单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动

单自由度振动系统的运动方程解析解的应用案例分析单自由度振动系统是机械工程中非常重要的一类振动系统。

它的运动方程可用解析解表示，这在许多实际问题的解决中发挥着重要作用。

本文将通过分析两个应用案例，展示单自由度振动系统运动方程解析解的实际应用。

案例一：弹簧振子考虑一个弹簧振子系统，由一个质量为m的物体通过一个弹簧与固定支撑相连。

假设摩擦系数为零，物体只有沿水平方向的振动。

根据牛顿第二定律可以得到以下运动方程：m a=−aa其中a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体的位移。

通过简单的求解可以得到该系统的解析解为：a = a cos(a_0 t + a)其中A和a分别是振幅和相位，a_0 是系统的固有角频率，有关常数可以通过初始条件来确定。

这个方程给出了振子在任意时间点的位移，通过振幅和相位可以描述振动的特征。

在实际应用中，我们可以利用这个方程来分析弹簧振子的运动规律，如计算特定时刻的位移、速度和加速度等。

案例二：简谐受迫振动考虑一个简谐受迫振动系统，它除了由弹簧力驱动外，还受到外部激励力F(t)的作用。

运动方程可以表示为：m a=−aa +F(t)其中F(t)是外部激励力的函数形式，可以是任意周期性函数。

在这种情况下，运动方程没有解析解，但我们可以通过变换方法将其转化为解析解出现的形式。

一个常见的方法是利用复指数形式的解，并通过计算使运动方程等号两边的实部和虚部相等。

通过求解可以得到：a = a cos(a_0 t + a) + a_p其中a_p是该系统的稳态解，表示受迫振动的特定解，由外部激励力决定，A和a是自由振动的振幅和相位。

这个方程描述了受迫振动系统的运动，可以用于分析系统在不同激励力下的响应，如共振频率、相位差等。

总结起来，单自由度振动系统运动方程解析解的应用案例分析有助于我们深入理解振动系统的运动行为。

通过解析解，我们可以更好地预测和控制系统的振动特性，为相关工程问题提供解决思路。

机械振动系统与机械振动分类1. 机械振动系统简介机械振动系统是指由于外界激励或系统自身特性而引起的物体或结构产生振动运动的系统。

机械振动系统广泛应用于工程领域，如机械制造、工程结构、航空航天等。

了解机械振动系统及其分类对于研究和应用机械振动具有重要意义。

2. 机械振动分类机械振动可以根据不同的分类标准进行分类，包括运动形式、激励方式、振动特性等。

2.1 运动形式机械振动根据物体或结构的运动形式可以分为自由振动和强迫振动。

2.1.1 自由振动自由振动是指系统在无外界激励的情况下，由于系统本身的特性而产生的振动。

自由振动分为自由衰减振动和自由无衰减振动两种形式。

自由衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，由于系统阻尼的存在而衰减的振动。

在自由衰减振动中，振动幅值呈指数衰减。

自由无衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，没有阻尼或阻尼较小而不影响振动的情况下产生的振动。

在自由无衰减振动中，振动幅值保持不变。

2.1.2 强迫振动强迫振动是指系统由外界激励引起的振动。

外界激励可以是周期性的，也可以是非周期性的。

强迫振动分为共振和非共振两种形式。

共振是指外界激励频率与系统的固有频率相等，从而使得系统振动幅值达到最大的状态。

共振时，振动幅值会明显增大，甚至会出现破坏性振动。

非共振是指外界激励频率与系统的固有频率不同，振动幅值会有所减小。

2.2 激励方式机械振动根据激励方式可以分为有源振动和无源振动。

有源振动是指通过外部能量源对振动系统进行能量输入的振动。

典型的有源振动系统包括激励器、驱动器等。

无源振动是指在自由振动状态下，由于外界条件或系统初始激励引起的振动。

无源振动通常分为两种情况，即系统外力激励和几何和材料非均匀性。

2.3 振动特性机械振动根据振动特性可以分为单自由度振动和多自由度振动。

单自由度振动是指一个自由度的振动系统，在一个平面或轴向上只有一个振动方向的振动。

典型的单自由度振动系统包括单摆、弹簧振子等。

第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。

激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。

对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。

系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。

有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。

简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。

第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。

系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。

该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。

（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。

三 单自由度系统在简谐激励作用下的受迫震动读后感这一章讲的是单自由度系统受到简谐荷载或者简谐位移作用时, 系统的位移时间函数求解与应用, 可以把此章节分为三部分。

系统对简谐力的响应表达式:无阻尼系统在受简谐荷载作用时, 可以算得其位移时间方程的表达式：t rk F t B t A t u θωωsin 1/sin cos )(20-++= 当初始条件给定时, 比如说如果初始位移 和初始速度 , 该以得出:)sin (sin 1/)(20t r t rk F t u ωθ--= 由这个表达式可以看出当r=1时, 即激励的频率与系统的固有频率相同时, 系统的位移无限大, 这种现象称之为共振, 这时结构会冲破约束, 导致破坏。

阻尼系统在受简谐激励作用时, 通过解微分方程, 可以得出其位移时间表达式：222)2()1()sin()sin cos ()(ξϕθωωξωr r t u t B t A e t u st D D t +--++=-由于阻尼的存在, 初始自由振动和伴随自由振动都含有一个振幅衰减因子, 故经过一段时间之后系统的振动将趋于稳定, 工程上比较关心稳态解, 即原方程的特解, 即:222)2()1()sin()(ξϕθr r t u t u st +--=从该试可以得出稳态阶段的振幅, 将振幅与静态位移ust 作比, 可以得到系统的动力放大系数D 。

计算阻尼比的方法:共振放大法: 我们可以通过测出r=1时的D 的值, 计算出系统的阻尼比, 因为当r=1时, , 但是该方法不太实用, 求静位移时可能出现问题, 因为典型的简谐震动加载体系是不能再零频率是工作的。

带宽法：通过测得 最大振幅处（共振时的振幅）时的对应两个频率, 然后通过计算可以得到系统阻尼比, 该方法避免开了测系统静位移, 比共振法适用。

每周能量损失法: 由于系统的阻尼, 系统就会有能量的耗散, 因为在稳态阶段, 系统每周的运动方式是相同, 为周期函数, 故在稳态阶段, 在一个周期里, 外力对结构做的功等于系统耗散的能量。

机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。

振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。

了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。

一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。

在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。

振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。

二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。

在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。

多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。

三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。

工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。

结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。

通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。

我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。