正余弦定理与三角形形状判断附标准答案

∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝23.](对应学生用书第82页)考点1利用正、余弦定理解三角形问题在△ABD 中，42＝x 2＋(72)2－2x ×72cos (π－α)，② ①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(20xx·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4， 由余弦定理cos C ＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°， 即sin A ＝3314， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314， 即AB 边上的高CD ＝15314. 考点2 与三角形面积有关的问题(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2， 所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3， 所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．][母题探究]。

正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。

二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。

三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。

常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。

2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。

3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。

5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。

根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan ba B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=CB CB cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，54cos =A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。

例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ）例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::2:1)a b c =，试判断三角形的形状。

所以三角形为锐角三角形。

3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形 5、在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

高中数学：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【条件探究1】 将典例中的条件变为：若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B.等腰三角形 C ．等边三角形 D.钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．【条件探究2】 将典例中的条件改为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状为等腰三角形__．解析：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .所以△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．【条件探究3】 将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解：由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)．∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是直角三角形__．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求角A 的大小；②若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.②∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°.∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．。

解三角形1、正弦定理在三角形ABC 中，角A,B,C 对应的边c b a ,,2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，都是R （外接圆的半径）3、余弦定理C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 变形 abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=4.三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于︒1805.三角形的面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===在三角形ABC 中，角A,B,C 对应的边c b a ,,结合余弦定理，易推出：三角形是钝角三角形三角形是直角三角形三角形是锐角三角形222222222c b a c b a c b a +>+=+<例1：在三角形ABC 中，已知︒===6038,A c b ，,则a 的值为____. 例2：在三角形ABC 中，已知︒︒===75,60,8C B a ,则b 的值为___. 例3：在三角形ABC 中，已知︒︒===30,45,10C A c ,则a 的值为___. 例4：在三角形ABC 中，已知38,==c a ，则.____sin sin =AC 例5：在三角形ABC 中，B a b sin 2=，则A=_______.例6：在三角形ABC 中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为____. 例7：在三角形ABC 中，已知6107,,===c b a ，判断三角形ABC 的形状 例8：在三角形ABC 中，已知61012,,===c b a ，求三角形ABC 的面积 例9：在三角形ABC 中，已知1413cos 87,,===C b a ,求最大角的余弦值 例10：一个三角形是钝角三角形，则它的三边是（ ）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，6答案：例1：66 例2：64 例3：210 例4：83 例5：︒︒13545或 例6：︒120 例7：028567210672cos 222222<-=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，B 是三角形的内角，B 是钝角，ABC ∆是钝角三角形。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

ab c2R 。

（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角， 求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。

利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。