽△C 'AC ，()'AB B B AB =，()'AC C C AC=进而可得AB 2＋AC 2＝ ； (用BB '，CC '，BC 表示) 若AB ＝4，AC ＝3，BC ＝6，则B 'C '＝ ．17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－1)，C(4，5)三点．求二次函数的表达式．18．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 在BC 上，且DE∥AC，交AB 于点E，点F 在AC 上，且DF＝DC．求证：△EBD∽△DFC.19．如图，直线y＝x＋1 与抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m 交于A、B 两点（A 在B 左边）．求证：无论m 为何值，AB 的长总为定值．20．如图，在△ABC 中，D、E 在边BC 上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°．求证：DE2＝BD·CE21．已知：如图，反比例函数y＝kx的图象与一次函数 y＝x＋b 的图象交于点A(1，4)，B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．22．根据对相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y 1(千元)与进货量x (吨) 近似满足函数关系y 1＝0.25x ，乙种水果的销售利润y 2(千元)与进货量x (吨)之间的函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示． (1)求出y 2与x 之间的函数关系式；(2)如果该市场准备进甲、乙两种水果共8 吨，设乙水果的进货 量为t 吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W (千元) 与t (吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时 获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？23．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于G ，EF ⊥ BE 交AB 于F ，CE ：BC ：AE ＝1：2：3.(1)求证：△BCE ∽△ACB ； (2)求证：BG ＝EG ；(3)求的值EFEB ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）故选：A．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝故选：A．3．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．故选：B．4．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1故选：A．5．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝故选：C．6．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3故选：C．7．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．故选：B．8．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（）A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm故选：D．9．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．故选：C．10．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16故选：C．二．填空题（共4小题）11．抛物线y＝x2+bx+c过点（﹣3，0），（1，0），则该抛物线的对称轴为x＝﹣1 ．12．若＝＝2，则＝ 2 ．13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行20 秒才能停下来．14．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝2，则MN＝．三．解答题（共9小题）15．已知抛物线y＝x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【解答】解：（1）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x＝﹣1；（2）当y＝0时，x2+x﹣＝0，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，AB＝|x1﹣x2|＝．16．古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝BC（BB′+C′C）；（用BB'，CC'，BC表示）若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝．【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC∴＝，＝，∴AB2＝BC•B′B，AC2＝BC•C′C，∴AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C＝BC（BB′+C′C）；∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，∴42+32＝6（BB′+C′C），即6（BC﹣B′C′）＝25，∴6﹣B′C′＝，∴B′C′＝．故答案为BC（BB'+CC'）；．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）三点．求二次函数的表达式．【解答】解：根据题意得：，解得：，∴二次函数的解析式为．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，且DE∥AC交AB于E，点F在AC上，且DF＝DC．求证：△EBD∽△DFC．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C．∵AB＝AC，∴∠B＝∠CFD．∴△EBD∽△DFC．19．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B左边）．求证：无论m为何值，AB的长总为定值．【解答】解：∵直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，∴，解得或∴AB＝＝．∴无论m为何值，AB的长总为定值．20．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD•CE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠B＝∠CAE，∴△ABD∽△CAE，∴，∴AD•AE＝CE•BD，∴DE2＝BD•CE．21．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，所以反比例函数的解析式是y＝，一次函数解析式是y＝x+3；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，当x＝﹣4时，y＝﹣1，∴B（﹣4，﹣1），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．22．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c 的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于G，EF⊥BE交AB于F，CE：BC：AE＝1：2：3．（1）求证：△BCE∽△ACB；（2）求证：BG＝EG；（3）求的值．【解答】证明：（1）∵CE：BC：AE＝1：2：3，设EC＝a，BC＝2a，AE＝3a则AC＝4a，∴＝＝2，∵∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB，（2）∵△BCE∽△ACB，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠BEC，∠BDC＝90°∵∠ABC+∠BCD＝90°，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝GC，同理可证GB＝GC，∴BG＝EG．（3）∵∠A＝∠BCD，∴tan∠CBD＝tan∠A＝＝，设BD＝m，则CD＝2m．设BG＝CG＝x，在Rt△BDG中，∵BG2＝BD2+DG2，∴x2＝a2+（2a﹣x）2，∴x＝a，∴tan∠DBG＝＝＝，∴＝tan∠EBF＝．。

2018-2019学年安徽省合肥五十中东校区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是（）A．y＝3x2+2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3（x﹣1）2+2D．y＝2x22．（4分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a＝3 b＝6 c＝2 d＝4B．a＝1 b＝c＝d＝2C．a＝4 b＝6 c＝5 d＝10D．a＝2 b＝c＝d＝23．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为﹣4D．当x≥2时，y随x增大而增大4．（4分）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1B．x≥2C．x＜0或0＜x≤1D．x＜0或x≥25．（4分）如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．87．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）8．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y39．（4分）a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）如图所示，已知点E，F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE，CF相交于点G，S△EFG＝1，则四边形BCEF的面积是（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（每题5分，共20分）11．（5分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是．12．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为米．13．（5分）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．16．（8分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）货车到达目的地后开始卸货，如果以1.5t/min的速度卸货，需要多长时间才能卸完货物？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图所示，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高是1.6米，那么路灯离地面的高度AB是多少米？18．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出不等式≥kx+b的解集．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC ＝∠AGF＝90°．AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）图中共有对相似而不全等的三角形；（2）选取其中一对进行证明．20．（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．六、（本题满分12分）21．（12分）如图是3×5的网格，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的图形叫做格点图．（1）图1中的格点△ABC与△DEF相似吗？请说明理由；（2）请在图2中选择适当的位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，且相似比不为1；（3）请在图3中画一个格点△A2B2C2与△ABC相似（注意：△A2B2C2与△ABC、△DEF、△A1B1C1都不全等）．七、（本题满分12分）22．（12分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？八、（本题满分14分）23．（14分）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．2018-2019学年安徽省合肥五十中东校区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1．【解答】解：A、y＝3x2的图象向上平移2个单位得到y＝3x2+2，故A选项错误；B、y＝3x2的图象向右平移1个单位得到y＝3（x﹣1）2，故B选项错误；C、y＝3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y＝3（x﹣1）2+2，故C选项错误；D、y＝3x2的图象平移不能得到y＝2x2，故D选项正确．故选：D．2．【解答】解：A、3×4＝6×2，是成比例线段，故本选项错误；B、1×2＝×，是成比例线段，故本选项错误；C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项正确；D、2×＝×2，是成比例线段，故本选项错误．故选：C．3．【解答】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c中得c＝﹣3，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，所以：抛物线开口向上，对称轴是x＝1，当x＝1时，y的最小值为﹣4，当x≥2时，y随x增大而增大观察选项，B选项符合题意．故选：C．4．【解答】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x≥2；在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x＜0．故选：D．5．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠P AC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．6．【解答】解：∵y＝，∴OA•AD＝2．∵D是AB的中点，∴AB＝2AD．∴矩形的面积＝OA•AB＝2AD•OA＝2×2＝4．故选：B．7．【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．8．【解答】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x＝1对称，因为﹣2＜﹣1＜0，故y1＞y2＞y3，故选：A．9．【解答】解：当a＞0时，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选：D．10．【解答】解：∵点E，F分别是AC、AB边的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△EFG∽△BCG，∴＝＝，＝（）2＝，∴S△BGF＝2S△EFG＝2，S△CGE＝S△EFG＝2，S△BGC＝4S△EFG＝4，∴四边形BCEF的面积＝1+2+2+4＝9，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）11．【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴m﹣1＞0，解得m＞1．故答案为：m＞1．12．【解答】解：当y＝﹣4时，﹣4＝﹣，解得，x1＝﹣10，x2＝10，∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），故答案为：20．13．【解答】解：如图，∵GF∥HC，∴△AGF∽△AHC，∴＝＝，∴GF＝HC＝，∴OF＝OG﹣GF＝2﹣＝．同理MN＝，则有OM＝．∴S△OFM＝××＝，∴S阴影＝1﹣＝．故答案为：．14．【解答】解：过点A作AH⊥OB，∵点A的坐标为（1，1），∴AH＝OH＝1，∠AOB＝45°，∴OD＝CD，设CF＝x，∵四边形CDEF是正方形，∴CF∥DE，CD＝CF＝EF＝DE，∴CD＝CF＝EF＝DE＝x，∴OE＝OD+DE＝2EF，∵以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，∴①EF＝2EB，则EB＝x，∴OB＝OE+EB＝2x+x＝x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴＝，即＝1﹣x，解得x＝，OB＝×＝，∴点B的坐标为（，0），②EB＝2EF时，则EB＝2x，∴OB＝OE+EB＝2x+2x＝4x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴＝，即＝1﹣x，解得x＝，OB＝4x＝4×＝3，∴点B的坐标为（3，0）．③如图当点B在点E左边时，设正方形的边长为x，∵△OEF∽△FEB，∴OE：EF＝EF：BE＝2：1，∴BE＝x，OB＝x，∵＝，∴＝，∴x＝，∴OB＝，∴B（，0），综上所述，点B的坐标是（，0）或（3，0）或（，0）．故答案为：（，0）或（3，0）或（，0）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【解答】解：∵函数y＝3x2﹣2x﹣1，∴当y＝0时，0＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），解得，x1＝﹣，x2＝1，当x＝0时，y＝﹣1，∴此抛物线与坐标轴的交点坐标是（﹣，0），（1，0），（0，﹣1）．16．【解答】解：（1）x（t/min）代表装载速度，y（min）代表装完货物所需时间，货物的质量m＝xy，把（0.5，40）代入得货物的质量m＝0.5×40＝20；由xy＝20得；（2）当x＝1.5时，．需要分钟时间才能卸完货物四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【解答】解：由图知，DE＝2米，CD＝1.6米，AD＝5米，∴AE＝AD+DE＝5+2＝7米∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴即∴米．答：路灯离地面的高度AB是5.6米．18．【解答】解：（1）把点A（1，m），B（n，2），分别代入得m＝6，2n＝6，解得n＝3，∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6），B（3，2）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8；（2）不等式≥kx+b的解集是0＜x≤1或x≥3．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【解答】解：（1）图中共有相似而不全等的三角形：△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，△DAE∽△DCA3对；（2）∵△ABC与△GAF是等腰直角三角形，∴∠B＝∠GAF＝∠C＝90°，∵∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，∵∠ADC＝∠EDA，∠DAE＝∠C＝45°，∴△DAE∽△DCA，∴∠DAC＝∠DEA，∠B＝∠C，∴△DAE∽△DCA．20．【解答】解：（1）由题意，设y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4），得，∴，∴，故顶点E坐标为；（2）∵S△DBC＝S△EBC，∴两个三角形在公共边BC上的高相等，又点E到BC的距离为，∴点D到BC的距离也为，则（x﹣3）2﹣＝，解得x＝3±2，则点D或．六、（本题满分12分）21．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵，∴，故相似（2）如图2所示：（3）如图3所示：七、（本题满分12分）22．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣10x+740（≤x≤52），（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．八、（本题满分14分）23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE＝OG．（2）①证明：如图2中，∵AC，BD为对角线，∴OD＝OC，∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE．②解：设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1﹣x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1﹣x，∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG＝∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴＝，∴HC2＝EH•CD，∴x2＝（1﹣x）•1，解得x＝或（舍弃），∴HC＝．。

2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝22．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣33．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC ∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G＝90°，若以点A′、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝．三．解答题（90分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3．（1）配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出函数y随x的变化情况．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝2.5．①求该抛物线的解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．21.根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？22.定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x ≤3时，y2的最小值．23.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M．①求线段MN的最大值；②直接写出能使BM与NC互相垂直平分的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A 选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故选：B．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B 即可以求证△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x ﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴点P的坐标为（1，1），∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，当y＝时，，得x＝2，∴点F的坐标为（2，）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G＝90°，若以点A′、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝1或．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图1所示，当∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如图2所示，当∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，设AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；综上所述，x＝1或；故答案为：1或．三．解答题（共5小题）15．已知，求的值．【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．【解答】解：设＝k，则a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3．（1）配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出函数y随x的变化情况．【分析】（1）把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据开口方向及对称轴确定答案即可．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标（1，﹣2）；（2）因为开口向下，对称轴为x＝1．所以当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y＝∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）则解得：k＝，b＝∴直线FB的解析式y＝18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝2.5．①求该抛物线的解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？【分析】（1）△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，即可求解；（2）①对称轴为直线x＝2.5＝，解得：m＝2，即可求解；②y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，即可求解．【解答】解：（1）y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，故不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①对称轴为直线x＝2.5＝，解得：m＝2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+6；②y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，故抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD•AB，∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21.根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．22.定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x ≤3时，y2的最小值．【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案为：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．23.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M．①求线段MN的最大值；②直接写出能使BM与NC互相垂直平分的N点的坐标．【分析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）①设M的横坐标是a，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用a表示出M、N 的坐标，利用a表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；②BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得a的值，从而得到N的坐标．【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数的图象，根据题意得：，∴，则二次函数的解析式是：y＝﹣；（2）①设N（a，），则M，P（a，0），∴MN＝PN﹣PM＝，＝＝，则a＝﹣时，MN的最大值为；②如图，连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN＝BC，且BC＝MC，即﹣a2﹣a＝，且（﹣a+1）2+（a+3）2＝，解a2+3a+2＝0，得：a＝﹣1或a＝﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．。